यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+12) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+12), which statement about (f) is correct?
#onto function
#linear function
#preimage
#real numbers
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
आच्छादी होने के लिए सहप्रांत का हर वास्तविक मान मिलना चाहिए। / For onto nature, every real value in the codomain must be obtained.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x=y-12) रखने पर (f(x)=y) मिल जाता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take (x=y-12), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
(x) में केवल जोड़ या घटाव वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A linear shift function on \(\mathbb{R}\) is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-3x+6) है, तो (f(x)=y) के लिए (x) का सही मान क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-3x+6), what is the correct value of (x) for (f(x)=y)?
#linear equation
#onto proof
#preimage
#class 12
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? Hint Small clue
A \(x=\frac{6-y}{3}\)
B \(x=\frac{y-6}{3}\)
C \(x=3y+6\)
D \(x=y-6\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(x=\frac{6-y}{3}\)
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर (-3x+6=y) मिलता है। / Put (f(x)=y), giving (-3x+6=y).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (-3x=y-6), इसलिए \(x=\frac{6-y}{3}\)। / Then (-3x=y-6), so \(x=\frac{6-y}{3}\).
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक (x) मिल रहा है, इसलिए फलन आच्छादी है। / Since a real (x) exists for every real (y), the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[4,\infty\)), (f(x)=(x-1)2 +4) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[4,\infty\)), (f(x)=(x-1)2 +4), choose the correct option.
#quadratic function
#onto
#range
#codomain
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (3) मान देता है / It gives value (3)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
((x-1)2 \ge0), इसलिए (f(x)\ge4)। / ((x-1)2 \ge0), so (f(x)\ge4).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge4\) के लिए \(x=1+\sqrt{y-4}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge4\), take \(x=1+\sqrt{y-4}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का न्यूनतम मान और सहप्रांत बराबर हों तो आच्छादीपन आसानी से दिखता है। / When the minimum value matches the codomain start, onto nature is easy to verify.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=(x-2)2 +1) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=(x-2)2 +1), why is (f) not onto?
#quadratic function
#not onto
#minimum value
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
D क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
Step 1
Concept
((x-2)2 +1) का न्यूनतम मान (1) है। / The minimum value of ((x-2)2 +1) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \([0,\infty\)) में (0) है, पर फलन (0) नहीं दे सकता। / The codomain \([0,\infty\)) contains (0), but the function cannot produce (0).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जांचते समय सहप्रांत के शुरुआती मानों को जरूर देखें। / While checking onto nature, always inspect the starting values of the codomain.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,3]\), (f(x)=3-(x+1)2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,3]\), (f(x)=3-(x+1)2 ), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#onto
#maximum value
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (3) मान देता है / It gives only value (3)
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
((x+1)2 \ge0), इसलिए (3-(x+1)2 \le3)। / ((x+1)2 \ge0), so (3-(x+1)2 \le3).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\le3\) के लिए \(x=-1+\sqrt{3-y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\le3\), take \(x=-1+\sqrt{3-y}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
नीचे खुला द्विघात अपने सही सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / A downward quadratic can be onto its correct codomain.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,5]\), (f(x)=4-x-2 ) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,5]\), (f(x)=4-x-2 ), why is (f) not onto?
#quadratic function
#not onto
#maximum value
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
B क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
Step 1
Concept
\(4-x^2\) का अधिकतम मान (4) है। / The maximum value of \(4-x^2\) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत (\(-\infty,5]\) में (5) है, लेकिन कोई वास्तविक (x) \(4-x^2=5\) नहीं बना सकता। / The codomain (\(-\infty,5]\) contains (5), but no real (x) can make \(4-x^2=5\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत में अधिकतम परास से बड़ा मान हो तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If the codomain contains a value above the maximum range, the function is not onto.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-8) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-8), which statement is correct about (f)?
#integer function
#onto
#shift function
#preimage
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह केवल सम मान देता है / It gives only even values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\in\mathbb{Z}\) लें। / Take any \(y\in\mathbb{Z}\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(n=y+8) भी पूर्णांक है और (f(n)=y) हो जाता है। / (n=y+8) is also an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर निश्चित संख्या घटाने वाला फलन सभी पूर्णांक ढकता है। / A fixed shift on integers covers all integers.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=4n+1) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=4n+1), why is (f) not onto?
#integer function
#not onto
#remainder
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (2) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (2) is not obtained
Step 1
Concept
(4n+1) हमेशा ऐसा पूर्णांक देता है जो (4) से भाग देने पर शेष (1) देता है। / (4n+1) always gives an integer leaving remainder (1) when divided by (4).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (2) है, जो इस रूप में नहीं आता। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (2), which is not of this form.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक फलनों में शेषफल का विचार बहुत उपयोगी है। / Remainder patterns are useful in integer-function onto questions.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+5) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+5), why is (f) not onto?
#natural numbers
#not onto
#range
#codomain
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? Hint Small clue
A क्योंकि (1,2,3,4,5) नहीं मिलते / Because (1,2,3,4,5) are not obtained
B क्योंकि (6) नहीं मिलता / Because (6) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह स्थिर है / Because it is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (1,2,3,4,5) नहीं मिलते / Because (1,2,3,4,5) are not obtained
Step 1
Concept
\(n\in\mathbb{N}\) होने पर (n+5) का सबसे छोटा मान (6) है। / For \(n\in\mathbb{N}\), the smallest value of (n+5) is (6).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सहप्रांत के (1,2,3,4,5) परास में नहीं आते। / Hence (1,2,3,4,5) from the codomain are not in the range.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में शुरुआत के छूटे हुए मान जल्दी पहचानें। / For natural numbers, quickly identify the missed initial values.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to{6,7,8,\ldots}\), (f(n)=n+5) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{N}\to{6,7,8,\ldots}\), (f(n)=n+5), what is the correct statement?
#natural numbers
#onto
#shifted range
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह केवल (5) मान देता है / It gives only value (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत (6) से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याओं का है। / The codomain is the natural numbers starting from (6).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge6\) के लिए (n=y-5) प्राकृतिक संख्या है और (f(n)=y)। / For every \(y\ge6\), (n=y-5) is natural and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को परास के अनुसार चुनने से फलन आच्छादी बन जाता है। / Choosing the codomain according to the range makes the function onto.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(3,\infty\)), (f(x)=e^x+3) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If (f:\mathbb{R}\to\(3,\infty\)), (f(x)=e^x+3), choose the correct option.
#exponential function
#onto
#shifted range
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (3) मान देता है / It gives value (3)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(3) जोड़ने पर परास (\(3,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Adding (3) changes the range to (\(3,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन के खुले सिरे को सही ढंग से याद रखें। / Remember the open endpoint of an exponential range correctly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)), (f(x)=e^x+3) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)), (f(x)=e^x+3), why is it not onto?
#exponential function
#not onto
#endpoint
#range
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? Hint Small clue
A क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
B क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) कभी (0) नहीं होता। / \(e^x\) is never (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^x+3\) हमेशा (3) से बड़ा है, पर सहप्रांत में (3) शामिल है। / Therefore \(e^x+3\) is always greater than (3), but the codomain contains (3).
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद अंतराल का अंतर आच्छादी प्रश्नों में बहुत महत्वपूर्ण है। / The difference between open and closed intervals is important in onto questions.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x-2) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x-2), what is the correct statement about (f)?
#logarithmic function
#onto
#vertical shift
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह (x=0) पर परिभाषित है / It is defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\ln x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / The range of \(\ln x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
(2) घटाने पर भी सभी वास्तविक मान मिल सकते हैं। / Subtracting (2) still allows all real values.
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन का ऊर्ध्व खिसकाव आच्छादीपन नहीं बदलता। / A vertical shift of a logarithmic function does not change its onto nature over \(\mathbb{R}\).
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यदि (f:\(1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-1)) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If (f:\(1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-1)), which statement is correct?
#logarithmic function
#onto
#domain
#preimage
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह (x=1) पर परिभाषित है / It is defined at (x=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x>1) होने पर (x-1>0)। / Since (x>1), (x-1>0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=1+e^y\) लेने पर (\ln(x-1)=y) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=1+e^y\), then (\ln(x-1)=y).
Step 3
Exam Tip
अंदर की राशि धनात्मक बनी रहे, तो लघुगणक सभी वास्तविक मान दे सकता है। / A logarithm can give all real values when its inside quantity stays positive.
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यदि \(f:[0,2\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प क्या है?
If \(f:[0,2\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x), what is the correct option about (f)?
#sine function
#onto
#trigonometric range
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\([0,2\pi]\) पर \(\sin x\) (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। / On \([0,2\pi]\), \(\sin x\) takes all values from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) है, इसलिए हर सहप्रांत मान प्राप्त होता है। / The codomain is ([-1,1]), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण आवर्त पर त्रिकोणमितीय परास पहचानना आसान होता है। / On a full period, identifying trigonometric range is easy.
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यदि \(f:[0,\frac{\pi}{6}]\to[0,1]\), (f(x)=\sin x) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\frac{\pi}{6}]\to[0,1]\), (f(x)=\sin x), why is it not onto?
#sine function
#not onto
#restricted domain
#range
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? Hint Small clue
A क्योंकि \(\frac{3}{4}\) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like \(\frac{3}{4}\) is not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि \(\frac{1}{2}\) नहीं मिलता / Because \(\frac{1}{2}\) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(\frac{3}{4}\) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like \(\frac{3}{4}\) is not obtained
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{6}]\) पर \(\sin x\) का परास \([0,\frac{1}{2}]\) है। / On \([0,\frac{\pi}{6}]\), the range of \(\sin x\) is \([0,\frac{1}{2}]\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([0,1]) में \(\frac{3}{4}\) है, पर वह परास में नहीं आता। / The codomain ([0,1]) contains \(\frac{3}{4}\), which is not in the range.
Step 3
Exam Tip
छोटे त्रिकोणमितीय अंतराल पर परास भी छोटा हो सकता है। / On a small trigonometric interval, the range can also be small.
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यदि \(f:[0,\frac{\pi}{3}]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\frac{\pi}{3}]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), why is it not onto?
#cosine function
#not onto
#restricted domain
#codomain
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि \(\frac{1}{2}\) नहीं मिलता / Because \(\frac{1}{2}\) is not obtained
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{3}]\) पर \(\cos x\) का परास \([\frac{1}{2},1]\) है। / On \([0,\frac{\pi}{3}]\), the range of \(\cos x\) is \([\frac{1}{2},1]\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain ([-1,1]) contains negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
प्रांत सीमित करते समय परास को फिर से जांचना चाहिए। / When the domain is restricted, the range must be checked again.
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यदि (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), which statement about (f) is correct?
#tangent function
#onto
#real range
#trigonometry
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ([0,1]) में मान देता है / It gives values only in ([0,1])
D यह स्थिर है / It is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
इस अंतराल पर \(\tan x\) सभी वास्तविक मान लेता है। / On this interval, \(\tan x\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई (x) इस अंतराल में है जिससे \(\tan x=y\)। / For every \(y\in\mathbb{R}\), there is an (x) in this interval such that \(\tan x=y\).
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) का मानक परास \(\mathbb{R}\) याद रखें। / Remember the standard range of \(\tan x\) as \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:[0,\frac{\pi}{4}]\to[0,2]\), (f(x)=\tan x) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\frac{\pi}{4}]\to[0,2]\), (f(x)=\tan x), why is it not onto?
#tangent function
#not onto
#range
#codomain
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{4}]\) पर \(\tan x\) का परास ([0,1]) है। / On \([0,\frac{\pi}{4}]\), the range of \(\tan x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([0,2]) में (2) है, लेकिन वह परास में नहीं आता। / The codomain ([0,2]) contains (2), but it is not in the range.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बड़ा हो तो फलन आच्छादी नहीं रह सकता। / If the codomain is larger than the range, the function is not onto.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c\}\) और \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,b),(5,a)\}\) है, तो \(f:A\to B\) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,b),(5,a)\}\), what is correct about \(f:A\to B\)?
#finite sets
#onto
#ordered pairs
#codomain
50 50-50 2 wrong hide
⏭ Skip Next question
+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह फलन नहीं है / It is not a function
D इसका परास खाली है / Its range is empty
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत (B) के अवयव (a,b,c) हैं। / The codomain (B) has elements (a,b,c).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रतिबिंबों में (a), (b) और (c) तीनों आते हैं। / The images include (a), (b), and (c).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में हर सहप्रांत अवयव मिल जाए तो फलन आच्छादी है। / For finite sets, if every codomain element appears as an image, the function is onto.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\) और \(f=\{(1,p),(2,q),(3,p),(4,q)\}\) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\), and \(f=\{(1,p),(2,q),(3,p),(4,q)\}\), why is (f) not onto?
#finite mapping
#not onto
#missing image
#preimage
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (r) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (r) has no preimage
B क्योंकि (p) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (p) has no preimage
C क्योंकि (q) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (q) has no preimage
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (r) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (r) has no preimage
Step 1
Concept
दिए गए प्रतिबिंब केवल (p) और (q) हैं। / The listed images are only (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का (r) किसी भी प्रांत अवयव से प्राप्त नहीं होता। / The codomain element (r) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
एक भी छूटा सहप्रांत अवयव आच्छादीपन को समाप्त कर देता है। / Even one missed codomain element destroys onto nature.
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यदि (A) में (4) अवयव और (B) में (6) अवयव हैं, तो (A) से (B) में आच्छादी फलन की संख्या क्या होगी?
If (A) has (4) elements and (B) has (6) elements, what is the number of onto functions from (A) to (B)?
#onto counting
#finite sets
#cardinality
#zero
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(0\)
B \(24\)
C \(64\)
D \(1296\)
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Step 1
Concept
आच्छादी फलन में (B) के हर अवयव को पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every element of (B) needs a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (4) अवयव हैं, जबकि (B) में (6) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। / (A) has only (4) elements while (B) has (6), so covering all elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
(|A|<|B|) हो तो आच्छादी फलनों की संख्या (0) होती है। / If (|A|<|B|), the number of onto functions is (0).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{0,1\}\) हैं, तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या कितनी है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{0,1\}\), how many onto functions are there from (A) to (B)?
#onto counting
#finite sets
#two element codomain
#functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(14\)
B \(16\)
C \(8\)
D \(2\)
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Step 1
Concept
कुल फलनों की संख्या \(2^4=16\) है। / The total number of functions is \(2^4=16\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी नहीं होने वाले दो फलन हैं, जिनमें सभी अवयव केवल (0) या केवल (1) पर जाते हैं। / The two non-onto functions send all elements only to (0) or only to (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) होंगे। / Hence the number of onto functions is (16-2=14).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,1\)), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,1\)), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }), what is the correct statement about (f)?
#rational function
#onto
#range
#open endpoint
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x=0) पर मान (0) मिलता है। / At (x=0), the value (0) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
\(0\le y<1\) के लिए समीकरण \(\frac{x^2}{1+x^2}=y\) का हल \(x^2=\frac{y}{1-y}\) मिलता है। / For \(0\le y<1\), solving \(\frac{x^2}{1+x^2}=y\) gives \(x^2=\frac{y}{1-y}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ([0,1)) का हर मान प्राप्त होता है। / Hence every value in ([0,1)) is obtained.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,1]\), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,1]\), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }), why is (f) not onto?
#rational function
#not onto
#endpoint
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि \(\frac{1}{2}\) नहीं मिलता / Because \(\frac{1}{2}\) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}\) में हर वास्तविक (x) के लिए हर हमेशा अंश से बड़ा होता है। / In \(\frac{x^2}{1+x^2}\), the denominator is always larger than the numerator for real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए मान (1) से छोटा रहता है और (1) कभी नहीं मिलता। / Therefore the value stays below (1), so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
बंद सहप्रांत में सिरा छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If an endpoint of a closed codomain is missed, the function is not onto.
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यदि (f:\mathbb{R}\to(-2,2)), (f(x)=\frac{2x}{1+|x|}) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If (f:\mathbb{R}\to(-2,2)), (f(x)=\frac{2x}{1+|x|}), choose the correct option.
#bounded function
#onto
#modulus
#open interval
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (2) मान देता है / It gives value (2)
D यह (-2) मान देता है / It gives value (-2)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+|x|}\) का परास ((-1,1)) है। / The range of \(\frac{x}{1+|x|}\) is ((-1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से गुणा करने पर परास ((-2,2)) हो जाता है। / Multiplying by (2) changes the range to ((-2,2)).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत भी ((-2,2)) है, इसलिए फलन आच्छादी है। / Since the codomain is also ((-2,2)), the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-2,2]\), (f(x)=\frac{2x}{1+|x|}) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-2,2]\), (f(x)=\frac{2x}{1+|x|}), why is it not onto?
#bounded function
#not onto
#endpoints
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (-2) और (2) नहीं मिलते / Because (-2) and (2) are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (-2) और (2) नहीं मिलते / Because (-2) and (2) are not obtained
Step 1
Concept
फलन का मान (-2) और (2) के बीच रहता है। / The function value remains between (-2) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
यह (-2) या (2) के बराबर कभी नहीं होता, पर सहप्रांत में दोनों शामिल हैं। / It is never equal to (-2) or (2), but both are included in the codomain.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल में सिरों का मिलना जरूरी होता है। / In a closed interval codomain, endpoints must also be obtained.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=|x+3|+2) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=|x+3|+2), what is the correct statement about (f)?
#modulus function
#onto
#range
#absolute value
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(|x+3|\ge0\), इसलिए (f(x)\ge2)। / \(|x+3|\ge0\), so (f(x)\ge2).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge2\) के लिए (x=-3+(y-2)) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge2\), take (x=-3+(y-2)), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन का न्यूनतम मान सहप्रांत की शुरुआत बताता है। / The minimum value of a modulus function tells the start of its range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=|x+3|+2) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=|x+3|+2), why is (f) not onto?
#modulus function
#not onto
#minimum value
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
B क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
C क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
D क्योंकि सभी अऋणात्मक मान मिलते हैं / Because all non-negative values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
Step 1
Concept
(|x+3|+2) का न्यूनतम मान (2) है। / The minimum value of (|x+3|+2) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \([0,\infty\)) में (1) है, पर फलन (1) नहीं दे सकता। / The codomain \([0,\infty\)) contains (1), but the function cannot give (1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत में न्यूनतम परास से छोटे मान हों तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If the codomain contains values below the range minimum, the function is not onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +2x) है, तो (f) के आच्छादी होने का सही कारण क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +2x), what is the correct reason that (f) is onto?
#cubic polynomial
#onto
#increasing function
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह लगातार बढ़ता है और सभी वास्तविक दिशाओं में जाता है / It is increasing and extends in both real directions
B यह हमेशा धनात्मक है / It is always positive
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह लगातार बढ़ता है और सभी वास्तविक दिशाओं में जाता है / It is increasing and extends in both real directions
Step 1
Concept
(f'(x)=3x-2 +2>0), इसलिए फलन बढ़ता है। / (f'(x)=3x-2 +2>0), so the function is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty) और \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty)। / As \(x\to\infty\), (f(x)\to\infty), and as \(x\to-\infty\), (f(x)\to-\infty).
Step 3
Exam Tip
ऐसा सतत बढ़ता फलन \(\mathbb{R}\) को पूरा ढकता है। / Such a continuous increasing function covers all of \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 +2) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 +2), why is it not onto?
#even power
#not onto
#minimum value
#real codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (1) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (1) is not obtained
B क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
C क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(x^4\ge0\), इसलिए \(x^4+2\ge2\)। / \(x^4\ge0\), so \(x^4+2\ge2\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है, जो परास में नहीं आता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), which is not in the range.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलन का न्यूनतम मान देखकर आच्छादीपन जांचें। / Check the minimum value of even-power functions while testing onto nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=x-4 +2) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=x-4 +2), what is the correct statement?
#even power
#onto
#range
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^4+2\) का परास \([2,\infty\)) है। / The range of \(x^4+2\) is \([2,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt[4]{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge2\), take \(x=\sqrt[4]{y-2}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
सम घात फलन सही अऋणात्मक खिसके हुए सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / An even-power function can be onto a correctly shifted non-negative codomain.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}), choose the correct option about (f).
#square root
#onto
#preimage
#domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह (x=0) पर परिभाषित है / It is defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x\ge1\) होने पर \(x-1\ge0\), इसलिए फलन परिभाषित है। / Since \(x\ge1\), \(x-1\ge0\), so the function is defined.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=y^2+1\) लेने पर (f(x)=y)। / For every \(y\ge0\), take \(x=y^2+1\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन में पूर्वप्रतिबिंब खोजने के लिए वर्ग करें। / For square-root functions, square the target value to find a preimage.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x-1}) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x-1}), why is it not onto?
#square root
#not onto
#nonnegative range
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि सभी वास्तविक मान मिलते हैं / Because all real values are obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
वर्गमूल का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / A square-root value is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन को वास्तविक सहप्रांत देने पर आच्छादीपन नहीं रहता। / A square-root function is not onto a full real codomain.
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यदि \(f:{1,2,3,4,5,6}\to{0,1}\), (f(n)=0) जब (n) सम हो और (f(n)=1) जब (n) विषम हो, तो सही कथन क्या है?
If \(f:{1,2,3,4,5,6}\to{0,1}\), where (f(n)=0) when (n) is even and (f(n)=1) when (n) is odd, what is correct?
#finite sets
#onto
#parity function
#codomain
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सम संख्याएं (2,4,6) (0) देती हैं। / Even numbers (2,4,6) give (0).
Step 2
Why this answer is correct
विषम संख्याएं (1,3,5) (1) देती हैं। / Odd numbers (1,3,5) give (1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के दोनों मान (0) और (1) प्राप्त हैं, इसलिए फलन आच्छादी है। / Both codomain values (0) and (1) are obtained, so the function is onto.
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यदि \(f:{2,4,6}\to{0,1}\), (f(n)=0) जब (n) सम हो और (f(n)=1) जब (n) विषम हो, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:{2,4,6}\to{0,1}\), where (f(n)=0) when (n) is even and (f(n)=1) when (n) is odd, why is (f) not onto?
#finite sets
#not onto
#parity
#missing preimage
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? Hint Small clue
A क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
B क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
C क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
D क्योंकि सहप्रांत खाली है / Because the codomain is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
Step 1
Concept
प्रांत के सभी अवयव (2,4,6) सम हैं। / All domain elements (2,4,6) are even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए फलन का मान हमेशा (0) है और (1) कभी नहीं मिलता। / Therefore, the function value is always (0), and (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत का कोई एक मान भी छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If even one codomain value is missed, the function is not onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{(x-4)2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{(x-4)2 }), what is the correct statement about (f)?
#square root
#modulus
#onto
#range
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(\sqrt{(x-4)2 }=|x-4|) होता है। / (\sqrt{(x-4)2 }=|x-4|).
Step 2
Why this answer is correct
(|x-4|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। / The range of (|x-4|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{u^2}\) को मापांक के रूप में पहचानें। / Recognize \(\sqrt{u^2}\) as a modulus form.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{(x-4)2 }) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{(x-4)2 }), why is it not onto?
#modulus
#not onto
#nonnegative range
#real codomain
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A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि सभी वास्तविक मान मिलते हैं / Because all real values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(\sqrt{(x-4)2 }=|x-4|) है। / (\sqrt{(x-4)2 }=|x-4|).
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं। / Its value is never negative, while the codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values.
Step 3
Exam Tip
मापांक रूप को वास्तविक सहप्रांत से मिलाते समय सावधान रहें। / Be careful when matching a modulus-type range with a real codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x-5}) है, तो सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x-5}), which option is correct?
#cube root
#onto
#real numbers
#preimage
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल अऋणात्मक मान देता है / It gives only non-negative values
D यह (x<5) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined for (x<5)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। / The cube root is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=y^3+5\) लेने पर (f(x)=y)। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=y^3+5\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
घनमूल फलन \(\mathbb{R}\) पर सभी वास्तविक मान देता है। / A cube-root function takes all real values on \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt[3]{x}) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt[3]{x}), why is it not onto?
#cube root
#not onto
#restricted domain
#codomain
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? Hint Small clue
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
प्रांत \([0,\infty\)) में (x) अऋणात्मक है। / In the domain \([0,\infty\)), (x) is non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt[3]{x}\) भी अऋणात्मक होगा और (-1) जैसा मान नहीं मिलेगा। / Therefore \(\sqrt[3]{x}\) is also non-negative, and a value like (-1) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
घनमूल का परास प्रांत पर निर्भर करता है। / The range of a cube-root function depends on its domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x+2\rfloor) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x+2\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#floor function
#onto
#integers
#preimage
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक पूर्णांक देता है / It gives only positive integers
D यह वास्तविक मान देता ही नहीं / It gives no real values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lfloor x+2\rfloor\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x+2\rfloor\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k-2) रखने पर \(\lfloor x+2\rfloor=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k-2), then \(\lfloor x+2\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक सहप्रांत पर नीचे पूर्णांक फलन आच्छादी हो सकता है। / A floor function can be onto an integer codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x+2\rfloor) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x+2\rfloor), why is (f) not onto?
#floor function
#not onto
#integer valued
#real codomain
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A क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते / Because non-integer real values are not obtained
B क्योंकि पूर्णांक मान नहीं मिलते / Because integer values are not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते / Because non-integer real values are not obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x+2\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x+2\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{3}\) जैसे गैर-पूर्णांक मान हैं, जो परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values such as \(\frac{1}{3}\), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मान फलन पूरे वास्तविक सहप्रांत पर आच्छादी नहीं होता। / An integer-valued function is not onto the whole real codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x-1\rceil) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x-1\rceil), choose the correct option.
#ceiling function
#onto
#integers
#preimage
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lceil x-1\rceil\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lceil x-1\rceil\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k+1) रखने पर \(\lceil x-1\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k+1), then \(\lceil x-1\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
छत फलन पूर्णांक सहप्रांत को पूरा ढक सकता है। / A ceiling function can cover an integer codomain completely.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lceil x-1\rceil) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lceil x-1\rceil), why is it not onto?
#ceiling function
#not onto
#integer valued
#codomain
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A क्योंकि \(\frac{5}{2}\) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like \(\frac{5}{2}\) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि सभी वास्तविक मान मिलते हैं / Because all real values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि \(\frac{5}{2}\) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like \(\frac{5}{2}\) is not obtained
Step 1
Concept
\(\lceil x-1\rceil\) हमेशा पूर्णांक देता है। / \(\lceil x-1\rceil\) always gives an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{5}{2}\) जैसा गैर-पूर्णांक मान है, पर वह नहीं मिलता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains a non-integer value like \(\frac{5}{2}\), but it is not obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मान फलन को वास्तविक सहप्रांत पर आच्छादी नहीं मानना चाहिए। / An integer-valued function should not be treated as onto a real codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) जब \(x\le0\) और (f(x)=1) जब (x>0), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) when \(x\le0\) and (f(x)=1) when (x>0), what is correct about (f)?
#piecewise function
#onto
#two value codomain
#preimage
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x=0) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। / Taking (x=0) gives (f(x)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=1) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। / Taking (x=1) gives (f(x)=1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के दोनों मान मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादी है। / Both codomain values are obtained, so the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1,2}\), (f(x)=0) जब (x<0) और (f(x)=1) जब \(x\ge0\), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1,2}\), (f(x)=0) when (x<0) and (f(x)=1) when \(x\ge0\), why is (f) not onto?
#piecewise function
#not onto
#missing value
#codomain
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A क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (2) has no preimage
B क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
C क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (2) has no preimage
Step 1
Concept
फलन केवल (0) और (1) मान देता है। / The function gives only values (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में (2) भी है, लेकिन कोई (x) ऐसा नहीं जिससे (f(x)=2)। / The codomain also contains (2), but no (x) gives (f(x)=2).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत का छूटा हुआ मान आच्छादीपन रोकता है। / A missed codomain value prevents onto nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=|2x-6|) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=|2x-6|), what is the correct statement about (f)?
#modulus function
#onto
#linear expression
#range
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह केवल (6) मान देता है / It gives only value (6)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(|2x-6|) का मान हमेशा अऋणात्मक होता है। / (|2x-6|) is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge0\) के लिए (2x-6=y) लेने पर \(x=\frac{y+6}{2}\) मिलता है और फलन मान (y) हो जाता है। / For every \(y\ge0\), set (2x-6=y), giving \(x=\frac{y+6}{2}\), and the function value becomes (y).
Step 3
Exam Tip
रैखिक अभिव्यक्ति के मापांक का परास \([0,\infty\)) होता है। / The modulus of a linear expression has range \([0,\infty\)).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[9,\infty\)), (f(x)=(x+4)2 +9) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[9,\infty\)), (f(x)=(x+4)2 +9), what is the correct statement about (f)?
#onto function
#quadratic function
#range
#codomain
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (8) मान देता है / It gives value (8)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
((x+4)2 \ge0), इसलिए (f(x)\ge9)। / Since ((x+4)2 \ge0), (f(x)\ge9).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge9\) के लिए \(x=-4+\sqrt{y-9}\) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge9\), take \(x=-4+\sqrt{y-9}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का न्यूनतम मान सहप्रांत की शुरुआत से मेल खाए, तो फलन आच्छादी होता है। / When the minimum value of a quadratic matches the start of the codomain, the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{3}) है, तो (f) आच्छादी है क्योंकि किस (x) से (y) मिलेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{3}), then (f) is onto because which (x) gives (y)?
#linear function
#onto proof
#preimage
#real numbers
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A \(x=3y\)
B \(x=\frac{y}{3}\)
C \(x=y+3\)
D \(x=3-y\)
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Correct Answer
A. \(x=3y\)
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर \(\frac{x}{3}=y\) मिलता है। / Put (f(x)=y), so \(\frac{x}{3}=y\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (x=3y), जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / This gives (x=3y), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
हर सहप्रांत मान का पूर्वप्रतिबिंब मिल जाए, तो फलन आच्छादी होता है। / If every codomain value has a preimage, the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-4,\infty\)), (f(x)=|x-7|-4) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[-4,\infty\)), (f(x)=|x-7|-4), choose the correct option.
#modulus function
#onto
#range
#codomain
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (-5) मान देता है / It gives value (-5)
D यह केवल (0) मान देता है / It gives only value (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(|x-7|\ge0\), इसलिए \(|x-7|-4\ge-4\)। / Since \(|x-7|\ge0\), \(|x-7|-4\ge-4\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge-4\) के लिए (x=7+(y+4)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge-4\), take (x=7+(y+4)), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन का न्यूनतम मान देखकर उसका सही सहप्रांत पहचाना जा सकता है। / The minimum value of a modulus function helps identify its correct codomain.
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