sum of natural numbers se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(S_n-S_{n-1}=n\) होता है, क्योंकि \(S_n\) में जो नई संख्या जुड़ती है वह n है। अतः \(n=225\)। इसलिए \(S_{n+1}=S_{226}=\frac{226\times227}{2}=25651\)। विकल्प A, \(S_{225}\) के निकट का मान हो सकता है, पर प्रश्न में अगला योग \(S_{226}\) पूछा गया है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(S_n-S_{n-1}\) को सीधे n पहचानें। / For the sum of the first n natural numbers, \(S_n-S_{n-1}=n\), because the new term added to \(S_{n-1}\) is n. Hence, \(n=225\). Therefore, \(S_{n+1}=S_{226}=\frac{226\times227}{2}=25651\). Option A may seem close to \(S_{225}\), but the question asks for the next sum, \(S_{226}\). Exam tip: In such questions, identify \(S_n-S_{n-1}\) directly as n.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=2145\), जिससे \(n=65\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{65\times66}{2}=2145\)। इसलिए \(S_{2n}-S_n=S_{130}-S_{65}=\frac{130\times131}{2}-2145=8515-2145=6370\)। विकल्प 6270 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब योग के सूत्र या अंतिम घटाव में गणना की त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले दिए गए \(S_n\) से \(n\) ज्ञात करें, फिर \(S_{2n}\) निकालें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=2145\), giving \(n=65\), since \(\frac{65\times66}{2}=2145\). Therefore, \(S_{2n}-S_n=S_{130}-S_{65}=\frac{130\times131}{2}-2145=8515-2145=6370\). A value such as 6270 can result from an error in applying the sum formula or in the final subtraction. Exam tip: first determine \(n\) from the given \(S_n\), and then calculate \(S_{2n}\).
यहाँ \(S_{n+5}-S_{n-5}\) का अर्थ \((n-4)\) से \((n+5)\) तक के 10 क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_{n+5}-S_{n-5}=10n+5\)। इसलिए \(10n+5=1205\), जिससे \(10n=1200\) और \(n=120\) प्राप्त होता है। विकल्प 121 लेने पर योग \(1215\) होता, जो दिया गया मान नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में दोनों सूचकांकों के बीच आने वाले पदों को लिखकर पदों की संख्या जाँचें। / Here, \(S_{n+5}-S_{n-5}\) represents the sum of 10 consecutive natural numbers from \((n-4)\) to \((n+5)\). Therefore, \(S_{n+5}-S_{n-5}=10n+5\). So, \(10n+5=1205\), which gives \(10n=1200\) and hence \(n=120\). If \(n=121\), the sum would be \(1215\), not the given value. Exam tip: In such differences, list the first and last remaining terms to verify the number of terms.
पहले n प्राकृतिक संख्याओं के योग को \(S_n\) मानें। तब \(S_n-S_{n-2}\) में केवल अंतिम दो पद \((n-1)\) और \(n\) बचते हैं। अतः \(2n-1=199\), जिससे \(n=100\) प्राप्त होता है। इसलिए \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\)। विकल्प 4950, 99 प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-2}\) को सीधे अंतिम दो पदों का योग समझें। / Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) natural numbers. In \(S_n-S_{n-2}\), only the last two terms, \((n-1)\) and \(n\), remain. Hence, \(2n-1=199\), giving \(n=100\). Therefore, \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\). Option 4950 is the sum of the first 99 natural numbers, so it is not correct. Exam tip: interpret \(S_n-S_{n-2}\) directly as the sum of the last two terms.
पहले n=50 रखने पर 2n=100 होगा। पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। अतः \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\) और \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\)। इसलिए \(S_{2n}-S_n=5050-1275=3775\)। 3875 जैसे विकल्प में घटाव या योग के सूत्र में गणना की त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: पहले उपसूचक 2n का मान निकालें, फिर दोनों योग अलग-अलग ज्ञात करें। / Substituting n=50 gives 2n=100. The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{100}=\frac{100\times101}{2}=5050\) and \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\). Therefore, \(S_{2n}-S_n=5050-1275=3775\). An option such as 3875 results from an error in subtraction or in applying the sum formula. Exam tip: evaluate the index 2n first, then find the two sums separately.
पहले
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) में \(S_n=11175\) रखने पर \(n=149\) मिलता है। अतः \(S_n-S_{n-4}=S_{149}-S_{145}\), यानी 146वें से 149वें तक के प्राकृतिक संख्याओं का योग: \(146+147+148+149=590\)। इसलिए सही उत्तर 590 है। 580 केवल अंतिम चार पदों में से एक पद को गलत लेने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-k}\) हमेशा अंतिम \(k\) पदों का योग दर्शाता है। / Using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) and \(S_n=11175\), we get \(n=149\). Hence, \(S_n-S_{n-4}=S_{149}-S_{145}\), which is the sum of the natural numbers from 146 to 149: \(146+147+148+149=590\). Therefore, 590 is correct. A value such as 580 can result from taking one of the last four terms incorrectly. Exam tip: \(S_n-S_{n-k}\) always represents the sum of the last \(k\) terms.
यहाँ \(S_n-S_{n-7}\) का अर्थ पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहले \(n-7\) प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाना है। अतः शेष अंतिम 7 संख्याएँ \(n-6,n-5,\ldots,n\) होंगी, जिनका योग \(7n-21\) है। इसलिए \(7n-21=1330\), जिससे \(7n=1351\) और \(n=193\) मिलता है। \(194\) लेने पर योग \(1337\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-r}\) हमेशा अंतिम \(r\) पदों का योग दर्शाता है। / \(S_n-S_{n-7}\) means that the sum of the first \(n-7\) natural numbers is subtracted from the sum of the first \(n\) natural numbers. The remaining seven terms are \(n-6,n-5,\ldots,n\), whose sum is \(7n-21\). Thus, \(7n-21=1330\), so \(7n=1351\) and \(n=193\). If \(n=194\), the sum would be \(1337\), so it is not correct. Exam tip: \(S_n-S_{n-r}\) always represents the sum of the last \(r\) terms.
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=1830\) से \(n=60\) मिलता है। इसलिए \(3n=180\) और \(S_{3n}=S_{180}=\frac{180\times181}{2}=16290\)। \(12880\) जैसी निकट की त्रुटि प्रायः \(3n\) का मान या योग का सूत्र गलत लगाने से होती है। परीक्षा में पहले \(S_n\) से \(n\) ज्ञात करें, फिर \(3n\) रखकर योग निकालें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=1830\) gives \(n=60\). Therefore, \(3n=180\), and \(S_{3n}=S_{180}=\frac{180\times181}{2}=16290\). A nearby value such as \(12880\) can result from finding \(3n\) incorrectly or applying the sum formula wrongly. Exam tip: first determine \(n\) from \(S_n\), then substitute \(3n\) in the sum formula.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=8256\) से \(n=128\) मिलता है। अतः \(S_{n+5}-S_n\) अगली पाँच संख्याओं \(129,130,131,132,133\) का योग है, जो \(655\) है। \(645\) जैसा विकल्प केवल गलत प्रारम्भिक पद लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) ज्ञात करें, फिर योग में शामिल होने वाले अगले पद लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=8256\), we get \(n=128\). Therefore, \(S_{n+5}-S_n\) is the sum of the next five numbers: \(129+130+131+132+133=655\). A value such as 645 results from choosing an incorrect starting term. Exam tip: first find \(n\), then list the terms added beyond \(S_n\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{128}=\frac{128\times129}{2}=8256\) और \(S_{64}=\frac{64\times65}{2}=2080\)। इसलिए \(8256:2080=258:65\), अतः सही उत्तर \(258:65\) है। \(2:1\) लगभग मान है, सरलतम सटीक अनुपात नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे अनुपात में पहले दोनों योगों का सूत्र लिखकर फिर सामान्य गुणनखंड से काटें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{128}=\frac{128\times129}{2}=8256\) and \(S_{64}=\frac{64\times65}{2}=2080\). Therefore, \(8256:2080=258:65\), so the correct answer is \(258:65\). \(2:1\) is only an approximate comparison, not the exact simplest ratio. Exam tip: write the sum formula for both terms first, then cancel common factors in the ratio.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। इसलिए \(S_n-S_{n-2}\) में केवल अंतिम दो पद \((n-1)\) और \(n\) बचते हैं: \(S_n-S_{n-2}=(n-1)+n=2n-1\)। अतः \(2n-1=257\), जिससे \(n=129\) प्राप्त होता है। इसलिए \(S_{129}=\frac{129\times130}{2}=8385\)। विकल्प 8256, \(S_{128}\) का मान है, इसलिए वह निकट होने पर भी सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-2}\) लिखते ही अंतिम दो पदों का योग लें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. In \(S_n-S_{n-2}\), only the last two terms, \((n-1)\) and \(n\), remain: \(S_n-S_{n-2}=(n-1)+n=2n-1\). Thus, \(2n-1=257\), giving \(n=129\). Hence, \(S_{129}=\frac{129\times130}{2}=8385\). Option 8256 is \(S_{128}\), so it is close but not correct. Exam tip: For \(S_n-S_{n-2}\), directly add the last two terms.
पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। इसलिए \(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\), \(S_{80}=3240\) तथा \(S_{40}=820\)। अतः \(S_{120}-S_{80}+S_{40}=7260-3240+820=4840\)। विकल्प 4740 में अंतिम \(S_{40}\) को जोड़ने या घटाने में गलती होने की संभावना है। परीक्षा में प्रत्येक \(S_n\) का मान अलग निकालकर ही प्रतिस्थापित करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\), \(S_{80}=3240\), and \(S_{40}=820\). Therefore, \(S_{120}-S_{80}+S_{40}=7260-3240+820=4840\). The option 4740 can result from an error while adding or subtracting the final \(S_{40}\). In exams, calculate each \(S_n\) separately before substituting.
75 से 125 तक कुल पदों की संख्या \(125-75+1=51\) है। इनका औसत \(\frac{75+125}{2}=100\) होगा। अतः योग \(51\times100=5100\) है। 5150 जैसा विकल्प पदों की संख्या या औसत की गणना में गलती करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी बंद अंतराल में पदों की संख्या निकालते समय \(+1\) अवश्य जोड़ें। / There are \(125-75+1=51\) terms from 75 to 125. Their average is \(\frac{75+125}{2}=100\). Therefore, the sum is \(51\times100=5100\). A value such as 5150 can result from an error in counting the terms or finding the average. Exam tip: Always add \(+1\) when counting terms in an inclusive range.
यहाँ \(S_r\) प्रथम \(r\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_{n+1}-S_{n-4}\) में \(1\) से \(n-4\) तक के पद कट जाते हैं और शेष पद \((n-3),(n-2),(n-1),n,(n+1)\) बचते हैं। इनका योग \(5n-5\) है। इसलिए \(5n-5=695\Rightarrow 5n=700\Rightarrow n=140\)। विकल्प 139 लेने पर योग \(690\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो आंशिक योगों का अंतर लिखते समय कटने वाले पदों के बाद बचे हुए पदों की संख्या अवश्य जाँचें। / Here, \(S_r\) denotes the sum of the first \(r\) natural numbers. In \(S_{n+1}-S_{n-4}\), the terms from \(1\) to \(n-4\) cancel, leaving \((n-3),(n-2),(n-1),n,(n+1)\). Their sum is \(5n-5\). Hence, \(5n-5=695\Rightarrow 5n=700\Rightarrow n=140\). If \(n=139\), the sum would be \(690\), so it is not correct. Exam tip: When subtracting partial sums, first list the uncancelled terms and count them carefully.
यहाँ \(S_n-S_{n-4}\) का अर्थ \((n-3)\) से \(n\) तक की अंतिम चार प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \((n-3)+(n-2)+(n-1)+n=4n-6\)। इसलिए \(4n-6=454\), जिससे \(4n=460\) और \(n=115\) प्राप्त होता है। \(n=114\) रखने पर योग \(450\) आता है, इसलिए वह निकटतम विकल्प होते हुए भी सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-k}\) में अंतिम \(k\) पदों का योग लें। / Here, \(S_n-S_{n-4}\) represents the sum of the last four natural numbers from \((n-3)\) to \(n\). Thus, \((n-3)+(n-2)+(n-1)+n=4n-6\). Hence, \(4n-6=454\), so \(4n=460\) and \(n=115\). If \(n=114\), the sum is \(450\), so it is the closest option but not correct. Exam tip: In \(S_n-S_{n-k}\), add the last \(k\) terms.
प्रथम प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र है \(S_r=\frac{r(r+1)}{2}\)। यहाँ \(S_{2n}=4095\), अतः \(\frac{2n(2n+1)}{2}=4095\)। चूँकि \(4095=\frac{90\times91}{2}=S_{90}\), इसलिए \(2n=90\) और \(n=45\)। विकल्प 46 लेने पर \(2n=92\) होगा, जिसका योग 4095 नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग को \(S_r\) के रूप में पहचानकर उसका सूचकांक ज्ञात करें। / The sum of the first \(r\) natural numbers is \(S_r=\frac{r(r+1)}{2}\). Given \(S_{2n}=4095\), we have \(\frac{2n(2n+1)}{2}=4095\). Since \(4095=\frac{90\times91}{2}=S_{90}\), \(2n=90\), so \(n=45\). If \(n=46\), then the index would be 92, whose sum is not 4095. Exam tip: first identify the index corresponding to the given sum \(S_r\).
पहले 90 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) है। अतः \(S_n=5775+4095=9870\)। अब \(\frac{n(n+1)}{2}=9870\) से \(n(n+1)=19740=140\times141\), इसलिए \(n=140\)। उदाहरण के लिए, \(n=135\) लेने पर योग \(\frac{135\times136}{2}=9180\) होगा, जो आवश्यक \(9870\) नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए \(S_k\) को जोड़कर \(S_n\) ज्ञात करें। / The sum of the first 90 natural numbers is \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\). Hence, \(S_n=5775+4095=9870\). Using \(\frac{n(n+1)}{2}=9870\), we get \(n(n+1)=19740=140\times141\); therefore, \(n=140\). For instance, if \(n=135\), the sum is \(\frac{135\times136}{2}=9180\), not the required \(9870\). Exam tip: In such questions, first add the known \(S_k\) to find \(S_n\).
यहाँ \(S_{n+2}-S_{n-3}\) में \((n-3)\) तक के पद कट जाते हैं। अतः शेष पाँच पद हैं: \((n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=5n\)। इसलिए \(5n=625\), जिससे \(n=125\) प्राप्त होता है। \(126\) लेने पर योग का अंतर \(630\) होता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में दोनों सूचकांकों के बीच आने वाले पदों को लिखकर जोड़ें। / In \(S_{n+2}-S_{n-3}\), all terms up to \((n-3)\) cancel. The five remaining terms are \((n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=5n\). Hence, \(5n=625\), giving \(n=125\). If \(n=126\), the difference would be \(630\), so it is not correct. Exam tip: In differences of partial sums, write and add the uncancelled terms between the two indices.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{84}=\frac{84\times85}{2}=3570\) और \(S_{56}=\frac{56\times57}{2}=1596\)। इसलिए \(3570:1596=85:38\), जो सबसे सरल रूप है। \(84:56=3:2\) केवल संख्याओं की गिनती का अनुपात है, उनके योगों का नहीं। परीक्षा टिप: योगों का अनुपात निकालते समय दोनों जगह \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{84}=\frac{84\times85}{2}=3570\) and \(S_{56}=\frac{56\times57}{2}=1596\). Therefore, \(3570:1596=85:38\), in simplest form. \(84:56=3:2\) is only the ratio of the number of terms, not the ratio of their sums. Exam tip: For ratios of such sums, apply \(\frac{n(n+1)}{2}\) to both values of \(n\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(\frac{n(n+1)}{2}=2701\) से \(n=73\) मिलता है, क्योंकि \(S_{73}=\frac{73\times74}{2}=2701\)। अतः \(S_{n+7}-S_n=S_{80}-S_{73}=74+75+\cdots+80\)। यह 7 क्रमागत संख्याओं का योग है: \(\frac{7(74+80)}{2}=539\)। इसलिए सही उत्तर 539 है। 535 जैसा विकल्प औसत या पदों की संख्या गलत लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: \(S_{n+k}-S_n\) का अर्थ \(n+1\) से \(n+k\) तक के पदों का योग है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(\frac{n(n+1)}{2}=2701\) gives \(n=73\), since \(S_{73}=\frac{73\times74}{2}=2701\). Therefore, \(S_{n+7}-S_n=S_{80}-S_{73}=74+75+\cdots+80\). This is the sum of 7 consecutive numbers: \(\frac{7(74+80)}{2}=539\). Hence, 539 is correct. A value such as 535 can result from using an incorrect average or number of terms. Exam tip: \(S_{n+k}-S_n\) represents the sum of terms from \(n+1\) to \(n+k\).
यहाँ \(S_k\) प्रथम \(k\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। इसलिए \(S_{n+4}-S_{n-1}\) में \(1\) से \(n-1\) तक के पद कट जाते हैं और शेष \(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10\) रहता है। अतः \(5n+10=485\), जिससे \(5n=475\) और \(n=95\) प्राप्त होता है। \(96\) लेने पर योगांतर \(490\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार पाँच पदों का योग \(5\times\) मध्य पद, अर्थात \(5(n+2)\), होता है। / Here, \(S_k\) denotes the sum of the first \(k\) natural numbers. In \(S_{n+4}-S_{n-1}\), the terms from \(1\) to \(n-1\) cancel, leaving \(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10\). Thus, \(5n+10=485\), so \(5n=475\) and \(n=95\). If \(n=96\), the difference would be \(490\), not \(485\). Exam tip: the sum of five consecutive terms equals \(5\) times their middle term, i.e. \(5(n+2)\).
पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। इसलिए \(S_n-S_{n-6}\), अंतिम 6 संख्याओं \((n-5),(n-4),\ldots,n\) का योग है। अतः \(S_n-S_{n-6}=6n-15\)। दिए गए मान से \(6n-15=813\), इसलिए \(6n=828\) और \(n=138\)। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प 137 रखने पर योग \(807\) आएगा, 813 नहीं। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-k}\) को अंतिम \(k\) पदों का योग मानकर प्रश्न जल्दी हल करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_n-S_{n-6}\) is the sum of the last six numbers: \((n-5),(n-4),\ldots,n\). Hence, \(S_n-S_{n-6}=6n-15\). Using the given condition, \(6n-15=813\), so \(6n=828\) and \(n=138\). Therefore, option D is correct. If \(n=137\), the difference is \(807\), not 813. Exam tip: Interpret \(S_n-S_{n-k}\) as the sum of the last \(k\) terms to solve quickly.
पहली 180 प्राकृतिक संख्याओं के योग में, पहली 179 प्राकृतिक संख्याओं के योग के अतिरिक्त केवल 180 जुड़ता है। इसलिए \(S_{180}-S_{179}=180\)। विकल्प 16290, \(1+2+\cdots+180\) का कुल योग है, दोनों योगों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: क्रमागत योगों का अंतर हमेशा अगला पद होता है। / The sum of the first 180 natural numbers contains all the terms in the sum of the first 179 natural numbers, plus only 180. Hence, \(S_{180}-S_{179}=180\). Option 16290 is the total sum \(1+2+\cdots+180\), not the difference between the two sums. Exam tip: The difference between consecutive partial sums is always the next term.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_n-S_{n-3}\) में केवल अंतिम तीन पद \((n-2)+(n-1)+n\) बचते हैं। इसलिए \(3n-3=420\), जिससे \(3n=423\) और \(n=141\) प्राप्त होता है। विकल्प \(140\) रखने पर अंतर \(417\) आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे योगों के अंतर में कटने वाले पदों को हटाकर केवल बचे हुए पद लिखें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. In \(S_n-S_{n-3}\), only the last three terms remain: \((n-2)+(n-1)+n\). Thus, \(3n-3=420\), so \(3n=423\) and \(n=141\). If \(n=140\), the difference would be \(417\), so it is not correct. Exam tip: In differences of such sums, cancel the common terms and write only the remaining terms.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=11325\) से \(n=150\) मिलता है। अतः \(S_n-S_{n-6}\) अंतिम 6 संख्याओं \(145,146,147,148,149,150\) का योग है, जो \(885\) है। 875 अंतिम छह संख्याओं का सही योग नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-r}\) हमेशा n तक के अंतिम r पदों का योग दर्शाता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=11325\), we get \(n=150\). Therefore, \(S_n-S_{n-6}\) is the sum of the last 6 numbers, \(145+146+147+148+149+150=885\). Option 875 is not the correct sum of these six terms. Exam tip: \(S_n-S_{n-r}\) always represents the sum of the last r terms up to n.
मान लें कि पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। अतः आवश्यक परिणाम \(S_{175}-S_{125}=\frac{175\times176}{2}-\frac{125\times126}{2}=15400-7875=7525\) होगा। यह सीधे 126 से 175 तक की संख्याओं का योग भी है। 7475 जैसे विकल्प में घटाव या योग की गणना में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: समान प्रारम्भिक पद वाले दो योगों का अंतर शेष क्रमागत संख्याओं का योग होता है। / Let the sum of the first n natural numbers be \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, the required result is \(S_{175}-S_{125}=\frac{175\times176}{2}-\frac{125\times126}{2}=15400-7875=7525\). It is also the direct sum of the numbers from 126 to 175. An option such as 7475 results from an error in evaluating a sum or subtraction. Exam tip: the difference of two sums with the same starting term equals the sum of the remaining consecutive terms.
यहाँ \(S_n\) प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_{n+4}-S_n\) में केवल अगली चार संख्याएँ बचती हैं: \((n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=4n+10\)। इसलिए \(4n+10=490\), जिससे \(4n=480\) और \(n=120\) मिलता है। निकटतम विकल्प 121 रखने पर योगांतर \(494\) होगा, 490 नहीं। परीक्षा टिप: \(S_{n+k}-S_n\) को हमेशा \(n+1\) से \(n+k\) तक के पदों के योग के रूप में लिखें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. Thus, \(S_{n+4}-S_n\) leaves only the next four terms: \((n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=4n+10\). Therefore, \(4n+10=490\), so \(4n=480\) and \(n=120\). For the closest distractor, \(n=121\) would give a difference of \(494\), not 490. Exam tip: Write \(S_{n+k}-S_n\) as the sum of terms from \(n+1\) to \(n+k\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{78}=\frac{78\times79}{2}=3081\), \(S_{52}=\frac{52\times53}{2}=1378\) और \(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\)। इसलिए \(S_{78}-S_{52}+S_{26}=3081-1378+351=2054\)। परीक्षा टिप: संयुक्त व्यंजक में प्रत्येक \(S_n\) का मान अलग निकालकर फिर दिए गए धन-ऋण चिह्नों के अनुसार जोड़ें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{78}=\frac{78\times79}{2}=3081\), \(S_{52}=\frac{52\times53}{2}=1378\), and \(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\). Hence, \(S_{78}-S_{52}+S_{26}=3081-1378+351=2054\). Exam tip: evaluate each \(S_n\) separately, then apply the signs in the expression carefully.
यहाँ \(S_k\), प्रथम \(k\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_{n+1}-S_{n-4}\) में \((n-3)\) से \((n+1)\) तक के पाँच पद बचते हैं: \[(n-3)+(n-2)+(n-1)+n+(n+1)=5n-5.\] इसलिए \(5n-5=595\), जिससे \(5n=600\) और \(n=120\) प्राप्त होता है। \(119\) लेने पर योग \(590\) आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_a-S_b\) में पद \(b+1\) से \(a\) तक लिखें। / Here, \(S_k\) denotes the sum of the first \(k\) natural numbers. Therefore, \(S_{n+1}-S_{n-4}\) leaves the five terms from \((n-3)\) to \((n+1)\): \[(n-3)+(n-2)+(n-1)+n+(n+1)=5n-5.\] Thus, \(5n-5=595\), so \(5n=600\) and \(n=120\). If \(n=119\), the sum would be \(590\), not \(595\). Exam tip: In \(S_a-S_b\), write the terms from \(b+1\) to \(a\).
यहाँ \(S_n-S_{n-3}\) का अर्थ क्रमशः \(n\), \(n-1\) और \(n-2\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_n-S_{n-3}=n+(n-1)+(n-2)=3n-3\)। इसलिए \(3n-3=348\) से \(n=117\) मिलता है। अब \(S_{117}=\frac{117\times118}{2}=6903\)। इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 6786, \(S_{116}\) के निकट मान हो सकता है, पर यहाँ \(n=117\) है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(S_n-S_{n-k}\) अंतिम \(k\) पदों का योग होता है। / Here, \(S_n-S_{n-3}\) represents the sum of the three consecutive natural numbers \(n\), \(n-1\), and \(n-2\). Thus, \(S_n-S_{n-3}=n+(n-1)+(n-2)=3n-3\). From \(3n-3=348\), we get \(n=117\). Therefore, \(S_{117}=\frac{117\times118}{2}=6903\). Hence, option C is correct. The value 6786 may appear close to \(S_{116}\), but the required value is for \(n=117\). Exam tip: \(S_n-S_{n-k}\) is the sum of the last \(k\) terms.
