यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-9) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-9), which statement about (f) is correct?
#onto function
#linear function
#real numbers
#preimage
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
आच्छादी होने के लिए सहप्रांत का हर मान मिलना चाहिए। / For onto nature, every value of the codomain must be obtained.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x=y+9) रखें, तब (f(x)=y) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take (x=y+9), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में गैर-शून्य ढाल वाला रैखिक फलन आच्छादी होता है। / A non-zero slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=4x+1) है, तो (f(x)=y) के लिए (x) का सही मान क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=4x+1), what is the correct value of (x) for (f(x)=y)?
#onto proof
#linear equation
#preimage
#range
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? Hint Small clue
A \(x=\frac{y-1}{4}\)
B \(x=\frac{y+1}{4}\)
C \(x=4y-1\)
D \(x=y+4\)
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Correct Answer
A. \(x=\frac{y-1}{4}\)
Step 1
Concept
(4x+1=y) रखें। / Put (4x+1=y).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (4x=y-1), इसलिए \(x=\frac{y-1}{4}\) मिलता है। / This gives (4x=y-1), so \(x=\frac{y-1}{4}\).
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (y) के लिए ऐसा वास्तविक (x) मिल जाए, तो फलन आच्छादी है। / If such a real (x) exists for every real (y), the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[5,\infty\)), (f(x)=x-2 +5) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[5,\infty\)), (f(x)=x-2 +5), choose the correct option.
#quadratic function
#onto
#range
#codomain
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (4) मान देता है / It gives value (4)
D यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+5\ge5\)। / \(x^2\ge0\), so \(x^2+5\ge5\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge5\) के लिए \(x=\sqrt{y-5}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge5\), take \(x=\sqrt{y-5}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
परास \([5,\infty\)) सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। / The range is \([5,\infty\)), equal to the codomain, so the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +5) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +5), why is it not onto?
#quadratic function
#not onto
#minimum value
#codomain
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? Hint Small clue
A क्योंकि (3) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (3) is not obtained
B क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
C क्योंकि (6) नहीं मिलता / Because (6) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (3) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (3) is not obtained
Step 1
Concept
\(x^2+5\) का न्यूनतम मान (5) है। / The minimum value of \(x^2+5\) is (5).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (3) है, पर \(x^2+5=3\) का कोई वास्तविक हल नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (3), but \(x^2+5=3\) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
परास में जो मान नहीं आते, वे आच्छादीपन को रोकते हैं। / Values missing from the range prevent onto nature.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,7]\), (f(x)=7-x-2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,7]\), (f(x)=7-x-2 ), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#onto
#maximum value
#range
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (7) मान देता है / It gives only value (7)
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\), इसलिए \(7-x^2\le7\)। / \(x^2\ge0\), so \(7-x^2\le7\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\le7\) के लिए \(x=\sqrt{7-y}\) लेने पर (f(x)=y) मिल जाता है। / For every \(y\le7\), take \(x=\sqrt{7-y}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
नीचे की ओर खुला द्विघात अपने सही सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / A downward-opening quadratic can be onto its correct codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7-x-2 ) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7-x-2 ), why is (f) not onto?
#quadratic function
#not onto
#maximum value
#real codomain
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? Hint Small clue
A क्योंकि (8) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (8) is not obtained
B क्योंकि (7) नहीं मिलता / Because (7) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (8) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (8) is not obtained
Step 1
Concept
\(7-x^2\) का अधिकतम मान (7) है। / The maximum value of \(7-x^2\) is (7).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (8) है, पर \(7-x^2=8\) का कोई वास्तविक हल नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (8), but \(7-x^2=8\) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
अधिकतम मान से ऊपर के सहप्रांत मान परास में नहीं आते। / Codomain values above the maximum are not in the range.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+4) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+4), which statement is correct?
#integer function
#onto
#shift function
#preimage
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल सम मान देता है / It gives only even values
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\in\mathbb{Z}\) लें। / Take any \(y\in\mathbb{Z}\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(n=y-4) भी पूर्णांक है और (f(n)=y) हो जाता है। / (n=y-4) is also an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर जोड़ वाला फलन सभी पूर्णांक मान प्राप्त कर सकता है। / A shift function on integers can obtain every integer value.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=3n) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=3n), why is (f) not onto?
#integer function
#not onto
#multiples
#codomain
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? Hint Small clue
A क्योंकि (1) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (1) is not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (1) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (1) is not obtained
Step 1
Concept
(3n) हमेशा (3) का गुणज होता है। / (3n) is always a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (1) है, जो (3n) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (1), which cannot be written as (3n).
Step 3
Exam Tip
गुणजों वाले फलन में छूटे हुए पूर्णांकों को देखें। / For multiple-based functions, look for integers that are missed.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+3) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+3), why is (f) not onto?
#natural numbers
#not onto
#range
#codomain
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A क्योंकि (1,2,3) नहीं मिलते / Because (1,2,3) are not obtained
B क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि (1,2,3) नहीं मिलते / Because (1,2,3) are not obtained
Step 1
Concept
\(n\in\mathbb{N}\) होने पर (n+3) का सबसे छोटा मान (4) है। / For \(n\in\mathbb{N}\), the smallest value of (n+3) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सहप्रांत के (1,2,3) परास में नहीं आते। / So (1,2,3) from the codomain are not in the range.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में आरंभिक मानों को जांचना बहुत उपयोगी है। / For natural-number functions, checking initial values is very useful.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to{4,5,6,\ldots}\), (f(n)=n+3) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{N}\to{4,5,6,\ldots}\), (f(n)=n+3), choose the correct option about (f).
#natural numbers
#onto
#shifted range
#codomain
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह केवल (3) मान देता है / It gives only value (3)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत (4) से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याओं का है। / The codomain is the set of natural numbers starting from (4).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge4\) के लिए (n=y-3) प्राकृतिक संख्या है और (f(n)=y)। / For every \(y\ge4\), (n=y-3) is a natural number and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को परास के अनुसार चुनने से फलन आच्छादी हो जाता है। / Choosing the codomain according to the range makes the function onto.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(2,\infty\)), (f(x)=e^x+2) है, तो सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(2,\infty\)), (f(x)=e^x+2), what is the correct statement?
#exponential function
#onto
#shifted range
#codomain
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (2) मान देता है / It gives value (2)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^x+2\) का परास (\(2,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Therefore, the range of \(e^x+2\) is (\(2,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में ऊपर खिसकाव से परास भी ऊपर खिसकता है। / A vertical shift of an exponential function shifts its range upward.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=e^x+2) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=e^x+2), why is (f) not onto?
#exponential function
#not onto
#endpoint
#codomain
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A क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
B क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है, कभी (0) नहीं होता। / \(e^x\) is always positive and never (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^x+2\) हमेशा (2) से बड़ा है, पर सहप्रांत में (2) शामिल है। / So \(e^x+2\) is always greater than (2), but the codomain contains (2).
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद सिरों का फर्क आच्छादीपन में महत्वपूर्ण होता है। / The difference between open and closed endpoints matters in onto questions.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x+4) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x+4), which statement about (f) is correct?
#logarithmic function
#onto
#range
#vertical shift
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह (x=0) पर परिभाषित है / It is defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\ln x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / The range of \(\ln x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\ln x+4\) भी सभी वास्तविक मान ले सकता है, क्योंकि ऊपर खिसकाव से \(\mathbb{R}\) परास नहीं बदलता। / \(\ln x+4\) also takes all real values, because shifting \(\mathbb{R}\) still gives \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन अपने प्राकृतिक प्रांत पर \(\mathbb{R}\) को ढकता है। / A logarithmic function on its natural domain covers all real values.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं माना जाएगा?
If (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x), why will (f) not be considered onto?
#logarithmic function
#well defined
#codomain
#onto concept
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A क्योंकि ऋणात्मक फलन मान सहप्रांत में नहीं हैं, इसलिए यह सही रूप से इस सहप्रांत में फलन नहीं बनता / Because negative function values are not in the codomain, so it is not properly a function into this codomain
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि \(\ln x\) हमेशा धनात्मक है / Because \(\ln x\) is always positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक फलन मान सहप्रांत में नहीं हैं, इसलिए यह सही रूप से इस सहप्रांत में फलन नहीं बनता / Because negative function values are not in the codomain, so it is not properly a function into this codomain
Step 1
Concept
(0<x<1) पर \(\ln x<0\) होता है। / For (0<x<1), \(\ln x<0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, जिसमें ऋणात्मक मान नहीं हैं, इसलिए दिए गए रूप में यह (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) फलन ठीक से नहीं बनता। / The codomain is (\(0,\infty\)), which does not contain negative values, so the given mapping is not properly a function into this codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जांचने से पहले फलन की परिभाषा सही है या नहीं, यह देखें। / Before testing onto nature, check whether the function is well-defined.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), what is the correct statement?
#cosine function
#onto
#restricted domain
#trigonometry
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (1) मान देता है / It gives only value (1)
D यह केवल (0) मान देता है / It gives only value (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x) के (0) से \(\pi\) तक जाने पर \(\cos x\) (1) से (-1) तक सभी मान लेता है। / As (x) goes from (0) to \(\pi\), \(\cos x\) takes every value from (1) to (-1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) है, इसलिए उसका हर मान प्राप्त होता है। / The codomain is ([-1,1]), so every value in it is obtained.
Step 3
Exam Tip
सीमित त्रिकोणमितीय अंतरालों पर परास ध्यान से पहचानें। / Identify the range carefully on restricted trigonometric intervals.
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यदि \(f:[0,\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), why is it not onto?
#cosine function
#not onto
#restricted domain
#range
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A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{2}]\) पर \(\cos x\) का परास ([0,1]) है। / On \([0,\frac{\pi}{2}]\), the range of \(\cos x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो परास में नहीं आते। / The codomain ([-1,1]) contains negative values, which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
प्रांत छोटा करने से परास भी बदल सकता है। / Restricting the domain can change the range.
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यदि \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x), which option is correct about (f)?
#sine function
#onto
#standard interval
#range
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
इस अंतराल पर \(\sin x\) (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। / On this interval, \(\sin x\) takes all values from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) है, इसलिए कोई सहप्रांत मान नहीं छूटता। / The codomain is ([-1,1]), so no codomain value is missed.
Step 3
Exam Tip
मानक त्रिकोणमितीय अंतरालों का परास याद रखें। / Remember the ranges on standard trigonometric intervals.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x), why is (f) not onto?
#sine function
#not onto
#restricted domain
#codomain
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A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\sin x\) का परास ([0,1]) है। / On \([0,\pi]\), the range of \(\sin x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान हैं, लेकिन वे इस प्रांत से नहीं मिलते। / The codomain ([-1,1]) contains negative values, but they are not obtained from this domain.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन में प्रांत बदलने से आच्छादीपन बदलता है। / For trigonometric functions, changing the domain changes onto nature.
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यदि (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x) है, तो सही कथन क्या है?
If (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), what is the correct statement?
#tangent function
#onto
#standard interval
#trigonometry
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ([-1,1]) में मान देता है / It gives values only in ([-1,1])
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर \(\tan x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), the range of \(\tan x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर वास्तविक सहप्रांत मान किसी न किसी (x) से मिलता है। / Thus every real codomain value is obtained for some (x).
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) का मानक आच्छादी अंतराल याद रखें। / Remember the standard onto interval for \(\tan x\).
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यदि \(f:[0,\frac{\pi}{4}]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\tan x) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\frac{\pi}{4}]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\tan x), why is it not onto?
#tangent function
#not onto
#restricted interval
#range
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A क्योंकि इसका परास केवल ([0,1]) है / Because its range is only ([0,1])
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि इसका परास केवल ([0,1]) है / Because its range is only ([0,1])
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{4}]\) पर \(\tan x\) (0) से (1) तक मान लेता है। / On \([0,\frac{\pi}{4}]\), \(\tan x\) takes values from (0) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) जैसे मान भी हैं, जो परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values such as (2), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
बड़े सहप्रांत के सामने छोटा परास आच्छादीपन नहीं देता। / A small range cannot cover a larger codomain.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c\}\) और \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,a)\}\) है, तो \(f:A\to B\) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,a)\}\), what is correct about \(f:A\to B\)?
#finite sets
#onto
#ordered pairs
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह फलन नहीं है / It is not a function
D इसका सहप्रांत (A) है / Its codomain is (A)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत (B) के अवयव (a,b,c) हैं। / The codomain (B) has elements (a,b,c).
Step 2
Why this answer is correct
तीनों अवयव किसी न किसी प्रांत अवयव के प्रतिबिंब के रूप में मौजूद हैं। / All three elements appear as images of some domain element.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में सहप्रांत के हर अवयव को प्रतिबिंबों में खोजें। / For finite sets, look for every codomain element among the images.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c\}\) और \(f=\{(1,a),(2,a),(3,b),(4,b)\}\) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,a),(3,b),(4,b)\}\), why is (f) not onto?
#finite mapping
#not onto
#missing preimage
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (c) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (c) has no preimage
B क्योंकि (a) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (a) has no preimage
C क्योंकि (b) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (b) has no preimage
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (c) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (c) has no preimage
Step 1
Concept
दिए गए प्रतिबिंबों में केवल (a) और (b) आते हैं। / The listed images contain only (a) and (b).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का अवयव (c) किसी भी प्रांत अवयव से नहीं मिला। / The codomain element (c) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
एक भी सहप्रांत अवयव छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If even one codomain element is missed, the function is not onto.
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यदि (A) में (5) अवयव और (B) में (2) अवयव हैं, तो (A) से (B) में आच्छादी फलन बनने की संभावना के बारे में सही कथन क्या है?
If (A) has (5) elements and (B) has (2) elements, which statement about the possibility of an onto function from (A) to (B) is correct?
#finite sets
#onto possibility
#cardinality
#domain codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A आच्छादी फलन बन सकता है / An onto function can exist
B आच्छादी फलन बन ही नहीं सकता / An onto function cannot exist
C यह तभी संभव है जब (B) खाली हो / It is possible only if (B) is empty
D यह केवल एक ही तरीके से बन सकता है / It can be formed in exactly one way
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Correct Answer
A. आच्छादी फलन बन सकता है / An onto function can exist
Step 1
Concept
सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव नहीं होने चाहिए। / For onto functions between finite sets, the domain should not have fewer elements than the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(5\ge2\), इसलिए सभी सहप्रांत अवयवों को ढकना संभव है। / Here \(5\ge2\), so it is possible to cover all codomain elements.
Step 3
Exam Tip
संभावना पूछी जाए तो पहले आकारों की तुलना करें। / When possibility is asked, first compare the sizes.
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यदि (A) में (2) अवयव और (B) में (4) अवयव हैं, तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (2) elements and (B) has (4) elements, what is the number of onto functions from (A) to (B)?
#onto functions
#counting
#finite sets
#zero
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(0\)
B \(2\)
C \(4\)
D \(8\)
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Step 1
Concept
आच्छादी फलन में सहप्रांत के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every codomain element needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (2) अवयव हैं, पर (B) में (4) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना असंभव है। / (A) has only (2) elements but (B) has (4), so covering all is impossible.
Step 3
Exam Tip
जब (|A|<|B|), तो आच्छादी फलनों की संख्या (0) होती है। / If (|A|<|B|), the number of onto functions is (0).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{p,q\}\) हैं, तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या कितनी है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{p,q\}\), how many onto functions are there from (A) to (B)?
#onto counting
#finite sets
#two element codomain
#functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(6\)
B \(8\)
C \(2\)
D \(0\)
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Step 1
Concept
कुल फलनों की संख्या \(2^3=8\) है। / The total number of functions is \(2^3=8\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनमें सभी अवयव केवल (p) पर जाएं या केवल (q) पर जाएं, यानी (2) फलन। / The non-onto functions are those sending all elements only to (p) or only to (q), so (2) functions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादी फलन (8-2=6) होंगे। / Hence the number of onto functions is (8-2=6).
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादी है, तो सहप्रांत (B) के किसी भी अवयव (b) के लिए क्या जरूर होगा?
If \(f:A\to B\) is onto, what must be true for any element (b) of the codomain (B)?
#onto definition
#preimage
#codomain
#function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A कोई \(a\in A\) होगा जिससे (f(a)=b) / There exists \(a\in A\) such that (f(a)=b)
B हर \(a\in A\) के लिए (f(a)=b) होगा / For every \(a\in A\), (f(a)=b)
C (b) प्रांत में ही होना चाहिए / (b) must belong to the domain
D (B) खाली होना चाहिए / (B) must be empty
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Correct Answer
A. कोई \(a\in A\) होगा जिससे (f(a)=b) / There exists \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
आच्छादी की परिभाषा सहप्रांत के हर अवयव से जुड़ी है। / The definition of onto is about every element of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(b\in B\) के लिए कम से कम एक \(a\in A\) होना चाहिए जिससे (f(a)=b)। / For every \(b\in B\), at least one \(a\in A\) must exist such that (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन में पूर्वप्रतिबिंब की उपस्थिति मुख्य बात है। / The existence of a preimage is the key idea in onto nature.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादी है, तो (f(A)) और (B) में क्या संबंध होगा?
If \(f:A\to B\) is onto, what relation will hold between (f(A)) and (B)?
#onto definition
#image set
#range
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(f(A)=B\)
B \(f(A)\cap B=\varnothing\)
C \(B\subseteq A\)
D \(f(A)=A\)
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Correct Answer
A. \(f(A)=B\)
Step 1
Concept
(f(A)) फलन का परास है। / (f(A)) is the range of the function.
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी का अर्थ है कि परास सहप्रांत के बराबर हो। / Onto means the range is equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (f(A)=B) आच्छादी फलन की पहचान है। / Therefore, (f(A)=B) is the identifying condition for onto functions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,1]\), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,1]\), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }), why is it not onto?
#rational function
#not onto
#endpoint
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि \(\frac{1}{2}\) नहीं मिलता / Because \(\frac{1}{2}\) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}\) हमेशा (1) से छोटा रहता है। / \(\frac{x^2}{1+x^2}\) is always less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में (1) शामिल है, पर कोई वास्तविक (x) इसे (1) नहीं बना सकता। / The codomain contains (1), but no real (x) makes the value equal to (1).
Step 3
Exam Tip
भिन्नों में सीमा के मान अलग से जांचें। / In rational functions, check endpoint values separately.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,1\)), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,1\)), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }), what is the correct statement?
#rational function
#onto
#open endpoint
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
इस फलन का परास ([0,1)) है। / The range of this function is ([0,1)).
Step 2
Why this answer is correct
(0) (x=0) पर मिलता है और (1) के नीचे के मान उचित (x) से मिल जाते हैं। / (0) is obtained at (x=0), and values below (1) are obtained by suitable (x).
Step 3
Exam Tip
खुले सिरे वाले सहप्रांत में (1) पाने की जरूरत नहीं होती। / In an open-end codomain, obtaining (1) is not required.
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यदि (f:\mathbb{R}\to(-1,1)), (f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x-2 }}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to(-1,1)), (f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x-2 }}), what is the correct statement about (f)?
#bounded function
#onto
#open interval
#rational radical
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह (-1) मान देता है / It gives value (-1)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) का मान (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
खुले अंतराल ((-1,1)) का हर मान किसी वास्तविक (x) से प्राप्त किया जा सकता है। / Every value in the open interval ((-1,1)) can be obtained for some real (x).
Step 3
Exam Tip
सीमित परास में सिरों के शामिल होने या न होने को ध्यान से देखें। / In bounded ranges, check whether endpoints are included or excluded.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x-2 }}) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x-2 }}), why is (f) not onto?
#bounded function
#not onto
#endpoints
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (-1) और (1) नहीं मिलते / Because (-1) and (1) are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि \(\frac{1}{2}\) नहीं मिलता / Because \(\frac{1}{2}\) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (-1) और (1) नहीं मिलते / Because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
इस फलन का मान (-1) और (1) के बीच रहता है, लेकिन सिरों तक नहीं पहुंचता। / The function values stay between (-1) and (1), but never reach the endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में (-1) और (1) शामिल हैं। / The codomain ([-1,1]) includes (-1) and (1).
Step 3
Exam Tip
बंद सहप्रांत में सिरों का न मिलना आच्छादीपन रोकता है। / Missing endpoints in a closed codomain prevents onto nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -5x) है, तो (f) के आच्छादी होने का सरल कारण क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -5x), what is a simple reason that (f) is onto?
#cubic polynomial
#onto
#continuity
#real range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A बहुपद सतत है और दोनों दिशाओं में असीमित जाता है / The polynomial is continuous and goes unbounded in both directions
B यह हमेशा धनात्मक है / It is always positive
C यह केवल (0) मान देता है / It gives only value (0)
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. बहुपद सतत है और दोनों दिशाओं में असीमित जाता है / The polynomial is continuous and goes unbounded in both directions
Step 1
Concept
\(x^3-5x\) एक सतत घन बहुपद है। / \(x^3-5x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
ऐसा घन बहुपद सभी वास्तविक मान लेता है। / Such a cubic polynomial takes all real values.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 +x-2 ) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 +x-2 ), why is it not onto?
#polynomial
#not onto
#even powers
#range
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? Hint Small clue
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(x^4\) और \(x^2\) दोनों अऋणात्मक हैं। / Both \(x^4\) and \(x^2\) are non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x^4+x^2\ge0\), और (-1) जैसा सहप्रांत मान नहीं मिलता। / Hence \(x^4+x^2\ge0\), and a codomain value such as (-1) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
सम घातों के योग का परास अक्सर अऋणात्मक होता है। / A sum of even powers often has a non-negative range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-4 +x-2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-4 +x-2 ), what is the correct statement about (f)?
#polynomial
#onto
#nonnegative range
#continuity
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^4+x^2\) का न्यूनतम मान (0) है और बड़े (x) पर यह बहुत बड़ा होता है। / The minimum value of \(x^4+x^2\) is (0), and for large (x), it becomes very large.
Step 2
Why this answer is correct
सतत होने के कारण यह (0) से ऊपर के सभी मान लेता है। / Since it is continuous, it takes all values above (0).
Step 3
Exam Tip
अऋणात्मक सहप्रांत के साथ ऐसा बहुपद आच्छादी हो सकता है। / With a non-negative codomain, such a polynomial can be onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=|x-2|+1) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=|x-2|+1), choose the correct option.
#modulus function
#onto
#shifted range
#absolute value
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह केवल (1) मान देता है / It gives only value (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(|x-2|\ge0\), इसलिए \(|x-2|+1\ge1\)। / \(|x-2|\ge0\), so \(|x-2|+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए (x=2+(y-1)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge1\), take (x=2+(y-1)), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन का न्यूनतम मान देखकर परास तय करें। / Use the minimum value of a modulus function to identify its range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|+1) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|+1), why is it not onto?
#modulus function
#not onto
#minimum value
#codomain
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? Hint Small clue
A क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
D क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
Step 1
Concept
(|x-2|+1) का न्यूनतम मान (1) है। / The minimum value of (|x-2|+1) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, लेकिन यह फलन से नहीं मिल सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but this function can never give (0).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान से नीचे के सहप्रांत मान परास से बाहर रहते हैं। / Codomain values below the minimum stay outside the range.
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यदि \(f:{1,2,3,4,5}\to{0,1}\), (f(n)) (n) के सम होने पर (0) और विषम होने पर (1) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:{1,2,3,4,5}\to{0,1}\), where (f(n)) is (0) when (n) is even and (1) when (n) is odd, what is correct about (f)?
#finite sets
#onto
#parity function
#codomain
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह फलन नहीं है / It is not a function
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सम अवयवों (2,4) से (0) मिलता है। / Even elements (2,4) give (0).
Step 2
Why this answer is correct
विषम अवयवों (1,3,5) से (1) मिलता है। / Odd elements (1,3,5) give (1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के दोनों मान (0) और (1) मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादी है। / Both codomain values (0) and (1) are obtained, so the function is onto.
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यदि \(f:{1,3,5}\to{0,1}\), (f(n)) (n) के सम होने पर (0) और विषम होने पर (1) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:{1,3,5}\to{0,1}\), where (f(n)) is (0) when (n) is even and (1) when (n) is odd, why is (f) not onto?
#finite sets
#not onto
#parity
#missing preimage
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
B क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
C क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
D क्योंकि सहप्रांत खाली है / Because the codomain is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
प्रांत के सभी अवयव (1,3,5) विषम हैं। / All domain elements (1,3,5) are odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए फलन का मान हमेशा (1) है और (0) कभी नहीं मिलता। / Therefore, the function value is always (1), and (0) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत का कोई मान छूटे तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If any codomain value is missed, the function is not onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{x-2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{x-2 }), what is the correct statement about (f)?
#square root
#modulus
#onto
#range
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है। / \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Step 2
Why this answer is correct
(|x|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। / The range of (|x|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x^2}\) को मापांक के रूप में पहचानना आसान तरीका है। / Recognizing \(\sqrt{x^2}\) as a modulus is an easy method.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{x-2 }) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{x-2 }), why is it not onto?
#square root
#not onto
#modulus
#codomain
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? Hint Small clue
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि धनात्मक मान नहीं मिलते / Because positive values are not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x^2}=|x|\) है। / \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं। / Its value is never negative, while the codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values.
Step 3
Exam Tip
मापांक जैसे परास को वास्तविक सहप्रांत से तुलना करें। / Compare a modulus-type range with the real codomain carefully.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}+2) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}+2), choose the correct option about (f).
#cube root
#onto
#vertical shift
#real numbers
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह (x<0) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined for (x<0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\sqrt[3]{x}\) सभी वास्तविक मान ले सकता है। / \(\sqrt[3]{x}\) can take all real values.
Step 2
Why this answer is correct
(2) जोड़ने से परास फिर भी \(\mathbb{R}\) ही रहता है। / Adding (2) still leaves the range as \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
घनमूल फलन का ऊपर खिसकाव आच्छादीपन नहीं हटाता। / A vertical shift of the cube-root function does not remove onto nature.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x}+1) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x}+1), why is it not onto?
#square root
#not onto
#minimum value
#codomain
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? Hint Small clue
A क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
D क्योंकि यह (x=0) पर परिभाषित नहीं है / Because it is not defined at (x=0)
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\ge0\), इसलिए \(\sqrt{x}+1\ge1\)। / \(\sqrt{x}\ge0\), so \(\sqrt{x}+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, पर यह फलन (0) नहीं दे सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but the function cannot give (0).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले फलन की न्यूनतम सीमा जरूर देखें। / Always check the minimum bound of a square-root function.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=\sqrt{x}+1) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=\sqrt{x}+1), what is the correct statement?
#square root
#onto
#preimage
#range
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}+1\) का परास \([1,\infty\)) है। / The range of \(\sqrt{x}+1\) is \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए (x=(y-1)2 ) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge1\), take (x=(y-1)2 ), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन सही सहप्रांत पर आच्छादी होता है। / A square-root function is onto its correct codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor) है, तो (f) आच्छादी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), is (f) onto or not?
#greatest integer function
#not onto
#integer valued
#real codomain
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
B यह आच्छादी है / It is onto
C यह फलन नहीं है / It is not a function
D यह हर वास्तविक मान देता है / It gives every real value
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Correct Answer
A. यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) always gives an integer value.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपरिमेय नहीं, बल्कि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer real values such as \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मान फलन \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी नहीं होता। / An integer-valued function is not onto \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#floor function
#onto
#integers
#codomain
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक पूर्णांक देता है / It gives only positive integers
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) कोई भी पूर्णांक मान दे सकता है। / \(\lfloor x\rfloor\) can give any integer value.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) रखने पर \(\lfloor x\rfloor=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k), then \(\lfloor x\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) रखने पर यह फलन आच्छादी हो जाता है। / With codomain \(\mathbb{Z}\), this function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x\rceil) है, तो सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x\rceil), which option is correct?
#ceiling function
#onto
#integers
#preimage
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह वास्तविक मान नहीं देता / It does not give real values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lceil x\rceil\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lceil x\rceil\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) रखने पर \(\lceil x\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k), then \(\lceil x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक सहप्रांत पर छत फलन आच्छादी होता है। / The ceiling function is onto an integer codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lceil x\rceil) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lceil x\rceil), why is (f) not onto?
#ceiling function
#not onto
#integer valued
#real codomain
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A क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते / Because non-integer real values are not obtained
B क्योंकि पूर्णांक मान नहीं मिलते / Because integer values are not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते / Because non-integer real values are not obtained
Step 1
Concept
\(\lceil x\rceil\) हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lceil x\rceil\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{3}{2}\) जैसे गैर-पूर्णांक मान हैं, जो परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values such as \(\frac{3}{2}\), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मान फलन वास्तविक सहप्रांत को पूरा नहीं ढकता। / An integer-valued function does not cover the full real codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) जब (x<0) और (f(x)=1) जब \(x\ge0\), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) when (x<0) and (f(x)=1) when \(x\ge0\), what is correct about (f)?
#piecewise function
#onto
#two value codomain
#preimage
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (1) देता है / It gives only (1)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x=-1) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। / Taking (x=-1) gives (f(x)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। / Taking (x=0) gives (f(x)=1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के दोनों मान मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादी है। / Both codomain values are obtained, so the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=1) हर (x) के लिए है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=1) for every (x), why is (f) not onto?
#constant function
#not onto
#two element codomain
#missing preimage
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A क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
B क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
C क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
D क्योंकि सहप्रांत खाली है / Because the codomain is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
फलन हर (x) पर केवल (1) देता है। / The function gives only (1) for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में (0) भी है, लेकिन वह किसी भी (x) से प्राप्त नहीं होता। / The codomain also contains (0), but it is not obtained from any (x).
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन दो-अवयवी सहप्रांत पर आच्छादी नहीं हो सकता। / A constant function cannot be onto a two-element codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,\infty\)), (f(x)=x-2 -1) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,\infty\)), (f(x)=x-2 -1), what is the correct statement about (f)?
#onto function
#quadratic function
#range
#codomain
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह (0) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined at (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-1\ge-1\)। / Since \(x^2\ge0\), we have \(x^2-1\ge-1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge-1\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge-1\), take \(x=\sqrt{y+1}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का न्यूनतम मान और सहप्रांत मिल जाएं, तो आच्छादीपन आसानी से जांचा जा सकता है। / If the minimum value of a quadratic matches the codomain start, onto nature is easy to verify.
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