Level 61 • 50/50 questions • 30 seconds per question.
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What is the sum of the first (64) natural numbers?
B. (2080)
\(S_{64}=\frac{64\times65}{2}=2080\) है। बड़े (n) में पहले (2) से भाग देकर गणना करें। / \(S_{64}=\frac{64\times65}{2}=2080\). For large (n), divide by (2) first.
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If the sum of the first (n) natural numbers is (2016), what is the value of (n)?
C. (63)
\(S_{63}=\frac{63\times64}{2}=2016\) इसलिए (n=63) है। \(2S_n\) को दो क्रमागत संख्याओं के गुणनफल से मिलाएं। / \(S_{63}=\frac{63\times64}{2}=2016\), so (n=63). Match \(2S_n\) with the product of two consecutive numbers.
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What is the sum of natural numbers from (31) to (72)?
C. (2163)
योग \(S_{72}-S_{30}=2628-465=2163\) है। बीच की संख्याओं का योग निकालने के लिए पहले वाले पद घटाएं। / The sum is \(S_{72}-S_{30}=2628-465=2163\). To find a middle range sum, subtract the previous terms.
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What will be the value of \(S_{85}-S_{80}\)?
C. (415)
\(S_{85}-S_{80}=81+82+83+84+85=415\) है। पास के योगों का अंतर बीच के पदों का योग होता है। / \(S_{85}-S_{80}=81+82+83+84+85=415\). The difference of nearby sums equals the sum of terms in between.
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If \(S_n=465\), what will be the value of \(S_{n+5}\)?
A. \(630\)
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=465\) से \(n(n+1)=930\), इसलिए \(n=30\)। अब \(S_{n+5}=S_{35}=\frac{35\times36}{2}=630\)। \(635\) जैसे विकल्प गलत हैं क्योंकि वे 31 से 35 तक की सभी संख्याएँ जोड़ने के बजाय योग के सूत्र का सही प्रयोग नहीं करते। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग से \(n\) ज्ञात करें, फिर नया सूचकांक सूत्र में रखें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=465\) gives \(n(n+1)=930\), so \(n=30\). Therefore, \(S_{n+5}=S_{35}=\frac{35\times36}{2}=630\). Options such as \(635\) result from not applying the sum formula correctly for all terms from 31 to 35. Exam tip: first find \(n\) from the given sum, then substitute the new index in the formula.
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What is the value of \(S_{49}+S_{51}-2S_{50}\)?
B. (1)
\(S_{51}=S_{50}+51\) और \(S_{49}=S_{50}-50\), इसलिए मान (1) है। लगातार योगों के अंतर का उपयोग करें। / \(S_{51}=S_{50}+51\) and \(S_{49}=S_{50}-50\), so the value is (1). Use differences of consecutive sums.
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C. 610
पहली 40 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{40}=\frac{40\times41}{2}=820\) और पहली 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\) है। अतः आवश्यक अंतर \(820-210=610\) है, इसलिए विकल्प C सही है। 600 प्राप्त करना प्रायः गुणा या घटाव की गणना में त्रुटि के कारण होता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाकर दोनों योगों का अंतर निकालें। / The sum of the first 40 natural numbers is \(S_{40}=\frac{40\times41}{2}=820\), and the sum of the first 20 natural numbers is \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\). Therefore, the required difference is \(820-210=610\), so option C is correct. Getting 600 usually results from an arithmetic error in multiplication or subtraction. Exam tip: In such questions, use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) and subtract the two sums.
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If \(1+2+3+\cdots+n=2556\), which is (n)?
C. (71)
\(S_{71}=\frac{71\times72}{2}=2556\) इसलिए (n=71) है। विकल्पों को सूत्र में रखकर तेज जांच करें। / \(S_{71}=\frac{71\times72}{2}=2556\), so (n=71). Substitute options in the formula for a quick check.
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What is the ratio of \(S_{60}\) to \(S_{30}\)?
A. \(122:31\)
पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। इसलिए \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) और \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\)। अतः \(S_{60}:S_{30}=1830:465=122:31\)। विकल्प \(61:15\) निकट लगता है, पर यह दिए गए योगों का सरलीकृत अनुपात नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों योग निकालने के बजाय \(\frac{60\times61}{30\times31}\) में समान गुणकों को काटकर भी अनुपात ज्ञात किया जा सकता है। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) and \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\). Hence, \(S_{60}:S_{30}=1830:465=122:31\). Option \(61:15\) may appear close, but it is not the simplified ratio of the two sums. Exam tip: you can also cancel common factors directly in \(\frac{60\times61}{30\times31}\) instead of calculating both sums fully.
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For which (n) will \(S_n-S_{n-3}=144\)?
D. (49)
(S_n-S_{n-3}=(n-2)+(n-1)+n=3n-3) है, इसलिए (3n-3=144) से (n=49)। अंतर को अंतिम तीन पदों के रूप में लिखें। / (S_n-S_{n-3}=(n-2)+(n-1)+n=3n-3), so (3n-3=144) gives (n=49). Write the difference as the last three terms.
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A staircase figure has (1275) blocks, and the (r)th row has (r) blocks. What is the number of rows?
C. (50)
कुल ब्लॉक \(S_r=1275\) हैं और \(S_{50}=1275\), इसलिए पंक्तियां (50) हैं। ऐसी आकृति में कुल वस्तुएं त्रिभुज संख्या होती हैं। / Total blocks are \(S_r=1275\), and \(S_{50}=1275\), so there are (50) rows. In such figures, the total objects form a triangular number.
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If \(S_a=1540\) and \(S_b=2080\), what will be the value of (b-a)?
C. 9
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{a(a+1)}{2}=1540\) से \(a=55\) तथा \(\frac{b(b+1)}{2}=2080\) से \(b=64\) मिलता है। अतः \(b-a=64-55=9\)। 8 निकट का विकल्प हो सकता है, पर दोनों योगों के संगत सूचकांकों का अंतर ठीक 9 है। परीक्षा टिप: दिए गए योग को \(\frac{n(n+1)}{2}\) के बराबर रखकर n ज्ञात करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{a(a+1)}{2}=1540\), we get \(a=55\), and from \(\frac{b(b+1)}{2}=2080\), we get \(b=64\). Therefore, \(b-a=64-55=9\). Although 8 may seem close, the indices corresponding to the two given sums differ by exactly 9. Exam tip: equate the given sum to \(\frac{n(n+1)}{2}\) and solve for n.
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What is the sum of \(46+47+48+\cdots+90\)?
A. 3060
यह एक समानांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 46, अंतिम पद 90 और पदों की संख्या \(90-46+1=45\) है। अतः योग \(S=\frac{45}{2}(46+90)=\frac{45}{2}\times136=3060\) होगा। विकल्प 4095, \(1\) से \(90\) तक का योग है; उसमें \(1\) से \(45\) तक के पद भी शामिल हैं। परीक्षा टिप: क्रमागत पूर्णांकों में पदों की संख्या निकालते समय \(+1\) अवश्य लगाएँ। / This is an arithmetic sequence with first term 46, last term 90, and \(90-46+1=45\) terms. Therefore, \(S=\frac{45}{2}(46+90)=\frac{45}{2}\times136=3060\). Option 4095 is the sum from \(1\) to \(90\), so it incorrectly includes the terms from \(1\) to \(45\). Exam tip: while counting consecutive integers from one endpoint to another, always add \(1\).
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If \(S_{m+1}-S_m=76\), what is the value of (m)?
B. (75)
\(S_{m+1}-S_m=m+1\) होता है, इसलिए (m+1=76) और (m=75)। लगातार योगों का अंतर अगला पद होता है। / \(S_{m+1}-S_m=m+1\), so (m+1=76) and (m=75). The difference of consecutive sums is the next term.
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Subtract the sum of the first (75) natural numbers from the sum of the first (100) natural numbers.
B. 2200
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\) और \(S_{75}=\frac{75\times76}{2}=2850\)। आवश्यक अंतर \(5050-2850=2200\) है, इसलिए विकल्प B सही है। यह वास्तव में 76 से 100 तक की संख्याओं का योग है। विकल्प 2250, \(S_{75}\) के गलत मान या घटाव में त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को \(S_b-S_a\) या \(a+1\) से \(b\) तक के पदों के योग के रूप में देखें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\) and \(S_{75}=\frac{75\times76}{2}=2850\). The required difference is \(5050-2850=2200\), so option B is correct. It is also the sum of the integers from 76 to 100. Option 2250 can result from an incorrect value of \(S_{75}\) or a subtraction error. Exam tip: interpret \(S_b-S_a\) as the sum of terms from \(a+1\) to \(b\).
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For which (n) will the sum of the first (n) natural numbers exceed (3000) for the first time?
B. (77)
\(S_{76}=2926\) और \(S_{77}=3003\), इसलिए पहली बार (n=77) पर योग (3000) से अधिक होता है। सीमा वाले प्रश्नों में आसपास के दो योग जांचें। / \(S_{76}=2926\) and \(S_{77}=3003\), so the sum first exceeds (3000) at (n=77). In boundary questions, check the two nearby sums.
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What is the value of \(S_{25}+S_{35}+S_{45}\)?
B. (1990)
\(S_{25}=325\), \(S_{35}=630\) और \(S_{45}=1035\) इसलिए कुल (1990) है। तीनों योग अलग-अलग लिखकर जोड़ें। / \(S_{25}=325\), \(S_{35}=630\), and \(S_{45}=1035\), so the total is (1990). Write all three sums separately and add.
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If \(S_n=3240\), what will be the value of \(S_{n-4}\)?
A. 2926
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=3240\) से \(n=80\) मिलता है। अतः \(S_{n-4}=S_{76}\) होगा। \(S_{76}=S_{80}-(77+78+79+80)=3240-314=2926\)। विकल्प 2916 में अंतिम चार संख्याओं का योग गलत घटाया गया है। परीक्षा टिप: \(S_{n-k}\) ज्ञात करने के लिए \(S_n\) में से अंतिम k पद घटाइए। / For the sum of the first n natural numbers, \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=3240\), we get \(n=80\). Therefore, \(S_{n-4}=S_{76}\). Now \(S_{76}=S_{80}-(77+78+79+80)=3240-314=2926\). Option 2916 results from subtracting the last four terms incorrectly. Exam tip: To find \(S_{n-k}\), subtract the last k terms from \(S_n\).
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What is the sum of the first (96) natural numbers?
A. (4656)
\(S_{96}=\frac{96\times97}{2}=4656\) है। (96) को आधा करके \(48\times97\) करें। / \(S_{96}=\frac{96\times97}{2}=4656\). Halve (96) and calculate \(48\times97\).
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Find the value of \(S_{40}+S_{60}-S_{50}\).
A. 1375
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{40}=\frac{40\times41}{2}=820\), \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) और \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\)। इसलिए \(S_{40}+S_{60}-S_{50}=820+1830-1275=1375\)। 1385 जैसा उत्तर प्रायः किसी एक योग की गणना में त्रुटि से आता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक \(S_n\) का मान अलग-अलग निकालकर फिर जोड़-घटाव करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{40}=\frac{40\times41}{2}=820\), \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\), and \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\). Therefore, \(S_{40}+S_{60}-S_{50}=820+1830-1275=1375\). An answer such as 1385 can result from an error while evaluating one of the sums. Exam tip: calculate each \(S_n\) separately before performing the final addition and subtraction.
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If \(S_{2p}=820\), what is the value of (p)?
C. 20
पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(S_{2p}=820\) है, अतः \(\frac{2p(2p+1)}{2}=820\)। क्योंकि \(\frac{40\times41}{2}=820\), इसलिए \(2p=40\) और \(p=20\) होगा। \(p=19\) लेने पर सूचकांक \(38\) होगा, जिसका योग 820 नहीं है। परीक्षा टिप: योग दिया हो तो पहले \(n(n+1)/2\) के बराबर रखकर सूचकांक \(n\) ज्ञात करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(S_{2p}=820\), so \(\frac{2p(2p+1)}{2}=820\). Since \(\frac{40\times41}{2}=820\), we get \(2p=40\), hence \(p=20\). If \(p=19\), the index would be \(38\), whose sum is not 820. Exam tip: When a sum is given, equate it to \(n(n+1)/2\) and find the index \(n\) first.
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What will be the value of \(S_{70}-2S_{35}\)?
B. (1225)
\(S_{70}=2485\) और \(2S_{35}=1260\), इसलिए मान (1225) है। गुणा और घटाव का क्रम ध्यान से रखें। / \(S_{70}=2485\) and \(2S_{35}=1260\), so the value is (1225). Keep the order of multiplication and subtraction clear.
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A. (1395)
कुल दीपक \(3S_{30}=3\times465=1395\) हैं। समान गुणक हो तो उसे योग के बाहर रखा जा सकता है। / Total lamps are \(3S_{30}=3\times465=1395\). If there is a common multiplier, it can be placed outside the sum.
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If \(S_n=4095\), what will be the value of (n)?
C. (90)
\(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) इसलिए (n=90) है। \(2S_n\) को क्रमागत गुणनफल से मिलाना उपयोगी है। / \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\), so (n=90). Matching \(2S_n\) with a consecutive product is useful.
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The value of \(S_n-S_{n-1}+S_{n-2}-S_{n-3}\) is (99). What is (n)?
B. (50)
व्यंजक (n+(n-2)=2n-2) है, इसलिए (2n-2=99) प्राकृतिक (n) नहीं देता; सही मान कोई नहीं है। / The expression is (n+(n-2)=2n-2), so (2n-2=99) gives no natural (n). Check parity before choosing an option.
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Which number should be added to \(S_{44}\) to get \(S_{50}\)?
A. \(285\)
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_{50}-S_{44}\) में केवल 45 से 50 तक की संख्याएँ शामिल होंगी: \(45+46+47+48+49+50=285\)। इसलिए \(S_{44}\) में \(285\) जोड़ने पर \(S_{50}\) प्राप्त होगा। \(279\) जैसा विकल्प सही नहीं है क्योंकि उसमें इन छह क्रमागत संख्याओं का पूरा योग नहीं आता। परीक्षा टिप: \(S_b-S_a\) निकालते समय \(a+1\) से \(b\) तक के पद जोड़ें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. Therefore, \(S_{50}-S_{44}\) contains only the terms from 45 to 50: \(45+46+47+48+49+50=285\). Hence, adding \(285\) to \(S_{44}\) gives \(S_{50}\). An option such as \(279\) is incorrect because it is not the complete sum of these six consecutive terms. Exam tip: To find \(S_b-S_a\), add the terms from \(a+1\) to \(b\).
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If \(S_u=1225\) and \(S_v=2628\), what is the value of (u+v)?
C. (121)
\(S_{49}=1225\) और \(S_{72}=2628\), इसलिए (u+v=121)। पहले दोनों त्रिभुज संख्याओं के सूचकांक पहचानें। / \(S_{49}=1225\) and \(S_{72}=2628\), so (u+v=121). First identify the indices of both triangular numbers.
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What is (25%) of the sum of the first (88) natural numbers?
A. (979)
\(S_{88}=3916\) है और उसका (25%) यानी \(\frac{1}{4}\) भाग (979) है। प्रतिशत को भिन्न में बदलना आसान रहता है। / \(S_{88}=3916\), and (25%), or \(\frac{1}{4}\), of it is (979). Converting percent to a fraction makes it easier.
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What is the value of \(S_{58}+S_{59}-S_{57}\)?
C. (1887)
\(S_{58}=1711\), \(S_{59}=1770\) और \(S_{57}=1653\), इसलिए मान (1887) है। निकट सूचकांकों में सावधानी से घटाएं। / \(S_{58}=1711\), \(S_{59}=1770\), and \(S_{57}=1653\), so the value is (1887). Subtract carefully with nearby indices.
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If \(S_n-S_{n-5}=390\), what will be the value of (n)?
C. (78)
अंतर ((n-4)+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=5n-10) है, इसलिए (5n-10=390) से (n=80)। अंतिम पांच पदों का योग बनाएं। / The difference is ((n-4)+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=5n-10), so (5n-10=390) gives (n=80). Form the sum of the last five terms.
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What is the sum of the first (150) natural numbers?
B. (11325)
\(S_{150}=\frac{150\times151}{2}=11325\) है। बड़े (n) में पहले (150) को (75) बनाएं। / \(S_{150}=\frac{150\times151}{2}=11325\). For large (n), first change (150) to (75).
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Find the value of \(S_{100}-S_{90}+S_{10}\).
A. 1010
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, अतः \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। इसलिए \(S_{100}=5050\), \(S_{90}=4095\) और \(S_{10}=55\)। अतः \(S_{100}-S_{90}+S_{10}=5050-4095+55=1010\)। विकल्प 955 केवल \(S_{100}-S_{90}\) है; इसमें \(S_{10}\) जोड़ना शेष है। परीक्षा टिप: \(S_a-S_b\) निकालते समय \(b+1\) से \(a\) तक की संख्याओं का योग भी जाँच सकते हैं। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, so \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{100}=5050\), \(S_{90}=4095\), and \(S_{10}=55\). Therefore, \(S_{100}-S_{90}+S_{10}=5050-4095+55=1010\). The value 955 is only \(S_{100}-S_{90}\); \(S_{10}\) must still be added. Exam tip: \(S_a-S_b\) can also be checked as the sum of integers from \(b+1\) to \(a\).
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If \(S_{3k}=1176\), what will be the value of (k)?
C. \(16\)
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(S_{3k}=1176\) है, इसलिए \(\frac{3k(3k+1)}{2}=1176\)। इससे \(3k=48\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{48\times49}{2}=1176\)। अतः \(k=\frac{48}{3}=16\)। \(15\) लेने पर सूचकांक \(45\) होगा, जिसका योग \(1035\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग से \(n\) ज्ञात करें, फिर \(n=3k\) का उपयोग करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(S_{3k}=1176\), so \(\frac{3k(3k+1)}{2}=1176\). This gives \(3k=48\), since \(\frac{48\times49}{2}=1176\). Hence, \(k=\frac{48}{3}=16\). If \(k=15\), the index would be \(45\), whose sum is \(1035\), not \(1176\). Exam tip: first find the index \(n\) from the sum, then use \(n=3k\).
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What is the sum of \(71+72+73+\cdots+100\)?
B. 2565
यह 71 से 100 तक की 30 क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः योग \(\frac{30}{2}(71+100)=15\times171=2565\) होगा। इसलिए विकल्प B सही है। 2535 जैसा विकल्प पदों की संख्या या औसत लेने में गलती से आ सकता है। परीक्षा टिप: क्रमागत संख्याओं के योग के लिए हमेशा पदों की संख्या \((\text{अंतिम}-\text{प्रथम}+1)\) पहले गिनें। / These are 30 consecutive natural numbers from 71 to 100. Therefore, their sum is \(\frac{30}{2}(71+100)=15\times171=2565\). Hence, option B is correct. A value such as 2535 can result from an error in counting the number of terms or finding the average. Exam tip: for consecutive numbers, first count the terms using \((\text{last}-\text{first}+1)\).
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If \(S_n=1830\), what is the value of \(S_{n+10}-S_n\)?
B. (655)
\(S_{60}=1830\) इसलिए अंतर \(61+62+\cdots+70=655\) है। आगे के (10) पदों का योग अलग से निकालें। / \(S_{60}=1830\), so the difference is \(61+62+\cdots+70=655\). Find the sum of the next (10) terms separately.
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At which (n) will \(S_n\) first become greater than (5000)?
C. (100)
\(S_{99}=4950\) और \(S_{100}=5050\), इसलिए पहली बार (n=100) पर (5000) से अधिक है। सीमा प्रश्न में आसपास के मान जांचें। / \(S_{99}=4950\) and \(S_{100}=5050\), so it first exceeds (5000) at (n=100). In boundary questions, check nearby values.
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B. (1640)
कुल वाहन \(2S_{40}=2\times820=1640\) हैं। (2r) जैसा पैटर्न हो तो (2) को बाहर लें। / Total vehicles are \(2S_{40}=2\times820=1640\). For a pattern like (2r), take (2) outside.
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If \(S_x=2278\), what is the value of (x)?
B. (67)
\(S_{67}=\frac{67\times68}{2}=2278\) इसलिए (x=67) है। \(2S_x\) करके क्रमागत गुणनफल ढूंढें। / \(S_{67}=\frac{67\times68}{2}=2278\), so (x=67). Use \(2S_x\) to find the consecutive product.
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What is the value of \(S_{33}+S_{66}-S_{22}\)?
B. 2519
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। अतः \(S_{33}=\frac{33\times34}{2}=561\), \(S_{66}=\frac{66\times67}{2}=2211\) और \(S_{22}=\frac{22\times23}{2}=253\)। इसलिए \(S_{33}+S_{66}-S_{22}=561+2211-253=2519\)। विकल्प 2496 जैसी त्रुटि प्रायः किसी योग को गलत निकालने या घटाव में गलती करने से होती है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक \(S_n\) अलग से निकालकर फिर जोड़-घटाव करें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, so \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{33}=\frac{33\times34}{2}=561\), \(S_{66}=\frac{66\times67}{2}=2211\), and \(S_{22}=\frac{22\times23}{2}=253\). Therefore, \(S_{33}+S_{66}-S_{22}=561+2211-253=2519\). An answer such as 2496 can result from calculating one of the sums or the subtraction incorrectly. Exam tip: evaluate each \(S_n\) separately before combining the results.
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C. 4020
पहली 120 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\) तथा पहली 80 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=3240\) है। अतः अंतर \(7260-3240=4020\) होगा। यह वास्तव में 81 से 120 तक की संख्याओं का योग है। 4060 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब क्रम की शुरुआती या अंतिम संख्या गलत ली जाए। परीक्षा टिप: पहले \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाकर दोनों योगों का अंतर निकालें। / The sum of the first 120 natural numbers is \(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\), and the sum of the first 80 natural numbers is \(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=3240\). Therefore, the difference is \(7260-3240=4020\). It is also the sum of the numbers from 81 to 120. A value such as 4060 can result from taking an incorrect starting or ending term. Exam tip: use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) for each sum before subtracting.
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If \(S_n-S_{n-1}=84\) and \(S_m=990\), what is (n-m)?
C. (40)
पहले (n=84) और \(S_m=990\) से (m=44), इसलिए (n-m=40)। लगातार योगों का अंतर सूचकांक देता है। / First (n=84), and \(S_m=990\) gives (m=44), so (n-m=40). The difference of consecutive sums gives the index.
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Which sum is obtained by adding (76+77+78+79+80) to \(S_{75}\)?
C. \(S_{80}\)
\(S_{75}+76+77+78+79+80=S_{80}\) है। लगातार नए पद जुड़ने पर अंतिम पद नया सूचकांक बनता है। / \(S_{75}+76+77+78+79+80=S_{80}\). When consecutive new terms are added, the last term becomes the new index.
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If \(S_n=2926\), what is the value of (n)?
C. (76)
\(S_{76}=\frac{76\times77}{2}=2926\) इसलिए (n=76) है। बड़े मानों में \(2S_n\) से पहचान आसान होती है। / \(S_{76}=\frac{76\times77}{2}=2926\), so (n=76). For large values, using \(2S_n\) makes identification easier.
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Find the value of \(S_{19}+S_{39}+S_{59}\).
A. (2740)
\(S_{19}=190\), \(S_{39}=780\) और \(S_{59}=1770\), इसलिए कुल (2740) है। तीन अलग सूचकांकों को ध्यान से जोड़ें। / \(S_{19}=190\), \(S_{39}=780\), and \(S_{59}=1770\), so the total is (2740). Add the three different indices carefully.
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The sum of the first (n) natural numbers is (4656). What is the value of (n-10)?
B. 86
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=4656\), यानी \(n(n+1)=9312\)। \(96\times97=9312\), इसलिए \(n=96\)। अब \(n-10=96-10=86\)। विकल्प 84 लेने पर n का मान 94 होगा, जिसका योग 4656 नहीं है। परीक्षा टिप: योग दिया हो तो पहले \(n(n+1)/2\) का प्रयोग करके n ज्ञात करें, फिर पूछा गया व्यंजक निकालें। / The sum of the first n natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=4656\), so \(n(n+1)=9312\). Since \(96\times97=9312\), \(n=96\). Therefore, \(n-10=96-10=86\). Choosing 84 would mean \(n=94\), whose sum is not 4656. Exam tip: when a sum is given, first find n using \(n(n+1)/2\), then evaluate the expression asked.
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If \(S_{n+1}-S_{n-1}=151\), what will be the value of (n)?
B. (75)
अंतर (n+(n+1)=2n+1) है, इसलिए (2n+1=151) से (n=75)। दो पदों के अंतर को सीधे लिखें। / The difference is (n+(n+1)=2n+1), so (2n+1=151) gives (n=75). Write the two-term difference directly.
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What is the value of \(S_{200}-S_{190}\)?
A. (1955)
अंतर \(191+192+\cdots+200=1955\) है। बड़े सूचकांक में भी केवल बीच के पद जोड़ने होते हैं। / The difference is \(191+192+\cdots+200=1955\). Even with large indices, only the terms in between need to be added.
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If \(S_n=6216\), what is the value of (n)?
B. (111)
\(S_{111}=\frac{111\times112}{2}=6216\) इसलिए (n=111) है। \(2S_n\) से क्रमागत संख्याओं की पहचान करें। / \(S_{111}=\frac{111\times112}{2}=6216\), so (n=111). Use \(2S_n\) to identify consecutive numbers.
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What is (3) times the difference between \(S_{48}\) and \(S_{24}\)?
B. (2628)
\(S_{48}-S_{24}=1176-300=876\) और \(3\times876=2628\) है। पहले अंतर निकालें फिर गुणा करें। / \(S_{48}-S_{24}=1176-300=876\), and \(3\times876=2628\). First find the difference and then multiply.
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If \(S_y=4950\), what will be the value of \(S_{y+1}\)?
C. 5050
पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{y(y+1)}{2}=4950\) से \(y=99\) मिलता है। अतः \(S_{y+1}=S_{100}=S_{99}+100=4950+100=5050\)। 5025 प्राप्त करने के लिए अगले पद के स्थान पर गलत संख्या जोड़नी पड़ेगी। परीक्षा टिप: \(S_{n+1}=S_n+(n+1)\) संबंध का उपयोग करके ऐसे प्रश्न जल्दी हल करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{y(y+1)}{2}=4950\), we get \(y=99\). Therefore, \(S_{y+1}=S_{100}=S_{99}+100=4950+100=5050\). Getting 5025 would require adding an incorrect next term. Exam tip: use \(S_{n+1}=S_n+(n+1)\) to solve such questions quickly.
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