Level 62 • 50/50 questions • 30 seconds per question.
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What is the sum of the first (83) natural numbers?
B. (3486)
\(S_{83}=\frac{83\times84}{2}=3486\) है। बड़े विषम (n) में अगले सम गुणक को आधा करें। / \(S_{83}=\frac{83\times84}{2}=3486\). For large odd (n), halve the next even factor.
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If the sum of the first (n) natural numbers is (3655), what is the value of (n)?
C. (85)
\(S_{85}=\frac{85\times86}{2}=3655\) इसलिए (n=85) है। \(2S_n\) को क्रमागत संख्याओं के गुणनफल से मिलाएं। / \(S_{85}=\frac{85\times86}{2}=3655\), so (n=85). Match \(2S_n\) with the product of consecutive numbers.
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What is the sum of natural numbers from (44) to (97)?
D. (3807)
योग \(S_{97}-S_{43}=4753-946=3807\) है। बीच की श्रेणी में शुरुआत से पहले वाले पद घटाएं। / The sum is \(S_{97}-S_{43}=4753-946=3807\). For a middle range, subtract the terms before the start.
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What will be the value of \(S_{120}-S_{110}\)?
A. (1155)
\(S_{120}-S_{110}=111+112+\cdots+120=1155\) है। पास के योगों का अंतर बीच के पदों का योग देता है। / \(S_{120}-S_{110}=111+112+\cdots+120=1155\). The difference of nearby sums gives the sum of terms in between.
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If \(S_n=1326\), what will be the value of \(S_{n+7}\)?
B. 1711
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=1326\) से \(n=51\) मिलता है। अतः \(n+7=58\) और \(S_{58}=\frac{58\times59}{2}=1711\)। विकल्प 1671 सही नहीं है, क्योंकि वह 58 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग से \(n\) ज्ञात करें, फिर बदले हुए सूचकांक पर योग का सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=1326\), we get \(n=51\). Hence, \(n+7=58\), and \(S_{58}=\frac{58\times59}{2}=1711\). Option 1671 is not correct because it is not the sum of natural numbers up to 58. Exam tip: first determine \(n\) from the given sum, then apply the formula at the new index.
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What is the value of \(S_{75}+S_{77}-2S_{76}\)?
C. (1)
\(S_{77}=S_{76}+77\) और \(S_{75}=S_{76}-76\) है इसलिए मान (1) है। लगातार योगों के अंतर का उपयोग करें। / \(S_{77}=S_{76}+77\) and \(S_{75}=S_{76}-76\), so the value is (1). Use differences of consecutive sums.
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C. 3060
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) और \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\)। इसलिए अपेक्षित अंतर \(4095-1035=3060\) है। विकल्प 4095 केवल पहली 90 प्राकृतिक संख्याओं का योग है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में \(S_{90}-S_{45}\) लिखकर दोनों योगों का अंतर निकालें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) and \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\). Therefore, the required difference is \(4095-1035=3060\). The value 4095 is only the sum of the first 90 natural numbers, not the difference. Exam tip: write \(S_{90}-S_{45}\) before calculating in such questions.
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At which (n) will \(S_n\) first become greater than (7000)?
A. (118)
\(S_{117}=6903\) और \(S_{118}=7021\) है इसलिए पहली बार (n=118) पर योग (7000) से अधिक होगा। सीमा प्रश्नों में आसपास के दो मान जांचें। / \(S_{117}=6903\) and \(S_{118}=7021\), so it first exceeds (7000) at (n=118). In boundary questions, check two nearby values.
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What is the ratio of \(S_{72}\) to \(S_{24}\)?
B. \(219:25\)
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=2628\) और \(S_{24}=\frac{24\times25}{2}=300\)। इसलिए \(S_{72}:S_{24}=2628:300=219:25\), अतः विकल्प B सही है। विकल्प \(219:20\) में अनुपात को सही समान गुणनखंड से सरल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: अनुपात निकालने से पहले दोनों योगों के सूत्र में \(n\) का मान सावधानी से रखें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=2628\) and \(S_{24}=\frac{24\times25}{2}=300\). Therefore, \(S_{72}:S_{24}=2628:300=219:25\), so option B is correct. Option \(219:20\) does not result from simplifying the ratio correctly. Exam tip: substitute the value of \(n\) carefully in the sum formula before reducing the ratio.
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For which (n) will \(S_n-S_{n-4}=282\)?
C. (72)
अंतर ((n-3)+(n-2)+(n-1)+n=4n-6) है और (4n-6=282) से (n=72)। अंतिम चार पदों का योग बनाएं। / The difference is ((n-3)+(n-2)+(n-1)+n=4n-6), and (4n-6=282) gives (n=72). Form the sum of the last four terms.
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D. (66)
कुल टाइलें \(S_r=2211\) हैं और \(S_{66}=2211\), इसलिए पंक्तियां (66) हैं। ऐसी आकृति में कुल वस्तुएं त्रिभुज संख्या बनाती हैं। / Total tiles are \(S_r=2211\), and \(S_{66}=2211\), so there are (66) rows. Such figures form a triangular number.
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If \(S_a=2485\) and \(S_b=3570\), what will be the value of (b-a)?
A. \(14\)
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{a(a+1)}{2}=2485\) से \(a=70\), क्योंकि \(\frac{70\times71}{2}=2485\)। इसी प्रकार \(\frac{b(b+1)}{2}=3570\) से \(b=84\), क्योंकि \(\frac{84\times85}{2}=3570\)। अतः \(b-a=84-70=14\)। \(12\) जैसी निकटतम भ्रामक संख्या तब मिल सकती है जब सूचकांकों का सही मिलान न किया जाए। परीक्षा टिप: दिए गए योग को पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) के रूप में लिखकर \(n\) ज्ञात करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{a(a+1)}{2}=2485\), we get \(a=70\), since \(\frac{70\times71}{2}=2485\). Similarly, \(\frac{b(b+1)}{2}=3570\) gives \(b=84\), since \(\frac{84\times85}{2}=3570\). Therefore, \(b-a=84-70=14\). A close distractor such as \(12\) may result from incorrectly identifying the indices. Exam tip: first express each given sum using \(\frac{n(n+1)}{2}\), then determine \(n\).
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What is the sum of \(58+59+60+\cdots+112\)?
B. 4675
58 से 112 तक कुल पदों की संख्या \(112-58+1=55\) है। समांतर श्रेणी का योग \(S=\frac{n}{2}(a+l)\) होगा। अतः \(S=\frac{55}{2}(58+112)=\frac{55}{2}\times170=4675\)। इसलिए सही उत्तर 4675 है। 4735 जैसा विकल्प पदों की संख्या या औसत में गलत गणना करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: दोनों सिरों सहित पदों की संख्या निकालते समय हमेशा \(+1\) लगाएँ। / There are \(112-58+1=55\) terms from 58 to 112. Using the arithmetic progression sum formula, \(S=\frac{n}{2}(a+l)\), we get \(S=\frac{55}{2}(58+112)=\frac{55}{2}\times170=4675\). Hence, 4675 is correct. A value such as 4735 can result from an error in counting terms or finding the average. Exam tip: always include \(+1\) when counting terms from one endpoint to another.
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If \(S_{m+2}-S_m=151\), what is the value of (m)?
C. 74
पहले m प्राकृतिक संख्याओं के योग को S_m मानें। तब S_{m+2}-S_m में केवल अगली दो संख्याएँ, अर्थात (m+1) और (m+2), बचती हैं। इसलिए S_{m+2}-S_m=(m+1)+(m+2)=2m+3। अतः 2m+3=151, जिससे 2m=148 और m=74 प्राप्त होता है। 73 लेने पर अंतर 149 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: योगों के ऐसे अंतर में समान शुरुआती पद कट जाते हैं और केवल अतिरिक्त पद जोड़ने होते हैं। / Let S_m be the sum of the first m natural numbers. In S_{m+2}-S_m, only the next two numbers, (m+1) and (m+2), remain. Thus, S_{m+2}-S_m=(m+1)+(m+2)=2m+3. Hence 2m+3=151, so 2m=148 and m=74. If m were 73, the difference would be 149, not 151. Exam tip: In differences of such sums, cancel the common initial terms and add only the extra terms.
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D. 3450
पहली 150 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{150\times151}{2}=11325\) और पहली 125 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{125\times126}{2}=7875\) है। अतः अंतर \(11325-7875=3450\) होगा। यह वास्तव में 126 से 150 तक की संख्याओं का योग है। 3425 निकट का विकल्प है, पर वह सही गणना से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को शेष क्रमागत संख्याओं के योग के रूप में भी पहचानें। / The sum of the first 150 natural numbers is \(\frac{150\times151}{2}=11325\), and the sum of the first 125 natural numbers is \(\frac{125\times126}{2}=7875\). Therefore, the difference is \(11325-7875=3450\). It is also the sum of the numbers from 126 to 150. Although 3425 is close, it does not result from the correct calculation. Exam tip: interpret such a difference as the sum of the remaining consecutive terms.
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At which (n) will \(S_n\) first become greater than (10000)?
A. (141)
\(S_{140}=9870\) और \(S_{141}=10011\) है इसलिए पहली बार (n=141) पर योग (10000) से अधिक होगा। सीमा वाले प्रश्न में पिछला और अगला योग जांचें। / \(S_{140}=9870\) and \(S_{141}=10011\), so it first exceeds (10000) at (n=141). In boundary questions, check the previous and next sums.
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What is the value of \(S_{35}+S_{55}+S_{75}\)?
B. (5020)
\(S_{35}=630\), \(S_{55}=1540\) और \(S_{75}=2850\), इसलिए कुल (5020) है। तीनों योग अलग-अलग लिखकर जोड़ें। / \(S_{35}=630\), \(S_{55}=1540\), and \(S_{75}=2850\), so the total is (5020). Write all three sums separately and add.
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A. \(S_n-S_{n-1}=n\)
\(S_n=1+2+\cdots+(n-1)+n\) और \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\) है। घटाने पर केवल \(n\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में अंतिम पद से एक कम लिया गया है। परीक्षा टिप: क्रमागत योगों का अंतर हमेशा नया जोड़ा गया पद होता है। / \(S_n=1+2+\cdots+(n-1)+n\), whereas \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\). On subtraction, all common terms cancel and only \(n\) remains, so A is correct. Option B misses the last term by one. Exam tip: the difference of consecutive partial sums is the newly added term.
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What is the sum of the first (108) natural numbers?
D. (5886)
\(S_{108}=\frac{108\times109}{2}=5886\) है। (108) को आधा करके \(54\times109\) करें। / \(S_{108}=\frac{108\times109}{2}=5886\). Halve (108) and calculate \(54\times109\).
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Find the value of \(S_{64}+S_{84}-S_{74}\).
A. (2875)
\(S_{64}=2080\), \(S_{84}=3570\) और \(S_{74}=2775\), इसलिए मान (2875) है। मिश्रित योगों में हर \(S_n\) अलग लिखें। / \(S_{64}=2080\), \(S_{84}=3570\), and \(S_{74}=2775\), so the value is (2875). In mixed sums, write each \(S_n\) separately.
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If \(S_{5p}=5050\), what is the value of (p)?
B. 20
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(S_{5p}=5050\) से \(\frac{5p(5p+1)}{2}=5050\) मिलेगा। क्योंकि \(\frac{100\times101}{2}=5050\), इसलिए \(5p=100\) और \(p=20\)। 18 लेने पर सूचकांक 90 होगा, जिसका योग 5050 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले 5050 को किसी क्रमागत संख्याओं के गुणनफल के आधे के रूप में पहचानें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(S_{5p}=5050\), we get \(\frac{5p(5p+1)}{2}=5050\). Since \(\frac{100\times101}{2}=5050\), \(5p=100\), so \(p=20\). If p were 18, the index would be 90, whose sum is not 5050. Exam tip: recognise 5050 as half the product of two consecutive numbers first.
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What will be the value of \(S_{100}-2S_{50}\)?
C. (2500)
\(S_{100}=5050\) और \(2S_{50}=2550\), इसलिए मान (2500) है। गुणा और घटाव का क्रम ध्यान से रखें। / \(S_{100}=5050\) and \(2S_{50}=2550\), so the value is (2500). Keep the order of multiplication and subtraction clear.
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On a stage, the (r)th row has (4r) lamps. How many lamps will there be in (35) rows?
D. (2520)
कुल दीपक \(4S_{35}=4\times630=2520\) हैं। समान गुणक हो तो उसे योग के बाहर रखें। / Total lamps are \(4S_{35}=4\times630=2520\). If there is a common multiplier, keep it outside the sum.
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If \(S_n=5460\), what will be the value of (n)?
B. (104)
\(S_{104}=\frac{104\times105}{2}=5460\) इसलिए (n=104) है। \(2S_n\) को क्रमागत संख्याओं के गुणनफल से मिलाएं। / \(S_{104}=\frac{104\times105}{2}=5460\), so (n=104). Match \(2S_n\) with the product of consecutive numbers.
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The value of \(S_n-S_{n-1}+S_{n-4}-S_{n-5}\) is (150). What is (n)?
C. (77)
व्यंजक (n+(n-4)=2n-4) है और (2n-4=150) से (n=77)। लगातार योगों के अंतर को पदों में बदलें। / The expression is (n+(n-4)=2n-4), and (2n-4=150) gives (n=77). Convert differences of consecutive sums into terms.
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Which number should be added to \(S_{68}\) to get \(S_{75}\)?
D. 504
क्योंकि \(S_{75}=S_{68}+(69+70+\cdots+75)\), इसलिए जोड़ी जाने वाली संख्या \(69\) से \(75\) तक के पदों का योग होगी। यहाँ 7 पद हैं, अतः योग \(\frac{7}{2}(69+75)=\frac{7}{2}\times144=504\) है। इसलिए सही उत्तर 504 है। परीक्षा टिप: \(S_b-S_a\) निकालते समय \(a+1\) से \(b\) तक के पद जोड़ें। / Since \(S_{75}=S_{68}+(69+70+\cdots+75)\), the required number is the sum of the terms from 69 to 75. There are 7 terms, so their sum is \(\frac{7}{2}(69+75)=\frac{7}{2}\times144=504\). Hence, 504 is correct. Exam tip: When finding \(S_b-S_a\), add the terms from \(a+1\) to \(b\).
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If \(S_u=1431\) and \(S_v=3321\), what is the value of (u+v)?
A. (134)
\(S_{53}=1431\) और \(S_{81}=3321\), इसलिए (u+v=134)। दोनों त्रिभुज संख्याओं के सूचकांक पहचानें। / \(S_{53}=1431\) and \(S_{81}=3321\), so (u+v=134). Identify the indices of both triangular numbers.
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What is (12.5%) of the sum of the first (96) natural numbers?
B. (582)
\(S_{96}=4656\) है और \(12.5%=\frac{1}{8}\), इसलिए मान (582) है। प्रतिशत को भिन्न में बदलना आसान रहता है। / \(S_{96}=4656\), and \(12.5%=\frac{1}{8}\), so the value is (582). Converting percent to a fraction makes it easier.
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What is the value of \(S_{70}+S_{71}-S_{69}\)?
C. (2626)
\(S_{70}=2485\), \(S_{71}=2556\) और \(S_{69}=2415\), इसलिए मान (2626) है। निकट सूचकांकों में सावधानी से घटाएं। / \(S_{70}=2485\), \(S_{71}=2556\), and \(S_{69}=2415\), so the value is (2626). Subtract carefully with nearby indices.
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If \(S_n-S_{n-6}=621\), what will be the value of (n)?
C. (106)
अंतर ((n-5)+(n-4)+\cdots+n=6n-15) है और (6n-15=621) से (n=106)। अंतिम छह पदों का योग बनाएं। / The difference is ((n-5)+(n-4)+\cdots+n=6n-15), and (6n-15=621) gives (n=106). Form the sum of the last six terms.
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What is the sum of the first (175) natural numbers?
B. (15400)
\(S_{175}=\frac{175\times176}{2}=15400\) है। (176) को आधा करके (88) से गुणा करें। / \(S_{175}=\frac{175\times176}{2}=15400\). Halve (176) and multiply by (88).
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Find the value of \(S_{140}-S_{130}+S_{10}\).
C. 1410
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। अतः \(S_{140}=9870\), \(S_{130}=8515\) और \(S_{10}=55\)। इसलिए \(S_{140}-S_{130}+S_{10}=9870-8515+55=1410\)। \(S_{140}-S_{130}\) केवल 131 से 140 तक की संख्याओं का योग है; इसमें \(S_{10}\) जोड़ने पर उत्तर 1410 मिलता है। परीक्षा टिप: \(S_a-S_b\) को \(b+1\) से \(a\) तक के पदों के योग के रूप में भी जाँच सकते हैं। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, so \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{140}=9870\), \(S_{130}=8515\), and \(S_{10}=55\). Therefore, \(S_{140}-S_{130}+S_{10}=9870-8515+55=1410\). Note that \(S_{140}-S_{130}\) is the sum of the numbers from 131 to 140; adding \(S_{10}\) gives 1410. Exam tip: You can also verify \(S_a-S_b\) by summing the terms from \(b+1\) to \(a\).
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If \(S_{2k+1}=1770\), what will be the value of (k)?
C. 29
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(\frac{n(n+1)}{2}=1770\) से \(n=59\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{59\times60}{2}=1770\)। अतः \(2k+1=59\), इसलिए \(2k=58\) और \(k=29\)। विकल्प 30 तब मिलता यदि 59 को गलती से 60 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले \(S_n\) से n ज्ञात करें, फिर दिए गए सूचकांक \(2k+1\) को n के बराबर रखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(\frac{n(n+1)}{2}=1770\) gives \(n=59\), since \(\frac{59\times60}{2}=1770\). Therefore, \(2k+1=59\), so \(2k=58\) and \(k=29\). Option 30 may result from incorrectly taking the index as 60 instead of 59. Exam tip: first find n from \(S_n\), then equate the given index \(2k+1\) to n.
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What is the sum of \(121+122+123+\cdots+160\)?
D. (5620)
योग \(S_{160}-S_{120}=12880-7260=5620\) है। (121) से शुरू होने पर (120) तक का योग घटाएं। / The sum is \(S_{160}-S_{120}=12880-7260=5620\). When starting from (121), subtract the sum up to (120).
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If \(S_n=3240\), what is the value of \(S_{n+8}-S_n\)?
A. (676)
\(S_{80}=3240\) इसलिए अंतर \(81+82+\cdots+88=676\) है। आगे के (8) पदों का योग अलग से निकालें। / \(S_{80}=3240\), so the difference is \(81+82+\cdots+88=676\). Find the sum of the next (8) terms separately.
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At which (n) will \(S_n\) first become greater than (20000)?
B. (200)
\(S_{199}=19900\) और \(S_{200}=20100\) है इसलिए पहली बार (n=200) पर योग (20000) से अधिक होगा। आसपास के मान जांचना सबसे सुरक्षित है। / \(S_{199}=19900\) and \(S_{200}=20100\), so it first exceeds (20000) at (n=200). Checking nearby values is the safest method.
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C. (4515)
कुल वाहन \(5S_{42}=5\times903=4515\) हैं। (5r) जैसे पैटर्न में (5) को योग के बाहर लें। / Total vehicles are \(5S_{42}=5\times903=4515\). In a pattern like (5r), take (5) outside the sum.
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If \(S_x=3403\), what is the value of (x)?
D. (82)
\(S_{82}=\frac{82\times83}{2}=3403\) इसलिए (x=82) है। \(2S_x\) करके क्रमागत गुणनफल खोजें। / \(S_{82}=\frac{82\times83}{2}=3403\), so (x=82). Use \(2S_x\) to find the consecutive product.
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What is the value of \(S_{36}+S_{72}-S_{18}\)?
A. 3123
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। अतः \(S_{36}=666\), \(S_{72}=2628\) और \(S_{18}=171\)। इसलिए \(S_{36}+S_{72}-S_{18}=666+2628-171=3123\)। विकल्प 3143 में घटाव करते समय 20 की त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक \(S_n\) का मान अलग से निकालें, फिर जोड़-घटाव करें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, so \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{36}=666\), \(S_{72}=2628\), and \(S_{18}=171\). Therefore, \(S_{36}+S_{72}-S_{18}=666+2628-171=3123\). The option 3143 can result from an error of 20 while subtracting. Exam tip: calculate each \(S_n\) separately before performing the final addition and subtraction.
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B. 5085
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{135}=\frac{135\times136}{2}=9180\) और \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\)। इसलिए अंतर \(9180-4095=5085\) है। यह वास्तव में 91 से 135 तक की संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में \(S_{135}-S_{90}\) लिखकर दोनों योग सूत्र से निकालें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{135}=\frac{135\times136}{2}=9180\) and \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\). Therefore, the difference is \(9180-4095=5085\). Equivalently, it is the sum of the numbers from 91 to 135. Exam tip: write \(S_{135}-S_{90}\) first, then apply the sum formula.
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If \(S_n-S_{n-1}=126\) and \(S_m=1953\), what is (n-m)?
C. (64)
पहले (n=126) और \(S_m=1953\) से (m=62), इसलिए (n-m=64)। लगातार योगों का अंतर सूचकांक देता है। / First (n=126), and \(S_m=1953\) gives (m=62), so (n-m=64). The difference of consecutive sums gives the index.
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Which sum is obtained by adding (116+117+118+119+120) to \(S_{115}\)?
D. \(S_{120}\)
\(S_{115}+116+117+118+119+120=S_{120}\) है। लगातार नए पद जुड़ने पर अंतिम पद नया सूचकांक बनता है। / \(S_{115}+116+117+118+119+120=S_{120}\). When consecutive new terms are added, the last term becomes the new index.
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If \(S_n=7875\), what is the value of (n)?
A. (125)
\(S_{125}=\frac{125\times126}{2}=7875\) इसलिए (n=125) है। बड़े मानों में \(2S_n\) से पहचान आसान होती है। / \(S_{125}=\frac{125\times126}{2}=7875\), so (n=125). For large values, using \(2S_n\) makes identification easier.
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Find the value of \(S_{29}+S_{58}+S_{87}\).
B. (5974)
\(S_{29}=435\), \(S_{58}=1711\) और \(S_{87}=3828\), इसलिए कुल (5974) है। तीन अलग सूचकांकों को ध्यान से जोड़ें। / \(S_{29}=435\), \(S_{58}=1711\), and \(S_{87}=3828\), so the total is (5974). Add the three different indices carefully.
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The sum of the first (n) natural numbers is (10878). What is the value of (n-25)?
C. 122
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=10878\), यानी \(n(n+1)=21756\)। \(147\times148=21756\), इसलिए \(n=147\)। अब \(n-25=147-25=122\)। इसलिए सही विकल्प C है। 120 जैसे निकट विकल्प के लिए \(n=145\) होता, जिसका योग 10878 नहीं है। परीक्षा टिप: योग ज्ञात होने पर पहले \(n(n+1)/2\) का सूत्र लगाकर लगातार दो संख्याएँ पहचानें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Hence, \(\frac{n(n+1)}{2}=10878\), so \(n(n+1)=21756\). Since \(147\times148=21756\), \(n=147\). Therefore, \(n-25=147-25=122\). Thus, option C is correct. A nearby choice such as 120 would give \(n=145\), whose sum is not 10878. Exam tip: after using \(n(n+1)/2\), look for two consecutive integers whose product equals twice the given sum.
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If \(S_{n+2}-S_{n-2}=286\), what will be the value of (n)?
D. (71)
अंतर ((n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2) है और (4n+2=286) से (n=71)। बीच के चार पदों का योग बनाएं। / The difference is ((n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2), and (4n+2=286) gives (n=71). Form the sum of the four middle terms.
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What is the value of \(S_{250}-S_{240}\)?
A. (2455)
अंतर \(241+242+\cdots+250=2455\) है। बड़े सूचकांकों में भी केवल बीच के पद जोड़ने होते हैं। / The difference is \(241+242+\cdots+250=2455\). Even with large indices, only the terms in between need to be added.
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If \(S_n=9180\), what is the value of (n)?
B. (135)
\(S_{135}=\frac{135\times136}{2}=9180\) इसलिए (n=135) है। \(2S_n\) को क्रमागत गुणनफल से मिलाएं। / \(S_{135}=\frac{135\times136}{2}=9180\), so (n=135). Match \(2S_n\) with a consecutive product.
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What is (2) times the difference between \(S_{72}\) and \(S_{36}\)?
C. (3924)
\(S_{72}-S_{36}=2628-666=1962\) और \(2\times1962=3924\) है। पहले अंतर निकालें फिर गुणा करें। / \(S_{72}-S_{36}=2628-666=1962\), and \(2\times1962=3924\). First find the difference and then multiply.
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If \(S_y=7381\), what will be the value of \(S_{y+2}\)?
C. (7626)
\(S_{121}=7381\) है इसलिए \(S_{123}=7381+122+123=7626\)। दो आगे जाने पर अगले दो पद जोड़ें। / \(S_{121}=7381\), so \(S_{123}=7381+122+123=7626\). To move two steps ahead, add the next two terms.
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