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50 से 150 तक कुल पदों की संख्या
\(150-50+1=101\) है। प्रथम और अंतिम पद का औसत
\(\frac{50+150}{2}=100\) होगा। अतः योग
\(101\times100=10100\) है। विकल्प 10050 में पदों की समावेशी गिनती या औसत लेने में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: किसी सीमा के दोनों सिरों को शामिल करने पर पदों की संख्या हमेशा \(b-a+1\) लें। / There are
\(150-50+1=101\) terms from 50 to 150, including both endpoints. Their average is
\(\frac{50+150}{2}=100\). Hence, the sum is
\(101\times100=10100\). The option 10050 results from an error in counting the inclusive terms or finding the average. Exam tip: for an inclusive range from \(a\) to \(b\), use \(b-a+1\) for the number of terms.
1 से 200 तक के योग में से 1 से 150 तक का योग घटाने पर केवल 151 से 200 तक के पद बचते हैं। अतः अंतर \(S_{200}-S_{150}=\frac{200\times201}{2}-\frac{150\times151}{2}=20100-11325=8775\) है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प 8825 जैसी संख्या सामान्यतः जोड़ या घटाव में त्रुटि से आ सकती है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को सीधे शेष क्रम, अर्थात 151 से 200, के योग के रूप में भी पहचानें। / Subtracting the sum from 1 to 150 from the sum from 1 to 200 leaves only the terms from 151 to 200. Thus, \(S_{200}-S_{150}=\frac{200\times201}{2}-\frac{150\times151}{2}=20100-11325=8775\). Therefore, option B is correct. A value such as 8825 can result from an arithmetic error in the addition or subtraction. Exam tip: recognise such a difference directly as the sum of the remaining consecutive terms, from 151 to 200.
यहाँ \(S_r\), प्रथम \(r\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। इसलिए \(S_{n+2}-S_{n-2}\) में \(1\) से \(n-2\) तक के पद कट जाते हैं और शेष पद \((n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2\) मिलते हैं। अतः \(4n+2=402\), जिससे \(4n=400\) और \(n=100\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 100 है। निकटतम विकल्प 99 रखने पर योगांतर \(398\) होता, 402 नहीं। परीक्षा टिप: दो आंशिक योगों का अंतर निकालते समय केवल बीच के बचे हुए पद लिखें। / Here, \(S_r\) denotes the sum of the first \(r\) natural numbers. In \(S_{n+2}-S_{n-2}\), the terms from \(1\) to \(n-2\) cancel, leaving \((n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2\). Thus, \(4n+2=402\), so \(4n=400\) and \(n=100\). Hence, 100 is correct. For the closest distractor, \(n=99\) would give a difference of \(398\), not 402. Exam tip: when subtracting partial sums, write only the uncancelled consecutive terms.
126 से 175 तक कुल पदों की संख्या \(175-126+1=50\) है। समांतर श्रेणी का योग \(S=\frac{n}{2}(a+l)\) होता है। अतः \(S=\frac{50}{2}(126+175)=25\times301=7525\)। इसलिए सही विकल्प A है। 7475 जैसा उत्तर प्रायः पदों की संख्या या अंतिम पद लेने में गलती से आता है। परीक्षा टिप: किसी भी समावेशी सीमा में पदों की संख्या निकालते समय \(+1\) अवश्य लगाएँ। / There are \(175-126+1=50\) terms from 126 to 175. Using the arithmetic progression sum formula, \(S=\frac{n}{2}(a+l)\), we get \(S=\frac{50}{2}(126+175)=25\times301=7525\). Hence, option A is correct. An answer such as 7475 can result from incorrectly counting the terms or mishandling an endpoint. Exam tip: for an inclusive range, always add \(+1\) while finding the number of terms.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(S_n=5050\) से \(\frac{n(n+1)}{2}=5050\), अतः \(n=100\)। इसलिए \(S_{n+4}-S_n\) अगले चार पदों का योग है: \(101+102+103+104=410\)। 406 केवल तीन अगले पदों \(101+102+103\) का योग है। परीक्षा टिप: \(S_{n+k}-S_n\) को हमेशा \(n+1\) से \(n+k\) तक के पदों के योग के रूप में लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(S_n=5050\), we get \(\frac{n(n+1)}{2}=5050\), so \(n=100\). Hence, \(S_{n+4}-S_n\) is the sum of the next four terms: \(101+102+103+104=410\). The value 406 is only the sum of the next three terms, \(101+102+103\). Exam tip: write \(S_{n+k}-S_n\) as the sum of terms from \(n+1\) to \(n+k\).
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_{n+3}-S_n\) में केवल अगली तीन संख्याएँ बचती हैं: \((n+1)+(n+2)+(n+3)=3n+6\)। इसलिए \(3n+6=222\), जिससे \(3n=216\) और \(n=72\) मिलता है। विकल्प 74 लेने पर अंतर \(228\) होता, 222 नहीं। परीक्षा टिप: दो क्रमागत योगों का अंतर लिखते समय समान प्रारम्भिक पदों को काटकर केवल अतिरिक्त पद जोड़ें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. Therefore, \(S_{n+3}-S_n\) leaves only the next three terms: \((n+1)+(n+2)+(n+3)=3n+6\). Thus, \(3n+6=222\), so \(3n=216\) and \(n=72\). If \(n=74\), the difference would be \(228\), not 222. Exam tip: In the difference of two consecutive partial sums, cancel the common terms and add only the extra terms.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_n-S_{n-5}\) में केवल अंतिम पाँच पद बचते हैं: \((n-4)+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=5n-10\)। इसलिए \(5n-10=490\), जिससे \(5n=500\) और \(n=100\) प्राप्त होता है। \(98\) लेने पर योग \(480\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-k}\) में \(n-k+1\) से \(n\) तक के कुल \(k\) पद होते हैं। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. Therefore, \(S_n-S_{n-5}\) leaves only the last five terms: \((n-4)+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=5n-10\). Thus, \(5n-10=490\), so \(5n=500\) and \(n=100\). If \(n=98\), the sum would be \(480\), so it is not correct. Exam tip: \(S_n-S_{n-k}\) contains the \(k\) terms from \(n-k+1\) to \(n\).
41 से 95 तक कुल पदों की संख्या \(95-41+1=55\) है। अतः योग \(=\frac{55}{2}(41+95)=\frac{55}{2}\times136=3740\)। इसलिए विकल्प A सही है। 3720 जैसे उत्तर प्रायः पदों की संख्या गिनते समय दोनों सिरों को शामिल न करने से मिलते हैं। परीक्षा टिप: क्रमागत पूर्णांकों के योग में पदों की संख्या हमेशा \(\text{अंतिम}-\text{प्रथम}+1\) लें। / There are \(95-41+1=55\) terms from 41 to 95. Hence, the sum is \(\frac{55}{2}(41+95)=\frac{55}{2}\times136=3740\). Therefore, option A is correct. An answer such as 3720 can result from not counting both endpoints correctly. Exam tip: for consecutive integers, always use \(\text{last}-\text{first}+1\) to count the terms.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। अतः \(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\), \(S_{96}=\frac{96\times97}{2}=4656\) और \(S_{32}=\frac{32\times33}{2}=528\)। इसलिए \(S_{48}+S_{96}-S_{32}=1176+4656-528=5304\)। विकल्प 5284 में घटाव या जोड़ में त्रुटि होने की संभावना है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक \(S_n\) का मान अलग-अलग निकालें, फिर अंतिम संक्रिया करें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, so \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\), \(S_{96}=\frac{96\times97}{2}=4656\), and \(S_{32}=\frac{32\times33}{2}=528\). Therefore, \(S_{48}+S_{96}-S_{32}=1176+4656-528=5304\). The value 5284 can result from an arithmetic error in addition or subtraction. Exam tip: calculate each \(S_n\) separately before carrying out the final operation.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) और \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\)। इसलिए \(S_{90}:S_{45}=4095:1035=91:23\)। विकल्प \(90:23\) में \(n+1\) वाले गुणक को सही ढंग से शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुपातों में पहले योग का सूत्र लगाकर समान गुणकों को काटें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) and \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\). Hence, \(S_{90}:S_{45}=4095:1035=91:23\). The option \(90:23\) fails to account correctly for the \(n+1\) factor. Exam tip: for such ratios, write the sum formula first and cancel common factors before calculating fully.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=2080\) से \(n=64\) मिलता है। अतः \(n+9=73\) और \(S_{n+9}=S_{73}=\frac{73\times74}{2}=2701\)। 2651 जैसा विकल्प गलत सूचकांक या जोड़ की त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग से \(n\) ज्ञात करें, फिर नया सूचकांक लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=2080\), we get \(n=64\). Hence, \(n+9=73\), so \(S_{n+9}=S_{73}=\frac{73\times74}{2}=2701\). A value such as 2651 may result from using an incorrect index or an addition error. Exam tip: first find \(n\) from the given sum, then substitute the new index.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=10878\), यानी \(n(n+1)=21756\)। \(147\times148=21756\), इसलिए \(n=147\)। अब \(n-25=147-25=122\)। इसलिए सही विकल्प C है। 120 जैसे निकट विकल्प के लिए \(n=145\) होता, जिसका योग 10878 नहीं है। परीक्षा टिप: योग ज्ञात होने पर पहले \(n(n+1)/2\) का सूत्र लगाकर लगातार दो संख्याएँ पहचानें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Hence, \(\frac{n(n+1)}{2}=10878\), so \(n(n+1)=21756\). Since \(147\times148=21756\), \(n=147\). Therefore, \(n-25=147-25=122\). Thus, option C is correct. A nearby choice such as 120 would give \(n=145\), whose sum is not 10878. Exam tip: after using \(n(n+1)/2\), look for two consecutive integers whose product equals twice the given sum.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। अतः \(S_{36}=666\), \(S_{72}=2628\) और \(S_{18}=171\)। इसलिए \(S_{36}+S_{72}-S_{18}=666+2628-171=3123\)। विकल्प 3143 में घटाव करते समय 20 की त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक \(S_n\) का मान अलग से निकालें, फिर जोड़-घटाव करें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, so \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{36}=666\), \(S_{72}=2628\), and \(S_{18}=171\). Therefore, \(S_{36}+S_{72}-S_{18}=666+2628-171=3123\). The option 3143 can result from an error of 20 while subtracting. Exam tip: calculate each \(S_n\) separately before performing the final addition and subtraction.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(\frac{n(n+1)}{2}=1770\) से \(n=59\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{59\times60}{2}=1770\)। अतः \(2k+1=59\), इसलिए \(2k=58\) और \(k=29\)। विकल्प 30 तब मिलता यदि 59 को गलती से 60 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले \(S_n\) से n ज्ञात करें, फिर दिए गए सूचकांक \(2k+1\) को n के बराबर रखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(\frac{n(n+1)}{2}=1770\) gives \(n=59\), since \(\frac{59\times60}{2}=1770\). Therefore, \(2k+1=59\), so \(2k=58\) and \(k=29\). Option 30 may result from incorrectly taking the index as 60 instead of 59. Exam tip: first find n from \(S_n\), then equate the given index \(2k+1\) to n.
क्योंकि \(S_{75}=S_{68}+(69+70+\cdots+75)\), इसलिए जोड़ी जाने वाली संख्या \(69\) से \(75\) तक के पदों का योग होगी। यहाँ 7 पद हैं, अतः योग \(\frac{7}{2}(69+75)=\frac{7}{2}\times144=504\) है। इसलिए सही उत्तर 504 है। परीक्षा टिप: \(S_b-S_a\) निकालते समय \(a+1\) से \(b\) तक के पद जोड़ें। / Since \(S_{75}=S_{68}+(69+70+\cdots+75)\), the required number is the sum of the terms from 69 to 75. There are 7 terms, so their sum is \(\frac{7}{2}(69+75)=\frac{7}{2}\times144=504\). Hence, 504 is correct. Exam tip: When finding \(S_b-S_a\), add the terms from \(a+1\) to \(b\).
पहली 150 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{150\times151}{2}=11325\) और पहली 125 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{125\times126}{2}=7875\) है। अतः अंतर \(11325-7875=3450\) होगा। यह वास्तव में 126 से 150 तक की संख्याओं का योग है। 3425 निकट का विकल्प है, पर वह सही गणना से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को शेष क्रमागत संख्याओं के योग के रूप में भी पहचानें। / The sum of the first 150 natural numbers is \(\frac{150\times151}{2}=11325\), and the sum of the first 125 natural numbers is \(\frac{125\times126}{2}=7875\). Therefore, the difference is \(11325-7875=3450\). It is also the sum of the numbers from 126 to 150. Although 3425 is close, it does not result from the correct calculation. Exam tip: interpret such a difference as the sum of the remaining consecutive terms.
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{a(a+1)}{2}=2485\) से \(a=70\), क्योंकि \(\frac{70\times71}{2}=2485\)। इसी प्रकार \(\frac{b(b+1)}{2}=3570\) से \(b=84\), क्योंकि \(\frac{84\times85}{2}=3570\)। अतः \(b-a=84-70=14\)। \(12\) जैसी निकटतम भ्रामक संख्या तब मिल सकती है जब सूचकांकों का सही मिलान न किया जाए। परीक्षा टिप: दिए गए योग को पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) के रूप में लिखकर \(n\) ज्ञात करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{a(a+1)}{2}=2485\), we get \(a=70\), since \(\frac{70\times71}{2}=2485\). Similarly, \(\frac{b(b+1)}{2}=3570\) gives \(b=84\), since \(\frac{84\times85}{2}=3570\). Therefore, \(b-a=84-70=14\). A close distractor such as \(12\) may result from incorrectly identifying the indices. Exam tip: first express each given sum using \(\frac{n(n+1)}{2}\), then determine \(n\).
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) और \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\)। इसलिए अपेक्षित अंतर \(4095-1035=3060\) है। विकल्प 4095 केवल पहली 90 प्राकृतिक संख्याओं का योग है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में \(S_{90}-S_{45}\) लिखकर दोनों योगों का अंतर निकालें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) and \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\). Therefore, the required difference is \(4095-1035=3060\). The value 4095 is only the sum of the first 90 natural numbers, not the difference. Exam tip: write \(S_{90}-S_{45}\) before calculating in such questions.
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(S_{3k}=1176\) है, इसलिए \(\frac{3k(3k+1)}{2}=1176\)। इससे \(3k=48\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{48\times49}{2}=1176\)। अतः \(k=\frac{48}{3}=16\)। \(15\) लेने पर सूचकांक \(45\) होगा, जिसका योग \(1035\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग से \(n\) ज्ञात करें, फिर \(n=3k\) का उपयोग करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(S_{3k}=1176\), so \(\frac{3k(3k+1)}{2}=1176\). This gives \(3k=48\), since \(\frac{48\times49}{2}=1176\). Hence, \(k=\frac{48}{3}=16\). If \(k=15\), the index would be \(45\), whose sum is \(1035\), not \(1176\). Exam tip: first find the index \(n\) from the sum, then use \(n=3k\).
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_{50}-S_{44}\) में केवल 45 से 50 तक की संख्याएँ शामिल होंगी: \(45+46+47+48+49+50=285\)। इसलिए \(S_{44}\) में \(285\) जोड़ने पर \(S_{50}\) प्राप्त होगा। \(279\) जैसा विकल्प सही नहीं है क्योंकि उसमें इन छह क्रमागत संख्याओं का पूरा योग नहीं आता। परीक्षा टिप: \(S_b-S_a\) निकालते समय \(a+1\) से \(b\) तक के पद जोड़ें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. Therefore, \(S_{50}-S_{44}\) contains only the terms from 45 to 50: \(45+46+47+48+49+50=285\). Hence, adding \(285\) to \(S_{44}\) gives \(S_{50}\). An option such as \(279\) is incorrect because it is not the complete sum of these six consecutive terms. Exam tip: To find \(S_b-S_a\), add the terms from \(a+1\) to \(b\).
पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(S_{2p}=820\) है, अतः \(\frac{2p(2p+1)}{2}=820\)। क्योंकि \(\frac{40\times41}{2}=820\), इसलिए \(2p=40\) और \(p=20\) होगा। \(p=19\) लेने पर सूचकांक \(38\) होगा, जिसका योग 820 नहीं है। परीक्षा टिप: योग दिया हो तो पहले \(n(n+1)/2\) के बराबर रखकर सूचकांक \(n\) ज्ञात करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(S_{2p}=820\), so \(\frac{2p(2p+1)}{2}=820\). Since \(\frac{40\times41}{2}=820\), we get \(2p=40\), hence \(p=20\). If \(p=19\), the index would be \(38\), whose sum is not 820. Exam tip: When a sum is given, equate it to \(n(n+1)/2\) and find the index \(n\) first.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=3240\) से \(n=80\) मिलता है। अतः \(S_{n-4}=S_{76}\) होगा। \(S_{76}=S_{80}-(77+78+79+80)=3240-314=2926\)। विकल्प 2916 में अंतिम चार संख्याओं का योग गलत घटाया गया है। परीक्षा टिप: \(S_{n-k}\) ज्ञात करने के लिए \(S_n\) में से अंतिम k पद घटाइए। / For the sum of the first n natural numbers, \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=3240\), we get \(n=80\). Therefore, \(S_{n-4}=S_{76}\). Now \(S_{76}=S_{80}-(77+78+79+80)=3240-314=2926\). Option 2916 results from subtracting the last four terms incorrectly. Exam tip: To find \(S_{n-k}\), subtract the last k terms from \(S_n\).
यह एक समानांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 46, अंतिम पद 90 और पदों की संख्या \(90-46+1=45\) है। अतः योग \(S=\frac{45}{2}(46+90)=\frac{45}{2}\times136=3060\) होगा। विकल्प 4095, \(1\) से \(90\) तक का योग है; उसमें \(1\) से \(45\) तक के पद भी शामिल हैं। परीक्षा टिप: क्रमागत पूर्णांकों में पदों की संख्या निकालते समय \(+1\) अवश्य लगाएँ। / This is an arithmetic sequence with first term 46, last term 90, and \(90-46+1=45\) terms. Therefore, \(S=\frac{45}{2}(46+90)=\frac{45}{2}\times136=3060\). Option 4095 is the sum from \(1\) to \(90\), so it incorrectly includes the terms from \(1\) to \(45\). Exam tip: while counting consecutive integers from one endpoint to another, always add \(1\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है।
\(\frac{a(a+1)}{2}=1540\) से
\(a=55\) तथा
\(\frac{b(b+1)}{2}=2080\) से
\(b=64\) मिलता है। अतः
\(b-a=64-55=9\)। 8 निकट का विकल्प हो सकता है, पर दोनों योगों के संगत सूचकांकों का अंतर ठीक 9 है। परीक्षा टिप: दिए गए योग को
\(\frac{n(n+1)}{2}\) के बराबर रखकर n ज्ञात करें। / The sum of the first n natural numbers is
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From
\(\frac{a(a+1)}{2}=1540\), we get
\(a=55\), and from
\(\frac{b(b+1)}{2}=2080\), we get
\(b=64\). Therefore,
\(b-a=64-55=9\). Although 8 may seem close, the indices corresponding to the two given sums differ by exactly 9. Exam tip: equate the given sum to
\(\frac{n(n+1)}{2}\) and solve for n.
पहले n प्राकृतिक संख्याओं के योग को \(S_n\) मानें। \(S_{n+1}-S_{n-2}\) में \(1\) से \(n-2\) तक के समान पद कट जाते हैं और केवल \((n-1)+n+(n+1)\) बचते हैं। अतः \(S_{n+1}-S_{n-2}=3n=150\), इसलिए \(n=50\)। विकल्प 49 लेने पर योगांतर \(147\) होगा, 150 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे योगांतर में समान प्रारम्भिक पदों को काटकर बचे हुए लगातार पद लिखें। / Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) natural numbers. In \(S_{n+1}-S_{n-2}\), the common terms from 1 to \(n-2\) cancel, leaving \((n-1)+n+(n+1)\). Hence, \(S_{n+1}-S_{n-2}=3n=150\), so \(n=50\). If \(n=49\), the difference would be 147, not 150. Exam tip: In differences of sums, cancel the common initial terms and write the remaining consecutive terms.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=4560\) से \(n=95\) मिलता है। इसलिए \(S_{n+5}-S_n\) अगली पाँच संख्याओं, अर्थात् \(96+97+98+99+100\), का योग है, जो \(490\) है। \(495\) तब मिलता यदि 101 को भी जोड़ दिया जाता। परीक्षा टिप: \(S_{n+k}-S_n\) हमेशा \(n+1\) से \(n+k\) तक के पदों का योग होता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=4560\), we get \(n=95\). Hence, \(S_{n+5}-S_n\) is the sum of the next five natural numbers: \(96+97+98+99+100=490\). The value \(495\) would result if 101 were also included. Exam tip: \(S_{n+k}-S_n\) always represents the sum of terms from \(n+1\) to \(n+k\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(\frac{n(n+1)}{2}=3655\) से \(n=85\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{85\times86}{2}=3655\)। अतः \(S_n-S_{n-4}=S_{85}-S_{81}\), यानी अंतिम चार पदों \(82+83+84+85\) का योग। यह \(334\) है। 330 केवल \(81+82+83+84\) लेने पर मिलता, जो गलत चार पद हैं। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-r}\) हमेशा n तक के अंतिम r पदों का योग देता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=3655\), we get \(n=85\), since \(\frac{85\times86}{2}=3655\). Therefore, \(S_n-S_{n-4}=S_{85}-S_{81}\), which is the sum of the last four terms: \(82+83+84+85=334\). The value 330 would result from adding \(81+82+83+84\), which is not the required set of final four terms. Exam tip: \(S_n-S_{n-r}\) equals the sum of the last r terms up to n.
पहले 120 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{120\times121}{2}=7260\) है और पहले 80 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{80\times81}{2}=3240\) है। अतः आवश्यक परिणाम \(7260-3240=4020\) होगा। यह वास्तव में 81 से 120 तक की संख्याओं का योग है। 4040 जैसा विकल्प घटाव में त्रुटि करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाकर दोनों योगों का अंतर निकालें। / The sum of the first 120 natural numbers is \(\frac{120\times121}{2}=7260\), and the sum of the first 80 natural numbers is \(\frac{80\times81}{2}=3240\). Therefore, the required result is \(7260-3240=4020\). This is also the sum of the numbers from 81 to 120. An option such as 4040 can result from an arithmetic error in subtraction. Exam tip: use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) and subtract the two sums carefully.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग को \(S_n\) मानें। तब \(S_{n+2}-S_n\) में केवल अगली दो संख्याएँ बचती हैं: \((n+1)+(n+2)=2n+3\)। अतः \(2n+3=155\), इसलिए \(2n=152\) और \(n=76\)। विकल्प 77 लेने पर अंतर \(157\) होता, 155 नहीं। परीक्षा टिप: योगों के अंतर में समान प्रारम्भिक पद कट जाते हैं; केवल बचे हुए पद जोड़ें। / Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) natural numbers. In \(S_{n+2}-S_n\), the common initial terms cancel, leaving \((n+1)+(n+2)=2n+3\). Thus, \(2n+3=155\), so \(2n=152\) and \(n=76\). If \(n=77\), the difference would be \(157\), not \(155\). Exam tip: In differences of sums, cancel the common terms and add only the remaining terms.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(S_n-S_{50}=1575\) और \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\) है। अतः \(S_n=1575+1275=2850\)। अब \(\frac{n(n+1)}{2}=2850\), अर्थात \(n(n+1)=5700=75\times76\)। इसलिए \(n=75\)। निकटतम विकल्प 80 के लिए योगांतर \(S_{80}-S_{50}\) 1575 नहीं होगा। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए \(S_k\) का मान जोड़कर \(S_n\) ज्ञात करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(S_n-S_{50}=1575\) and \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\). Therefore, \(S_n=1575+1275=2850\). Now \(\frac{n(n+1)}{2}=2850\), so \(n(n+1)=5700=75\times76\). Hence, \(n=75\). The nearby option 80 does not give a difference of 1575 from \(S_{50}\). Exam tip: In such questions, first add the known \(S_k\) to find \(S_n\).
