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पेंसिल चुनने के 6 तरीके हैं और प्रत्येक पेंसिल के साथ कॉपी चुनने के 2 तरीके उपलब्ध हैं। इसलिए गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(6\times2=12\) होंगे। 8 या 10 जोड़ के परिणाम हैं, जबकि यहाँ दोनों चुनाव साथ किए जा रहे हैं, इसलिए तरीकों का गुणा किया जाता है। परीक्षा-युक्ति: स्वतंत्र क्रमिक चुनावों में कुल तरीकों को गुणा करें। / There are 6 ways to choose a pencil, and for each choice there are 2 ways to choose a notebook. By the multiplication principle, the total number of ways is \(6\times2=12\). The values 8 and 10 result from addition, but both choices are made together, so their possibilities must be multiplied. Exam tip: multiply the numbers of ways for independent successive choices.
गुणन सिद्धांत के अनुसार, यदि पहला चयन 3 तरीकों से और दूसरा चयन 5 तरीकों से किया जा सकता है, तो कुल चयन \(3 \times 5 = 15\) होंगे। 8 प्राप्त करने के लिए संख्याओं को जोड़ना होगा, जबकि यहाँ दोनों चयन साथ किए जा रहे हैं। परीक्षा में “एक वस्तु और एक वस्तु” जैसे स्वतंत्र चरण दिखें, तो गुणा का नियम लागू करें। / By the multiplication principle, the subject can be chosen in 3 ways and the game in 5 ways, so the total number of selections is \(3 \times 5 = 15\). The answer 8 would result from adding the choices, but both selections are made together, so multiplication is required. In an exam, use the multiplication rule when independent choices are made successively.
यात्री या तो 4 बस मार्गों में से किसी एक को चुन सकता है या 3 रेल मार्गों में से किसी एक को। ये विकल्प परस्पर अलग हैं, इसलिए योग नियम के अनुसार कुल तरीके \(4+3=7\) होंगे। 12 प्राप्त करने के लिए गुणा करना गलत है, क्योंकि यात्री बस और रेल दोनों मार्ग एक साथ नहीं चुन रहा है। परीक्षा-युक्ति: अलग-अलग ‘या’ वाले विकल्पों में जोड़ें, जबकि क्रमिक ‘और’ वाले विकल्पों में गुणा करें। / The traveller can choose one of the 4 bus routes or one of the 3 train routes. Since these choices are mutually exclusive, the addition principle gives \(4+3=7\) ways. Multiplying to get 12 would be incorrect because both a bus route and a train route are not being selected together. Exam tip: add mutually exclusive ‘or’ choices and multiply successive ‘and’ choices.
एक परीक्षा में 6 लघु-उत्तरीय प्रश्न और 4 दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न दिए गए हैं। विद्यार्थी को इनमें से ठीक एक प्रश्न हल करना है। प्रश्न चुनने के उसके पास कितने तरीके हैं?
विद्यार्थी 6 लघु प्रश्नों में से कोई एक या 4 दीर्घ प्रश्नों में से कोई एक चुन सकता है। ये दो अलग-अलग और परस्पर अपवर्जी विकल्प हैं, इसलिए योग का नियम लागू होगा: 6 + 4 = 10। विकल्प 24 (= 6 × 4) तब होता जब एक लघु और एक दीर्घ, दोनों प्रश्न चुनने होते। परीक्षा-युक्ति: ‘या’ वाले परस्पर अलग विकल्पों में जोड़ते हैं, जबकि ‘और’ वाले स्वतंत्र चयन में गुणा करते हैं। / The student can choose one of the 6 short-answer questions or one of the 4 long-answer questions. These are mutually exclusive alternatives, so the addition rule applies: 6 + 4 = 10. The value 24 (= 6 × 4) would apply if the student had to choose both one short and one long question. Exam tip: add the counts for ‘or’ choices and multiply for combined ‘and’ choices.
एक भोजन-थाली में रोटी के 2 विकल्प, सब्ज़ी के 3 विकल्प और मिठाई के 2 विकल्प हैं। प्रत्येक श्रेणी से एक-एक विकल्प चुनकर थाली बनाने के कुल कितने तरीके होंगे?
गुणन सिद्धांत के अनुसार स्वतंत्र चुनावों की कुल संख्या को गुणा किया जाता है: \(2\times3\times2=12\)। इसलिए सही उत्तर 12 है। 6 केवल 2 और 3 को गुणा करने पर मिलता है, जिसमें मिठाई के 2 विकल्पों को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: जब कई चरणों में प्रत्येक चरण से एक विकल्प चुनना हो, तो उपलब्ध विकल्पों की संख्याओं को गुणा करें। / By the multiplication principle, the numbers of independent choices are multiplied: \(2\times3\times2=12\). Therefore, the correct answer is 12. The distractor 6 results from multiplying only 2 and 3 and ignoring the 2 dessert choices. Exam tip: When one choice is made from each of several independent categories, multiply the number of choices in all categories.
एक बैग में 3 अलग-अलग रंगों के पेन, 4 अलग-अलग रंगों के मार्कर और 2 अलग-अलग रंगों की पेंसिलें हैं। एक पेन, एक मार्कर और एक पेंसिल चुनने के कितने तरीके हैं?
पेन चुनने के 3, मार्कर चुनने के 4 और पेंसिल चुनने के 2 तरीके हैं। ये चुनाव स्वतंत्र हैं और तीनों वस्तुएँ चुननी हैं, इसलिए गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(3\times4\times2=24\) होंगे। 12 लेने पर किसी एक चरण के विकल्पों को ठीक से शामिल नहीं किया जाता। परीक्षा में याद रखें: ‘और’ से जुड़े स्वतंत्र चुनावों में गुणा किया जाता है। / There are 3 choices for the pen, 4 choices for the marker, and 2 choices for the pencil. Since these choices are independent and all three items must be selected, the multiplication principle gives \(3\times4\times2=24\) ways. The value 12 fails to account correctly for all three selection stages. Exam tip: multiply the numbers of choices when independent choices are connected by ‘and’.
एक वाहन नंबर में दो अक्षरों के बाद दो अंक लिखे जाते हैं। प्रत्येक अक्षर के लिए 4 विकल्प और प्रत्येक अंक के लिए 10 विकल्प उपलब्ध हैं। यदि अक्षरों और अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो कुल कितने अलग-अलग वाहन नंबर बनाए जा सकते हैं?
गुणन सिद्धांत के अनुसार चारों स्थानों के विकल्पों को गुणा किया जाता है। इसलिए कुल नंबर \\(4\times4\times10\times10=1600\\) होंगे। पुनरावृत्ति की अनुमति होने के कारण हर स्थान पर विकल्पों की संख्या समान रहती है। 400 जैसे उत्तर में सभी चार स्थानों के विकल्पों का सही गुणन नहीं किया गया है। परीक्षा में क्रमबद्ध स्वतंत्र स्थानों के लिए विकल्पों का गुणन करना याद रखें। / By the multiplication principle, the choices for all four positions are multiplied. Thus, the total number of vehicle numbers is \\(4\times4\times10\times10=1600\\). Since repetition is allowed, each letter and digit position retains its full set of choices. The answer 400 does not correctly multiply the choices for all four positions. Exam tip: multiply the number of choices available at each successive independent position.
यह संयोजन का प्रश्न है, क्योंकि पुस्तकों के चयन में क्रम का कोई महत्व नहीं होता। अतः चयन की संख्या \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\) होगी। विकल्प 20 क्रमचय \(5P2\) देता है, जहाँ चयन का क्रम भी गिना जाता है। परीक्षा टिप: ‘चुनना’ या ‘सेलेक्ट करना’ हो और क्रम महत्वपूर्ण न हो, तो संयोजन लगाएँ। / This is a combination question because the order in which the books are chosen does not matter. Hence, the number of selections is \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\). Option 20 is obtained using permutation \(5P2\), where order is counted. Exam tip: use combinations for selection problems when order is not important.
टीम चुनते समय विद्यार्थियों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए संयोजन का प्रयोग करते हैं। आवश्यक तरीकों की संख्या \(\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\,3!}=20\) है। विकल्प 18 गलत है क्योंकि यह \(6\) में से \(3\) चुनने के संयोजनों की संख्या नहीं है। परीक्षा टिप: चयन, टीम या समूह वाले प्रश्नों में, जब क्रम मायने न रखे, \(\binom{n}{r}\) लगाएँ। / The order of students does not matter when forming a team, so we use combinations. The required number is \(\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\,3!}=20\). Option 18 is incorrect because it is not the number of combinations of choosing 3 students from 6. Exam tip: Use \(\binom{n}{r}\) for selection, teams, or groups when order does not matter.
यह क्रम की परवाह किए बिना 7 अलग-अलग फूलों में से 2 फूल चुनने का प्रश्न है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{7}{2}=\frac{7!}{2!\,5!}=\frac{7\times6}{2}=21\) होगी। \(42\) तब मिलता यदि दो स्थानों के लिए क्रम भी महत्वपूर्ण होता, अर्थात व्यवस्था का प्रश्न होता। परीक्षा टिप: केवल ‘चुनने’ पर सामान्यतः संयोजन \(nCr\) का प्रयोग करें। / This is a selection of 2 flowers from 7 different flowers where order does not matter. Therefore, the number of ways is \(\binom{7}{2}=\frac{7!}{2!\,5!}=\frac{7\times6}{2}=21\). The value \(42\) would arise if order mattered, making it an arrangement question. Exam tip: For words such as “choose” or “select,” usually use combinations, \(nCr\).
समूह में क्रम नहीं होता इसलिए \(\binom{8}{4}=70\) होगा। परीक्षा में समूह शब्द दिखे तो संयोजन लगाएं। / A group has no order, so \(\binom{8}{4}=70\). In exams, the word group usually indicates combination.
9 प्रश्नों में से ठीक 1 प्रश्न चुनने के लिए प्रत्येक प्रश्न एक अलग चयन देता है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{9}{1}=9\) है। विकल्प 8 गलत है, क्योंकि वह एक प्रश्न को छोड़ने के तरीकों की संख्या दर्शाता है, न कि एक प्रश्न चुनने की। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{1}=n\) का नियम सीधे लागू करें। / When exactly one question is selected from 9 questions, each question gives one distinct selection. Therefore, the number of ways is \(\binom{9}{1}=9\). Option 8 is incorrect because it represents the number of ways to leave out one question, not to select one question. Exam tip: apply the identity \(\binom{n}{1}=n\) directly.
A. क्योंकि कोई पेन न चुनने पर चयनित समूह केवल रिक्त समुच्चय होता है/Because choosing no pen gives only the empty set as the selected group
Explanation
Simple Explanation
0 पेन चुनने पर चुना गया समूह रिक्त समुच्चय होता है। सभी 10 पेन को छोड़ देने पर हर बार यही एक समूह मिलता है; इसलिए
\(\binom{10}{0}=1\)। विकल्प B गलत है, क्योंकि पेन को अलग-अलग न चुनने से अलग चयन नहीं बनते। परीक्षा टिप: सामान्यतः \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\)। / When 0 pens are selected, the selected group is the empty set. Leaving out all 10 pens always gives this same single group; hence \(\binom{10}{0}=1\). Option B is incorrect because excluding different individual pens does not create different selections when no pen is selected. Exam tip: In general, \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\).
B. चयन में वस्तुओं का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता है।/The order of selected objects is not important.
Explanation
Simple Explanation
संयोजन में चुनी गई वस्तुओं का क्रम नहीं देखा जाता; जैसे A और B चुनना, B और A चुनने के समान है। क्रम महत्वपूर्ण हो तो वह क्रमचय होता है। परीक्षा टिप: “order matters” दिखे तो permutation सोचें। / In a combination, the order of chosen objects is ignored; choosing A and B is the same as choosing B and A. If order matters, it is a permutation. Exam tip: the phrase “order matters” indicates permutation.
6 दोस्तों में से 2 की जोड़ी चुनने में क्रम का महत्व नहीं होता। इसलिए संयोजन का प्रयोग करेंगे: \(\binom{6}{2}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\)। अतः सही उत्तर 15 है। 30, \(6\times5\), क्रम को अलग-अलग गिनता है; इसमें एक ही जोड़ी दो बार गिनी जाती है। परीक्षा टिप: जब चयन में क्रम महत्त्वपूर्ण न हो, तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / The order of the two friends does not matter when forming a pair, so we use combinations: \(\binom{6}{2}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\). Hence, the correct answer is 15. The value 30, \(6\times5\), counts order separately and therefore counts each pair twice. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) whenever selection is made without regard to order.
चयन \(\binom{4}{1}\binom{3}{1}=12\) है। अलग-अलग वर्गों से चयन में गुणा करते हैं। / The selection is \(\binom{4}{1}\binom{3}{1}=12\). Multiply choices when selecting from different groups.
केवल लड़कों में से चयन है इसलिए \(\binom{5}{2}=10\) होगा। अनावश्यक सूचना से भ्रमित न हों। / Only boys are being selected, so \(\binom{5}{2}=10\). Do not get confused by extra information.
तरीके \(\binom{4}{1}\binom{5}{2}=4\cdot10=40\) हैं। अलग फल वर्गों के चयन को गुणा करें। / The ways are \(\binom{4}{1}\binom{5}{2}=4\cdot10=40\). Multiply selections from separate fruit groups.
एक रेखा निर्धारित करने के लिए 2 बिंदु चुने जाते हैं। अतः रेखाओं की संख्या \(\binom{8}{2}=\frac{8\times7}{2}=28\) होगी। यहाँ क्रम का कोई महत्व नहीं है; बिंदु A और B चुनना, B और A चुनने के समान है। 56 क्रमचय \(8\times7\) गिनने पर मिलता है, जिसमें प्रत्येक जोड़ी दो बार गिनी जाती है। परीक्षा टिप: जब चयन में क्रम महत्वपूर्ण न हो, तो संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / A line is determined by choosing 2 points. Therefore, the number of lines is \(\binom{8}{2}=\frac{8\times7}{2}=28\). Order does not matter: choosing A and B is the same as choosing B and A. The value 56 comes from \(8\times7\), which counts every pair twice. Exam tip: use combinations \(\binom{n}{r}\) when order is not important.
त्रिभुज के लिए (3) बिंदु चाहिए इसलिए \(\binom{7}{3}=35\) है। सीध में न होने की शर्त त्रिभुज को संभव बनाती है। / A triangle needs (3) points, so \(\binom{7}{3}=35\). The non-collinear condition makes triangles possible.
एक वृत्त तीन असंरेखीय बिंदुओं से अद्वितीय रूप से निर्धारित होता है। चूँकि दिए गए किसी भी तीन बिंदु एक सीध में नहीं हैं, इसलिए 6 बिंदुओं में से 3 बिंदु चुनने के प्रत्येक तरीके से एक वृत्त बनेगा। अतः वृत्तों की संख्या \(\binom{6}{3}=20\) है। \(\binom{6}{2}=15\) रेखाखंडों या बिंदुओं के युग्मों की संख्या है, वृत्तों की नहीं। परीक्षा टिप: वृत्तों की गणना में हमेशा तीन बिंदुओं का चयन करें। / A circle is uniquely determined by three non-collinear points. Since no three of the given points are collinear, every selection of 3 points from 6 forms one circle. Therefore, the number of circles is \(\binom{6}{3}=20\). The value \(\binom{6}{2}=15\) counts pairs of points or line segments, not circles. Exam tip: For counting circles from points, choose sets of three points.
एक हाथ मिलाना दो व्यक्तियों की एक जोड़ी बनाता है और इसमें क्रम का कोई महत्व नहीं होता। अतः कुल हाथ मिलाने की संख्या \(\binom{10}{2}=\frac{10\times9}{2}=45\) होगी। विकल्प 90 क्रमित जोड़ियों को गिनने पर आ सकता है, जिसमें एक ही हाथ मिलाने को दो बार गिना जाता है। परीक्षा टिप: हाथ मिलाने वाले प्रश्नों में सामान्यतः \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / A handshake forms a pair of two persons, and the order of the two people does not matter. Hence, the total number of handshakes is \(\binom{10}{2}=\frac{10\times9}{2}=45\). The value 90 can result from counting ordered pairs, which counts each handshake twice. Exam tip: For handshake questions, usually use \(\binom{n}{2}\).
समिति चयन का प्रश्न है इसलिए \(\binom{9}{3}=84\) है। समिति में पद न हों तो क्रम नहीं गिना जाता। / This is a committee selection question, so \(\binom{9}{3}=84\). If posts are not assigned, order is not counted.
पुरस्कार के लिए केवल 2 उम्मीदवारों का चयन करना है, इसलिए चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। अतः संयोजनों का प्रयोग करेंगे: \(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2\times1}=66\)। इसलिए सही उत्तर 66 है। 132 प्राप्त होता यदि दो उम्मीदवारों के क्रम को अलग-अलग गिना जाता, जो यहाँ आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: चयन, समिति या टीम बनाने वाले प्रश्नों में सामान्यतः संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग होता है। / Only a group of 2 candidates is to be selected, so the order of selection does not matter. Therefore, use combinations: \(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2\times1}=66\). Hence, the correct answer is 66. The value 132 would result from counting different orders of the same two candidates separately, which is not required here. Exam tip: Questions about selecting a team, committee, or group generally use combinations, \(\binom{n}{r}\).
यहाँ 11 अलग-अलग कार्डों में से केवल 3 कार्ड चुने जा रहे हैं, इसलिए क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः संयोजनों की संख्या \(\binom{11}{3}=\frac{11\times10\times9}{3\times2\times1}=165\) होगी। विकल्प 990 क्रमचय से संबंधित मान है, क्योंकि उसमें चयन का क्रम भी गिना जाता है। परीक्षा टिप: जब प्रश्न में केवल “चुनने” या “चयन” कहा हो, तो सामान्यतः संयोजन का प्रयोग करें। / Here, 3 cards are selected from 11 distinct cards, and the order of selection does not matter. Therefore, the number of combinations is \(\binom{11}{3}=\frac{11\times10\times9}{3\times2\times1}=165\). The value 990 is related to permutations, where the order of selection is also counted. Exam tip: When a question asks only to “choose” or “select,” it usually requires combinations.
तरीके \(\binom{6}{1}\binom{4}{1}=24\) हैं। अलग रंगों के चयन में गुणा नियम लगाएं। / The ways are \(\binom{6}{1}\binom{4}{1}=24\). Apply multiplication rule for selections from different colors.
चयन केवल 5 लाल गेंदों में से 2 लाल गेंदों का करना है; काली गेंदों की संख्या यहाँ अप्रासंगिक है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\) है। विकल्प 15, \(\binom{6}{2}\) के बराबर होता है, इसलिए यह 5 लाल गेंदों के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब क्रम का महत्व न हो, तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / The selection is made only from the 5 red balls, so the number of black balls is irrelevant. Therefore, the number of ways is \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\). Option 15 equals \(\binom{6}{2}\), so it does not apply to 5 red balls. Exam tip: Use \(\binom{n}{r}\) when the order of selection does not matter.
यहाँ केवल 3 कुर्सियों का चयन करना है; चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!4!}=35\) होगी। \(210\) क्रम को महत्त्व देने पर मिलने वाला क्रमचय \(^{7}P_{3}\) है, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: “चुनना” और “क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं” दिखे तो संयोजन का प्रयोग करें। / Only 3 chairs are to be selected, so the order of selection does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!4!}=35\). The value \(210\) is \(^{7}P_{3}\), which counts arrangements where order matters, so it is not applicable here. Exam tip: Use combinations when items are selected and order is irrelevant.
समिति के लिए केवल चयन है इसलिए \(\binom{13}{2}=78\) होगा। पद अलग न हों तो क्रम नहीं गिना जाता। / It is only selection for a committee, so \(\binom{13}{2}=78\). If posts are not different, order is not counted.
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{6}{4}=\frac{6!}{4!\,2!}=15\) होगी। विकल्प 24 क्रमचय जैसी गणना से प्राप्त हो सकता है, पर यहाँ विषयों का क्रम नहीं पूछा गया है। परीक्षा टिप: केवल चुनना हो तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / This is a selection problem, so the order of subjects does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{6}{4}=\frac{6!}{4!\,2!}=15\). The value 24 may arise from an incorrect arrangement-based calculation, but no order is involved in choosing subjects. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) when only selection is required.
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\) है। अतः \(\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!6!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28\)। इसलिए सही विकल्प 28 है। विकल्प 56 में 8 और 7 का गुणन तो है, पर 2! से भाग नहीं दिया गया है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) का संक्षिप्त सूत्र याद रखें। / Using \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\), we get \(\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!6!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28\). Therefore, 28 is the correct answer. The value 56 comes from multiplying 8 and 7 without dividing by \(2!\). Exam tip: remember the shortcut \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\).
\(\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120\) है। छोटे (r) के लिए सीधे गुणा करें। / \(\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120\). For small (r), multiply directly.
\(\binom{9}{0}\) का अर्थ 9 वस्तुओं में से 0 वस्तुएँ चुनने के तरीकों की संख्या है। कुछ भी न चुनने का केवल एक तरीका होता है, इसलिए \(\binom{9}{0}=1\)। \(9\) कुल वस्तुओं की संख्या है, संयोजनों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: याद रखें, प्रत्येक \(n\) के लिए \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\)। / \(\binom{9}{0}\) represents the number of ways of choosing 0 objects from 9 objects. There is exactly one way to choose nothing, so \(\binom{9}{0}=1\). The number 9 is the total number of objects, not the number of combinations. Exam tip: For every \(n\), \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\).
\(\binom{7}{7}\) का अर्थ 7 वस्तुओं में से सभी 7 वस्तुओं का चयन करना है। ऐसा चयन केवल एक ही प्रकार से संभव है, इसलिए \(\binom{7}{7}=1\)। \(7\) विकल्प वस्तुओं की संख्या है, चयन के तरीकों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: सामान्यतः \(\binom{n}{n}=1\) और \(\binom{n}{0}=1\) होता है। / \(\binom{7}{7}\) means choosing all 7 objects from 7 objects. This can be done in only one way, so \(\binom{7}{7}=1\). The value 7 is the number of objects, not the number of possible selections. Exam tip: in general, \(\binom{n}{n}=1\) and \(\binom{n}{0}=1\).
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\) है। अतः \(\binom{12}{1}=\frac{12!}{1!\,11!}=12\)। इसलिए सही उत्तर 12 है। 11, \(\binom{12}{1}\) नहीं बल्कि \(\binom{11}{1}\) का मान है। परीक्षा टिप: एक वस्तु चुनने के तरीकों की संख्या हमेशा कुल वस्तुओं की संख्या के बराबर होती है। / Using \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\), \(\binom{12}{1}=\frac{12!}{1!\,11!}=12\). Therefore, 12 is correct. The value 11 would be \(\binom{11}{1}\), not \(\binom{12}{1}\). Exam tip: The number of ways to choose one item always equals the total number of items.
\(\binom{9}{2}=\frac{9\cdot8}{2}=36\) है। दो वस्तुओं के चयन में (2!) से भाग देना न भूलें। / \(\binom{9}{2}=\frac{9\cdot8}{2}=36\). Do not forget to divide by (2!) when choosing two objects.
\(\binom{11}{1}\) का अर्थ 11 वस्तुओं में से 1 वस्तु चुनना है, इसलिए \(\binom{11}{1}=11\)। इसी प्रकार, \(\binom{11}{0}=1\), क्योंकि 0 वस्तुएँ चुनने का केवल एक तरीका होता है। अतः \(\binom{11}{1}+\binom{11}{0}=11+1=12\)। विकल्प 11 केवल पहले पद का मान है; इसमें \(\binom{11}{0}\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{0}=1\) और \(\binom{n}{1}=n\) हमेशा याद रखें। / \(\binom{11}{1}\) means choosing 1 object from 11 objects, so \(\binom{11}{1}=11\). Also, \(\binom{11}{0}=1\), because there is exactly one way to choose no object. Hence, \(\binom{11}{1}+\binom{11}{0}=11+1=12\). Option 11 gives only the first term and ignores \(\binom{11}{0}\). Exam tip: Remember that \(\binom{n}{0}=1\) and \(\binom{n}{1}=n\).
एक वस्तु चुनने के तरीकों की संख्या \(\binom{n}{1}\) हमेशा \(n\) के बराबर होती है, क्योंकि \(n\) वस्तुओं में से प्रत्येक को अलग-अलग चुना जा सकता है। अतः \(\binom{n}{1}=14\) से \(n=14\) प्राप्त होता है। विकल्प 13 गलत है, क्योंकि तब \(\binom{13}{1}=13\) होता। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{1}=n\) और \(\binom{n}{n}=1\) जैसे मूल परिणाम याद रखें। / The number of ways to choose one object from \(n\) objects is \(\binom{n}{1}=n\), since each of the \(n\) objects can be chosen separately. Hence, \(\binom{n}{1}=14\) gives \(n=14\). Option 13 is incorrect because \(\binom{13}{1}=13\). Exam tip: Remember the basic results \(\binom{n}{1}=n\) and \(\binom{n}{n}=1\).
A. 8 विद्यार्थियों में से 3 विद्यार्थियों की समिति चुनना/Choosing a committee of 3 students from 8 students
Explanation
Simple Explanation
समिति चुनने में सदस्यों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता; अतः 3 विद्यार्थियों का वही समूह एक ही चयन है और संयोजन लागू होता है। रैंक देने में क्रम बदलने पर परिणाम बदलता है, इसलिए वहाँ क्रमचय होगा। परीक्षा टिप: “चयन” में क्रम न हो तो संयोजन लें। / In choosing a committee, the order of selected members does not matter, so the same group of 3 is counted once; hence combinations apply. In awarding ranks, changing the order changes the result, so permutations are used. Exam tip: use combinations when order is irrelevant.
संयोजन का सममिति गुण है: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। यहाँ \(n=6\) और \(r=2\) है, इसलिए \(\binom{6}{2}=\binom{6}{6-2}=\binom{6}{4}\)। वास्तव में दोनों का मान 15 है। इसलिए पहला दूसरे का दुगुना नहीं है। परीक्षा टिप: \(r\) और \(n-r\) वाले संयोजन सदैव बराबर होते हैं। / Combinations follow the symmetry property \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Here, \(n=6\) and \(r=2\), so \(\binom{6}{2}=\binom{6}{6-2}=\binom{6}{4}\). In fact, both values are 15, so the first is not twice the second. Exam tip: combinations with \(r\) and \(n-r\) are always equal.
\(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\) तथा \(\binom{5}{3}=\frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=10\)। अतः \(\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20\)। विकल्प 25 गलत है, क्योंकि दोनों संयोजनों का योग 20 ही होता है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) का उपयोग करके जल्दी जाँच करें; यहाँ \(\binom{5}{2}=\binom{5}{3}\)। / \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\) and \(\binom{5}{3}=\frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=10\). Therefore, \(\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20\). Option 25 is incorrect because the sum of these two combinations is 20. Exam tip: use \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) for a quick check; here \(\binom{5}{2}=\binom{5}{3}\).
1 गणित पुस्तक चुनने के
a
3 तरीके और 1 विज्ञान पुस्तक चुनने के 4 तरीके हैं। ये स्वतंत्र चयन हैं, इसलिए गुणन नियम से कुल तरीके
a
3 \(\times\) 4 = 12 होंगे। विकल्प 24 तब मिलता यदि किसी एक प्रकार की दो पुस्तकों के चयन को भी गलत ढंग से जोड़ा या गुणा किया जाए। परीक्षा टिप: अलग-अलग समूहों से निश्चित संख्या में चयन हो, तो संबंधित संयोजनों का गुणन करें: \(\binom{3}{1}\binom{4}{1}=12\)। / There are 3 ways to choose 1 mathematics book and 4 ways to choose 1 science book. Since these are independent selections, apply the multiplication principle: \(3 \times 4=12\). The value 24 would result from incorrectly adding or multiplying extra selections. Exam tip: for fixed selections from separate groups, multiply the relevant combinations: \(\binom{3}{1}\binom{4}{1}=12\).
2 पेन चुनने के तरीके \(\binom{5}{2}=10\) हैं और 1 पेंसिल चुनने के तरीके \(\binom{6}{1}=6\) हैं। ये दोनों चयन स्वतंत्र हैं, इसलिए गुणन नियम से कुल तरीके \(\binom{5}{2}\binom{6}{1}=10\times6=60\) होंगे। \(120\) लेने पर पेन के चयन को क्रमित मान लिया जाता है, जबकि यहाँ केवल चयन करना है। परीक्षा टिप: अलग-अलग समूहों से निश्चित वस्तुएँ चुननी हों, तो उनके संयोजनों का गुणन करें। / The number of ways to choose 2 pens is \(\binom{5}{2}=10\), and the number of ways to choose 1 pencil is \(\binom{6}{1}=6\). These choices are independent, so by the multiplication principle, the total number of selections is \(\binom{5}{2}\binom{6}{1}=10\times6=60\). Getting \(120\) would incorrectly treat the two selected pens as ordered, whereas this is a selection. Exam tip: for fixed selections from separate groups, multiply the relevant combinations.
केवल काली गेंदों में से चयन है इसलिए \(\binom{5}{2}=10\) होगा। बाकी सूचना केवल संदर्भ है। / Only black balls are selected, so \(\binom{5}{2}=10\). The remaining information is only context.
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः संभावित चयन
t ext? / Since this is a selection, the order of the two students does not matter. Therefore, the number of selections is
t ext?
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{6}{5}=\binom{6}{1}=6\) होगी। इसे ऐसे भी समझ सकते हैं कि 6 विद्यार्थियों में से केवल 1 विद्यार्थी नहीं चुना जाएगा, और उसके लिए 6 विकल्प हैं। विकल्प 5 केवल चुने जाने वाले विद्यार्थियों की संख्या है, तरीकों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: चयन में क्रम न हो तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / This is a selection problem, so order does not matter. Therefore, the number of ways is \(\binom{6}{5}=\binom{6}{1}=6\). Equivalently, exactly one of the 6 students is left out, and there are 6 choices for that student. Option 5 is the number of students selected, not the number of selections. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) when order is not involved in a selection.
यहाँ 10 अलग-अलग प्रश्नों में से केवल 3 प्रश्न चुनने हैं; प्रश्नों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}=120\)। अतः सही उत्तर 120 है। \(720\) क्रम को भी गिनने पर मिलने वाला क्रमचय-संबंधी मान हो सकता है, इसलिए वह यहाँ उपयुक्त नहीं है। परीक्षा टिप: जब केवल चयन या सेट बनाना हो, तो सामान्यतः \(nCr\) का उपयोग करें। / Here, 3 questions are to be selected from 10 distinct questions, and the order of the selected questions does not matter. Therefore, use combinations: \(\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}=120\). Hence, 120 is the correct answer. A value such as \(720\) can result from counting arrangements as well, so it is not appropriate here. Exam tip: When a question asks for a selection or a set, usually use \(nCr\).
थाली के लिए 5 व्यंजनों में से 2 व्यंजन चुने जाते हैं और चुनने का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\) होगी। 20 क्रम को महत्वपूर्ण मानने पर प्राप्त होगा, इसलिए वह संयोजन का उत्तर नहीं है। परीक्षा टिप: जब केवल चयन हो और क्रम का उल्लेख न हो, तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Two dishes are selected from 5 dishes, and the order of selection does not matter. Therefore, the number of possible plates is \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\). The value 20 would result from treating order as important, so it is not the combination count. Exam tip: when items are only selected and order is not mentioned, use \(\binom{n}{r}\).
निगरानी टीम चुनते समय अध्यापकों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए संयोजन का प्रयोग करेंगे। आवश्यक तरीकों की संख्या \(\binom{7}{2}=\frac{7\times6}{2\times1}=21\) है। विकल्प 42 क्रम को अलग मानने पर मिलने वाली व्यवस्था-संख्या \(7P2\) है, इसलिए वह टीम-चयन के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: चयन या समिति/टीम बनने पर सामान्यतः संयोजन लगाया जाता है। / The order of teachers does not matter when forming an invigilation team, so we use combinations. The number of ways is \(\binom{7}{2}=\frac{7\times6}{2\times1}=21\). Option 42 is \(7P2\), which counts different orders separately, so it is not appropriate for selecting a team. Exam tip: use combinations for selections, committees, and teams when order is irrelevant.
गीत चुनना व्यवस्था नहीं है इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) है। क्रम चाहिए होता तो अलग प्रश्न होता। / Choosing songs is not arrangement, so \(\binom{9}{4}=126\). If order were needed, it would be a different question.
यहाँ केवल 3 चित्रों का चयन करना है; उनके प्रदर्शित करने का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!\,5!}=56\)। अतः सही उत्तर 56 है। 336, \(8\times7\times6\) है, जो क्रम को महत्वपूर्ण मानने पर क्रमचय के लिए आता है। परीक्षा टिप: ‘चुनना’ या ‘selection’ शब्द हो और क्रम न दिया हो, तो सामान्यतः संयोजन लगाएँ। / Only 3 pictures are being selected, so the order in which they are displayed does not matter. Hence, use combinations: \(\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!\,5!}=56\). Therefore, the correct answer is 56. The value 336, \(8\times7\times6\), would arise from permutations when order is considered important. Exam tip: When a question says “choose” or “select” and no order is specified, use combinations.
क्रम नहीं देखना है इसलिए \(\binom{6}{2}=15\) है। यही संयोजन और क्रमचय का मुख्य अंतर है। / Order is not considered, so \(\binom{6}{2}=15\). This is the main difference between combination and permutation.
एक रेखाखंड बनाने के लिए 10 बिंदुओं में से 2 बिंदु चुनने होते हैं। अतः रेखाखंडों की संख्या \(\binom{10}{2}=\frac{10\times9}{2}=45\) होगी। \(90\) क्रमित युग्मों की संख्या \(10\times9\) है, पर रेखाखंड AB और BA एक ही होते हैं। परीक्षा टिप: दो बिंदुओं के चयन वाले प्रश्नों में सामान्यतः \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / A line segment is determined by choosing any 2 of the 10 points. Hence, the number of segments is \(\binom{10}{2}=\frac{10\times9}{2}=45\). The value \(90\) counts ordered pairs, but segments AB and BA are the same. Exam tip: for questions involving the selection of two points, usually use \(\binom{n}{2}\).
A. 5 विद्यार्थियों की समिति चुनना/Selecting a committee of 5 students
Explanation
Simple Explanation
समिति में चुने गए 5 विद्यार्थियों का क्रम बदलने पर समिति नहीं बदलती, इसलिए संयोजन लागू होता है। पदों, रैंक और पासवर्ड में क्रम अलग परिणाम देता है। परीक्षा टिप: “चयन” में पद न हों तो संयोजन सोचें। / Changing the order of the same 5 students does not change a committee, so combinations apply. In ranks, offices and passwords, order creates a different outcome. Exam tip: use combinations for selections without designated roles.
A. तीन छात्रों की समिति चुनना/Selecting a committee of three students
Explanation
Simple Explanation
समिति चुनने में चुने गए छात्रों का क्रम नहीं बदलता; वही तीन छात्र एक ही समिति बनाते हैं, इसलिए संयोजन प्रयुक्त होता है। विकल्प B में स्थान अलग-अलग हैं, अतः क्रम महत्त्वपूर्ण है। परीक्षा टिप: ‘चुनना’ या ‘समिति’ दिखे तो पहले संयोजन पर विचार करें। / While selecting a committee, the order of the chosen students does not create a new committee, so combinations apply. In option B, positions are different, making order important. Exam tip: words such as “select” and “committee” usually indicate combinations.
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\,8!}=495\) होगी। \(11880\) क्रमचय \(^{12}P_4\) का मान है, जिसमें चुने गए खिलौनों का क्रम भी अलग माना जाता है। परीक्षा टिप: “चुनना” या “समिति बनाना” जैसे शब्द हों तो सामान्यतः संयोजन लगाएँ। / This is a selection problem, so the order of the toys does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\,8!}=495\). The value \(11880\) is \(^{12}P_4\), which counts arrangements where different orders of the chosen toys are treated separately. Exam tip: Words such as “choose” or “form a committee” usually indicate combinations.
7 पेंसिलों में से प्रत्येक पेंसिल के लिए दो विकल्प हैं—उसे चुनना या न चुनना। इसलिए कुल चयन (रिक्त चयन सहित) \(2^7=128\) हैं। प्रश्न में कम से कम 1 पेंसिल चुननी है, अतः रिक्त चयन को हटाने पर \(128-1=127\) तरीके मिलते हैं। विकल्प 128 में रिक्त चयन भी शामिल है। परीक्षा टिप: ‘कम से कम एक’ वाले चयन प्रश्नों में अक्सर \(2^n-1\) का प्रयोग किया जाता है। / For each of the 7 pencils, there are two choices: select it or do not select it. Thus, the total number of selections, including the empty selection, is \(2^7=128\). Since at least one pencil must be selected, exclude the empty selection: \(128-1=127\). Option 128 incorrectly includes selecting no pencil. Exam tip: For selections of at least one item from \(n\) distinct items, use \(2^n-1\).
15 विद्यार्थियों में से 2 विद्यार्थियों की जोड़ी चुनने में क्रम का कोई महत्व नहीं होता। अतः तरीकों की संख्या
\(\binom{15}{2}=\frac{15\times14}{2\times1}=105\) है। इसलिए सही उत्तर 105 है। 210 में एक ही जोड़ी को दो अलग-अलग क्रमों में गिना जाएगा, इसलिए वह क्रमचय से संबंधित मान है। परीक्षा टिप: जब केवल चयन या जोड़ी बनानी हो, तो संयोजन का प्रयोग करें। / While selecting a pair from 15 students, the order of the two students does not matter. Therefore, the number of ways is
\(\binom{15}{2}=\frac{15\times14}{2\times1}=105\). Hence, 105 is correct. The value 210 counts each pair in two orders and is related to permutations. Exam tip: use combinations when only selection or grouping is involved.
\(\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=28\) होता है। अधिक चुनना हो तो न चुने गए लोगों को गिनना आसान होता है। / \(\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=28\). When many are selected, counting those not selected is easier.
3 पुस्तकों का सेट चुनते समय पुस्तकों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए संयोजन का प्रयोग करेंगे। आवश्यक संख्या \(\binom{9}{3}=\frac{9!}{3!\,6!}=84\) है। विकल्प 504 क्रम को महत्त्व देने पर मिलने वाला क्रमचय \(^{9}P_{3}\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: चयन, समूह या सेट जैसे शब्द हों तो सामान्यतः संयोजन लगाएँ। / The order of the 3 selected books does not matter, so we use combinations. The required number is \(\binom{9}{3}=\frac{9!}{3!\,6!}=84\). Option 504 is \(^{9}P_{3}\), which counts arrangements where order matters, so it is not correct. Exam tip: words such as selection, group, or set usually indicate combinations.
यह चयन है इसलिए \(\binom{11}{4}=330\) नहीं बल्कि सही मान \(\binom{11}{4}=330\) है। विकल्पों में सही उत्तर (330) है। / This is selection, so the value is \(\binom{11}{4}=330\). The correct option is (330).
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{12}{3}=\frac{12\times11\times10}{3\times2\times1}=220\) होगी। इसलिए सही उत्तर 220 है। 440 प्राप्त करना उत्तर को अनावश्यक रूप से दोगुना गिनने के कारण हो सकता है। परीक्षा टिप: जब केवल वस्तुएँ चुननी हों और उनका क्रम न पूछा गया हो, तो संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / This is a selection question, so the order of the pens does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{12}{3}=\frac{12\times11\times10}{3\times2\times1}=220\). Therefore, 220 is correct. The value 440 can result from unnecessarily counting the same selections twice. Exam tip: use combinations \(\binom{n}{r}\) when objects are selected and their order is not specified.
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए प्रश्नों के क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{10}{7}=\binom{10}{3}=120\) होगी। विकल्प 5040, \(7!\) है और चुने गए 7 प्रश्नों को क्रम में लगाने की स्थितियों से जुड़ा है, चयन की स्थितियों से नहीं। परीक्षा टिप: जब केवल “चुनना” हो, तो संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / This is a selection problem, so the order of the chosen questions does not matter. Therefore, the number of ways is \(\binom{10}{7}=\binom{10}{3}=120\). Option 5040 equals \(7!\) and relates to arranging seven selected questions, not selecting them. Exam tip: Use combinations \(\binom{n}{r}\) when the question asks only to choose items.
तरीके \(\binom{5}{2}\binom{4}{2}=10\cdot6=60\) हैं। अलग वर्गों से चयन में गुणा करते हैं। / The ways are \(\binom{5}{2}\binom{4}{2}=10\cdot6=60\). Multiply selections from different groups.
तरीके \(\binom{6}{2}\binom{5}{1}=15\cdot5=75\) हैं। रंग अलग हों तो चयन अलग-अलग करें। / The ways are \(\binom{6}{2}\binom{5}{1}=15\cdot5=75\). Select separately when colors are different.
तरीके \(\binom{7}{1}\binom{3}{2}=7\cdot3=21\) हैं। प्रत्येक शर्त को अलग संयोजन से लिखें। / The ways are \(\binom{7}{1}\binom{3}{2}=7\cdot3=21\). Write each condition as a separate combination.
तरीके \(\binom{4}{1}\binom{5}{2}=4\cdot10=40\) हैं। अलग विषयों के चयन में गुणा नियम लगता है। / The ways are \(\binom{4}{1}\binom{5}{2}=4\cdot10=40\). The multiplication rule applies to selections from different subjects.
एक रेखाखंड के दो अंतिम बिंदु होते हैं। इसलिए 13 बिंदुओं में से 2 बिंदु चुनने के तरीकों की संख्या ही रेखाखंडों की संख्या होगी: \(\binom{13}{2}=\frac{13\times12}{2}=78\)। अतः सही उत्तर 78 है। 156 में प्रत्येक युग्म को दो अलग-अलग क्रमों में गिन लिया जाता है, जबकि रेखाखंड के लिए क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता। परीक्षा टिप: दो वस्तुएँ चुननी हों और क्रम का प्रभाव न हो, तो \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / A line segment has two endpoints. Hence, the number of line segments equals the number of ways of choosing 2 points from 13 points: \(\binom{13}{2}=\frac{13\times12}{2}=78\). Therefore, 78 is correct. The value 156 counts each pair in two orders, but the order of endpoints does not matter for a line segment. Exam tip: use \(\binom{n}{2}\) when choosing two items and order does not matter.
एक त्रिभुज बनाने के लिए 8 बिंदुओं में से किसी भी 3 बिंदुओं का चयन करना होता है। चूँकि कोई भी 3 बिंदु एक ही सीध में नहीं हैं, इसलिए प्रत्येक चयन एक त्रिभुज बनाएगा। अतः त्रिभुजों की संख्या \(\binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\) है। विकल्प 112 क्रमचय गिनने जैसी त्रुटि से आ सकता है, जबकि बिंदुओं के चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। परीक्षा टिप: ‘चयन’ वाले प्रश्नों में सामान्यतः संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / To form a triangle, choose any 3 of the 8 points. Since no 3 points are collinear, every such selection forms a triangle. Therefore, the number of triangles is \(\binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\). The option 112 may result from incorrectly counting arrangements, but the order of selecting points does not matter. Exam tip: Use combinations \(\binom{n}{r}\) when the order of selection is irrelevant.
तीन असंरेख बिंदुओं से एक और केवल एक वृत्त निर्धारित होता है। चूँकि दिए गए किसी भी 3 बिंदु एक सीध में नहीं हैं, अतः 9 बिंदुओं में से 3 बिंदु चुनने के प्रत्येक तरीके से एक वृत्त बनेगा। इसलिए वृत्तों की संख्या \(\binom{9}{3}=\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=84\) है। विकल्प 126, \(\binom{9}{4}\) का मान है, इसलिए वह यहाँ लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: वृत्त बनाने के लिए 3 असंरेख बिंदु चुनते हैं। / A unique circle is determined by three non-collinear points. Since no three of the given points are collinear, every selection of 3 points from 9 gives one circle. Thus, the number of circles is \(\binom{9}{3}=\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=84\). Option 126 equals \(\binom{9}{4}\), so it does not apply here. Exam tip: for circles, choose 3 non-collinear points.
हर हाथ मिलाना दो अलग-अलग व्यक्तियों की एक जोड़ी बनाता है और किसी जोड़ी को केवल एक बार गिना जाता है। अतः कुल हाथ मिलाने की संख्या \(\binom{14}{2}=\frac{14\times13}{2}=91\) होगी। विकल्प 182 में प्रत्येक जोड़ी को दो बार गिनने की त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: हाथ मिलाने के प्रश्नों में सामान्यतः \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / Each handshake corresponds to one pair of distinct persons, and each pair is counted only once. Therefore, the total number of handshakes is \(\binom{14}{2}=\frac{14\times13}{2}=91\). The value 182 results from counting every pair twice. Exam tip: for handshake questions, usually use \(\binom{n}{2}\).
हर मैच दो अलग-अलग टीमों के बीच होता है। अतः 16 टीमों में से 2 टीमों का चयन करने पर कुल मैचों की संख्या \,\(\binom{16}{2}=\frac{16\times15}{2}=120\) होगी। 240 प्राप्त करना गलत है, क्योंकि उसमें प्रत्येक जोड़ी को दो बार गिना जाता है। परीक्षा टिप: ‘हर दूसरी टीम से एक बार’ वाले प्रश्नों में सामान्यतः \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / Each match is played between a pair of distinct teams. Therefore, the number of matches is \,\(\binom{16}{2}=\frac{16\times15}{2}=120\). Getting 240 would count every pair twice. Exam tip: For “each team plays every other team once” questions, usually use \(\binom{n}{2}\).
अध्यक्ष या सचिव जैसे पद नहीं दिए गए हैं, इसलिए समिति में सदस्यों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। अतः 6 सदस्यों में से 3 चुनने के तरीके \(\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}=20\) हैं। विकल्प 120 क्रम को महत्त्व देने पर मिलने वाला क्रमचय \(^{6}P_3\) है, इसलिए यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद निर्धारित न हों तो सामान्यतः संयोजन का प्रयोग करें। / Since no positions such as president or secretary are assigned, the order of selected members does not matter. Therefore, the number of ways is \(\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}=20\). The value 120 is \(^{6}P_3\), which counts arrangements where order matters, so it is not applicable here. Exam tip: use combinations when only selection is involved and no posts are assigned.
निश्चित सदस्य पहले से चुना है इसलिए बाकी (3) सदस्य (9) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{9}{3}=84\) हैं। / The fixed member is already selected, so choose the remaining (3) from (9). The ways are \(\binom{9}{3}=84\).
निश्चित सदस्य को शामिल नहीं करना है, इसलिए चयन के लिए केवल 8 सदस्य उपलब्ध हैं। समिति में क्रम का महत्व नहीं होता, अतः संयोजन का प्रयोग करेंगे: \(\binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)। इसलिए सही उत्तर 56 है। विकल्प 84, \(\binom{9}{3}\) है, जो निषिद्ध सदस्य को हटाए बिना प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: समिति बनाने वाले प्रश्नों में क्रम महत्त्वपूर्ण न हो तो \(nCr\) का उपयोग करें। / Since the fixed member cannot be included, only 8 members are available for selection. The order of members in a committee does not matter, so use combinations: \(\binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\). Hence, the correct answer is 56. Option 84 equals \(\binom{9}{3}\), which incorrectly includes the excluded member among the available people. Exam tip: use \(nCr\) when forming a committee because order is irrelevant.
दो विशेष विद्यार्थी पहले से चुने गए हैं। तीसरा विद्यार्थी शेष (5) में से \(\binom{5}{1}=5\) तरीकों से चुनेगा। / The two special students are already selected. The third student is chosen from the remaining (5) in \(\binom{5}{1}=5\) ways.
कुल \(\binom{8}{4}=70\) और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं। इसलिए (70-15=55) तरीके बचेंगे। / Total ways are \(\binom{8}{4}=70\), and ways with both special students are \(\binom{6}{2}=15\). Thus (70-15=55) ways remain.
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\) है। अतः \(\binom{14}{1}=\frac{14!}{1!\,13!}=14\)। इसलिए सही उत्तर 14 है। \(\binom{14}{0}=1\) होता है, इसलिए 1 एक सामान्य लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: एक वस्तु चुनने के तरीकों की संख्या हमेशा उपलब्ध कुल वस्तुओं के बराबर होती है। / Using \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\), we get \(\binom{14}{1}=\frac{14!}{1!\,13!}=14\). Hence, 14 is correct. Note that \(\binom{14}{0}=1\), so 1 is a common but incorrect distractor here. Exam tip: the number of ways to choose one item is always equal to the total number of available items.
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\) है। अतः \(\binom{15}{0}=\frac{15!}{0!\,15!}=1\), क्योंकि \(0!=1\)। शून्य वस्तुएँ चुनने का केवल एक ही तरीका है—कोई वस्तु न चुनना। निकटतम भ्रम यह है कि उत्तर 0 मान लिया जाए, परन्तु वह चुनी गई वस्तुओं की संख्या है, तरीकों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: हमेशा याद रखें कि \(\binom{n}{0}=1\)। / Using \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\), we get \(\binom{15}{0}=\frac{15!}{0!\,15!}=1\), since \(0!=1\). There is exactly one way to choose zero objects: choose none. A common confusion is to write 0, but 0 is the number of objects chosen, not the number of possible selections. Exam tip: remember that \(\binom{n}{0}=1\).
\(\binom{10}{10}\) का अर्थ 10 वस्तुओं में से सभी 10 वस्तुओं का चयन करना है। सभी वस्तुओं को चुनने का केवल एक ही तरीका होता है, इसलिए \(\binom{10}{10}=1\)। \(10\) वस्तुओं की संख्या है, संयोजनों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{n}=1\) तथा \(\binom{n}{0}=1\) हमेशा याद रखें। / \(\binom{10}{10}\) means selecting all 10 objects from 10 objects. There is only one way to select every object, so \(\binom{10}{10}=1\). The number 10 represents the objects, not the number of combinations. Exam tip: always remember that \(\binom{n}{n}=1\) and \(\binom{n}{0}=1\).
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\) है। अतः \(\binom{13}{2}=\frac{13!}{2!11!}=\frac{13\times12}{2}=78\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(156\) तब मिलता है जब \(13\times12\) को \(2!\) से विभाजित नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) का सूत्र सीधे प्रयोग करें। / Using \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\), we get \(\binom{13}{2}=\frac{13!}{2!11!}=\frac{13\times12}{2}=78\). Hence, option C is correct. \(156\) results if \(13\times12\) is not divided by \(2!\). Exam tip: use \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) directly for selections of two objects.
\(\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\,8!}=\frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=495\)। अतः सही उत्तर 495 है। विकल्प 11880, \(^{12}P_4\) का मान है, क्योंकि उसमें क्रम को अलग-अलग गिना जाता है। परीक्षा टिप: संयोजन में क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए \(r!\) से भाग दिया जाता है। / \(\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\,8!}=\frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=495\). Therefore, 495 is the correct answer. The value 11880 is \(^{12}P_4\), where different orders are counted separately. Exam tip: In combinations, order does not matter, so divide by \(r!\).
संचय का सममिति गुण है: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। अतः \(\binom{9}{5}=\binom{9}{9-5}=\binom{9}{4}\)। \(\binom{9}{3}\) में चयन की संख्या अलग है, इसलिए वह बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{r}\) को तुरंत \(\binom{n}{n-r}\) से बदला जा सकता है। / Combinations satisfy the symmetry property \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Therefore, \(\binom{9}{5}=\binom{9}{9-5}=\binom{9}{4}\). \(\binom{9}{3}\) has a different number of selected objects, so it is not equal to the given expression. Exam tip: You can quickly replace \(\binom{n}{r}\) with \(\binom{n}{n-r}\).
\(\binom{7}{2}=\frac{7\times6}{2\times1}=21\) है। पूरकता गुण \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) से \(\binom{7}{5}=\binom{7}{2}=21\) होगा। अतः \(21+21=42\), इसलिए सही विकल्प C है। \(35\) मान \(\binom{7}{3}\) का है, \(\binom{7}{5}\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{r}\) में पहले जाँचें कि \(r\) और \(n-r\) में कौन-सा छोटा है। / \(\binom{7}{2}=\frac{7\times6}{2\times1}=21\). Using the complementary property \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\), \(\binom{7}{5}=\binom{7}{2}=21\). Hence, \(21+21=42\), so option C is correct. The value \(35\) is \(\binom{7}{3}\), not \(\binom{7}{5}\). Exam tip: in \(\binom{n}{r}\), use the smaller of \(r\) and \(n-r\) to calculate quickly.
\(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=21\Rightarrow n(n-1)=42\)। \(7\times6=42\) होने से \(n=7\) है। \(n=6\) के लिए \(\binom{6}{2}=15\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: संयोजन के प्रश्न में पहले \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) लिखकर हल करें। / We use \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n-1)}{2}=21\Rightarrow n(n-1)=42\). Since \(7\times6=42\), \(n=7\). For example, \(\binom{6}{2}=15\), so 6 is not correct. Exam tip: For questions involving \(\binom{n}{2}\), first write it as \(\frac{n(n-1)}{2}\).
संयोजन के सूत्रों से \(\binom{n}{1}=n\) तथा \(\binom{n}{0}=1\) होता है। अतः दिया गया समीकरण \(n+1=16\) बनेगा, जिससे \(n=15\) प्राप्त होता है। \(n=16\) लेने पर योग 17 हो जाएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{0}=1\) और \(\binom{n}{1}=n\) को तुरंत पहचानें। / Using the combination identities, \(\binom{n}{1}=n\) and \(\binom{n}{0}=1\). Thus, the given equation becomes \(n+1=16\), which gives \(n=15\). If \(n=16\), the sum would be 17, so it is not correct. Exam tip: Remember directly that \(\binom{n}{0}=1\) and \(\binom{n}{1}=n\).
\(\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!4!}=15\) है। साथ ही, \(\binom{6}{4}=\binom{6}{2}=15\), क्योंकि \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। अतः \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\)। विकल्प 15 केवल एक पद का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: पूरक चयन वाले पदों के लिए \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) का उपयोग करें। / \(\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!4!}=15\). Also, \(\binom{6}{4}=\binom{6}{2}=15\), using \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Therefore, \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\). Option 15 is the value of only one term, not their sum. Exam tip: use \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) for complementary selections.
पास्कल पहचान \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) है। इसलिए उत्तर \(\binom{6}{3}\) है। / Pascal's identity is \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{6}{3}\).
प्रत्येक 6 अलग-अलग सिक्कों के लिए दो विकल्प हैं—उसे चुनना या न चुनना। इसलिए कुल चयन, खाली चयन सहित, \(2^6=64\) हैं। प्रश्न में कम से कम 1 सिक्का चुनना है, अतः खाली चयन को हटाने पर \(64-1=63\) तरीके मिलते हैं। विकल्प 64 गलत है क्योंकि उसमें कोई भी सिक्का न चुनने का तरीका भी शामिल है। परीक्षा टिप: “कम से कम एक” वाले चयन में प्रायः कुल उपसमुच्चयों में से खाली चयन घटाएँ। / For each of the 6 distinct coins, there are two choices: select it or do not select it. Hence, the total number of selections, including the empty selection, is \(2^6=64\). Since at least 1 coin must be selected, exclude the empty selection: \(64-1=63\). Option 64 is incorrect because it also includes selecting no coin. Exam tip: for “at least one” selection questions, subtract the empty selection from the total number of subsets.
प्रत्येक 5 अलग-अलग कार्ड के लिए दो स्वतंत्र विकल्प हैं—उसे चुनना या न चुनना। अतः कुल चयन \(2^5=32\) होंगे। इसमें कोई कार्ड न चुनने का एक तरीका भी शामिल है, क्योंकि प्रश्न में “किसी भी संख्या” कहा गया है। \(31\) तरीके केवल तब होते हैं जब कम-से-कम एक कार्ड चुनना अनिवार्य हो। परीक्षा टिप: “any number” में सामान्यतः 0 भी शामिल होता है; “one or more” होने पर रिक्त चयन घटा दें। / For each of the 5 distinct cards, there are two independent choices: select it or do not select it. Therefore, the total number of selections is \(2^5=32\). This includes the one way of selecting no card, because the question says “any number.” The answer would be \(31\) only if selecting at least one card were required. Exam tip: “any number” usually includes 0; subtract the empty selection only when the question says “one or more.”
तरीके \(\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=6+4+1=11\) हैं। कम से कम में सभी मान जोड़ें। / The ways are \(\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=6+4+1=11\). Add all possible values in at least questions.
अधिकतम 1 विषय चुनने में दो स्थितियाँ शामिल हैं: कोई विषय न चुनना और ठीक 1 विषय चुनना। अतः कुल तरीके \(\binom{7}{0}+\binom{7}{1}=1+7=8\) हैं। विकल्प 7 केवल ठीक 1 विषय चुनने के तरीके बताता है; इसमें कोई विषय न चुनने का एक तरीका शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: “अधिकतम” में दी गई संख्या से कम सभी सम्भव चयन भी गिने जाते हैं। / Selecting at most 1 subject includes two cases: selecting no subject and selecting exactly 1 subject. Thus, the total number of ways is \(\binom{7}{0}+\binom{7}{1}=1+7=8\). Option 7 counts only the selections of exactly one subject and misses the one way of selecting none. Exam tip: “At most” includes every possible selection below the stated number as well.
क्रम महत्वपूर्ण नहीं होने पर संयोजन का प्रयोग करते हैं। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{9}{2}=\frac{9\times8}{2\times1}=36\) है। \(72\) लेने पर क्रम को अलग-अलग गिन लिया जाएगा, जबकि यहाँ ऐसा नहीं करना है। परीक्षा टिप: जब चयन में क्रम का प्रभाव न हो, तो \(nCr\) का प्रयोग करें। / Since the order of selection does not matter, use combinations. Thus, the number of ways is \(\binom{9}{2}=\frac{9\times8}{2\times1}=36\). Choosing 72 would count different orders separately, which is not required here. Exam tip: use \(nCr\) whenever order does not affect a selection.
अक्षर केवल चुने जा रहे हैं इसलिए \(\binom{10}{4}=210\) होगा। व्यवस्था न पूछी जाए तो संयोजन लगाएं। / Letters are only being selected, so \(\binom{10}{4}=210\). Use combination when arrangement is not asked.
दो चित्र चुनने के तरीके \(\binom{6}{2}=15\) हैं। लगाने की जगह न दी हो तो केवल चयन मानें। / The ways to choose two pictures are \(\binom{6}{2}=15\). If positions are not given, consider only selection.
तीन स्वादों का चयन \(\binom{7}{3}=35\) तरीकों से होगा। स्वादों का क्रम सामान्यतः नहीं गिना जाता। / The (3) flavors can be selected in \(\binom{7}{3}=35\) ways. The order of flavors is usually not counted.
यह चयन का प्रश्न है, क्योंकि टिकटों को चुनने का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{8}{5}=\frac{8!}{5!3!}=56\) होगी। \(\binom{8}{3}\) भी लिया जा सकता है, क्योंकि 5 टिकट चुनना 3 टिकट छोड़ने के बराबर है। परीक्षा टिप: जब क्रम का कोई महत्व न हो, तो संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / This is a selection problem because the order in which the tickets are chosen does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{8}{5}=\frac{8!}{5!3!}=56\). We can also use \(\binom{8}{3}\), since choosing 5 tickets is equivalent to leaving out 3 tickets. Exam tip: use combinations \(\binom{n}{r}\) when order is not important.
दोनों पुस्तकें हिंदी होनी हैं इसलिए \(\binom{3}{2}=3\) तरीके हैं। शर्त पढ़कर सही समूह चुनें। / Both books must be Hindi, so there are \(\binom{3}{2}=3\) ways. Read the condition and choose the correct group.
तरीके \(\binom{4}{2}\binom{5}{1}=6\cdot5=30\) हैं। अलग श्रेणियों का चयन गुणा से जुड़ता है। / The ways are \(\binom{4}{2}\binom{5}{1}=6\cdot5=30\). Selections from different categories are multiplied.
तरीके \(\binom{5}{1}\binom{6}{3}=5\cdot20=100\) हैं। पहले शर्तों को अलग करें फिर गुणा करें। / The ways are \(\binom{5}{1}\binom{6}{3}=5\cdot20=100\). Separate the conditions first and then multiply.
यहाँ 6 मिठाइयों में से 2 मिठाइयों का केवल चयन करना है; चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। इसलिए तरीकों की संख्या \(\binom{6}{2}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\) होगी। 30 तब मिलता यदि क्रम भी गिना जाता, अर्थात क्रमचय \(^{6}P_2\) लिया जाता। परीक्षा टिप: ‘चुनने’ या ‘select’ शब्द हो और क्रम न दिया हो, तो सामान्यतः संयोजन लगाएँ। / Only a selection of 2 sweets from 6 is required, so the order of selection does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{6}{2}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\). The value 30 would result if order were counted, using the permutation \(^{6}P_2\). Exam tip: When a question says “choose” or “select” and does not mention order, use combinations.
रंगों के स्थान तय नहीं हैं, इसलिए लाल-नीला और नीला-लाल एक ही चयन माने जाएंगे। अतः क्रम का महत्व नहीं है और संयोजन लगेगा: \(\binom{9}{2}=\frac{9\times8}{2}=36\)। इसलिए सही उत्तर 36 है। 72 क्रमचय \(9\times8\) से मिलता है, जिसमें रंगों के क्रम को अलग माना जाता है। परीक्षा टिप: जब केवल चयन हो और क्रम महत्त्वपूर्ण न हो, तब \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Since the positions of the colours are not fixed, choosing red and blue is the same as choosing blue and red. Thus, order does not matter and combinations are used: \(\binom{9}{2}=\frac{9\times8}{2}=36\). Therefore, the correct answer is 36. The value 72 comes from the permutation \(9\times8\), where different orders are counted separately. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) when only selection matters and order is irrelevant.
0 उपहार चुनने का केवल 1 तरीका है: कोई उपहार न चुनना। 1 उपहार चुनने के
\(\binom{10}{1}=10\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{10}{0}+\binom{10}{1}=1+10=11\) हैं। केवल 10 लेना गलत है, क्योंकि उसमें 0 उपहार चुनने का एक तरीका शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: ‘या’ वाले अलग-अलग चयन मामलों के तरीकों को जोड़ें। / There is exactly 1 way to choose 0 gifts: choose none. There are \(\binom{10}{1}=10\) ways to choose 1 gift. Hence, the total is \(\binom{10}{0}+\binom{10}{1}=1+10=11\). Choosing 10 alone is incorrect because it omits the one way of choosing no gift. Exam tip: Add the counts for mutually exclusive selection cases joined by “or.”
यहाँ केवल 7 अध्यायों में से 4 अध्याय चुनने हैं; चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। अतः संयोजनों का प्रयोग होगा: \(\binom{7}{4}=\frac{7!}{4!3!}=35\)। इसलिए सही उत्तर 35 है। विकल्प 210 क्रम को महत्त्व देने पर मिलने वाला \(7P4\) है, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब वस्तुओं को केवल चुनना हो, उनका क्रम न हो, तो \(nCr\) का प्रयोग करें। / Here, 4 chapters are to be selected from 7 chapters, and the order of selection does not matter. Therefore, use combinations: \(\binom{7}{4}=\frac{7!}{4!3!}=35\). Hence, the correct answer is 35. Option 210 is \(7P4\), which applies when order matters, so it is not correct here. Exam tip: use \(nCr\) when objects are selected without considering their order.
यहाँ 11 प्रश्नों में से केवल 2 प्रश्नों को छोड़ने के लिए चुनना है। प्रश्नों को छोड़ने का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है, इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{11}{2}=\frac{11\times10}{2\times1}=55\)। अतः सही उत्तर 55 है। 110 प्राप्त होता यदि क्रम को भी गिना जाता, अर्थात क्रमचय लिया जाता। परीक्षा टिप: जब केवल वस्तुओं का चयन हो और क्रम का उल्लेख न हो, तो \(\binom{n}{r}\) प्रयोग करें। / We need to select 2 questions out of 11 to be left out. Since the order in which the questions are selected does not matter, use combinations: \(\binom{11}{2}=\frac{11\times10}{2\times1}=55\). Therefore, the correct answer is 55. The value 110 would result if order were counted, that is, if permutations were used. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) when items are selected and their order is not specified.
12 विद्यार्थियों में से 9 को चुनने पर शेष 3 विद्यार्थी नहीं चुने जाते हैं। इसलिए \(\binom{12}{9}=\binom{12}{12-9}=\binom{12}{3}\)। विकल्प 9, चुने गए विद्यार्थियों की संख्या है, न चुने गए विद्यार्थियों की नहीं। परीक्षा टिप: संयोजन में \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) का उपयोग करें। / If 9 students are selected from 12, then 3 students are left unselected. Hence, \(\binom{12}{9}=\binom{12}{12-9}=\binom{12}{3}\). Option 9 represents the number selected, not the number unselected. Exam tip: use the identity \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) in combination questions.
कुल \(\binom{8}{3}=56\) हैं और केवल लड़के \(\binom{5}{3}=10\) हैं। इसलिए (56-10=46) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{8}{3}=56\), and all-boy selections are \(\binom{5}{3}=10\). Therefore (56-10=46) ways.
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{18}{2}=\frac{18\times17}{2}=153\) होगी। \(306\) प्राप्त होता यदि दो बैजों के क्रम को भी अलग-अलग माना जाता। परीक्षा टिप: “चुनना” या “selection” शब्द हो और क्रम न दिया हो, तो सामान्यतः संयोजन का प्रयोग करें। / This is a selection problem, so the order of the badges does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{18}{2}=\frac{18\times17}{2}=153\). The value \(306\) would result if the order of the two badges were also counted. Exam tip: When a question says “choose” or “select” and no order is specified, use combinations.
टीम चुनना संयोजन है इसलिए \(\binom{10}{5}=252\) होगा। पद न दिए हों तो क्रम नहीं देखें। / Selecting a team is a combination, so \(\binom{10}{5}=252\). If posts are not assigned, do not consider order.
यहाँ 13 अलग-अलग अध्यायों में से केवल 3 अध्याय चुनने हैं; चयन का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः संयोजनों का प्रयोग होगा: \(\binom{13}{3}=\frac{13\times12\times11}{3\times2\times1}=286\)। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प D, \(13\times12\times11=1716\), क्रम को भी गिनता है, इसलिए यह क्रमचय के लिए होता है। परीक्षा टिप: जब केवल चयन हो और क्रम का उल्लेख न हो, तो \(nCr\) लगाएँ। / Here, only 3 chapters are to be chosen from 13 different chapters, so the order of selection does not matter. Therefore, use combinations: \(\binom{13}{3}=\frac{13\times12\times11}{3\times2\times1}=286\). Hence, option C is correct. Option D, \(13\times12\times11=1716\), counts different orders as well, so it represents a permutation. Exam tip: Use \(nCr\) when only selection is involved and order is not specified.
यह क्रम की नहीं, केवल चयन की स्थिति है; इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा। आवश्यक तरीके \(\binom{9}{6}=\frac{9!}{6!3!}=84\) हैं। इसे \(\binom{9}{6}=\binom{9}{3}\) भी लिख सकते हैं, क्योंकि 6 फाइलें चुनना 3 फाइलें छोड़ने के बराबर है। \(126\) निकट का भ्रामक विकल्प है, पर वह \(\binom{9}{4}\) का मान है। परीक्षा टिप: जब चयन का क्रम महत्वपूर्ण न हो, तो \(nCr\) लगाएँ। / This is a selection problem, not an arrangement problem, so combinations are used. The required number of ways is \(\binom{9}{6}=\frac{9!}{6!3!}=84\). Equivalently, \(\binom{9}{6}=\binom{9}{3}\), because choosing 6 files is the same as leaving out 3 files. The nearby distractor \(126\) is the value of \(\binom{9}{4}\), not \(\binom{9}{6}\). Exam tip: use \(nCr\) when the order of selection does not matter.
तरीके \(\binom{6}{3}\binom{5}{1}=20\cdot5=100\) हैं। अलग वर्गों से चयन में गुणा करें। / The ways are \(\binom{6}{3}\binom{5}{1}=20\cdot5=100\). Multiply selections from different groups.
चयन \(\binom{8}{2}\binom{7}{2}=28\cdot21=588\) है। हर रंग के लिए अलग संयोजन लगाएं। / The selection is \(\binom{8}{2}\binom{7}{2}=28\cdot21=588\). Use a separate combination for each color.
2 डॉक्टरों का चयन \(\binom{7}{2}=21\) तरीकों से और 1 नर्स का चयन \(\binom{4}{1}=4\) तरीकों से किया जा सकता है। स्वतंत्र चयन होने के कारण गुणन नियम से कुल तरीके \(\binom{7}{2}\binom{4}{1}=21\times4=84\) होंगे। \(56\) जैसा विकल्प डॉक्टरों और नर्सों के चयन को सही ढंग से संयोजित नहीं करता। परीक्षा टिप: अलग-अलग समूहों से निश्चित संख्या में सदस्य चुनने पर उनके संयोजनों का गुणन करें। / Two doctors can be selected in \(\binom{7}{2}=21\) ways, and one nurse can be selected in \(\binom{4}{1}=4\) ways. Since these selections are independent, the multiplication principle gives \(\binom{7}{2}\binom{4}{1}=21\times4=84\) teams. The option \(56\) does not correctly combine the selections of doctors and nurses. Exam tip: when fixed numbers are chosen from separate groups, multiply the corresponding combinations.
तरीके \(\binom{5}{2}\binom{6}{3}=10\cdot20=200\) हैं। अलग विषयों के चयन को गुणा करें। / The ways are \(\binom{5}{2}\binom{6}{3}=10\cdot20=200\). Multiply selections from different subjects.
एक समिति में 8 सदस्य हैं। इनमें से अध्यक्ष और सचिव के दो अलग-अलग पद भरने हैं। यदि किसी सदस्य को दोनों पद नहीं दिए जा सकते, तो अध्यक्ष और सचिव चुनने के कितने तरीके हैं?
पद अलग-अलग हैं, इसलिए चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण है। अध्यक्ष के लिए 8 और फिर सचिव के लिए शेष 7 विकल्प हैं। अतः तरीके \(8\times7=56\) होंगे। \(\binom{8}{2}=28\) केवल दो सदस्यों का क्रमरहित चयन है। परीक्षा टिप: अलग पद हों तो क्रमचय लगाएँ। / Because the posts are distinct, order matters. There are 8 choices for chairperson and then 7 remaining choices for secretary, so \(8\times7=56\). \(\binom{8}{2}=28\) counts an unordered pair only. Exam tip: use permutations when positions are different.
प्रत्येक मैच दो अलग-अलग टीमों की एक जोड़ी से बनता है। अतः 11 टीमों में से 2 टीमों को चुनने के तरीकों की संख्या ही कुल मैचों की संख्या होगी: \(\binom{11}{2}=\frac{11\times10}{2}=55\)। इसलिए विकल्प B सही है। 110 गिनने पर प्रत्येक मैच को दो बार गिना जाएगा, जैसे A बनाम B और B बनाम A। परीक्षा टिप: एक बार खेलने वाली लीग के लिए कुल मैच \(\binom{n}{2}\) होते हैं। / Each match is determined by a pair of distinct teams. Therefore, the number of matches equals the number of ways to choose 2 teams from 11: \(\binom{11}{2}=\frac{11\times10}{2}=55\). Hence, option B is correct. Counting 110 would count every match twice, such as A versus B and B versus A. Exam tip: for a single round-robin league with \(n\) teams, total matches are \(\binom{n}{2}\).
एक त्रिभुज बनाने के लिए 14 बिंदुओं में से कोई भी 3 बिंदु चुने जाते हैं। चूँकि कोई भी 3 बिंदु एक सीध में नहीं हैं, इसलिए चुना गया प्रत्येक समूह एक त्रिभुज बनाएगा। अतः त्रिभुजों की संख्या \(\binom{14}{3}=\frac{14\times13\times12}{3\times2\times1}=364\) है। विकल्प 1092 क्रमचय जैसी गणना से आ सकता है, पर त्रिभुज में बिंदुओं का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता। परीक्षा टिप: जब केवल वस्तुओं का चयन हो और क्रम का प्रभाव न हो, तो संयोजन का प्रयोग करें। / A triangle is formed by selecting any 3 of the 14 points. Since no 3 points are collinear, every selected group of 3 points forms a triangle. Therefore, the number of triangles is \(\binom{14}{3}=\frac{14\times13\times12}{3\times2\times1}=364\). The value 1092 can result from an arrangement-based calculation, but the order of vertices does not matter for a triangle. Exam tip: use combinations when objects are selected and their order is irrelevant.
प्रत्येक सीधी रेखा दो भिन्न बिंदुओं को मिलाने पर बनती है। चूँकि कोई तीन बिंदु एक ही रेखा पर नहीं हैं, इसलिए प्रत्येक बिंदु-युग्म एक अलग रेखा देगा। अतः रेखाओं की संख्या \(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2}=66\) है। \(132\) लेने पर एक ही बिंदु-युग्म की व्यवस्था को दो बार गिना जाएगा। परीक्षा टिप: बिंदुओं से बनने वाली रेखाओं के लिए, जब कोई तीन बिंदु समरेखीय न हों, \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / A straight line is determined by a pair of distinct points. Since no three points are collinear, every pair of points gives a different line. Therefore, the number of lines is \(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2}=66\). The value \(132\) would count each pair in two orders. Exam tip: when no three of \(n\) points are collinear, use \(\binom{n}{2}\) to find the number of lines.
तीन असंरेख बिंदु एक अद्वितीय वृत्त निर्धारित करते हैं। चूँकि दिए गए किसी भी तीन बिंदु एक ही सीध में नहीं हैं, इसलिए 10 बिंदुओं में से किसी भी 3 बिंदुओं का चयन किया जा सकता है। अतः वृत्तों की संख्या \(\binom{10}{3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120\) होगी। विकल्प 90 क्रमित चयन जैसा परिणाम है, जबकि यहाँ बिंदुओं का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। परीक्षा टिप: जब चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण न हो, तब संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Any three non-collinear points determine one unique circle. Since no three of the given points are collinear, any set of 3 points can be chosen. Therefore, the number of circles is \(\binom{10}{3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120\). The value 90 does not represent the required unordered selection; the order of chosen points is irrelevant here. Exam tip: Use combinations \(\binom{n}{r}\) when the order of selection does not matter.
यहाँ केवल 8 अतिथियों में से 4 का चयन करना है; मंच पर बुलाने का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए संयोजनों का प्रयोग होगा: \(\binom{8}{4}=\frac{8!}{4!\,4!}=70\)। विकल्प 1680, \(8P_4\) है, जो तब होता जब चारों अतिथियों को क्रम के साथ बुलाना होता। परीक्षा टिप: क्रम महत्वपूर्ण न हो तो \(nCr\) का प्रयोग करें। / Only a selection of 4 guests from 8 is required; the order of calling them is not important. Hence, use combinations: \(\binom{8}{4}=\frac{8!}{4!\,4!}=70\). The value 1680 is \(8P_4\), which would apply if the four guests were called in a specific order. Exam tip: use \(nCr\) when order does not matter.
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{16}{4}=\frac{16!}{4!\,12!}=1820\)। अतः 16 कार्डों में से 4 कार्ड चुनने के 1820 तरीके हैं। \(43680\) क्रमचय \(^{16}P_4\) का मान है, जिसमें कार्डों का क्रम भी महत्त्वपूर्ण होता है; यहाँ क्रम नहीं पूछा गया है। परीक्षा टिप: ‘चुनना’ या ‘select’ हो और क्रम का उल्लेख न हो, तो सामान्यतः \(nCr\) लगाएँ। / This is a selection question, so combinations are used: \(\binom{16}{4}=\frac{16!}{4!\,12!}=1820\). Therefore, there are 1820 ways to choose 4 cards from 16 cards. \(43680\) is the value of the permutation \(^{16}P_4\), where the order of the cards matters; no order is asked for here. Exam tip: When a question says “choose” or “select” without mentioning order, usually use \(nCr\).
A. पुस्तकालय से 3 पुस्तकों का चयन/Selecting 3 books from a library
Explanation
Simple Explanation
पुस्तकालय से 3 पुस्तकों के चयन में पुस्तकों का क्रम बदलने पर समूह वही रहता है, इसलिए यह संयोजन है। इसके विपरीत पद, स्थान और पासवर्ड में क्रम बदलने से परिणाम बदलता है। परीक्षा टिप: “चयन” में क्रम न हो तो संयोजन सोचें। / When 3 books are selected, changing their order gives the same group, so it is a combination. In ranks, offices and passwords, changing the order changes the outcome. Exam tip: use combinations when only selection matters, not arrangement.
प्रत्येक सिक्के के लिए दो विकल्प हैं—उसे चुनना या न चुनना। इसलिए 8 अलग-अलग सिक्कों के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^8=256\) है। इनमें एक चयन ऐसा है जिसमें कोई भी सिक्का नहीं चुना जाता; इसे हटाने पर \(256-1=255\) तरीके मिलते हैं। अतः सही उत्तर 255 है। 256 विकल्प खाली चयन को भी शामिल करता है। परीक्षा टिप: “कम से कम एक” के प्रश्नों में प्रायः कुल चयन में से रिक्त चयन घटाएँ। / Each coin has two choices: it may be selected or not selected. Hence, the total number of subsets of 8 distinct coins is \(2^8=256\). One of these is the empty selection, in which no coin is chosen. Therefore, the required number is \(256-1=255\). Thus, 255 is correct; 256 incorrectly includes the empty selection. Exam tip: for “at least one” selection questions, subtract the empty selection from the total.
6 रंगों के प्रत्येक रंग को चुनने या न चुनने के 2 विकल्प हैं, इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^6=64\) हैं। इनमें 0 रंग चुनने का 1 तरीका और केवल 1 रंग चुनने के \(\binom{6}{1}=6\) तरीके मान्य नहीं हैं। अतः आवश्यक तरीके \(64-1-6=57\) हैं। विकल्प 63 में केवल रिक्त चयन को हटाया गया है, जबकि एक रंग वाले चयन भी हटाने होंगे। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाले प्रश्नों में प्रायः पूरक गणना जल्दी होती है। / Each of the 6 colours has two possibilities: selected or not selected. Hence, there are \(2^6=64\) total subsets. The 1 selection with no colour chosen and the \(\binom{6}{1}=6\) selections with exactly one colour chosen are not allowed. Therefore, the required number is \(64-1-6=57\). Option 63 excludes only the empty selection, but selections of exactly one colour must also be excluded. Exam tip: For “at least” questions, counting the complement is often quicker.
अधिकतम (2) का अर्थ (0), (1) या (2) चयन है। इसलिए \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=16\) है। / At most (2) means selecting (0), (1), or (2). Hence \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=16\).
ठीक (4) चुनने के तरीके \(\binom{9}{4}=126\) हैं। ठीक शब्द आने पर एक ही (r) मान लें। / The ways to choose exactly (4) are \(\binom{9}{4}=126\). When exactly is given, use only one (r) value.
एक कर्मचारी पहले से चुना है इसलिए बाकी (4) कर्मचारी (11) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{11}{4}=330\) हैं। / One employee is already selected, so choose the remaining (4) from (11). The ways are \(\binom{11}{4}=330\).
निश्चित सदस्य को शामिल नहीं करना है, इसलिए चयन के लिए केवल 10 सदस्य उपलब्ध हैं। समिति में पदों का कोई क्रम नहीं होता, अतः संयोजन का प्रयोग करेंगे: \(\binom{10}{4}=210\)। इसलिए सही उत्तर 210 है। विकल्प 330 गलत है, क्योंकि वह \(\binom{11}{4}\) है और उसमें निश्चित सदस्य को बाहर नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: किसी व्यक्ति के अनिवार्य रूप से बाहर होने पर पहले कुल सदस्यों में से उसे घटाएँ, फिर संयोजन लगाएँ। / Since the fixed member must not be included, only 10 members are available for selection. As the positions in a committee do not matter, use combinations: \(\binom{10}{4}=210\). Hence, the correct answer is 210. Option 330 is incorrect because it equals \(\binom{11}{4}\), which does not exclude the fixed member. Exam tip: When a person must be excluded, first remove that person from the total and then apply combinations.
दो विशेष विद्यार्थी पहले से चुने हैं। बाकी (2) विद्यार्थी (7) में से \(\binom{7}{2}=21\) तरीकों से चुने जाएंगे। / The two special students are already selected. The remaining (2) students are chosen from (7) in \(\binom{7}{2}=21\) ways.
कुल \(\binom{10}{5}=252\) और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{8}{3}=56\) तरीके हैं। इसलिए (252-56=196) नहीं बल्कि सही बचा (196) है। / Total ways are \(\binom{10}{5}=252\), and ways with both special players are \(\binom{8}{3}=56\). Thus the valid ways are (196).
मामले हैं (2) लड़कियां, (3) लड़कियां या (4) लड़कियां। कुल \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}+\binom{4}{3}\binom{6}{1}+\binom{4}{4}=115\) नहीं, सही गणना (90+24+1=115) है। / The cases are (2), (3), or (4) girls. The correct count is \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}+\binom{4}{3}\binom{6}{1}+\binom{4}{4}=115\).
कुल \(\binom{10}{3}=120\) और केवल पुरुष \(\binom{5}{3}=10\) हैं। इसलिए (120-10=110) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{10}{3}=120\), and all-men selections are \(\binom{5}{3}=10\). Hence (120-10=110) ways.
ठीक (1) वाणिज्य विद्यार्थी के लिए \(\binom{3}{1}\binom{7}{2}=3\cdot21=63\) तरीके हैं। ठीक शब्द पर वही संख्या लें। / For exactly (1) commerce student, the ways are \(\binom{3}{1}\binom{7}{2}=3\cdot21=63\). Use that exact number when exactly is given.
संयोजन का सूत्र है: \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)। अतः \(\binom{18}{1}=\frac{18!}{1!\,17!}=18\) होगा। इसलिए विकल्प B सही है। \(36\) और \(324\) क्रमशः \(18\) का दोगुना और वर्ग हैं, संयोजन का मान नहीं। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{1}=n\) को सीधे याद रखें। / Using the combination formula, \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\). Thus, \(\binom{18}{1}=\frac{18!}{1!\,17!}=18\). Therefore, option B is correct. The values 36 and 324 are respectively twice and the square of 18, not the value of this combination. Exam tip: remember directly that \(\binom{n}{1}=n\).
संयोजन का सूत्र है \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)। यहाँ \(n=17\) और \(r=0\) रखने पर \(\binom{17}{0}=\frac{17!}{0!\,17!}=1\), क्योंकि \(0!=1\)। इसका अर्थ है कि 17 वस्तुओं में से कोई भी वस्तु न चुनने का केवल एक तरीका है। विकल्प 0 चयनित वस्तुओं की संख्या है, तरीकों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: हमेशा याद रखें कि \(\binom{n}{0}=1\) और \(\binom{n}{n}=1\)। / Using the combination formula, \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\). Substituting \(n=17\) and \(r=0\), we get \(\binom{17}{0}=\frac{17!}{0!\,17!}=1\), since \(0!=1\). This means there is exactly one way to choose no objects from 17 objects. Option 0 represents the number of objects selected, not the number of ways. Exam tip: Remember that \(\binom{n}{0}=1\) and \(\binom{n}{n}=1\).
संयोजन में \(\binom{n}{n}\) का अर्थ \(n\) वस्तुओं में से सभी \(n\) वस्तुओं को चुनना है। सभी 11 वस्तुओं को चुनने का केवल एक ही तरीका है, इसलिए \(\binom{11}{11}=1\)। \(11\) वस्तुओं का होना विकल्पों की संख्या नहीं बताता; चयन का तरीका केवल एक है। परीक्षा टिप: याद रखें, \(\binom{n}{n}=\binom{n}{0}=1\)। / In combinations, \(\binom{n}{n}\) means choosing all \(n\) objects from \(n\) objects. There is exactly one way to choose all 11 objects, so \(\binom{11}{11}=1\). The number 11 is the number of objects, not the number of possible selections. Exam tip: remember that \(\binom{n}{n}=\binom{n}{0}=1\).
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\) है। अतः \(\binom{15}{2}=\frac{15\times14}{2\times1}=105\)। इसलिए सही उत्तर 105 है। 210 में 2 से भाग नहीं दिया गया है, जबकि दो वस्तुओं के क्रम बदलने पर नया चयन नहीं बनता। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) का सूत्र सीधे प्रयोग करें। / The combination formula is \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\). Therefore, \(\binom{15}{2}=\frac{15\times14}{2\times1}=105\), so 105 is correct. The value 210 results from not dividing by 2; changing the order of two selected objects does not create a new combination. Exam tip: use \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) directly.
संयोजन का सममिति गुण है: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। अतः \(\binom{8}{5}=\binom{8}{8-5}=\binom{8}{3}\), इसलिए विकल्प B सही है। \(\binom{8}{2}\) में पूरक संख्या 6 होती है, 5 नहीं। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{r}\) को तुरंत \(\binom{n}{n-r}\) में बदलकर विकल्पों से मिलाइए। / Combinations follow the symmetry property \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Therefore, \(\binom{8}{5}=\binom{8}{8-5}=\binom{8}{3}\), so option B is correct. In \(\binom{8}{2}\), the complementary selection is 6, not 5. Exam tip: Rewrite \(\binom{n}{r}\) as \(\binom{n}{n-r}\) to match such options quickly.
\(\binom{16}{3}=\frac{16\cdot15\cdot14}{3\cdot2\cdot1}=560\) है। छोटे (r) के लिए सीधा सूत्र उपयोगी है। / \(\binom{16}{3}=\frac{16\cdot15\cdot14}{3\cdot2\cdot1}=560\). Direct formula is useful for small (r).
पूरकता के गुण के अनुसार \\(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\\)। इसलिए \\(\binom{12}{10}=\binom{12}{2}\\)। अब \\(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2}=66\\), अतः योग \\(66+66=132\\) है। 66 केवल एक पद का मान है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \\(\binom{n}{r}\\) और \\(\binom{n}{n-r}\\) हमेशा बराबर होते हैं। / Using the complementary property, \\(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\\). Hence, \\(\binom{12}{10}=\binom{12}{2}\\). Now, \\(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2}=66\\), so the sum is \\(66+66=132\\). Option 66 is the value of only one term, so it is a close but incorrect distractor. Exam tip: \\(\binom{n}{r}\\) and \\(\binom{n}{n-r}\\) are always equal.
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{7}{3}\) नहीं, सही \(\binom{7}{3}\) है। / By Pascal's identity, \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the correct expression is \(\binom{7}{3}\).
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) है। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=45\Rightarrow n(n-1)=90\)। \(10\times9=90\), इसलिए \(n=10\) है। \(n=9\) लेने पर \(\binom{9}{2}=36\) मिलता है, जो 45 नहीं है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{2}\) वाले प्रश्न में पहले \(\frac{n(n-1)}{2}\) लिखकर हल करें। / Using the combination formula, \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n-1)}{2}=45\Rightarrow n(n-1)=90\). Since \(10\times9=90\), \(n=10\). For comparison, \(\binom{9}{2}=36\), not 45. Exam tip: For \(\binom{n}{2}\), first write it as \(\frac{n(n-1)}{2}\).
क्रम महत्त्वपूर्ण न होने पर चयन संयोजन होता है, इसलिए 3 विद्यार्थियों के चयन की संख्या \(\binom{n}{3}\) है। \({}^nP_3\) क्रमित व्यवस्थाओं को गिनता है। परीक्षा टिप: ‘चयन’ और ‘क्रम नहीं’ दिखे तो संयोजन चुनें। / When order does not matter, the selection is a combination, so choosing 3 students from \(n\) students is \(\binom{n}{3}\). \({}^nP_3\) counts ordered arrangements. Exam tip: use combinations for selection without order.
संयोजनों के सीमांत मानों के अनुसार \(\binom{n}{0}=1\) और \(\binom{n}{n}=1\) होते हैं। अतः उनका योग \(1+1=2\) है। यह सीमांत पहचान है, क्योंकि इसमें चयनित वस्तुओं की संख्या 0 या कुल \(n\) होती है। पास्कल पहचान में सामान्यतः \(\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}\) रूप होता है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{0}\) और \(\binom{n}{n}\) दोनों का मान हमेशा 1 याद रखें। / For the boundary values of combinations, \(\binom{n}{0}=1\) and \(\binom{n}{n}=1\). Therefore, their sum is \(1+1=2\). This is a boundary identity because the number of selected objects is either 0 or all \(n\) objects. Pascal's identity instead has the form \(\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}\). Exam tip: Always remember that \(\binom{n}{0}\) and \(\binom{n}{n}\) are both 1.
विशेष मिठाई पहले से चुनी है। बाकी (2) मिठाइयां (5) में से \(\binom{5}{2}=10\) तरीकों से चुनेंगे। / The special sweet is already selected. Choose the remaining (2) sweets from (5) in \(\binom{5}{2}=10\) ways.
एक खिलौना टूटा हुआ है, इसलिए उसे चुनने के लिए उपलब्ध नहीं माना जाएगा। अतः 8 में से केवल 7 अच्छे खिलौनों में से 3 खिलौने चुनने हैं। चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है, इसलिए तरीकों की संख्या \,\(\binom{7}{3}=35\) होगी। विकल्प 56, \(\binom{8}{3}\) है, जो टूटे खिलौने को भी उपलब्ध मानने पर मिलता है। परीक्षा टिप: ‘चुनने’ वाले प्रश्नों में क्रम न हो तो संयोजन का प्रयोग करें। / Since one toy is broken, it is not available for selection. Thus, 3 toys must be chosen from the remaining 7 good toys. As the order of selection does not matter, the number of ways is \,\(\binom{7}{3}=35\). Option 56 equals \(\binom{8}{3}\), which incorrectly includes the broken toy. Exam tip: use combinations when objects are selected and their order is irrelevant.
ठीक 2 हरी पेंसिल चुनने के लिए \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं। तीसरी पेंसिल नीली होनी चाहिए, जिसे \(\binom{4}{1}=4\) तरीकों से चुना जा सकता है। अतः कुल तरीके \(\binom{6}{2}\binom{4}{1}=15\times4=60\) हैं। 45 केवल हरी पेंसिलों के चुनाव से संबंधित गलत गणना हो सकती है। परीक्षा टिप: अलग-अलग समूहों से स्वतंत्र चुनाव हों, तो उनके तरीकों को गुणा करें। / There are \(\binom{6}{2}=15\) ways to choose exactly 2 green pencils. The remaining pencil must be blue, which can be chosen in \(\binom{4}{1}=4\) ways. Hence, the total number of selections is \(\binom{6}{2}\binom{4}{1}=15\times4=60\). A value such as 45 results from an incorrect count that does not properly include the required blue pencil. Exam tip: multiply the numbers of ways when choices from separate groups are made independently.
तरीके \(\binom{3}{1}\binom{4}{1}\binom{5}{1}=60\) हैं। तीन अलग समूहों के चयन को गुणा करें। / The ways are \(\binom{3}{1}\binom{4}{1}\binom{5}{1}=60\). Multiply selections from the three different groups.
पहले (2) प्रश्न तय हैं इसलिए बाकी (2) प्रश्न (10) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{10}{2}=45\) हैं। / The first (2) questions are fixed, so choose the remaining (2) from (10). The ways are \(\binom{10}{2}=45\).
3 विशेष प्रश्नों का चयन नहीं करना है, इसलिए वे उपलब्ध प्रश्नों में शामिल नहीं होंगे। अतः 15 - 3 = 12 प्रश्नों में से 5 प्रश्न चुनने के तरीके \(\binom{12}{5}=792\) हैं। इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प 1365, \(\binom{15}{4}\) के बराबर है और यह दी गई चयन-शर्त के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: निषिद्ध वस्तुओं वाले संयोजन में पहले उन्हें कुल संख्या से घटाइए, फिर संयोजन लगाइए। / The 3 special questions cannot be selected, so they are excluded from the available questions. Thus, 5 questions must be chosen from \(15-3=12\) questions: \(\binom{12}{5}=792\). Therefore, option B is correct. The value 1365 equals \(\binom{15}{4}\), which does not follow the given selection condition. Exam tip: For combinations with forbidden items, first subtract the forbidden items from the total, then apply the combination formula.
खास पोस्टर पहले से चुना है। दूसरा पोस्टर शेष (6) में से \(\binom{6}{1}=6\) तरीकों से चुनेगा। / The particular poster is already selected. The second poster is chosen from the remaining (6) in \(\binom{6}{1}=6\) ways.
जिस खास पुरस्कार को नहीं रखना है, उसे पहले हटा देते हैं। तब चुनने के लिए 8 पुरस्कार बचते हैं। प्रदर्शनी में केवल 3 पुरस्कार चुनने हैं, उनका क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, इसलिए तरीकों की संख्या \(\binom{8}{3}=56\) होगी। विकल्प 84 तब मिलता है जब गलती से 9 में से 3 पुरस्कार चुने जाएँ। परीक्षा टिप: चयन में क्रम का महत्व न हो तो संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Exclude the particular prize that must not be displayed. This leaves 8 prizes, and we need to select 3 of them. Since the order of selected prizes does not matter, the number of ways is \(\binom{8}{3}=56\). The value 84 would result from incorrectly choosing 3 prizes from all 9 prizes. Exam tip: use combinations, \(\binom{n}{r}\), when order is not important.
सभी काली गेंदें चाहिए इसलिए \(\binom{7}{4}=35\) तरीके हैं। बाकी सफेद गेंदों का प्रयोग नहीं होगा। / All balls must be black, so there are \(\binom{7}{4}=35\) ways. The white balls are not used.
शर्त है कि कोई भी गणित की पुस्तक नहीं चुननी है, इसलिए सभी 3 पुस्तकें 6 अंग्रेजी पुस्तकों में से चुनी जाएँगी। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{6}{3}=\frac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20\) है। विकल्प 15, \(\binom{6}{2}\) का मान है, जो 2 पुस्तकें चुनने के लिए होता है। परीक्षा टिप: ‘कोई गणित पुस्तक न हो’ जैसी शर्त मिलने पर पहले उन पुस्तकों को चयन से पूरी तरह हटा दें। / The condition excludes every mathematics book, so all 3 books must be chosen from the 6 English books. Hence, the number of selections is \(\binom{6}{3}=\frac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20\). Option 15 is \(\binom{6}{2}\), which counts selections of only 2 books. Exam tip: When a category is completely excluded, remove it before forming the combination.
जिस खास चाबी को नहीं चुनना है, उसे पहले हटा दें। तब चुनने के लिए 7 चाबियां बचती हैं। इनमें से 2 चाबियां चुनने के तरीके \(\binom{7}{2}=\frac{7\times6}{2}=21\) हैं। \(\binom{8}{2}=28\) लेने पर प्रतिबंधित चाबी वाले चयन भी शामिल हो जाते हैं। परीक्षा टिप: ‘न चुनी जाए’ वाले प्रश्न में उस वस्तु को पहले कुल वस्तुओं से हटा दें। / First exclude the particular key that must not be selected. This leaves 7 keys, and the number of ways to choose 2 of them is \(\binom{7}{2}=\frac{7\times6}{2}=21\). Using \(\binom{8}{2}=28\) would incorrectly include selections containing the prohibited key. Exam tip: for a “must not be selected” condition, remove that object before forming the combination.
कुल \(\binom{10}{3}=120\) हैं और दोनों खास फोटो साथ हों तो \(\binom{8}{1}=8\) तरीके हैं। इसलिए (120-8=112) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{10}{3}=120\), and ways with both particular photos are \(\binom{8}{1}=8\). Thus (120-8=112) ways.
