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C. \(\sqrt{7}\) और \(1-\sqrt{7}\)/\(\sqrt{7}\) and \(1-\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{7}\) और \(1-\sqrt{7}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(\sqrt{7}+1-\sqrt{7}=1\) है, जो परिमेय है। इसलिए कथन गलत है। परीक्षा टिप: अपरिमेय पदों के निरस्तीकरण को जाँचें। / Both \(\sqrt{7}\) and \(1-\sqrt{7}\) are irrational, but \(\sqrt{7}+1-\sqrt{7}=1\), which is rational. Hence the statement is false. Exam tip: check whether irrational terms cancel in a sum.
\(\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\) होता है। इसलिए \(x+\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1\) नहीं, बल्कि (\(\sqrt{2}-1\)+\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1) है। / \(\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\). So (x+\sqrt{2}=\(\sqrt{2}-1\)+\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1).
हर के संयुग्मी \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करने पर हर (1) और अंश (\(2+\sqrt{3}\)2) बनता है। इसलिए उत्तर \(7+4\sqrt{3}\) है। / Multiplying by the conjugate \(2+\sqrt{3}\) makes the denominator (1) and numerator (\(2+\sqrt{3}\)2). So the answer is \(7+4\sqrt{3}\).
C. यह अपरिमेय है, क्योंकि 1 के बीच शून्यों के समूह लगातार बढ़ते हैं, इसलिए कोई आवर्ती खंड नहीं बनता।/It is irrational because the groups of zeros between 1s keep increasing, so no repeating block is formed.
Explanation
Simple Explanation
यह दशमलव अनंत और अनावर्ती है: 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, ... बढ़ती जाती है। इसलिए कोई निश्चित आवर्त नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / This decimal is non-terminating and non-repeating: the number of zeros between successive 1s is 1, 2, 3, 4, ... . Hence no fixed period is possible. Exam tip: non-terminating recurring decimals are rational.
\(x+\frac{1}{3}\) अपरिमेय होगा, क्योंकि यदि यह परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय \(\frac{1}{3}\) घटाने पर \(x\) भी परिमेय हो जाता। \(x^2\) सदैव अपरिमेय नहीं है; \(x=\sqrt{2}\) लेने पर \(x^2=2\) है। परीक्षा टिप: अपरिमेय में परिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। / \(x+\frac{1}{3}\) must be irrational: if it were rational, subtracting the rational number \(\frac{1}{3}\) would make \(x\) rational. But \(x^2\) need not be irrational; for \(x=\sqrt{2}\), \(x^2=2\). Exam tip: adding a rational number to an irrational number keeps it irrational.
\(x=\sqrt{2}\) लेने पर \(x\) अपरिमेय है, लेकिन \(x^2=2\) परिमेय है। \(x+1\), \(2x\) या \(1/x\) परिमेय होने पर \(x\) परिमेय हो जाएगा, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: प्रतिउदाहरण खोजें। / Take \(x=\sqrt{2}\). It is irrational, but \(x^2=2\) is rational. If \(x+1\), \(2x\), or \(1/x\) were rational, then \(x\) would also be rational, a contradiction. Exam tip: test a claim using a counterexample.
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) और \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) है। इसलिए परिणाम \(\sqrt{5}\) है। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), and \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\). Therefore the result is \(\sqrt{5}\).
\(x-x=0\) होता है और 0 परिमेय संख्या है, इसलिए विकल्प D सदैव परिमेय है। \(x^2\) कभी परिमेय, जैसे \((\sqrt{2})^2=2\), और कभी अपरिमेय हो सकता है। परीक्षा टिप: समान पदों का अंतर पहले 0 लिखें। / Since \(x-x=0\), and 0 is rational, option D is always rational. In contrast, \(x^2\) may be rational, as \((\sqrt{2})^2=2\), or irrational. Exam tip: first cancel identical terms before classifying a number.
\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) है। इसलिए परिणाम \(6\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\). Therefore the result is \(6\sqrt{3}\).
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(0\) है, जो परिमेय संख्या है। इसलिए दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। परीक्षा में ‘सदैव’ वाले कथन के लिए प्रतिउदाहरण खोजें। / Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but their sum is \(0\), which is rational. Hence, the sum of two irrational numbers need not be irrational. Exam tip: test “always” statements using a counterexample.
\(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), इसलिए अंश \(11\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{2}\) से भाग देने पर (11) मिलता है। / \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), so the numerator is \(11\sqrt{2}\). Dividing by \(\sqrt{2}\) gives (11).
B. यह वास्तविक संख्या है और इसका वर्ग \(3+\sqrt{5}\) है/It is real and its square is \(3+\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
किसी धनात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक होता है और उसका वर्ग वही संख्या देता है। यहाँ \(3+\sqrt{5}\) धनात्मक है। / The square root of a positive number is real and its square gives the same number. Here \(3+\sqrt{5}\) is positive.
C. यदि \(x\) अपरिमेय है, तो \(x^2\) अपरिमेय है।/If \(x\) is irrational, then \(x^2\) is irrational.
Explanation
Simple Explanation
विकल्प C सही है। \(x=\sqrt{2}\) अपरिमेय है, किंतु \(x^2=2\) परिमेय है। 2 जोड़ने तथा 3 से गुणा या भाग करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। परीक्षा टिप: ‘हमेशा’ वाले कथन के लिए प्रतिवाद जाँचें। / Option C is correct. For \(x=\sqrt{2}\), \(x\) is irrational but \(x^2=2\) is rational. Adding 2 or multiplying or dividing by non-zero rational 3 preserves irrationality. Exam tip: test “always” claims with a counterexample.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) है। इसलिए (m-n=0) मिलता है। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\). Therefore (m-n=0).
पहले वर्ग में \(2\sqrt{10}\) जुड़ता है और दूसरे में \(2\sqrt{10}\) घटता है। अंतर \(4\sqrt{10}\) है। / The first square adds \(2\sqrt{10}\) and the second subtracts \(2\sqrt{10}\). The difference is \(4\sqrt{10}\).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (9-5=4) और अंश (\(3+\sqrt{5}\)2=14+6\sqrt{5}) मिलता है। इसलिए उत्तर \(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\) है। / Multiplying by the conjugate gives denominator (9-5=4) and numerator (\(3+\sqrt{5}\)2=14+6\sqrt{5}). So the answer is \(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\).
हर का संयुग्मी \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) है और हर (1) बनता है। इसलिए मान (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}) है। / The conjugate of the denominator is \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) and the denominator becomes (1). So the value is (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}).
\(\sqrt{7}+\sqrt{28}=3\sqrt{7}\) है जो अपरिमेय है। बाकी विकल्पों में मूल हटकर परिमेय मान मिलते हैं। / \(\sqrt{7}+\sqrt{28}=3\sqrt{7}\), which is irrational. In the other options the radicals simplify to rational values.
B. कथन गलत है, क्योंकि \(\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=4\), जो एक परिमेय संख्या है।/The statement is false because \(\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=4\), which is a rational number.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) और \(2\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, लेकिन \(\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=4\) परिमेय है। इसलिए विकल्प A में ‘हमेशा’ गलत है। परीक्षा में सार्वत्रिक कथन को एक प्रतिउदाहरण से जाँचें। / Both \(\sqrt{2}\) and \(2\sqrt{2}\) are irrational, but \(\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=4\), a rational number. Thus “always” in option A is false. Exam tip: one counterexample disproves a universal claim.
B. इसका वर्ग \(6+\sqrt{11}\) है/Its square is \(6+\sqrt{11}\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(6+\sqrt{11}\) धनात्मक है, इसका वर्गमूल वास्तविक है। वर्ग करने पर अंदर की संख्या \(6+\sqrt{11}\) मिलती है। / Since \(6+\sqrt{11}\) is positive, its square root is real. Squaring it gives the inside number \(6+\sqrt{11}\).
\(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), इसलिए \(u=\sqrt{5}\) है। अतः \(u+v=2\sqrt{5}\) है। / \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), so \(u=\sqrt{5}\). Hence \(u+v=2\sqrt{5}\).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (6-1=5) बनता है। इसलिए रूप (\frac{5\(\sqrt{6}+1\)}{5}), यानी \(\sqrt{6}+1\), है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (6-1=5). So the form is (\frac{5\(\sqrt{6}+1\)}{5}), that is \(\sqrt{6}+1\).
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), इसलिए योग \(5\sqrt{3}\) है। इसका वर्ग (75) है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), so the sum is \(5\sqrt{3}\). Its square is (75).
अपरिमेय दशमलव असांत और अनावर्ती होता है। चौथे विकल्प में कोई निश्चित दोहराव नहीं है। / An irrational decimal is non-terminating and non-repeating. The fourth option has no fixed repetition.
एक विद्यार्थी कहता है कि \\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\\) अपरिमेय है, क्योंकि यह दो अपरिमेय संख्याओं का भागफल है। निम्न में से कौन-सा मूल्यांकन सही है?
B. विद्यार्थी गलत है, क्योंकि \\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\\), जो परिमेय है।/The student is incorrect because \\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\\), which is rational.
Explanation
Simple Explanation
विद्यार्थी का नियम गलत है; दो अपरिमेय संख्याओं का भागफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता। यहाँ \\(\sqrt{18}/\sqrt2=\sqrt9=3\\) है, इसलिए उत्तर परिमेय है। परीक्षा में मूलों को एक ही मूल के भीतर सरल करें। / The student’s rule is false: a quotient of two irrational numbers need not be irrational. Here \\(\sqrt{18}/\sqrt2=\sqrt9=3\\), so the result is rational. Exam tip: combine square roots first, then simplify.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), इसलिए कोष्ठक \(2\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{2}\) से गुणा करने पर (4) मिलता है। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so the bracket is \(2\sqrt{2}\). Multiplying by \(\sqrt{2}\) gives (4).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (7-5=2) बनता है। इसलिए (\frac{2\(\sqrt{7}-\sqrt{5}\)}{2}=\sqrt{7}-\sqrt{5}) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (7-5=2). So (\frac{2\(\sqrt{7}-\sqrt{5}\)}{2}=\sqrt{7}-\sqrt{5}).
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए \(2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0\) है। पहले मूल को सरल करना जरूरी है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so \(2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0\). Simplifying the radical first is necessary.
एक ही वर्गमूल का अपने आप से गुणन अंदर की संख्या देता है। इसलिए मान \(3+\sqrt{2}\) है। / Multiplying the same square root by itself gives the number inside. Therefore the value is \(3+\sqrt{2}\).
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है। इसलिए परिणाम \(11\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Therefore the result is \(11\sqrt{2}\).
यदि \(x+r\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय \(r\) घटाने पर \(x\) भी परिमेय होता, जो विरोधाभास है। इसलिए A सही है। \(x^2\) परिमेय हो सकता है, जैसे \((\sqrt{2})^2=2\)। टिप: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेयता नहीं बदलती। / If \(x+r\) were rational, subtracting the rational number \(r\) would make \(x\) rational, a contradiction. Hence A is correct. But \(x^2\) can be rational; for example, \((\sqrt{2})^2=2\). Exam tip: adding a rational number preserves irrationality.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए \(s=5\sqrt{3}\) है। \(\sqrt{3}\) से भाग देने पर (5) मिलता है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so \(s=5\sqrt{3}\). Dividing by \(\sqrt{3}\) gives (5).
संयुग्मी से गुणा करने पर (\frac{\(\sqrt{3}-1\)2}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}) मिलता है। हर का परिमेयकरण करें। / Multiplying by the conjugate gives (\frac{\(\sqrt{3}-1\)2}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}). Rationalise the denominator.
एक विद्यार्थी कहता है कि दो गैर-शून्य अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है। निम्नलिखित में से कौन-सा युग्म उसके कथन का प्रतिवाद प्रस्तुत करता है?
\(\sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\), जो परिमेय है, जबकि दोनों गुणक अपरिमेय हैं। इसलिए कथन गलत है। परीक्षा में मूलों को पहले एक ही वर्गमूल में मिलाकर जाँचें। / \(\sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\), which is rational although both factors are irrational. Hence the claim is false. Exam tip: combine radicals first before deciding rationality.
पहले तीन विकल्प क्रमशः (4), (3) और (3) देते हैं। चौथा \(\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। / The first three options give (4), (3), and (3) respectively. The fourth is \(\sqrt{10}\), which is irrational.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, लेकिन \((\sqrt{2})^2=2\), जो परिमेय है। इसलिए रिया का कथन गलत है। जैसे, \((1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}\) अपरिमेय रहता है, पर यह नियम सभी संख्याओं पर लागू नहीं होता। परीक्षा में प्रतिवाद के लिए एक सही उदाहरण पर्याप्त होता है। / \(\sqrt{2}\) is irrational, but \((\sqrt{2})^2=2\), which is rational. Hence Riya’s statement is false. For instance, \((1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}\) is still irrational, but one counterexample is enough to disprove a universal claim. In exams, test such claims with simple surds first.
क्षेत्रफल (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7) है। संयुग्मी आयामों का गुणन परिमेय क्षेत्रफल दे सकता है। / Area is (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7). Multiplying conjugate dimensions can give a rational area.
\(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) है। इसलिए परिणाम \(5\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Therefore the result is \(5\sqrt{2}\).
पहला पद \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) और दूसरा \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) बनता है। योग \(2\sqrt{3}\) है। / The first term becomes \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) and the second becomes \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\). Their sum is \(2\sqrt{3}\).
B. कथन गलत है; \(\sqrt{45}+\sqrt{5}=4\sqrt{5}\), जो अपरिमेय है।/The statement is incorrect; \(\sqrt{45}+\sqrt{5}=4\sqrt{5}\), which is irrational.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), इसलिए \(\sqrt{45}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}+\sqrt{5}=4\sqrt{5}\) होता है। \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है, अतः इसका शून्येतर परिमेय गुणज भी अपरिमेय है। परीक्षा में \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) को \(\sqrt{a+b}\) न मानें। / Since \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), we get \(\sqrt{45}+\sqrt{5}=4\sqrt{5}\). As \(\sqrt{5}\) is irrational, its non-zero rational multiple is also irrational. Exam tip: never replace \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) with \(\sqrt{a+b}\).
यदि \(x+1\) परिमेय होता, तो उसमें से 1 घटाने पर \(x\) परिमेय मिलता, जो विरोधाभास है। अतः A अपरिमेय है। \(x-x=0\), \(x/x=1\), और \(x^2\) परिमेय भी हो सकता है। टिप: ‘सदैव’ वाले कथन जाँचें। / If \(x+1\) were rational, subtracting 1 would make \(x\) rational, which is a contradiction. Hence A is irrational. \(x-x=0\), \(x/x=1\), and \(x^2\) can be rational. Exam tip: check claims containing “always”.
B. दावा गलत है; हर का परिमेयकरण करने पर \(\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2\), जो अपरिमेय है।/The claim is incorrect; rationalising the denominator gives \(\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2\), which is irrational.
Explanation
Simple Explanation
हर को \(\sqrt{5}-2\) से गुणा करने पर हर \(5-4=1\) बनता है, अतः मान \(\sqrt{5}-2\) है। अपरिमेय और परिमेय का अंतर अपरिमेय होता है। परीक्षा में हर का परिमेयकरण करें। / Multiplying by \(\sqrt{5}-2\) makes the denominator \(5-4=1\), so the value is \(\sqrt{5}-2\). The difference of an irrational and a rational number is irrational. Exam tip: rationalise the denominator first.
क्योंकि (6<6.5<7), इसलिए \(\sqrt{6.5}\) दोनों के बीच होगा। धनात्मक वर्गमूलों में अंदर की संख्या से तुलना करें। / Since (6<6.5<7), \(\sqrt{6.5}\) lies between them. For positive square roots compare the numbers inside.
मान लीजिए कि p और q परिमेय संख्याएँ हैं तथा q ≠ 0 है। यदि कोई विद्यार्थी दावा करे कि \(\frac{p+\sqrt{2}}{q}\) परिमेय है, तो उसके दावे से कौन-सा निष्कर्ष निकलेगा?
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय होगी/\(\sqrt{2}\) would be rational
Explanation
Simple Explanation
यदि \(\frac{p+\sqrt{2}}{q}=r\) परिमेय हो, तो \(\sqrt{2}=qr-p\) होगा। q, r और p परिमेय हैं, इसलिए दायाँ पक्ष परिमेय होगा, जो \(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: परिमेय संख्याओं के जोड़-घटाव और गुणन पर ध्यान दें। / If \(\frac{p+\sqrt{2}}{q}=r\) is rational, then \(\sqrt{2}=qr-p\). Since p, q and r are rational, the right side is rational, contradicting the irrationality of \(\sqrt{2}\). Exam tip: use closure of rational numbers under multiplication and subtraction.
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए अंश \(\sqrt{5}\) है। भाग देने पर (1) मिलता है। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the numerator is \(\sqrt{5}\). Dividing gives (1).
वर्गमूल का वर्ग अंदर की संख्या देता है। इसलिए \(\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2=2+\sqrt{3}\) है। / The square of a square root gives the number inside. So \(\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2=2+\sqrt{3}\).
\(0.101001000100001\ldots\) में 1 के बीच शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती है, इसलिए कोई आवर्ती खंड नहीं बनता। इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है, अतः यह अपरिमेय है। \(0.\overline{27}\) आवर्ती होने से परिमेय है। परीक्षा टिप: अनंत-अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / In \(0.101001000100001\ldots\), the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no repeating block is formed. Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating; hence it is irrational. \(0.\overline{27}\) is rational because it repeats. Exam tip: non-terminating, non-repeating decimals are irrational.
यदि \(x+r\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय \(r\) घटाने पर \(x\) भी परिमेय हो जाता, जो विरोधाभास है। इसलिए \(x+r\) अपरिमेय है। ध्यान रखें: \(r=0\) होने पर \(xr=0\) परिमेय है। / If \(x+r\) were rational, subtracting the rational number \(r\) would make \(x\) rational, a contradiction. Hence \(x+r\) is irrational. Exam tip: for \(r=0\), \(xr=0\), so a product is not always irrational.
यह \(a^2-b^2\) रूप है, इसलिए मान (8-18=-10) है। संयुग्मी गुणन में सीधे वर्गों का अंतर लें। / This is the \(a^2-b^2\) form, so the value is (8-18=-10). In conjugate multiplication take the difference of squares directly.
A. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}\)/\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), जो परिमेय है; इसलिए A प्रतिवाद है। B का गुणनफल \(\sqrt{6}\) अपरिमेय रहता है। परीक्षा में मूलों को पहले एक वर्गमूल में मिलाएँ। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), which is rational, so A disproves the claim. In B, the product is \(\sqrt{6}\), still irrational. Exam tip: combine radicals before deciding the type of number.
