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D. दोहरते पायदानों का वृत्तीय प्रवाह/Circular flow of repeated steps
Explanation
Simple Explanation
दोहरते पायदान और घूमती दिशा spiral rhythm बनाते हैं। परीक्षा में repetition और direction दोनों देखें। / Repeated steps and a rotating direction create spiral rhythm. Exam tip: observe both repetition and direction.
D. घुमावदार प्रवाहपूर्ण मार्ग/A curving flowing path
Explanation
Simple Explanation
घुमावदार सीढ़ी आँख को वृत्तीय दिशा में आगे बढ़ाती है। परीक्षा में spiral rhythm पहचानें। / A spiral staircase guides the eye along a circular direction. Exam tip: identify spiral rhythm.
C. घुमावदार प्रवाहपूर्ण लय/Curving, flowing rhythm
Explanation
Simple Explanation
घुमावदार सीढ़ियों की सर्पिल आकृति दर्शक की दृष्टि को निरंतर ऊपर या नीचे की ओर ले जाती है। यह गोलाई और गति का आभास देने वाली घुमावदार, प्रवाहपूर्ण लय बनाती है। नियमित लय में समान आकृतियाँ या अंतराल बार-बार दोहराए जाते हैं, जबकि सर्पिल सीढ़ी का मुख्य प्रभाव वक्र गति है। परीक्षा टिप: जिस रचना में आँख वक्र पथ पर चलती महसूस हो, वहाँ प्रवाहपूर्ण या घुमावदार लय पहचानें। / The spiral form of a staircase leads the viewer’s eye continuously upward or downward. Its curved path creates a flowing, curving rhythm and a sense of movement. Regular rhythm depends mainly on evenly repeated shapes or intervals, whereas the main visual effect of a spiral staircase is curved movement. Exam tip: when the eye appears to travel along a curved path, look for flowing or curving rhythm.
D. सभी समान दिशाओं की किनारियों को संगत लुप्त बिंदुओं की ओर ले जाना/Directing all similarly oriented edges toward consistent vanishing points
Explanation
Simple Explanation
सीढ़ियों की अलग दिशा वाली किनारियां अपने संबंधित लुप्त बिंदुओं का पालन करती हैं। परीक्षा में प्रत्येक दिशा का समूह अलग जांचें। / Edges sharing the same direction must follow their corresponding vanishing points. In exams check each directional set separately.
सीढ़ी की समान पायदानें एक ही आकार में बराबर अंतराल पर बार-बार दिखाई देती हैं, इसलिए यह नियमित लय का उदाहरण है। क्रमिक लय में आकार, रंग या अंतराल धीरे-धीरे बदलते हैं, जबकि यहाँ कोई परिवर्तन नहीं होता। परीक्षा टिप: समान तत्वों की बराबर दूरी पर पुनरावृत्ति दिखे तो नियमित लय पहचानें। / Equal staircase steps repeat in the same size at equal intervals, so they create regular rhythm. In progressive rhythm, the size, colour, or spacing changes gradually; no such change occurs here. Exam tip: repeated similar elements at equal intervals indicate regular rhythm.
C. दिशा और आकृति विरोधाभास/Direction and shape contrast
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल रूप सीधी रेखाओं से दिशा और आकृति दोनों में अलग है। परीक्षा में संयुक्त विरोधाभास पहचानें। / The spiral differs from straight lines in both direction and shape. In exams identify combined contrast.
सर्पिल रेखा केंद्र के चारों ओर घूमती हुई आगे बढ़ती है। परीक्षा में spiral को coil से समझें। / A spiral line moves around a centre like a coil. Exam tip: understand spiral through a coil.
A. वक्र रेखा जो केंद्र के चारों ओर भीतर या बाहर की ओर घूमती है/A curved line that winds inward or outward around a centre
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल रेखा एक वक्र रेखा होती है जो केंद्र के चारों ओर घूमते हुए धीरे-धीरे भीतर या बाहर की ओर बढ़ती है। इसलिए विकल्प A सही है। लहरदार रेखा भी वक्र होती है, पर वह केंद्र के चारों ओर घूमकर सर्पिल आकार नहीं बनाती। परीक्षा टिप: सर्पिल को घोंघे के खोल या कुंडली जैसे आकार से पहचानें। / A spiral is a curved line that winds around a centre while moving gradually inward or outward. Therefore, option A is correct. A wavy line is also curved, but it moves up and down rather than winding around a centre to form a spiral. Exam tip: recognise a spiral by thinking of a snail shell or a coil.
कुल ब्लॉक \(S_r=3160\) हैं और \(S_{79}=3160\), इसलिए पंक्तियां (79) हैं। ऐसी आकृति में कुल वस्तुएं त्रिभुज संख्या बनाती हैं। / Total blocks are \(S_r=3160\), and \(S_{79}=3160\), so there are (79) rows. Such figures form a triangular number.
कुल टाइलें \(S_r=2211\) हैं और \(S_{66}=2211\), इसलिए पंक्तियां (66) हैं। ऐसी आकृति में कुल वस्तुएं त्रिभुज संख्या बनाती हैं। / Total tiles are \(S_r=2211\), and \(S_{66}=2211\), so there are (66) rows. Such figures form a triangular number.
कुल ब्लॉक \(S_r=1275\) हैं और \(S_{50}=1275\), इसलिए पंक्तियां (50) हैं। ऐसी आकृति में कुल वस्तुएं त्रिभुज संख्या होती हैं। / Total blocks are \(S_r=1275\), and \(S_{50}=1275\), so there are (50) rows. In such figures, the total objects form a triangular number.
परतों में ईंटों की संख्या 1 से 10 तक है, इसलिए कुल ईंटें \(1+2+3+\cdots+10\) होंगी। पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{10\times11}{2}=55\), इसलिए सही उत्तर 55 है। 45 केवल 1 से 9 तक का योग है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: 1 से \(n\) तक का योग पूछे जाने पर सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) का प्रयोग करें। / The number of bricks in the layers runs from 1 to 10, so the total is \(1+2+3+\cdots+10\). The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{10\times11}{2}=55\), so 55 is correct. The value 45 is the sum from 1 to 9, making it a close but incorrect option. Exam tip: for the sum from 1 to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\) directly.
एक सीढ़ी की पंक्ति में नीचे से ऊपर जाते हुए प्रत्येक अगली सीढ़ी की ऊँचाई पिछले से 2 सेमी अधिक है। यदि पहली सीढ़ी की ऊँचाई 10 सेमी है, तो 12वीं सीढ़ी की ऊँचाई कितनी होगी?
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद 10 और सार्वांतर 2 है। 12वाँ पद = \(a+(n-1)d=10+11\times2=32\) सेमी। 34 सेमी लेने पर 12 के बजाय 13वाँ पद मिलता है। परीक्षा टिप: \(n-1\) लिखना न भूलें। / This is an arithmetic progression with first term 10 and common difference 2. The 12th term is \(a+(n-1)d=10+11\times2=32\) cm. Choosing 34 cm gives the 13th term instead. Exam tip: use \(n-1\), not \(n\), in the formula.
एक सीढ़ी की क्रमिक पंक्तियों में टाइलों की संख्या 4, 7, 10, 13, ... है। रीना कहती है कि 18 भी इस क्रम का एक पद है। उसके कथन के बारे में कौन-सा विकल्प सही है?
B. रीना गलत है; 18 इस क्रम का पद नहीं है।/Reena is incorrect; 18 is not a term of this sequence.
Explanation
Simple Explanation
क्रमागत पदों का अंतर 3 है। 13 के बाद अगला पद 16 और फिर 19 होगा, इसलिए 18 नहीं आता। परीक्षा में पहले समान अंतर देखकर अगले पद जाँचें। / The common difference is 3. After 13, the next terms are 16 and 19, so 18 does not occur in the sequence. Exam tip: check the common difference first.
\( \sqrt{121}=11 \), इसलिए दूरी (11) इकाई होगी। पूर्ण वर्ग आने पर वर्गमूल पूर्णांक बन जाता है। / \( \sqrt{121}=11 \), so the distance will be (11) units. A perfect square gives an integer square root.
\(108=36\times3\) और \(36\) 108 का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड है। इसलिए \(\sqrt{108}=\sqrt{36}\times\sqrt{3}=6\sqrt{3}\)। \(9\sqrt{2}\) सही नहीं है, क्योंकि इसका वर्ग \(81\times2=162\) होता है, 108 नहीं। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहले पहचानें। / Since \(108=36\times3\), and \(36\) is the largest perfect-square factor of 108, \(\sqrt{108}=\sqrt{36}\times\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). \(9\sqrt{2}\) is not correct because its square is \(81\times2=162\), not 108. Exam tip: first identify the largest perfect-square factor when simplifying a surd.
लगातार त्रिज्याएँ \( \sqrt{n} \), \( \sqrt{n+1} \), \( \sqrt{n+2} \) होती हैं। इनके वर्ग (n,n+1,n+2) हैं। / Consecutive radii are \( \sqrt{n} \), \( \sqrt{n+1} \), and \( \sqrt{n+2} \). Their squares are (n,n+1,n+2).
B. यह \(5\) और \(6\) के बीच है/It is between \(5\) and \(6\)
Explanation
Simple Explanation
चूँकि \(5^2=25\) और \(6^2=36\) हैं तथा \(25<32<36\), इसलिए \(5<\sqrt{32}<6\)। अतः वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{32}\) की दूरी \(5\) और \(6\) के बीच होगी। \(4\) और \(5\) वाला विकल्प गलत है क्योंकि \(\sqrt{32}>\sqrt{25}=5\)। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए उसके दोनों ओर के निकटतम पूर्ण वर्ग खोजें। / Since \(5^2=25\) and \(6^2=36\), and \(25<32<36\), we get \(5<\sqrt{32}<6\). Therefore, the spiral distance \(\sqrt{32}\) lies between \(5\) and \(6\). The option between \(4\) and \(5\) is incorrect because \(\sqrt{32}>\sqrt{25}=5\). Exam tip: estimate a square root by locating the nearest perfect squares on either side of the number.
पूर्णांक दूरी पूर्ण वर्गों पर मिलती है और (28) के बाद अगला पूर्ण वर्ग (36) है। इसलिए अगली पूर्णांक दूरी \( \sqrt{36}=6 \) पर मिलेगी। / Integer distances occur at perfect squares, and the next perfect square after (28) is (36). So the next integer distance is at \( \sqrt{36}=6 \).
\( \sqrt{99} \) लगभग (10) से थोड़ा कम है क्योंकि (99) संख्या (100) के पास है। पूर्ण वर्ग (100) से तुलना करें। / \( \sqrt{99} \) is slightly less than (10) because (99) is close to (100). Compare with the perfect square (100).
\(45=9\times5\) और \(9\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=\sqrt9\times\sqrt5=3\sqrt5\)। अतः सही विकल्प C है। \(5\sqrt3\) गलत है, क्योंकि उसका वर्ग \(75\) होता है, \(45\) नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या के सबसे बड़े पूर्ण-वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(45=9\times5\) and \(9\) is a perfect square, \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=\sqrt9\times\sqrt5=3\sqrt5\). Therefore, option C is correct. \(5\sqrt3\) is not correct because its square is \(75\), not \(45\). Exam tip: simplify a surd by taking out its greatest perfect-square factor.
\(64<80<81\), इसलिए \(8<\sqrt{80}<9\)। पूर्ण वर्गों को याद रखना ऐसे प्रश्नों में मदद करता है। / Since \(64<80<81\), \(8<\sqrt{80}<9\). Remembering perfect squares helps in such questions.
D. क्योंकि ( \(\sqrt{n}\)2+12=n+1 )/Because ( \(\sqrt{n}\)2+12=n+1 )
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण का वर्ग (n+1) होता है। इसलिए नया कर्ण \( \sqrt{n+1} \) है। / By Pythagoras, the square of the new hypotenuse is (n+1). Therefore the new hypotenuse is \( \sqrt{n+1} \).
\( \sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2} \), इसलिए \(a=6\)। गुणनखंड में पूर्ण वर्ग ढूँढें। / \( \sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2} \), so \(a=6\). Look for a perfect-square factor.
\(\sqrt{5}\) की त्रिज्या का वर्ग \(5\) और \(\sqrt{13}\) की त्रिज्या का वर्ग \(13\) होता है। अतः वर्गों का अंतर \(13-5=8\) है। \(\sqrt{8}\) केवल अंतर 8 का वर्गमूल है, इसलिए वह सही उत्तर नहीं है। परीक्षा टिप: \((\sqrt{n})^2=n\) का नियम सीधे लागू करें। / The square of the radius \(\sqrt{5}\) is \(5\), and the square of the radius \(\sqrt{13}\) is \(13\). Therefore, the difference is \(13-5=8\). \(\sqrt{8}\) is the square root of the difference, not the difference itself. Exam tip: use \((\sqrt{n})^2=n\) directly.
B. \(OP_4=\sqrt{4}\) और दूरी (2) इकाई है/\(OP_4=\sqrt{4}\) and the distance is (2) units
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \( \sqrt{4}=2 \), इसलिए \(OP_4\) की दूरी (2) है। सूचकांक और दूरी को अलग-अलग समझें। / Because \( \sqrt{4}=2 \), the distance \(OP_4\) is (2). Understand the index and the distance separately.
\(36=6^2\) और \(49=7^2\), इसलिए \(6<\sqrt{48}<7\)। पूर्ण वर्गों की तुलना हमेशा भरोसेमंद रहती है। / Since \(36=6^2\) and \(49=7^2\), \(6<\sqrt{48}<7\). Comparing with perfect squares is always reliable.
\(40=4\times10\) है, जिसमें \(4\) पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=\sqrt4\times\sqrt{10}=2\sqrt{10}\)। विकल्प \(\sqrt{20}\) अभी भी सरलतम रूप में नहीं है, क्योंकि \(\sqrt{20}=2\sqrt5\)। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या के सबसे बड़े पूर्ण-वर्ग गुणनखंड को पहले पहचानें। / Since \(40=4\times10\), and \(4\) is a perfect square, \(\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=\sqrt4\times\sqrt{10}=2\sqrt{10}\). The option \(\sqrt{20}\) is not in simplest form because \(\sqrt{20}=2\sqrt5\). Exam tip: first identify the greatest perfect-square factor while simplifying a surd.
\( \sqrt{15} \) के लिए पिछली त्रिज्या \( \sqrt{14} \) होती है और नई भुजा (1) होती है। यही क्रम सर्पिल की पहचान है। / For \( \sqrt{15} \), the previous radius is \( \sqrt{14} \) and the new side is (1). This sequence identifies the spiral.
\( \sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2} \) है। सरलीकरण में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालें। / \( \sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2} \). Extract the largest perfect square while simplifying.
यदि कर्णों को पहले बने समकोण त्रिभुज से गिनें, तो क्रम \( \sqrt{2} \) से शुरू होता है। आधार \( \sqrt{1} \) प्रारंभिक त्रिज्या है। / If hypotenuses are counted from the first right triangle, the sequence starts at \( \sqrt{2} \). The base \( \sqrt{1} \) is the initial radius.
हर चरण में वर्ग के अंदर संख्या (1) बढ़ती है। इसलिए \( \sqrt{30} \) के बाद \( \sqrt{31} \) बनेगा। / At each step, the number under the square root increases by (1). Therefore, after \( \sqrt{30} \), \( \sqrt{31} \) is formed.
पुराना कर्ण \( \sqrt{2} \) नई भुजा (1) के साथ समकोण बनाता है। नया कर्ण \( \sqrt{3} \) होता है। / The old hypotenuse \( \sqrt{2} \) makes a right angle with the new side (1). The new hypotenuse is \( \sqrt{3} \).
C. क्योंकि यह \( \sqrt{n} \) जैसी दूरियों को रचनात्मक रूप से देता है/Because it geometrically gives distances like \( \sqrt{n} \)
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल \( \sqrt{n} \) लंबाई वाले कर्ण बनाता है। जब (n) पूर्ण वर्ग नहीं होता, तब ऐसी लंबाइयाँ अपरिमेय होती हैं। / The spiral constructs hypotenuse lengths \( \sqrt{n} \). When (n) is not a perfect square, such lengths are irrational.
\( \sqrt{16}=4 \), इसलिए यह पूर्णांक दूरी (4) पर आता है। पूर्ण वर्गों पर सर्पिल के बिंदु पूर्णांक दूरी देते हैं। / \( \sqrt{16}=4 \), so it lies at integer distance (4). Points for perfect squares give integer distances in the spiral.
वर्गमूल सर्पिल में मूल बिंदु से अंतिम बिंदु की दूरी संबंधित वर्गमूल के बराबर होती है, अर्थात \(\sqrt{27}\)। क्योंकि \(25<27<36\) और \(25=5^2,\;36=6^2\), इसलिए \(5<\sqrt{27}<6\)। अतः दूरी 5 और 6 के बीच होगी। 4 और 5 वाला अंतराल गलत है क्योंकि उसका वर्ग-सीमा \(16\) से \(25\) तक होती है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके दोनों ओर के निकटतम पूर्ण वर्ग देखें। / In a square-root spiral, the distance of the final point from the origin is the corresponding square root, here \(\sqrt{27}\). Since \(25<27<36\), with \(25=5^2\) and \(36=6^2\), we get \(5<\sqrt{27}<6\). Therefore, the distance lies between 5 and 6. The interval 4 to 5 is incorrect because its squared bounds run from \(16\) to \(25\). Exam tip: To locate a square root, compare the number with the nearest perfect squares on either side.
B. दोनों में नई बाहरी भुजा (1) इकाई और लंबवत है/The new outer side is (1) unit and perpendicular in both
Explanation
Simple Explanation
हर नए चरण में नई जोड़ी गई भुजा (1) इकाई और लंबवत होती है। पुरानी त्रिज्या बदलती रहती है। / At every new step, the added side is (1) unit and perpendicular. The old radius keeps changing.
A. कथन गलत है; नई त्रिज्या का वर्ग पिछली त्रिज्या के वर्ग से 1 अधिक होता है।/The statement is incorrect; the square of the new radius is 1 more than the square of the previous radius.
Explanation
Simple Explanation
हर चरण में 1 इकाई की नई भुजा पिछली त्रिज्या पर लंब होती है। अतः पाइथागोरस से \(r_{\text{new}}^2=r_{\text{old}}^2+1\), न कि \(r_{\text{old}}+1\)। परीक्षा में कर्ण के वर्गों की तुलना करें। / At each step, the new unit side is perpendicular to the previous radius. Thus Pythagoras gives \(r_{\text{new}}^2=r_{\text{old}}^2+1\), not \(r_{\text{old}}+1\). Exam tip: compare squares of successive radii.
\( \sqrt{18} \) पिछले कर्ण \( \sqrt{17} \) पर (1) लंबवत जोड़कर बनता है। क्रम में हमेशा पिछले वर्गमूल को देखें। / \( \sqrt{18} \) is formed by adding a perpendicular (1) to the previous hypotenuse \( \sqrt{17} \). Always check the previous square root in the sequence.
\( \sqrt{1} \) से \( \sqrt{11} \) तक कुल (11) बिंदु होते हैं। गिनती में आरंभिक \( \sqrt{1} \) को भी शामिल करें। / From \( \sqrt{1} \) to \( \sqrt{11} \), there are (11) points. Include the initial \( \sqrt{1} \) in counting.
इन त्रिज्या-खंडों की लंबाइयाँ क्रमशः \(\sqrt{20}\) और \(\sqrt{21}\) हैं। उनके वर्गों का अंतर \((\sqrt{21})^2-(\sqrt{20})^2=21-20=1\) होगा। इसलिए सही उत्तर 1 है। \(\sqrt{21}-\sqrt{20}\) स्वयं त्रिज्याओं का अंतर है, उनके वर्गों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले पद का वर्ग करने पर मूलांक सीधे प्राप्त होता है। / The lengths of the two radii are \(\sqrt{20}\) and \(\sqrt{21}\). The difference between their squares is \((\sqrt{21})^2-(\sqrt{20})^2=21-20=1\). Hence, the correct answer is 1. \(\sqrt{21}-\sqrt{20}\) is the difference between the radii themselves, not the difference between their squares. Exam tip: squaring a square root directly gives its radicand.
नया समकोण त्रिभुज \(OP_n\) और (1) से बनता है। इसलिए कर्ण के वर्ग में (1) जुड़ता है। / The new right triangle is formed using \(OP_n\) and (1). Hence the square of the hypotenuse increases by (1).
क्योंकि \( \sqrt{9}=3 \), इसलिए दूरी (3) इकाई है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल को तुरंत सरल करें। / Because \( \sqrt{9}=3 \), the distance is (3) units. Simplify square roots of perfect squares immediately.
(13) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \( \sqrt{13} \) अपरिमेय है। वर्गमूल सर्पिल ऐसे वर्गमूलों को रचनात्मक रूप से दिखाता है। / Since (13) is not a perfect square, \( \sqrt{13} \) is irrational. The square root spiral shows such square roots geometrically.
अगले त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ \( \sqrt{6} \) और (1) हैं। क्षेत्रफल \( \frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times 1=\frac{\sqrt{6}}{2} \) होगा। / The next triangle has perpendicular sides \( \sqrt{6} \) and (1). Its area is \( \frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times 1=\frac{\sqrt{6}}{2} \).
\( \sqrt{2} \) से \( \sqrt{10} \) तक (2) से (10) जाने में (8) वृद्धि होती हैं। हर वृद्धि के लिए एक नया इकाई रेखाखंड लगता है। / From \( \sqrt{2} \) to \( \sqrt{10} \), the inside number increases (8) times. Each increase needs one new unit segment.
हर नए समकोण त्रिभुज में बाहरी भुजा (1) इकाई होती है। इसी से \(OP_{n+1}=\sqrt{n+1}\) मिलता है। / Each new right triangle uses an outer side of (1) unit. This gives \(OP_{n+1}=\sqrt{n+1}\).
A. त्रिज्या पर लंबवत (1) इकाई/Perpendicular unit segment of (1)
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{5} \) के लिए \( \sqrt{4} \) पर (1) इकाई लंबवत जोड़ते हैं। निर्माण में लंबवतता सबसे जरूरी संकेत है। / For \( \sqrt{5} \), a unit segment (1) is drawn perpendicular to \( \sqrt{4} \). Perpendicularity is the key construction clue.
नई त्रिज्या ( \sqrt{\(\sqrt{8}\)2+12}=\sqrt{9}=3 ) होगी। याद रखें हर नए चरण में वर्ग के अंदर (1) जुड़ता है। / The new radius is ( \sqrt{\(\sqrt{8}\)2+12}=\sqrt{9}=3 ). Remember that each new step adds (1) inside the square root.
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \( \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \) है। परीक्षा में पहला त्रिभुज हमेशा \( \sqrt{2} \) से जोड़ें। / By Pythagoras, the hypotenuse is \( \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \). In exams, connect the first triangle with \( \sqrt{2} \).
वर्गमूल सर्पिल में हर नया कर्ण समकोण त्रिभुज से बनता है। इसलिए इसका मुख्य आधार पाइथागोरस प्रमेय है। / In a square root spiral, every new hypotenuse is formed using a right triangle. Therefore, its main basis is Pythagoras theorem.
लंबाई (5) होने पर वर्ग (25) होगा, इसलिए कर्ण \(\sqrt{25}\) के रूप में दिखेगा। पूर्णांक लंबाइयों को उनके वर्गमूल रूप से जोड़ें। / If the length is (5), its square is (25), so the hypotenuse appears as \(\sqrt{25}\). Connect integer lengths with their square root forms.
A. \(अगला कर्ण (=\sqrt{\)पिछले कर्ण का वर्ग+1})/\(Next hypotenuse (=\sqrt{\)square of previous hypotenuse+1})
Explanation
Simple Explanation
\(पाइथागोरस प्रमेय से अगला कर्ण (\sqrt{(\)पिछला कर्ण)2+1}) होता है। इसलिए वर्ग और वर्गमूल दोनों सही जगह होने चाहिए। \(/ By Pythagoras theorem, the next hypotenuse is (\sqrt{(\)previous hypotenuse\()^2+1}). So both square and square root must be in the correct places.\)
\(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), और \(\sqrt{16}=4\) पूर्णांक हैं। इसलिए कुल (3) पूर्णांक लंबाइयां मिलेंगी। / \(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), and \(\sqrt{16}=4\) are integers. Therefore, (3) integer lengths are obtained.
\(\sqrt{4}=2\) है, जो परिमेय संख्या है। सर्पिल में बने सभी वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते। / \(\sqrt{4}=2\), which is a rational number. Not all square roots formed in the spiral are irrational.
\(27=9\times 3\) है, और \(9\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=\sqrt{9}\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)। \(9\sqrt{3}\) में 3 का गुणन अनावश्यक रूप से अधिक है, जबकि \(\sqrt{9}=3\) केवल \(\sqrt{27}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय अंदर के सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(27=9\times 3\), and \(9\) is a perfect square, \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=\sqrt{9}\sqrt{3}=3\sqrt{3}\). The expression \(9\sqrt{3}\) has an extra factor of 3, while \(\sqrt{9}=3\) is not equal to \(\sqrt{27}\). Exam tip: To simplify a square root, identify the greatest perfect-square factor inside the radical and take it outside.
\(\sqrt{2}\) से \(\sqrt{9}\) तक (2,3,4,5,6,7,8,9) कुल (8) कर्ण हैं। \(\sqrt{4}\) और \(\sqrt{9}\) पूर्णांक लंबाइयां भी देते हैं। / From \(\sqrt{2}\) to \(\sqrt{9}\), the inner numbers (2,3,4,5,6,7,8,9) give (8) hypotenuses. \(\sqrt{4}\) and \(\sqrt{9}\) also give integer lengths.
\(75=25\times 3\) और \(25\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=\sqrt{25}\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)। विकल्प \(3\sqrt{5}\) का वर्ग \(45\) होता है, इसलिए वह \(\sqrt{75}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड खोजें। / Since \(75=25\times 3\) and \(25\) is a perfect square, \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=\sqrt{25}\sqrt{3}=5\sqrt{3}\). The close distractor \(3\sqrt{5}\) squares to \(45\), not \(75\). Exam tip: to simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}\) कुल (4) कर्ण हैं। गिनती में \(\sqrt{2}\) को पहला कर्ण मानें। / \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}\) are (4) hypotenuses in total. Count \(\sqrt{2}\) as the first hypotenuse.
\(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\)। बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड से सरल रूप जल्दी मिलता है। / \(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\). A large perfect square factor gives the simplified form quickly.
A. सर्पिल में मिली दूरी को कंपास से संख्या रेखा पर स्थानांतरित करें/Transfer the distance obtained in the spiral to the number line using a compass
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल \(\sqrt{6}\) की सटीक ज्यामितीय दूरी देता है। कंपास से वही दूरी संख्या रेखा पर रखी जा सकती है। / The spiral gives the exact geometric distance of \(\sqrt{6}\). The same distance can be placed on the number line using a compass.
B. \(\sqrt{144}\) परिमेय है और \(\sqrt{145}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{144}\) is rational and \(\sqrt{145}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{144}=12\) परिमेय है, जबकि (145) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{145}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{144}=12\) is rational, while (145) is not a perfect square. Therefore, \(\sqrt{145}\) is irrational.
\(\sqrt{2}\) पहला कर्ण है, इसलिए (25)वां कर्ण \(\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\) होगा। गिनती का आरंभ स्पष्ट रखें। / \(\sqrt{2}\) is the first hypotenuse, so the (25)th hypotenuse is \(\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\). Keep the starting point of counting clear.
C. हर नए लंब खंड की लंबाई (2)/Length of every new perpendicular segment is (2)
Explanation
Simple Explanation
मानक सर्पिल में हर नया लंब खंड (1) इकाई का होता है। (2) इकाई लेने से अलग क्रम बनेगा। / In the standard spiral, every new perpendicular segment is (1) unit long. Taking (2) units would create a different sequence.
A. सर्पिल से मिली दूरी को कंपास से संख्या रेखा पर चिह्नित किया जा सकता है/The distance obtained from the spiral can be marked on the number line using a compass
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल सटीक दूरी देता है, जिसे कंपास से संख्या रेखा पर स्थानांतरित किया जा सकता है। यह अपरिमेय संख्याओं को दिखाने में उपयोगी है। / The spiral gives an exact distance that can be transferred to the number line with a compass. It is useful for showing irrational numbers.
\((\sqrt{26})^2=26\) और \(1^2=1\), इसलिए योग (27) है। यही \(\sqrt{27}\) बनाने का चरण है। / \((\sqrt{26})^2=26\) and \(1^2=1\), so the sum is (27). This is the step to form \(\sqrt{27}\).
\(90=9\times10\) और \(9\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{90}=\sqrt{9\times10}=\sqrt9\sqrt{10}=3\sqrt{10}\)। \(9\sqrt{10}\) गलत है, क्योंकि \(\sqrt9=3\) होता है, 9 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या का सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(90=9\times10\) and \(9\) is a perfect square, \(\sqrt{90}=\sqrt{9\times10}=\sqrt9\sqrt{10}=3\sqrt{10}\). \(9\sqrt{10}\) is incorrect because \(\sqrt9=3\), not 9. Exam tip: identify the greatest perfect-square factor when simplifying a surd.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया चरण क्रमशः \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots\) को दर्शाता है। \(\sqrt{3}\) से \(\sqrt{7}\) तक जाने पर मूलांक 3 से 7 होता है, इसलिए नए चरणों की संख्या \(7-3=4\) है। \(\sqrt{3}\) के बाद \(\sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}\) और \(\sqrt{7}\) के लिए चार चरण बनते हैं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में अंतिम मूलांक में से प्रारम्भिक मूलांक घटाइए। / In a square root spiral, each new step represents the next number: \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots\). From \(\sqrt{3}\) to \(\sqrt{7}\), the radicand changes from 3 to 7, so the number of new steps is \(7-3=4\). The four steps correspond to \(\sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}\), and \(\sqrt{7}\). Exam tip: subtract the starting radicand from the ending radicand in such questions.
B. पिछले कर्ण पर (1) इकाई का लंब बनाना/Drawing a (1) unit perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
मुख्य रचना पिछले कर्ण पर (1) इकाई का लंब बनाने पर निर्भर करती है। इसी से अगला समकोण त्रिभुज बनता है। / The main construction depends on drawing a (1) unit perpendicular to the previous hypotenuse. This creates the next right triangle.
\(121\) एक पूर्ण वर्ग है, क्योंकि \(11 \times 11 = 121\)। इसलिए \(\sqrt{121}=11\), अतः सर्पिल में इसकी वास्तविक लंबाई 11 इकाई होगी। \(121\) मूल संख्या है, उसका वर्गमूल नहीं। परीक्षा टिप: 1 से 15 तक की संख्याओं के वर्ग याद रखने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / \(121\) is a perfect square because \(11 \times 11 = 121\). Therefore, \(\sqrt{121}=11\), so its actual length in the spiral is 11 units. \(121\) is the number under the square root, not its square root. Exam tip: Memorising squares from 1 to 15 helps solve such questions quickly.
B. \(\sqrt{98}\) और \(\sqrt{100}\)/\(\sqrt{98}\) and \(\sqrt{100}\)
Explanation
Simple Explanation
क्रम में अंदर की संख्या (1) घटती और (1) बढ़ती है। इसलिए \(\sqrt{99}\) के पहले \(\sqrt{98}\) और बाद में \(\sqrt{100}\) होगा। / In order, the inner number decreases by (1) before and increases by (1) after. So \(\sqrt{98}\) comes before \(\sqrt{99}\), and \(\sqrt{100}\) comes after it.
अगले चरण में अंदर की संख्या (1) बढ़ती है, इसलिए \(\sqrt{81}\) बनेगा। सर्पिल क्रम में कोई संख्या नहीं छोड़ता। / In the next step, the inner number increases by (1), so \(\sqrt{81}\) is formed. The spiral does not skip numbers in order.
\(\sqrt{49}=7\), जो प्राकृतिक संख्या है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल प्राकृतिक संख्या हो सकते हैं। / \(\sqrt{49}=7\), which is a natural number. Square roots of perfect squares can be natural numbers.
\(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\)। पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालना सरल करने का अच्छा तरीका है। / \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\). Taking out the perfect square factor is a good way to simplify.
(\(\sqrt{30}\)2+12=31), इसलिए \(\sqrt{30}\) पर लंब बनता है। अगले वर्गमूल के लिए पिछले अंदर मान को पहचानें। / (\(\sqrt{30}\)2+12=31), so the perpendicular is drawn on \(\sqrt{30}\). For the next square root, identify the previous inner value.
A. जो नई भुजा जोड़ी जाती है, उसकी लंबाई 1 होती है और वह पिछले कर्ण पर लंब होती है।/The newly added side has length 1 and is perpendicular to the previous hypotenuse.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण के सिरे पर 1 इकाई की नई भुजा लंब खींची जाती है। पाइथागोरस के अनुसार \((\sqrt{n-1})^2+1^2=n\), इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{n}\) बनता है। परीक्षा में “लंब” और “1 इकाई” को साथ पहचानें। / In a square root spiral, a unit side is drawn perpendicular to the preceding hypotenuse. By Pythagoras, \((\sqrt{n-1})^2+1^2=n\), so the new hypotenuse is \(\sqrt{n}\). Exam tip: identify both the unit side and the right angle.
\(\sqrt{2}\) पहला त्रिभुज देता है, इसलिए \(\sqrt{48}\) तक त्रिभुजों की संख्या (48-1=47) होगी। गणना में आरंभिक \(\sqrt{1}\) को अलग रखें। / \(\sqrt{2}\) is given by the first triangle, so up to \(\sqrt{48}\), the number of triangles is (48-1=47). Keep the initial \(\sqrt{1}\) separate in counting.
(r)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{r+1}\) होता है। इसलिए (18)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{19}\) है। / The hypotenuse of the (r)th triangle is \(\sqrt{r+1}\). Therefore, the (18)th triangle has hypotenuse \(\sqrt{19}\).
नए कर्ण का वर्ग (35+1=36) होगा, इसलिए \(OQ=\sqrt{36}\)। कर्ण पूछने पर वर्गमूल रूप लिखें। / The square of the new hypotenuse is (35+1=36), so \(OQ=\sqrt{36}\). When the hypotenuse is asked, write the square root form.
A. वर्गमूलों को ज्यामितीय रूप से निरूपित करना/To represent square roots geometrically
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) जैसे वर्गमूलों को ज्यामितीय रूप से दिखाता है। यह संख्या रेखा और अपरिमेय संख्याओं को समझने में मदद करता है। / The square root spiral represents square roots like \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) geometrically. It helps in understanding the number line and irrational numbers.
अंतिम \(\sqrt{32}\) से ठीक पहले \(\sqrt{31}\) बनता है। सर्पिल में क्रम कोई संख्या नहीं छोड़ता। / Just before the final \(\sqrt{32}\), \(\sqrt{31}\) is formed. The spiral does not skip any number in order.
पहला कर्ण (1) और (1) से बनकर \(\sqrt{2}\) होता है। \(\sqrt{4}\) बाद के चरण में मिलता है, पहले कर्ण के रूप में नहीं। / The first hypotenuse is formed from (1) and (1), giving \(\sqrt{2}\). \(\sqrt{4}\) appears in a later step, not as the first hypotenuse.
\(\sqrt{2}\) पहला त्रिभुज देता है, इसलिए \(\sqrt{n}\) तक त्रिभुजों की संख्या (n-1) होगी। सामान्य सूत्र लिखते समय आरंभिक पद याद रखें। / \(\sqrt{2}\) is given by the first triangle, so up to \(\sqrt{n}\), the number of triangles is (n-1). Remember the starting term while writing a general formula.
सटीक मान \(\sqrt{5}\) ही है, जबकि (2.236) केवल अनुमान है। परीक्षा में सटीक वर्गमूल रूप को प्राथमिकता दें। / The exact value is \(\sqrt{5}\), while (2.236) is only an approximation. In exams, prefer the exact square root form.
A. क्रम \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) स्पष्ट हो जाता है/The order \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) becomes clear
Explanation
Simple Explanation
\(1=\sqrt{1}\) मानने से पूरा क्रम स्पष्ट दिखता है। फिर हर नए चरण में अंदर की संख्या (1) बढ़ती है। / Taking \(1=\sqrt{1}\) makes the whole sequence clear. Then the inner number increases by (1) at each step.
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}\) है। चूँकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए \(5\sqrt{2}\) भी अपरिमेय है। जबकि \(\sqrt{25}=5\), \(\sqrt{36}=6\) और \(\sqrt{49}=7\) परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि 25, 36 और 49 पूर्ण वर्ग हैं। परीक्षा टिप: किसी पूर्ण वर्ग न होने वाली संख्या के वर्गमूल को जाँचें; वह सामान्यतः अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}\). Since \(\sqrt{2}\) is irrational, \(5\sqrt{2}\) is also irrational. In contrast, \(\sqrt{25}=5\), \(\sqrt{36}=6\), and \(\sqrt{49}=7\) are rational because 25, 36, and 49 are perfect squares. Exam tip: Check whether the number inside the square root is a perfect square; if it is not, its square root is generally irrational.
C. \(\sqrt{14}\) के बाद \(\sqrt{16}\) बनाना/Constructing \(\sqrt{16}\) after \(\sqrt{14}\)
Explanation
Simple Explanation
एक चरण में अंदर की संख्या केवल (1) बढ़ती है, इसलिए \(\sqrt{14}\) के बाद \(\sqrt{15}\) आना चाहिए। बीच का चरण छोड़ना गलत है। / In one step, the number under the root increases only by (1), so \(\sqrt{15}\) should come after \(\sqrt{14}\). Skipping a step is incorrect.
\(\sqrt{16}=4\), इसलिए यह एक परिमेय लंबाई है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल तुरंत सरल कर लें। / \(\sqrt{16}=4\), so it is a rational length. Simplify square roots of perfect squares immediately.
आरंभ (OA=1) से होता है और फिर कर्ण \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\) बनते हैं। क्रम में अंदर की संख्या लगातार बढ़ती है। / The start is (OA=1), and then the hypotenuses \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\) are formed. The number under the root increases continuously.
वर्गों का अंतर (3-2=1) है। वर्गमूलों का अंतर और उनके वर्गों का अंतर अलग होते हैं। / The difference of the squares is (3-2=1). The difference of roots and the difference of their squares are different.
(r)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{r+1}\) होता है। इसलिए (10)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{11}\) है। / The hypotenuse of the (r)th triangle is \(\sqrt{r+1}\). Therefore, the (10)th triangle has hypotenuse \(\sqrt{11}\).
पहला त्रिभुज \(\sqrt{2}\) देता है, इसलिए \(\sqrt{12}\) के लिए क्रम (12-1=11) होगा। अंदर की संख्या से (1) घटाएं। / The first triangle gives \(\sqrt{2}\), so for \(\sqrt{12}\), the order is (12-1=11). Subtract (1) from the inner number.
A. पिछले कर्ण के एक सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा जोड़कर नया त्रिभुज बनाया जाता है/A perpendicular side of length 1 unit is added at an endpoint of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण पर 1 इकाई की भुजा लंबवत जोड़ी जाती है। पाइथागोरस के अनुसार, यदि पिछले कर्ण का वर्ग n हो, तो नए कर्ण का वर्ग n + 1 होता है। परीक्षा में लंबवत चिह्न अवश्य पहचानें। / In a square root spiral, a 1-unit side is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. By Pythagoras, if the previous hypotenuse has square n, the new hypotenuse has square n + 1. Exam tip: look for the right-angle mark.
क्योंकि नया (1) इकाई खंड पिछले कर्ण पर लंब होता है, इसलिए \(OQ^2=OP^2+1\)। सूत्र लिखते समय वर्ग और लंबाई अलग रखें। / Because the new (1) unit segment is perpendicular to the previous hypotenuse, \(OQ^2=OP^2+1\). Keep squares and lengths separate while writing the formula.
A. वह पिछले कर्ण पर लंब होना चाहिए/It must be perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नया (1) इकाई खंड पिछले कर्ण पर लंब बनाया जाता है। यही सर्पिल की सही ज्यामितीय रचना है। / Every new (1) unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. This is the correct geometric construction of the spiral.
A. नए कर्ण के वर्ग में पिछले कर्ण के वर्ग की तुलना में 1 की वृद्धि होती है।/The square of the new hypotenuse increases by 1 compared with the square of the previous hypotenuse.
Explanation
Simple Explanation
हर नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा पिछले कर्ण के बराबर और दूसरी भुजा 1 होती है। पायथागोरस प्रमेय से नया वर्ग = पुराना वर्ग + 1। विकल्प B गलत है, क्योंकि लंबाई में वृद्धि 1 नहीं होती। परीक्षा टिप: कर्ण की लंबाई नहीं, उसके वर्गों की तुलना करें। / Each new right triangle has the previous hypotenuse as one leg and 1 as the other. By Pythagoras, new square = previous square + 1. Option B is wrong because the length itself does not rise by 1. Exam tip: compare squares of hypotenuses, not their lengths.
\(\sqrt{k+1}=\sqrt{21}\) से (k+1=21), इसलिए (k=20)। ऐसे प्रश्नों में वर्गमूल हटाकर अंदर की संख्याएं बराबर करें। / From \(\sqrt{k+1}=\sqrt{21}\), we get (k+1=21), so (k=20). In such questions, equate the numbers under the roots.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव मान समाप्त नहीं होता। सर्पिल इसे ज्यामितीय रूप से ठीक दर्शाता है। / \(\sqrt{2}\) is irrational, so its decimal value does not terminate. The spiral represents it exactly geometrically.
B. दोनों परिमेय संख्याएं हैं/Both are rational numbers
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{4}=2\) और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए दोनों परिमेय हैं। सर्पिल परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार के वर्गमूल दिखा सकता है। / \(\sqrt{4}=2\) and \(\sqrt{9}=3\), so both are rational. The spiral can show both rational and irrational square roots.
लगातार कर्णों में वर्गमूल के अंदर की संख्याएं लगातार होती हैं। इसलिए \(\sqrt{9}\) और \(\sqrt{10}\) सही युग्म है। / For consecutive hypotenuses, the numbers under the roots are consecutive. Therefore, \(\sqrt{9}\) and \(\sqrt{10}\) form the correct pair.
