संख्या रेखा पर \(P=\sqrt{2}\) और \(Q=\sqrt{3}\) हैं। एक विद्यार्थी कहता है कि \(P\) और \(Q\) के बीच कोई परिमेय संख्या नहीं हो सकती, क्योंकि दोनों अपरिमेय हैं। इस कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
C. कथन गलत है, क्योंकि \(P\) और \(Q\) के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।/The statement is incorrect because infinitely many rational numbers lie between \(P\) and \(Q\).
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\(2<\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac94<3\) होने से \(\sqrt2<\frac32<\sqrt3\) है। \(\frac32\) परिमेय है और हर दो अलग वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। परीक्षा टिप: धनात्मक वर्गमूलों की तुलना के लिए वर्ग करें। / Since \(2<\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac94<3\), we get \(\sqrt2<\frac32<\sqrt3\). Thus \(\frac32\) is a rational number between them; in fact, infinitely many rationals lie between distinct real numbers. Exam tip: compare positive roots by squaring.
C. उनके बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।/Infinitely many rational numbers lie between them.
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किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं a और b के बीच उनका मध्यबिंदु \(\frac{a+b}{2}\) भी परिमेय होता है। इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराने पर अनंत परिमेय संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा टिप: “बीच में” दिखे तो मध्यबिंदु विधि याद रखें। / For distinct rational numbers a and b, their midpoint \(\frac{a+b}{2}\) is also rational and lies between them. Repeating this process gives infinitely many rational numbers. Exam tip: use the midpoint method whenever numbers between two rationals are asked.
A. उनके बीच कम-से-कम एक परिमेय संख्या होती है/There is at least one rational number between them
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यदि \(x<y\), तो \(1/n<y-x\) वाला \(n\) लेने पर कोई \(m/n\) इनके बीच मिलता है। इसलिए A सही है। D गलत है, क्योंकि बीच में अपरिमेय भी होते हैं। टिप: परिमेय और अपरिमेय दोनों सघन हैं। / If \(x<y\), choose \(n\) such that \(1/n<y-x\); then some \(m/n\) lies between them. Hence A is correct. D is false because irrationals also lie between them. Exam tip: both sets are dense.
A. उनके बीच कम-से-कम एक परिमेय संख्या का बिंदु अवश्य होता है/There is always at least one point representing a rational number between them.
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परिमेय संख्याएँ संख्या रेखा पर सघन होती हैं, इसलिए किन्हीं दो अलग वास्तविक संख्याओं के बीच परिमेय संख्या मिलती है। उदाहरणतः \(2<\frac{9}{4}<3\), अतः \(\sqrt{2}<\frac{3}{2}<\sqrt{3}\)। परीक्षा में ‘सदैव’ वाले विकल्प को प्रतिवाद से जाँचें। / Rational numbers are dense on the number line, so a rational number lies between any two distinct real numbers, including irrationals. Since \(2<\frac{9}{4}<3\), \(\sqrt{2}<\frac{3}{2}<\sqrt{3}\). Exam tip: test “always” statements using a counterexample.
परिमेय संख्याएँ संख्या रेखा पर सघन होती हैं। किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ मिलती हैं; उदाहरण के लिए, दो परिमेय संख्याओं का औसत भी उनके बीच एक परिमेय संख्या होता है। इसलिए ‘सीमित’ विकल्प गलत है। परीक्षा टिप: ‘दो परिमेय संख्याओं के बीच’ दिखे तो औसत लेकर बीच की परिमेय संख्या ज्ञात की जा सकती है। / Rational numbers are dense on the number line. Between any two distinct rational numbers, there are infinitely many rational numbers; for example, their average is also a rational number lying between them. Hence, “finite” is incorrect. Exam tip: When asked for a rational number between two rationals, use their average.
