sum of natural numbers se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=1081\) से \(n=46\) मिलता है। इसलिए \(S_{n+4}-S_n\) अगले चार पदों का योग है: \(47+48+49+50=194\)। 198 निकट का विकल्प है, पर वह इन चार क्रमागत संख्याओं का सही योग नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_{n+k}-S_n\) को हमेशा \(n+1\) से \(n+k\) तक के पदों के योग के रूप में लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=1081\), we get \(n=46\). Hence, \(S_{n+4}-S_n\) is the sum of the next four terms: \(47+48+49+50=194\). Although 198 is close, it is not the correct sum of these four consecutive numbers. Exam tip: Rewrite \(S_{n+k}-S_n\) as the sum of terms from \(n+1\) to \(n+k\).
\(S_{n+1}=1+2+\cdots+n+(n+1)\) और \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\) है। घटाने पर समान पद कट जाते हैं और \(n+(n+1)=2n+1\) बचता है। इसलिए सही उत्तर \(2n+1\) है। \(n+1\) केवल अगला जोड़ा गया पद है; इसमें \(n\) भी शामिल होना चाहिए। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों में दोनों योगों को फैलाकर कटने वाले पद पहचानें। / \(S_{n+1}=1+2+\cdots+n+(n+1)\) and \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\). On subtracting, the common terms cancel, leaving \(n+(n+1)=2n+1\). Hence, the correct answer is \(2n+1\). \(n+1\) is only the newly added last term; the term \(n\) must also be included. Exam tip: Expand the two sums and identify the terms that cancel.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(5050=\frac{100\times101}{2}\), अतः \(n=100\)। इसलिए \(S_{n-10}=S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\)। विकल्प 4186 सही नहीं है, क्योंकि वह प्रथम 91 प्राकृतिक संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: 5050 को पहचानें कि यह \(S_{100}\) है, फिर सूचकांक में 10 घटाएँ। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Since \(5050=\frac{100\times101}{2}\), we get \(n=100\). Therefore, \(S_{n-10}=S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\). Option 4186 is not correct because it is the sum of the first 91 natural numbers. Exam tip: Recognise 5050 as \(S_{100}\), then reduce the subscript by 10.
101 से 120 तक कुल 20 संख्याएँ हैं। अतः समांतर श्रेणी का योग
\(S=\frac{20}{2}(101+120)=10\times221=2210\) होगा। इसलिए विकल्प B सही है। 2190, 100 से 119 तक की संख्याओं का योग है, इसलिए वह इस प्रश्न के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अंतराल में पदों की संख्या निकालने के लिए \(\text{अंतिम पद}-\text{प्रथम पद}+1\) करें। / There are 20 numbers from 101 to 120, inclusive. Therefore, using the sum of an arithmetic progression,
\(S=\frac{20}{2}(101+120)=10\times221=2210\). Hence, option B is correct. The value 2190 is the sum from 100 to 119, so it does not match the given range. Exam tip: Count terms in an inclusive range using \(\text{last term}-\text{first term}+1\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=595\) से \(n=34\) मिलता है। अतः \(S_{n+6}-S_n=S_{40}-S_{34}=35+36+37+38+39+40=225\)। 230 निकट लग सकता है, लेकिन इसमें अगले छह पदों के स्थान पर गलत पदों का योग होगा। परीक्षा में पहले n ज्ञात करें, फिर केवल जोड़े गए पदों का योग लें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=595\), we get \(n=34\). Therefore, \(S_{n+6}-S_n=S_{40}-S_{34}=35+36+37+38+39+40=225\). Although 230 may seem close, it does not equal the sum of the next six terms. In exams, first find n and then add only the newly included terms.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। \(\frac{n(n+1)}{2}=2485\) से \(n=70\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{70\times71}{2}=2485\)। अतः \(S_n-S_{n-5}=S_{70}-S_{65}\), अर्थात अंतिम पाँच संख्याओं \(66,67,68,69,70\) का योग। इसलिए \(66+67+68+69+70=340\)। विकल्प 350 लेने पर पाँच पदों के सही आरंभिक पद 66 को शामिल नहीं किया जाएगा। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-r}\) हमेशा अंतिम \(r\) पदों का योग दर्शाता है। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. From \(\frac{n(n+1)}{2}=2485\), we get \(n=70\), since \(\frac{70\times71}{2}=2485\). Therefore, \(S_n-S_{n-5}=S_{70}-S_{65}\), which is the sum of the last five numbers: \(66,67,68,69,70\). Hence, \(66+67+68+69+70=340\). Choosing 350 would miss the correct first term, 66, among these five terms. Exam tip: \(S_n-S_{n-r}\) always represents the sum of the last \(r\) terms.
यहाँ \(S_n-S_{n-4}\) का अर्थ \((n-3)\)वें से \(n\)वें तक की चार प्राकृतिक संख्याओं का योग है: \(S_n-S_{n-4}=(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=4n-6\)। अतः \(4n-6=250\), इसलिए \(4n=256\) और \(n=64\)। इसलिए सही विकल्प 64 है। उदाहरण के लिए, \(n=63\) लेने पर योग \(60+61+62+63=246\) होगा, जो 250 नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-k}\) हमेशा अंतिम \(k\) पदों का योग दर्शाता है। / Here, \(S_n-S_{n-4}\) represents the sum of the four natural numbers from the \((n-3)\)th term to the \(n\)th term: \(S_n-S_{n-4}=(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=4n-6\). Hence, \(4n-6=250\), so \(4n=256\) and \(n=64\). Therefore, 64 is the correct option. For instance, if \(n=63\), the sum is \(60+61+62+63=246\), not 250. Exam tip: \(S_n-S_{n-k}\) always gives the sum of the last \(k\) terms.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{a(a+1)}{2}=820\) से \(a=40\), क्योंकि \(\frac{40\times41}{2}=820\)। इसी प्रकार \(\frac{b(b+1)}{2}=1035\) से \(b=45\), क्योंकि \(\frac{45\times46}{2}=1035\)। अतः \(b-a=45-40=5\)। 4 निकट का विकल्प लग सकता है, पर वह सूचकांकों के वास्तविक अंतर से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: दिए गए योग को \(\frac{n(n+1)}{2}\) के बराबर रखकर n ज्ञात करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{a(a+1)}{2}=820\), we get \(a=40\), since \(\frac{40\times41}{2}=820\). Similarly, \(\frac{b(b+1)}{2}=1035\) gives \(b=45\), since \(\frac{45\times46}{2}=1035\). Therefore, \(b-a=45-40=5\). Option 4 may seem close, but it does not equal the actual difference between the indices. Exam tip: equate the given sum to \(\frac{n(n+1)}{2}\) to find the index n.
23 से 34 तक कुल पदों की संख्या \(34-23+1=12\) है। यह एक समान्तर श्रेणी है, इसलिए योग \(=\frac{12}{2}(23+34)=6\times57=342\) होगा। अतः सही उत्तर 342 है। 352 जैसा विकल्प पदों की संख्या या औसत ज्ञात करने में हुई गणना-त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: क्रमागत संख्याओं के योग में दोनों सिरों को जोड़कर पदों की संख्या के आधे से गुणा करें। / There are \(34-23+1=12\) terms from 23 to 34. This is an arithmetic progression, so its sum is \(\frac{12}{2}(23+34)=6\times57=342\). Therefore, 342 is correct. A value such as 352 can result from an error while counting the terms or finding the average. Exam tip: for consecutive numbers, add the first and last terms and multiply by half the number of terms.
पहले 20 चरणों के अंक 1 से 20 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग हैं: \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\)। अगले 5 चरणों में 0 अंक हैं, इसलिए वे कुल योग में कोई वृद्धि नहीं करते। अतः कुल अंक 210 हैं। 200 एक सामान्य गलती हो सकती है, यदि योग के सूत्र में \(n+1\) के स्थान पर 20 ले लिया जाए। परीक्षा टिप: 1 से \(n\) तक का योग हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) से निकालें। / The marks in the first 20 stages are the sum of natural numbers from 1 to 20: \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\). The next 5 stages contribute 0 marks, so they do not change the total. Therefore, the total score is 210. A common error is getting 200 by forgetting the \(n+1\) factor in the sum formula. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum from 1 to \(n\).
पहली 72 प्राकृतिक संख्याओं के योग में अंतिम संख्या 72 भी शामिल है। इसलिए पहली 71 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए 2628 में से 72 घटाएँ: \(2628-72=2556\)। विकल्प B में 71 घटाना एक सामान्य गलती है, जबकि हटाई जाने वाली संख्या 72 है। परीक्षा टिप: \(S_n\) से \(S_{n-1}\) पाने के लिए हमेशा \(n\) घटाते हैं। / The sum of the first 72 natural numbers includes the last number, 72. Therefore, subtract 72 from 2628 to get the sum of the first 71 natural numbers: \(2628-72=2556\). Option B results from the common mistake of subtracting 71; the number removed is 72. Exam tip: to obtain \(S_{n-1}\) from \(S_n\), subtract \(n\).
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। \(\frac{n(n+1)}{2}=666\) से \(n=36\) मिलता है। अतः \(S_{n+2}=S_{38}=S_{36}+37+38=666+75=741\)। 740 केवल एक कम है और उसमें दोनों अगली प्राकृतिक संख्याओं का सही योग नहीं जुड़ता। परीक्षा टिप: \(S_{n+2}\) निकालते समय \(S_n\) में \(n+1\) और \(n+2\) जोड़ें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. From \(\frac{n(n+1)}{2}=666\), we get \(n=36\). Therefore, \(S_{n+2}=S_{38}=S_{36}+37+38=666+75=741\). Option 740 is one less and does not include the correct sum of the next two natural numbers. Exam tip: to find \(S_{n+2}\), add \(n+1\) and \(n+2\) to \(S_n\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{p(p+1)}{2}=378\) से \(p=27\) और \(\frac{q(q+1)}{2}=528\) से \(q=32\) मिलता है। अतः \(q-p=32-27=5\)। 4 निकट का विकल्प लग सकता है, लेकिन 378 और 528 के संगत सूचकांक क्रमशः 27 तथा 32 हैं। परीक्षा टिप: योग को पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) के रूप में लिखकर लगातार दो संख्याएँ पहचानें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{p(p+1)}{2}=378\), we get \(p=27\), and from \(\frac{q(q+1)}{2}=528\), we get \(q=32\). Therefore, \(q-p=32-27=5\). Option 4 may seem close, but the corresponding indices for 378 and 528 are 27 and 32 respectively. Exam tip: write the sum as \(\frac{n(n+1)}{2}\) and identify the consecutive factors.
पहली 58 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 55 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 56, 57 और 58 बचते हैं। अतः अंतर = 56 + 57 + 58 = 171। 174 विकल्प में 3 की अधिक गणना हो जाती है। परीक्षा टिप:
\(S_n-S_m\) निकालते समय \(m+1\) से \(n\) तक के पदों का योग लें। / When the sum of the first 55 natural numbers is subtracted from the sum of the first 58 natural numbers, only 56, 57, and 58 remain. Thus, the difference is 56 + 57 + 58 = 171. Option 174 is 3 too large. Exam tip: to find \(S_n-S_m\), add the terms from \(m+1\) to \(n\).
पहली 34 प्राकृतिक संख्याओं के योग में, पहली 31 संख्याओं के योग के बाद वाली संख्याएँ 32, 33 और 34 जोड़नी होंगी। अतः \(S_{34}=496+32+33+34=595\)। इसलिए सही उत्तर 595 है। केवल 34 जोड़ना गलत होगा, क्योंकि 32 और 33 भी नए पद हैं। परीक्षा टिप: \(S_n\) से \(S_{n+k}\) तक जाने पर बीच के सभी पद जोड़ें। / To obtain the sum of the first 34 natural numbers, add the numbers after 31, namely 32, 33, and 34, to the given sum. Thus, \(S_{34}=496+32+33+34=595\). Therefore, 595 is correct. Adding only 34 would be incorrect because 32 and 33 are also new terms. Exam tip: When moving from \(S_n\) to \(S_{n+k}\), add every intervening term.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{41}=\frac{41\times42}{2}=861\) और \(S_{23}=\frac{23\times24}{2}=276\)। इसलिए \(S_{41}-S_{23}=861-276=585\)। यह वास्तव में 24 से 41 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग है। 575 केवल निकट का मान है, सही अंतर नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में दोनों योग निकालने के बजाय 24 से 41 तक के पदों का योग भी सीधे लिया जा सकता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{41}=\frac{41\times42}{2}=861\) and \(S_{23}=\frac{23\times24}{2}=276\). Therefore, \(S_{41}-S_{23}=861-276=585\). This is also the sum of the natural numbers from 24 to 41. Option 575 is only a nearby value, not the correct difference. Exam tip: You may also directly find the sum from 24 to 41 in such questions.
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=3240\) से \(n=80\) मिलता है। इसलिए \(S_{n+1}-S_n=S_{81}-S_{80}=81\), क्योंकि अगले योग में केवल अगली प्राकृतिक संख्या जुड़ती है। \(80\) निकट का विकल्प है, पर वह \(S_{80}\) की अंतिम संख्या है; अंतर में जुड़ने वाली संख्या \(81\) है। परीक्षा टिप: क्रमिक योगों का अंतर हमेशा अगला पद होता है। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=3240\), we get \(n=80\). Hence, \(S_{n+1}-S_n=S_{81}-S_{80}=81\), because the next sum includes only the next natural number. \(80\) is a close distractor, but it is the last number included in \(S_{80}\); the added number is \(81\). Exam tip: the difference of consecutive partial sums is always the next term.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=2850\) से \(n=75\) मिलता है। अतः \(S_{n-5}=S_{70}=\frac{70\times71}{2}=2485\)। विकल्प 2556, \(S_{71}\) का योग है, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग से \(n\) ज्ञात करें, फिर बदले हुए पदांक का योग निकालें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=2850\), we get \(n=75\). Therefore, \(S_{n-5}=S_{70}=\frac{70\times71}{2}=2485\). The value 2556 is \(S_{71}\), so it is not correct here. Exam tip: first find \(n\) from the given sum, then calculate the sum for the required index.
71 से 80 तक कुल 10 संख्याएँ हैं। समांतर श्रेणी के योग का सूत्र लगाएँ:
total =
\(\frac{10}{2}(71+80)=5\times151=755\)।
अतः सही उत्तर 755 है। 745 जैसा विकल्प सामान्यतः पदों की संख्या या औसत गिनने में गलती करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी सीमा तक के पदों की संख्या हमेशा \(\text{अंतिम पद}-\text{प्रथम पद}+1\) होती है। / There are 10 numbers from 71 to 80, inclusive. Using the sum formula for an arithmetic sequence:
\(\frac{10}{2}(71+80)=5\times151=755\).
Therefore, the correct answer is 755. A choice such as 745 may result from an error in counting the number of terms or finding the average. Exam tip: the number of terms from one endpoint to another is \(\text{last term}-\text{first term}+1\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(1176=\frac{48\times49}{2}\), अतः \(n=48\) है। इसलिए \(S_{n-1}=S_{47}=\frac{47\times48}{2}=1128\)। 1176, \(S_{48}\) है, इसलिए वह पिछले पद तक का योग नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग को दो क्रमागत संख्याओं के गुणनफल के आधे के रूप में पहचानें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(1176=\frac{48\times49}{2}\), so \(n=48\). Therefore, \(S_{n-1}=S_{47}=\frac{47\times48}{2}=1128\). The value 1176 is \(S_{48}\), not the sum up to the previous term. Exam tip: identify the given sum as half the product of two consecutive numbers first.
पहले n प्राकृतिक संख्याओं के योग को \(S_n\) मानें। तब \(S_n-S_{n-2}\) में केवल अंतिम दो पद \((n-1)\) और \(n\) बचते हैं। इसलिए \(S_n-S_{n-2}=(n-1)+n=2n-1\)। अब \(2n-1=79\) से \(2n=80\), अतः \(n=40\)। विकल्प 39 लेने पर मान \(2(39)-1=77\) होगा, जो 79 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में कटने वाले योग के बाद बचे पदों को सीधे लिखें। / Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) natural numbers. In \(S_n-S_{n-2}\), only the last two terms, \((n-1)\) and \(n\), remain. Hence, \(S_n-S_{n-2}=(n-1)+n=2n-1\). Now \(2n-1=79\) gives \(2n=80\), so \(n=40\). If \(n=39\), the value would be \(2(39)-1=77\), not 79. Exam tip: In differences of partial sums, write the terms that remain after cancellation.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। \(S_{52}\) से \(S_{54}\) तक पहुँचने के लिए अगली दो संख्याएँ 53 और 54 जोड़नी होंगी: \(S_{54}=S_{52}+53+54=1378+107=1485\)। इसलिए सही उत्तर 1485 है। 1495 प्राप्त करने के लिए जोड़ा गया अंतर 117 होगा, जबकि सही अंतर \(53+54=107\) है। परीक्षा टिप: \(S_n\) के ऐसे प्रश्नों में सीधे नए पद जोड़ना अक्सर सूत्र लगाने से तेज होता है। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. To move from \(S_{52}\) to \(S_{54}\), add the next two numbers, 53 and 54: \(S_{54}=S_{52}+53+54=1378+107=1485\). Therefore, 1485 is correct. Option 1495 would require an increase of 117, whereas the required increase is \(53+54=107\). Exam tip: In questions involving nearby values of \(S_n\), adding the new terms is often quicker than applying the full formula.
पहली r प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{r(r+1)}{2}\\) होता है। अतः \\(\frac{r(r+1)}{2}=153\\), इसलिए \\(r(r+1)=306=17\times18\\) और \\(r=17\\)। इसलिए \\(r+2=17+2=19\\)। विकल्प 18 केवल \\(r+1\\) का मान है, \\(r+2\\) का नहीं। परीक्षा टिप: योग दिया हो तो पहले \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) सूत्र लगाकर n ज्ञात करें। / The sum of the first r natural numbers is \\(\frac{r(r+1)}{2}\\). Thus, \\(\frac{r(r+1)}{2}=153\\), so \\(r(r+1)=306=17\times18\\) and \\(r=17\\). Therefore, \\(r+2=17+2=19\\). Option 18 is only the value of \\(r+1\\), not \\(r+2\\). Exam tip: when a sum is given, first use \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) to find n.
यदि \(S_n\), पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, तो \(S_{29}\) में अगली दो संख्याएँ \(30\) और \(31\) जोड़ने पर \(S_{29}+30+31=S_{31}\) प्राप्त होता है। \(S_{30}\) केवल \(30\) तक का योग है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: आंशिक योग में क्रमागत अगली संख्याएँ जोड़ने पर सूचकांक उतना ही बढ़ता है। / If \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, then adding the next two numbers to \(S_{29}\) gives \(S_{29}+30+31=S_{31}\). \(S_{30}\) includes only up to 30, so it is not correct. Exam tip: when consecutive next terms are added to a partial sum, increase the subscript accordingly.
पहले 15 चरणों के अंक 1 से 15 तक हैं, इसलिए उनका योग
\(\frac{15\times16}{2}=120\) होगा। अगले 10 चरणों में शून्य अंक मिलने से कुल योग में कोई परिवर्तन नहीं होता। 130 तब होता, जब दिए गए अंकों का योग 120 से 10 अधिक होता, पर यहाँ 10 अतिरिक्त अंक नहीं, बल्कि शून्य अंक हैं। परीक्षा टिप: 1 से n तक के प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(\frac{n(n+1)}{2}\) का प्रयोग करें। / The marks in the first 15 steps are 1 through 15, so their sum is \(\frac{15\times16}{2}=120\). The next 10 steps contribute zero marks, so they do not change the total. Option 130 would require 10 additional marks, but these steps add zero, not 10. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of natural numbers from 1 to n.
पहली 50 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S=\frac{50\times51}{2}=1275\) होता है। अतः 1000 घटाने पर \(1275-1000=275\) बचेगा। इसलिए विकल्प D सही है। 255 तब मिलता यदि योग या घटाव में गणना की त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र प्रयोग करें। / The sum of the first 50 natural numbers is
\(S=\frac{50\times51}{2}=1275\). Therefore, after subtracting 1000, we get \(1275-1000=275\). Hence, option D is correct. A value such as 255 results from an error in finding the sum or carrying out the subtraction. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of the first \(n\) natural numbers.
पहली 36 प्राकृतिक संख्याओं का योग \,\(S_{36}=\frac{36\times37}{2}=666\) और पहली 30 प्राकृतिक संख्याओं का योग \,\(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\) है। अतः अंतर \,\(666-465=201\) होगा। यह सीधे 31 से 36 तक की संख्याओं के योग के बराबर भी है। 191 केवल 31 से 35 तक के योग के निकट हो सकता है, लेकिन उसमें 36 शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक प्रारम्भिक योगों का अंतर बीच में बची संख्याओं का योग होता है। / The sum of the first 36 natural numbers is \,\(S_{36}=\frac{36\times37}{2}=666\), and the sum of the first 30 natural numbers is \,\(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\). Therefore, the difference is \,\(666-465=201\). It is also the sum of the numbers from 31 to 36. Option 191 would be close to a sum ending at 35, but it does not include 36. Exam tip: The difference of two initial sums equals the sum of the terms left between them.
पहली 29 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाते हैं। अतः \(S_{29}=\frac{29\times30}{2}=435\)। इसलिए सही उत्तर 435 है। 425 जैसे विकल्प में गुणनफल को 2 से सही प्रकार विभाजित नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: 1 से \(n\) तक के योग में हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) का प्रयोग करें। / Use the formula \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of the first \(n\) natural numbers. Thus, \(S_{29}=\frac{29\times30}{2}=435\). Therefore, 435 is the correct answer. A value such as 425 results from an incorrect calculation while applying the formula. Exam tip: for a sum from 1 to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली 4 प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3 और 4 हैं। अतः उनका योग 1 + 2 + 3 + 4 = 10 होता है। 9 केवल 2 + 3 + 4 का योग है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग n(n+1)/2 होता है। / The first 4 natural numbers are 1, 2, 3, and 4. Therefore, their sum is 1 + 2 + 3 + 4 = 10. The value 9 is only the sum of 2 + 3 + 4, so it is not correct. Exam tip: The sum of the first n natural numbers is n(n+1)/2.
पहली से 11वीं पंक्ति तक बिंदुओं की संख्या का योग
\(1+2+3+\cdots+11\) है। पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{11\times12}{2}=66\)। इसलिए सही उत्तर 66 है। 55 केवल पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: ऐसी पंक्तियों वाली आकृति में पंक्ति संख्या को जोड़कर \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The total is the sum of the dots from the first to the 11th row: \(1+2+3+\cdots+11\). The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(\frac{11\times12}{2}=66\), so 66 is correct. Note that 55 is the sum of only the first 10 natural numbers. Exam tip: For this row pattern, use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
