प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=8256\) से \(n=128\) मिलता है। अतः \(S_{n+5}-S_n\) अगली पाँच संख्याओं \(129,130,131,132,133\) का योग है, जो \(655\) है। \(645\) जैसा विकल्प केवल गलत प्रारम्भिक पद लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) ज्ञात करें, फिर योग में शामिल होने वाले अगले पद लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=8256\), we get \(n=128\). Therefore, \(S_{n+5}-S_n\) is the sum of the next five numbers: \(129+130+131+132+133=655\). A value such as 645 results from choosing an incorrect starting term. Exam tip: first find \(n\), then list the terms added beyond \(S_n\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=1081\) से \(n=46\) मिलता है। इसलिए \(S_{n+4}-S_n\) अगले चार पदों का योग है: \(47+48+49+50=194\)। 198 निकट का विकल्प है, पर वह इन चार क्रमागत संख्याओं का सही योग नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_{n+k}-S_n\) को हमेशा \(n+1\) से \(n+k\) तक के पदों के योग के रूप में लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=1081\), we get \(n=46\). Hence, \(S_{n+4}-S_n\) is the sum of the next four terms: \(47+48+49+50=194\). Although 198 is close, it is not the correct sum of these four consecutive numbers. Exam tip: Rewrite \(S_{n+k}-S_n\) as the sum of terms from \(n+1\) to \(n+k\).
\(a_{n+1}=3(n+1)^2+5(n+1)\) होगा। अतः \(a_{n+1}=3n^2+11n+8\), इसलिए \(a_{n+1}-a_n=(3n^2+11n+8)-(3n^2+5n)=6n+8\)। विकल्प \(6n+6\) में स्थिर पद की गणना गलत है। परीक्षा टिप: \(n+1\) रखने के बाद पूरे व्यंजक का विस्तार करके ही घटाएँ। / Here, \(a_{n+1}=3(n+1)^2+5(n+1)=3n^2+11n+8\). Therefore, \(a_{n+1}-a_n=(3n^2+11n+8)-(3n^2+5n)=6n+8\). The option \(6n+6\) results from an incorrect calculation of the constant term. Exam tip: Substitute \(n+1\), expand every bracket, and then subtract \(a_n\).
दिया है \(a_n=6n^2-5n+2\)। \(n\) के स्थान पर \(n+1\) रखने पर \(a_{n+1}=6(n+1)^2-5(n+1)+2=6n^2+7n+3\) मिलता है। अतः \(a_{n+1}-a_n=(6n^2+7n+3)-(6n^2-5n+2)=12n+1\)। इसलिए विकल्प B सही है। \(12n-5\) में स्थिर पद घटाने के दौरान त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले \((n+1)^2\) को \(n^2+2n+1\) लिखकर ही सरल करें। / Given \(a_n=6n^2-5n+2\), substitute \(n+1\) for \(n\): \(a_{n+1}=6(n+1)^2-5(n+1)+2=6n^2+7n+3\). Hence, \(a_{n+1}-a_n=(6n^2+7n+3)-(6n^2-5n+2)=12n+1\). Therefore, option B is correct. \(12n-5\) can result from an error while subtracting the constant terms. Exam tip: expand \((n+1)^2\) as \(n^2+2n+1\) before simplifying.
दिया है \(a_n=4n^2+n\)। अतः \(a_{n+1}=4(n+1)^2+(n+1)\)। इसलिए \(a_{n+1}-a_n=4[(n+1)^2-n^2]+1=4(2n+1)+1=8n+5\)। इसलिए सही विकल्प \(8n+5\) है। \(8n+3\) जैसा विकल्प स्थिर पद का विस्तार करते समय गलती करने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) निकालते समय \(n\) के प्रत्येक स्थान पर \(n+1\) रखें। / Given \(a_n=4n^2+n\), we have \(a_{n+1}=4(n+1)^2+(n+1)\). Hence, \(a_{n+1}-a_n=4[(n+1)^2-n^2]+1=4(2n+1)+1=8n+5\). Therefore, \(8n+5\) is correct. A result such as \(8n+3\) can arise from an error in expanding the constant terms. Exam tip: while finding \(a_{n+1}\), replace every occurrence of \(n\) with \(n+1\).
दिया है \(a_n=n^2\)। पिछले पद के लिए \(a_{n-1}=(n-1)^2\) होगा। अतः \(a_n-a_{n-1}=n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=2n-1\)। \(2n+1\) अक्सर \((n+1)^2-n^2\) निकालने पर मिलता है, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(a_{n-1}\) ज्ञात करते समय हर जगह \(n\) के स्थान पर \(n-1\) रखें। / Given \(a_n=n^2\), the previous term is \(a_{n-1}=(n-1)^2\). Therefore, \(a_n-a_{n-1}=n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=2n-1\). The expression \(2n+1\) is obtained from \((n+1)^2-n^2\), so it is not correct here. Exam tip: To find \(a_{n-1}\), replace every \(n\) by \(n-1\).
