conceptual mathematics se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
रेखा \(y=mx+c\) में \(x=0\) रखने पर \(y=c\) मिलता है, इसलिए y-अक्ष पर बिंदु \((0,c)\) होता है। अतः समान y-अवरोध के लिए \(c_1=c_2\) आवश्यक है। \(m_1=m_2\) समान ढाल वाली समानांतर रेखाएँ दर्शाता है। परीक्षा टिप: y-अवरोध जाँचने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / In \(y=mx+c\), putting \(x=0\) gives \(y=c\), so the y-axis point is \((0,c)\). Therefore, both lines have the same y-intercept only when \(c_1=c_2\). \(m_1=m_2\) indicates equal slopes, usually parallel lines. Exam tip: set \(x=0\) to identify a y-intercept.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। यदि \(r+\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय \(r\) घटाने पर \(\sqrt{2}\) परिमेय हो जाता, जो असंभव है। परीक्षा टिप: परिमेय ± अपरिमेय हमेशा अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{2}\) is irrational. If \(r+\sqrt{2}\) were rational, subtracting the rational number \(r\) would make \(\sqrt{2}\) rational, which is impossible. Exam tip: rational ± irrational is always irrational.
यदि \(x+r\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय \(r\) घटाने पर \(x\) भी परिमेय मिलता, जो विरोधाभास है। \(x^2\) सदैव अपरिमेय नहीं; \(x=\sqrt{2}\) पर इसका मान 2 है। परीक्षा टिप: परिमेय ± अपरिमेय अपरिमेय होता है। / If \(x+r\) were rational, subtracting the rational number \(r\) would make \(x\) rational, which is a contradiction. \(x^2\) is not always irrational; for \(x=\sqrt{2}\), it equals 2. Exam tip: rational ± irrational is irrational.
\(x=\sqrt{2}\) लेने पर \(x\) अपरिमेय है, लेकिन \(x^2=2\) परिमेय है। \(x+1\), \(2x\) या \(1/x\) परिमेय होने पर \(x\) परिमेय हो जाएगा, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: प्रतिउदाहरण खोजें। / Take \(x=\sqrt{2}\). It is irrational, but \(x^2=2\) is rational. If \(x+1\), \(2x\), or \(1/x\) were rational, then \(x\) would also be rational, a contradiction. Exam tip: test a claim using a counterexample.
A. उनके बीच कम-से-कम एक परिमेय संख्या होती है/There is at least one rational number between them
Explanation
Simple Explanation
यदि \(x<y\), तो \(1/n<y-x\) वाला \(n\) लेने पर कोई \(m/n\) इनके बीच मिलता है। इसलिए A सही है। D गलत है, क्योंकि बीच में अपरिमेय भी होते हैं। टिप: परिमेय और अपरिमेय दोनों सघन हैं। / If \(x<y\), choose \(n\) such that \(1/n<y-x\); then some \(m/n\) lies between them. Hence A is correct. D is false because irrationals also lie between them. Exam tip: both sets are dense.
