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पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=29\) है, इसलिए \(\frac{29\times30}{2}=29\times15=435\)। अतः सही उत्तर 435 है। 425 और 445 जैसे विकल्प जोड़ या गुणा में गलती से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: \(n(n+1)\) में पहले सम संख्या को 2 से काटकर गणना सरल करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). For \(n=29\), \(\frac{29\times30}{2}=29\times15=435\). Therefore, 435 is correct. Values such as 425 or 445 can result from an addition or multiplication error. Exam tip: Cancel the factor 2 with the even number first to calculate quickly.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{31}=\frac{31\times32}{2}=31\times16=496\)। विकल्प 512, \(32\times16\) लेने पर मिलता है, जिसमें 31 के स्थान पर गलती से 32 का उपयोग किया गया है। परीक्षा टिप: \(n\) तक का योग निकालते समय सूत्र में \(n+1\) अवश्य लिखें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{31}=\frac{31\times32}{2}=31\times16=496\). Option 512 results from incorrectly using 32 in place of 31. Exam tip: When finding the sum up to \(n\), remember that the formula includes \(n+1\).
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=33\), इसलिए \(\frac{33\times34}{2}=33\times17=561\)। विकल्प 544, \(32\times17\) के कारण होने वाली सामान्य गणना-त्रुटि हो सकता है, लेकिन योग 1 से 33 तक है। परीक्षा टिप: अंतिम संख्या को \(n\) मानकर सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=33\), so \(\frac{33\times34}{2}=33\times17=561\). Option 544 can result from incorrectly using 32 instead of 33, but the sum runs from 1 to 33. Exam tip: take the last number as \(n\) and apply \(\frac{n(n+1)}{2}\) directly.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=34\) रखने पर \(\frac{34\times35}{2}=17\times35=595\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 595 है। 578 जैसी संख्या गलत होगी क्योंकि यह सूत्र \(\frac{34\times35}{2}\) से प्राप्त नहीं होती। परीक्षा टिप: लगातार 1 से \(n\) तक के योग के लिए सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) का प्रयोग करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=34\), we get \(\frac{34\times35}{2}=17\times35=595\). Hence, 595 is the correct answer. A value such as 578 does not result from \(\frac{34\times35}{2}\). Exam tip: For the sum of consecutive natural numbers from 1 to \(n\), directly use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=37\) रखने पर \(\frac{37\times38}{2}=37\times19=703\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 703 है। 693, 713 और 723 इस सूत्र से प्राप्त नहीं होते हैं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(n(n+1)/2\) लिखकर पहले सम संख्या को 2 से काटें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=37\), we get \(\frac{37\times38}{2}=37\times19=703\). Therefore, 703 is correct. The values 693, 713, and 723 do not result from this formula. Exam tip: Write \(n(n+1)/2\) and simplify the even factor by 2 first.
पहले 38 प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) होता है। यहाँ \\(n=38\\), इसलिए \\(\frac{38\times39}{2}=19\times39=741\\)। अतः सही उत्तर 741 है। 760 जैसा विकल्प 38 और 40 के गुणन से भ्रम होने पर आ सकता है, लेकिन सूत्र में \\(n+1=39\\) लिया जाता है। परीक्षा टिप: 1 से \\(n\\) तक के योग के लिए हमेशा \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) प्रयोग करें। / The sum of the first \\(n\\) natural numbers is \\(\frac{n(n+1)}{2}\\). Here, \\(n=38\\), so \\(\frac{38\times39}{2}=19\times39=741\\). Therefore, 741 is correct. The option 760 may result from mistakenly using 40 instead of \\(n+1=39\\). Exam tip: use \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) for the sum from 1 to \\(n\\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{39}=\frac{39\times40}{2}=39\times20=780\)। विकल्प 760, \(38\times20\) के बराबर है, इसलिए वह पहले 39 प्राकृतिक संख्याओं का योग नहीं है। परीक्षा टिप: \(1\) से \(n\) तक के योग में हमेशा \(n(n+1)/2\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{39}=\frac{39\times40}{2}=39\times20=780\). Option 760 equals \(38\times20\), so it is not the sum of the first 39 natural numbers. Exam tip: For the sum from \(1\) to \(n\), use \(n(n+1)/2\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{41}=\frac{41\times42}{2}=41\times21=861\)। इसलिए सही उत्तर 861 है। 841 जैसी संख्या \(41\times 21\) के सही गुणनफल से कम है। परीक्षा टिप: \(n(n+1)\) में पहले सम संख्या को 2 से काटने पर गणना जल्दी होती है। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{41}=\frac{41\times42}{2}=41\times21=861\). Hence, 861 is the correct answer. A value such as 841 is less than the correct product \(41\times21\). Exam tip: Cancel 2 with the even factor first to calculate quickly.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=42\) रखने पर \(\frac{42\times43}{2}=21\times43=903\) प्राप्त होता है। \(882\) केवल \(42\times21\) है, जिसमें अगली संख्या \(43\) का सही उपयोग नहीं हुआ है। परीक्षा टिप: योग के प्रश्न में हमेशा सूत्र में \(n+1\) अवश्य लिखें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=42\), we get \(\frac{42\times43}{2}=21\times43=903\). The value \(882\) comes from using \(42\times21\) and misses the required \(n+1=43\) factor. Exam tip: always include \(n+1\) when applying this sum formula.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=43\), इसलिए \(\frac{43\times44}{2}=43\times22=946\)। 936 जैसे विकल्प में गुणन या भाग की गणना में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: \(1\) से \(n\) तक के योग के लिए हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=43\), so \(\frac{43\times44}{2}=43\times22=946\). A value such as 936 results from an arithmetic error in multiplication or division. Exam tip: For the sum from \(1\) to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{44}=\frac{44\times45}{2}=22\times45=990\)। इसलिए सही उत्तर 990 है। 968 जैसे विकल्प में \(44\) और अगली संख्या \(45\) का सही गुणन-भाग नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: योग के प्रश्न में हमेशा \(n(n+1)/2\) में \(n\) के बाद वाली संख्या लेना याद रखें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{44}=\frac{44\times45}{2}=22\times45=990\). Hence, 990 is correct. A value such as 968 results from not applying the multiplication and division correctly. Exam tip: in \(n(n+1)/2\), always use the number immediately after \(n\).
पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=46\) रखने पर \(\frac{46\times47}{2}=23\times47=1081\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 1081 है। 1071 जैसे विकल्प सूत्र में गलत गुणा या घटाव से आ सकते हैं। परीक्षा टिप: सम संख्याओं वाले \(n\) में पहले \(n\) को 2 से काटकर गणना सरल करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=46\), we get \(\frac{46\times47}{2}=23\times47=1081\). Therefore, 1081 is correct. A value such as 1071 can result from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: when \(n\) is even, divide it by 2 first to simplify the calculation.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{47}=\frac{47\times48}{2}=47\times24=1128\)। इसलिए सही विकल्प B है। \(47\times48\) को सीधे गुणा करने के बजाय पहले \(48\) को \(2\) से भाग देना आसान रहता है। परीक्षा टिप: प्राकृतिक संख्याओं के योग में हमेशा \(n(n+1)/2\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{47}=\frac{47\times48}{2}=47\times24=1128\). Hence, option B is correct. Dividing \(48\) by \(2\) first makes the calculation simpler than multiplying \(47\times48\) directly. Exam tip: use \(n(n+1)/2\) for the sum of the first \(n\) natural numbers.
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(1+2+\cdots+48=\frac{48\times49}{2}=24\times49=1176\)। इसलिए विकल्प B सही है। 48 का वर्ग करने या 48 और 49 को बिना 2 से भाग दिए गुणा करने पर गलत परिणाम आएगा। परीक्षा टिप: क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग में हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(1+2+\cdots+48=\frac{48\times49}{2}=24\times49=1176\). Hence, option B is correct. Squaring 48 or multiplying 48 and 49 without dividing by 2 gives an incorrect result. Exam tip: for the sum of consecutive natural numbers from 1 to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=49\) रखने पर \(\frac{49\times 50}{2}=49\times 25=1225\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 1225 है। 1215 जैसी संख्या गलत गुणन या जोड़ के कारण आ सकती है। परीक्षा टिप: \(1\) से \(n\) तक के योग के लिए हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Putting \(n=49\), we get \(\frac{49\times 50}{2}=49\times 25=1225\). Hence, 1225 is the correct answer. A value such as 1215 may result from an incorrect multiplication or addition. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum from \(1\) to \(n\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=52\) रखने पर \(\frac{52\times53}{2}=26\times53=1378\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 1378 है। 1368 जैसी संख्या तब आ सकती है जब गुणा या जोड़ में त्रुटि हो। परीक्षा टिप: सम प्राकृतिक संख्या होने पर पहले उसे 2 से भाग देकर गणना जल्दी करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=52\), we get \(\frac{52\times53}{2}=26\times53=1378\). Hence, 1378 is the correct option. A value such as 1368 may result from an arithmetic error in multiplication or addition. Exam tip: when \(n\) is even, divide it by 2 first to calculate faster.
\(S_n\) में 1 से \(n\) तक का योग होता है, जबकि \(S_{n-1}\) में 1 से \(n-1\) तक का योग है। घटाने पर केवल \(n\) बचता है। \(2n-1\) वर्गों के योग का अंतर होता है। परीक्षा में क्रमागत योगों का अंतर लें। / \(S_n\) includes terms from 1 to \(n\), whereas \(S_{n-1}\) includes terms from 1 to \(n-1\). On subtraction, only \(n\) remains. \(2n-1\) is the difference of consecutive square sums. Exam tip: subtract successive sums to identify the added term.
\(\frac{38\cdot39}{2}=741\), इसलिए \(n=38\)। ऐसे प्रश्नों में विकल्प जल्दी जांचे जा सकते हैं। / \(\frac{38\cdot39}{2}=741\), so \(n=38\). In such questions, options can be checked quickly.
\(\frac{41\cdot42}{2}=861\), इसलिए (n=41)। उत्तर को सूत्र से अवश्य सत्यापित करें। / \(\frac{41\cdot42}{2}=861\), so (n=41). Always verify the answer with the formula.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=990\), यानी \(n(n+1)=1980\)। क्योंकि \(44\times45=1980\), इसलिए \(n=44\)। निकटतम विकल्प \(43\) के लिए योग \(\frac{43\times44}{2}=946\) होगा, जो 990 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(2S\) के दो क्रमागत गुणनखंड खोजें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=990\), so \(n(n+1)=1980\). Since \(44\times45=1980\), \(n=44\). For the closest distractor, \(n=43\) gives \(\frac{43\times44}{2}=946\), not 990. Exam tip: for such questions, look for two consecutive factors of \(2S\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(\frac{n(n+1)}{2}=1128\), अतः \(n(n+1)=2256\)। \(47\times48=2256\), इसलिए \(n=47\)। विकल्प 48 सही नहीं है, क्योंकि \(\frac{48\times49}{2}=1176\) होगा। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में 1128 के पास के दो क्रमागत गुणनखंड खोजें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(\frac{n(n+1)}{2}=1128\), so \(n(n+1)=2256\). Since \(47\times48=2256\), \(n=47\). Option 48 is not correct because \(\frac{48\times49}{2}=1176\). Exam tip: for such questions, look for two consecutive factors whose product is twice the given sum.
\(\frac{49\cdot50}{2}=1225\), इसलिए (n=49)। सूत्र में विकल्प रखने से उत्तर जल्दी मिलता है। / \(\frac{49\cdot50}{2}=1225\), so (n=49). Substituting options in the formula gives the answer quickly.
पहली 29 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाते हैं। अतः \(S_{29}=\frac{29\times30}{2}=435\)। इसलिए सही उत्तर 435 है। 425 जैसे विकल्प में गुणनफल को 2 से सही प्रकार विभाजित नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: 1 से \(n\) तक के योग में हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) का प्रयोग करें। / Use the formula \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of the first \(n\) natural numbers. Thus, \(S_{29}=\frac{29\times30}{2}=435\). Therefore, 435 is the correct answer. A value such as 425 results from an incorrect calculation while applying the formula. Exam tip: for a sum from 1 to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
1 से 31 तक प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=31\), इसलिए \(\frac{31\times 32}{2}=31\times 16=496\)। अतः सही उत्तर 496 है। 465, 1 से 30 तक का योग है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: अंतिम संख्या तक योग में उसी संख्या को \(n\) रखें। / The sum of natural numbers from 1 to \(n\) is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=31\), so \(\frac{31\times 32}{2}=31\times 16=496\). Therefore, 496 is correct. The value 465 is the sum from 1 to 30, so it is a close but incorrect distractor. Exam tip: use the last number in the series as \(n\).
सूत्र से \(S_{33}=\frac{33\cdot34}{2}=561\)। सूची (1) से शुरू हो तो सीधे प्राकृतिक संख्या का योग लगाएं। / By the formula, \(S_{33}=\frac{33\cdot34}{2}=561\). If the list starts from (1), use the natural-number sum directly.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=37\), इसलिए योग \(\frac{37\times38}{2}=37\times19=703\) होगा। 693 जैसे विकल्प में गुणन या भाग करने में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: लगातार 1 से \(n\) तक के योग के लिए सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाइए। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=37\), so the sum is \(\frac{37\times38}{2}=37\times19=703\). A value such as 693 can result from an arithmetic error while multiplying or dividing. Exam tip: for consecutive numbers from 1 to \(n\), apply \(\frac{n(n+1)}{2}\) directly.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(1\) से \(42\) तक का योग \(\frac{42\times43}{2}=21\times43=903\) है। \(893\) जैसे विकल्प में गुणा या भाग की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, the sum from \(1\) to \(42\) is \(\frac{42\times43}{2}=21\times43=903\). A value such as \(893\) can result from an error in multiplication or division. Exam tip: for consecutive natural numbers starting from \(1\), directly use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=46\) है, इसलिए \(\frac{46\times47}{2}=23\times47=1081\)। अतः सही उत्तर 1081 है। 1071 जैसे विकल्प में गुणा या आधा करने में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: योग की अंतिम संख्या को \(n\) मानकर सीधे सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here \(n=46\), so \(\frac{46\times47}{2}=23\times47=1081\). Therefore, the correct answer is 1081. A value such as 1071 can result from an error in multiplication or halving. Exam tip: take the last number as \(n\) and apply the formula directly.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=27\times55=1485\)। इसलिए सही उत्तर 1485 है। 1475 जैसा विकल्प गुणा या जोड़ में छोटी त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: लगातार 1 से \(n\) तक की संख्याओं के योग के लिए हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाइए। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=27\times55=1485\). Hence, 1485 is the correct answer. A value such as 1475 may result from a small multiplication or addition error. Exam tip: for the sum of consecutive numbers from 1 to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=58\), इसलिए \(\frac{58\times59}{2}=29\times59=1711\)। अतः सही उत्तर 1711 है। 1701 जैसे विकल्प गलत गुणा या जोड़ के कारण मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: सम संख्याओं वाले प्रश्न में पहले \(n\) को 2 से काटने पर गणना आसान होती है। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=58\), so \(\frac{58\times59}{2}=29\times59=1711\). Therefore, 1711 is correct. A value such as 1701 can result from an arithmetic error. Exam tip: When \(n\) is even, divide it by 2 first to simplify the calculation.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{65}=\frac{65\times66}{2}=65\times33=2145\)। इसलिए सही उत्तर 2145 है। \(65\times66\) करने के बाद 2 से भाग देना भूलना एक सामान्य गलती है। परीक्षा टिप: क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग में हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{65}=\frac{65\times66}{2}=65\times33=2145\). Hence, 2145 is correct. A common mistake is to calculate \(65\times66\) but forget to divide by 2. Exam tip: for the sum of consecutive natural numbers from 1 to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{70}=\frac{70\times71}{2}=35\times71=2485\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(2475\) प्राप्त हो सकता है यदि गुणा या भाग करते समय गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: \(n\) सम हो तो पहले \(n\) को 2 से भाग देकर गणना सरल करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{70}=\frac{70\times71}{2}=35\times71=2485\). Hence, option C is correct. \(2475\) may result from an arithmetic error while multiplying or dividing. Exam tip: When \(n\) is even, divide \(n\) by 2 first to simplify the calculation.
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(1+2+\cdots+80=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\)। इसलिए विकल्प C सही है। 3230 जैसे विकल्प प्रायः गुणा या आधा करने में हुई गणना-त्रुटि से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(1+2+\cdots+80=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\). Hence, option C is correct. A value such as 3230 can result from an arithmetic error while halving or multiplying. Exam tip: For the sum of consecutive natural numbers, use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=90\) रखने पर \(\frac{90\times91}{2}=45\times91=4095\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(4095\) है। \(4085\) जैसी संख्या विभाजन या गुणा में छोटी गणना-त्रुटि से आ सकती है। परीक्षा टिप: \(n(n+1)\) का गुणन करने से पहले सम संख्या को 2 से काट लें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=90\), we get \(\frac{90\times91}{2}=45\times91=4095\). Therefore, \(4095\) is the correct answer. A value such as \(4085\) may result from a small multiplication or division error. Exam tip: Cancel the even factor with 2 before multiplying \(n(n+1)\).
\(S_n\) में 1 से \(n\) तक की संख्याएँ होती हैं। \(S_{n+1}\) पाने के लिए केवल अगली संख्या \(n+1\) जोड़ते हैं, इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में पदों की सूची लिखकर जाँचें। / \(S_n\) contains the numbers from 1 to \(n\). To obtain \(S_{n+1}\), only the next natural number, \(n+1\), is added; hence A is correct. Exam tip: list the added term to verify a recurrence.
पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=2145\), इसलिए \(n(n+1)=4290\)। \(65\times66=4290\), अतः \(n=65\)। \(64\) लेने पर योग \(\frac{64\times65}{2}=2080\) होगा, जो 2145 नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार दो संख्याओं का गुणनफल \(2S\) के बराबर रखकर \(n\) जल्दी ज्ञात करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=2145\), so \(n(n+1)=4290\). Since \(65\times66=4290\), \(n=65\). For \(n=64\), the sum is \(\frac{64\times65}{2}=2080\), not 2145. Exam tip: Set the product of two consecutive numbers equal to \(2S\) to find \(n\) quickly.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। युग्म बनाने पर \(2S_n=n(n+1)\) मिलता है। \(\frac{n(n-1)}{2}\) पहली \(n-1\) संख्याओं का योग है। परीक्षा में \(n+1\) वाला गुणनखंड अवश्य जाँचें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Pairing the sequence gives \(2S_n=n(n+1)\). \(\frac{n(n-1)}{2}\) is the sum up to \(n-1\). Exam tip: always check for the \(n+1\) factor.
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(n=90\) रखने पर \(\frac{90\times91}{2}=45\times91=4095\) प्राप्त होता है, इसलिए सही मान \(90\) है। \(n=89\) के लिए योग \(4005\) होगा, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा में दिए गए \(n\) को योग के सूत्र में रखकर उत्तर की जाँच करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=90\) gives \(\frac{90\times91}{2}=45\times91=4095\), so the correct value is \(90\). For \(n=89\), the sum is \(4005\), making it a close but incorrect option. In exams, verify the value by substituting it into the sum formula.
पहली 54 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने का सूत्र \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। अतः \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=27\times55=1485\)। इसलिए सही उत्तर 1485 है। 1475 जैसे विकल्प में गुणा या आधा करने की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: सूत्र में \(n\) के स्थान पर हमेशा अंतिम प्राकृतिक संख्या रखें। / The sum of the first 54 natural numbers is found using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=27\times55=1485\). Therefore, 1485 is correct. A value such as 1475 can result from an error while multiplying or dividing by 2. Exam tip: Substitute the last natural number for \(n\) in the formula.
\(S_{58}=\frac{58\cdot59}{2}=1711\)। (1) से शुरू होने वाली सूची में प्राकृतिक संख्या योग सूत्र लगाएं। / \(S_{58}=\frac{58\cdot59}{2}=1711\). For a list starting from (1), use the natural-number sum formula.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=65\), इसलिए \(\frac{65\times66}{2}=65\times33=2145\)। अतः सही उत्तर 2145 है। 2112 जैसी संख्या तब आ सकती है जब गणना में 65 या 66 का गलत उपयोग हो जाए। परीक्षा टिप: योग वाले प्रश्नों में अंतिम संख्या को \(n\) मानकर \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=65\), so \(\frac{65\times66}{2}=65\times33=2145\). Therefore, the correct answer is 2145. A value such as 2112 can result from using 65 or 66 incorrectly in the calculation. Exam tip: for a sum ending at \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=70\) है, इसलिए \(1+2+\cdots+70=\frac{70\times71}{2}=35\times71=2485\)। अतः विकल्प C सही है। 2475 जैसा उत्तर गुणा या भाग में छोटी गणना-त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले सम संख्या को 2 से काटकर गणना करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=70\), so \(1+2+\cdots+70=\frac{70\times71}{2}=35\times71=2485\). Therefore, option C is correct. A value such as 2475 can result from a small multiplication or division error. Exam tip: divide the even factor by 2 first to calculate quickly.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=80\), इसलिए \(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\)। अतः सही विकल्प 3240 है। 3200 एक संभावित गलती है, जो \(80\times80/2\) लेने पर मिलती है; सूत्र में \(n+1\) अवश्य आता है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में अंतिम संख्या n रखने के बाद \(n(n+1)/2\) लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=80\), so \(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\). Therefore, 3240 is the correct option. 3200 can result from the common error of using \(80\times80/2\); the formula must include \(n+1\). Exam tip: Substitute the last number for n and use \(n(n+1)/2\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=36\times73=2628\)। इसलिए सही उत्तर 2628 है। 2618 जैसे विकल्प में गुणा या जोड़ की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: सम संख्या \(n\) होने पर पहले \(n\) को 2 से भाग देकर गणना करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Hence, \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=36\times73=2628\). Therefore, 2628 is correct. A value such as 2618 can result from an arithmetic error in multiplication or addition. Exam tip: when \(n\) is even, divide \(n\) by 2 first to simplify the calculation.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=85\) रखने पर \(\frac{85\times86}{2}=85\times43=3655\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। \(3645\) जैसे विकल्प में गुणा या जोड़ की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=85\), we get \(\frac{85\times86}{2}=85\times43=3655\). Therefore, option C is correct. A value such as \(3645\) results from an arithmetic error in the calculation. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of consecutive natural numbers starting from 1.
A. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं में सबसे बड़ी संख्या के बाद आने वाली संख्या
Explanation
Simple Explanation
प्रथम n प्राकृतिक संख्याएँ 1 से n तक होती हैं, इसलिए उनकी सबसे बड़ी संख्या n है और उसके बाद की संख्या \(n+1\) होती है। विकल्प B केवल n को दर्शाता है। परीक्षा में सूत्र के प्रत्येक पद का अर्थ पहचानें। / The first n natural numbers run from 1 to n, so n is the largest number and \(n+1\) is the next natural number. Option B represents only the largest number, n. Exam tip: identify what each factor means before using a formula.
\(n\) और \(n+1\) क्रमागत पूर्णांक हैं, इसलिए इनमें से एक अवश्य सम होता है। अतः \(n(n+1)\) सदैव सम होता है और उसे 2 से विभाजित किया जा सकता है। परीक्षा टिप: क्रमागत संख्याओं में सम-विषम क्रम बदलता रहता है। / \(n\) and \(n+1\) are consecutive integers, so one of them must be even. Hence \(n(n+1)\) is always even, making division by 2 valid. Exam tip: consecutive integers always alternate between even and odd.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=95\) रखने पर \(\frac{95\times96}{2}=95\times48=4560\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। \(4550\) जैसी संख्या मध्य के गुणन में गलती करने पर मिल सकती है। परीक्षा टिप: \(n(n+1)\) में किसी एक सम संख्या को पहले 2 से काटकर गणना करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=95\), we get \(\frac{95\times96}{2}=95\times48=4560\). Therefore, option C is correct. A value such as \(4550\) may result from an error while multiplying the middle terms. Exam tip: cancel 2 with the even factor before multiplying.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। इसे \(\frac{n^2+n}{2}\) लिखने पर n का उच्चतम घात 2 मिलता है, इसलिए यह द्विघात फलन है। रैखिक फलन में उच्चतम घात 1 होता है। परीक्षा टिप: सूत्र को फैलाकर उच्चतम घात पहचानें। / The sum is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Writing it as \(\frac{n^2+n}{2}\) shows that the highest power of n is 2, so it is a quadratic function. A linear function has highest power 1. Exam tip: expand the formula and check the highest power.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=95\), इसलिए \(1+2+\cdots+95=\frac{95\times96}{2}=95\times48=4560\)। 4655 जैसा विकल्प गलत गुणा या जोड़ के कारण आ सकता है। परीक्षा टिप: \(1\) से \(n\) तक का योग दिखे तो सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=95\), so \(1+2+\cdots+95=\frac{95\times96}{2}=95\times48=4560\). A value such as 4655 can result from an incorrect multiplication or addition. Exam tip: whenever the sum from \(1\) to \(n\) is asked, apply \(\frac{n(n+1)}{2}\) directly.
