पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{78}=\frac{78\times79}{2}=3081\), \(S_{52}=\frac{52\times53}{2}=1378\) और \(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\)। इसलिए \(S_{78}-S_{52}+S_{26}=3081-1378+351=2054\)। परीक्षा टिप: संयुक्त व्यंजक में प्रत्येक \(S_n\) का मान अलग निकालकर फिर दिए गए धन-ऋण चिह्नों के अनुसार जोड़ें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{78}=\frac{78\times79}{2}=3081\), \(S_{52}=\frac{52\times53}{2}=1378\), and \(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\). Hence, \(S_{78}-S_{52}+S_{26}=3081-1378+351=2054\). Exam tip: evaluate each \(S_n\) separately, then apply the signs in the expression carefully.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{180}=\frac{180\times181}{2}=16290\) और \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\)। इसलिए अंतर \(16290-4095=12195\) है। यह वास्तव में 91 से 180 तक की संख्याओं का योग है; 12295 जैसी संख्या सूत्र या घटाव से नहीं मिलती। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को \(S_{180}-S_{90}\) लिखकर हल करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{180}=\frac{180\times181}{2}=16290\) and \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\). Hence, the difference is \(16290-4095=12195\). It is also the sum of the integers from 91 to 180; a value such as 12295 does not result from the formula or subtraction. Exam tip: write such a difference as \(S_{180}-S_{90}\).
इस क्रम में तीसरे पद से प्रत्येक पद उसके ठीक पहले के दो पदों का योग है: 11 = 4 + 7, 18 = 7 + 11 और 29 = 11 + 18। इसलिए अगला पद 18 + 29 = 47 होगा। 45 केवल 29 में 16 जोड़ने पर मिलता है, जबकि यहाँ योग वाला नियम लागू होता है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में लगातार पदों के अंतर के साथ-साथ पिछले दो पदों के योग को भी जाँचें। / From the third term onward, each term is the sum of the two immediately preceding terms: 11 = 4 + 7, 18 = 7 + 11, and 29 = 11 + 18. Therefore, the next term is 18 + 29 = 47. The number 45 would result from adding 16 to 29, but that does not follow the sum rule. Exam tip: In such sequences, check the sum of the previous two terms as well as consecutive differences.
