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पहला पद (14) और अंतर (8) है इसलिए (a_n=14+(n-1)8=8n+6)। समान्तर श्रेणी में (n-1) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (14) and the difference is (8), so (a_n=14+(n-1)8=8n+6). In an arithmetic sequence, (n-1) differences are added.
यहाँ n के स्थान पर 6 रखने पर: \(a_6=5(6)^2-4(6)+3=5\times36-24+3=159\)। इसलिए सही उत्तर 159 है। 153 प्राप्त हो सकता है यदि गणना में स्थिर पद 3 को छोड़ दिया जाए। परीक्षा में पहले घात वाले पद का मान निकालें, फिर गुणा और जोड़-घटाव करें। / Substitute \(n=6\): \(a_6=5(6)^2-4(6)+3=5\times36-24+3=159\). Hence, the correct value is 159. The value 153 may result from omitting the constant term 3. Exam tip: evaluate the power first, then perform multiplication and addition/subtraction.
(6d=36) से (d=6) और \(a_1=3\), इसलिए \(a_n=6n-3\)। दो पद दिए हों तो पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (6d=36), (d=6) and \(a_1=3\), so \(a_n=6n-3\). When two terms are given, find the common difference first.
दिए गए पद \(2n^2+5n\) से मिलते हैं। द्विघात पैटर्न में पहले तीन पदों पर विकल्प जांचें। / The given terms match \(2n^2+5n\). In a quadratic pattern, test the options on the first three terms.
(n=2k+3) रखने पर (a_{2k+3}=9(2k+3)-11=18k+16)। सूचकांक का पूरा व्यंजक प्रतिस्थापित करें। / Putting (n=2k+3), (a_{2k+3}=9(2k+3)-11=18k+16). Substitute the whole expression used as the index.
यह गुणोत्तर श्रेणी है और \(a_7=4\cdot5^6=62500\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) होती है। / This is a geometric sequence and \(a_7=4\cdot5^6=62500\). In a geometric sequence, the exponent is (n-1).
दिया है कि \(a_n=n^2+7n-8\)। अतः \(a_9=9^2+7(9)-8=81+63-8=136\) तथा \(a_4=4^2+7(4)-8=16+28-8=36\)। इसलिए \(a_9-a_4=136-36=100\)। विकल्प 104 तब मिल सकता है जब किसी पद के स्थान पर गलत मान रख दिया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें, फिर उनका अंतर लें। / Given \(a_n=n^2+7n-8\), \(a_9=9^2+7(9)-8=81+63-8=136\) and \(a_4=4^2+7(4)-8=16+28-8=36\). Hence, \(a_9-a_4=136-36=100\). A value such as 104 can result from substituting an incorrect value for one of the terms. Exam tip: calculate each required term separately before finding their difference.
क्रमागत अंतर \(8,12,16,20\) हैं और इनके दूसरे अंतर सभी \(4\) हैं। इसलिए पद का रूप द्विघात होगा। \(a_n=2n^2+2n-1\) रखने पर \(n=1,2,3\) के लिए क्रमशः \(3,11,23\) प्राप्त होते हैं, अतः यही सही पद है। विकल्प \(2n^2+n\) पहला पद तो 3 देता है, लेकिन \(n=2\) पर 10 देता है, 11 नहीं। परीक्षा टिप: समान दूसरे अंतर होने पर \(an^2+bn+c\) का रूप जाँचें। / The successive differences are \(8,12,16,20\), and their second differences are all \(4\). Hence, the nth term has a quadratic form. Substituting \(n=1,2,3\) in \(a_n=2n^2+2n-1\) gives \(3,11,23\), so this is the correct rule. The close distractor \(2n^2+n\) gives the first term as 3 but gives 10, not 11, when \(n=2\). Exam tip: equal second differences usually indicate a rule of the form \(an^2+bn+c\).
दिया है कि \(a_n=26-5n\)। \(a_n=-34\) रखने पर \(26-5n=-34\) मिलता है। अतः \(-5n=-60\), इसलिए \(n=12\)। इसलिए 12वाँ पद \(-34\) है। 11वाँ पद \(-29\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या वाले समीकरण में दोनों पक्षों से संख्या घटाते समय चिन्हों पर विशेष ध्यान दें। / Given \(a_n=26-5n\). Put \(a_n=-34\): \(26-5n=-34\). Thus, \(-5n=-60\), so \(n=12\). Therefore, the 12th term is \(-34\). The 11th term is \(-29\), so it is not correct. Exam tip: when solving equations involving negative numbers, track the signs carefully.
पद \(n^2+5n\) से मिलते हैं क्योंकि (n=1) पर (6) और (n=2) पर (14) आता है। विकल्पों को शुरुआती पदों पर जांचें। / The terms match \(n^2+5n\), giving (6) for (n=1) and (14) for (n=2). Test options on the starting terms.
(n=8) पर ((-1)9=-1) और (4(8)+1=33), इसलिए \(a_8=-33\)। वैकल्पिक चिन्ह में घात की सम-विषम स्थिति देखें। / For (n=8), ((-1)9=-1) and (4(8)+1=33), so \(a_8=-33\). In alternating signs, check whether the exponent is even or odd.
\(a_7=a_1+6d\) से \(a_1=2\), इसलिए (a_n=2+(n-1)6=6n-4)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_7=a_1+6d\), \(a_1=2\), so (a_n=2+(n-1)6=6n-4). Finding the first term from a middle term is useful.
पद \(8+2,16+2,32+2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^{n+2}+2\)। घातीय पैटर्न में शुरुआती घात पहचानें। / The terms are \(8+2,16+2,32+2,\ldots\), so \(a_n=2^{n+2}+2\). In exponential patterns, identify the starting power.
हर पद में \(\frac{7}{4}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{7n}{4}\)। भिन्नों में समान हर बनाकर पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{7}{4}\), so \(a_n=\frac{7n}{4}\). Use a common denominator to see the pattern in fractions.
दिए गए पद \(3n^2+1\) से मिलते हैं। दूसरे अंतर (6) होने पर \(n^2\) का गुणांक (3) होता है। / The given terms match \(3n^2+1\). When the second difference is (6), the coefficient of \(n^2\) is (3).
दिया है \(a_n=6n^2-5n+2\)। \(n\) के स्थान पर \(n+1\) रखने पर \(a_{n+1}=6(n+1)^2-5(n+1)+2=6n^2+7n+3\) मिलता है। अतः \(a_{n+1}-a_n=(6n^2+7n+3)-(6n^2-5n+2)=12n+1\)। इसलिए विकल्प B सही है। \(12n-5\) में स्थिर पद घटाने के दौरान त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले \((n+1)^2\) को \(n^2+2n+1\) लिखकर ही सरल करें। / Given \(a_n=6n^2-5n+2\), substitute \(n+1\) for \(n\): \(a_{n+1}=6(n+1)^2-5(n+1)+2=6n^2+7n+3\). Hence, \(a_{n+1}-a_n=(6n^2+7n+3)-(6n^2-5n+2)=12n+1\). Therefore, option B is correct. \(12n-5\) can result from an error while subtracting the constant terms. Exam tip: expand \((n+1)^2\) as \(n^2+2n+1\) before simplifying.
दिया है: \(a_n=n^3+2n\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=5^3+2(5)=125+10=135\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 135 है। 130 तब मिलता है जब \(5^3\) में रैखिक पद \(2n\) को गलत जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: \(n\) का मान रखने के बाद घात और गुणा पहले करें। / Given \(a_n=n^3+2n\), substitute \(n=5\): \(a_5=5^3+2(5)=125+10=135\). Hence, 135 is correct. A value such as 130 results from an incorrect evaluation of the linear term \(2n\). Exam tip: after substituting the value of \(n\), evaluate powers and multiplication before addition.
पहला पद (31) और अंतर (-5) है इसलिए (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n)। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक लें। / The first term is (31) and the difference is (-5), so (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n). Use a negative difference in a decreasing sequence.
दिया है कि \(a_n=3^n+2n\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=3^4+2(4)=81+8=89\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 89 है। 87 प्राप्त हो सकता है यदि \(2n\) का मान गलती से 6 लिया जाए। परीक्षा टिप: पद संख्या को घात और अन्य सभी \(n\) वाले पदों में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=3^n+2n\), substitute \(n=4\): \(a_4=3^4+2(4)=81+8=89\). Hence, 89 is the correct answer. The value 87 may result from incorrectly taking \(2n\) as 6. Exam tip: Substitute the term number carefully in every part containing \(n\).
क्रमागत पदों के अंतर 12, 14, 16, 18 हैं और इनके अंतर 2 हैं, इसलिए nवां पद द्विघात रूप में होगा। \(a_n=n^2+9n+5\) रखने पर \(a_1=15\), \(a_2=27\), \(a_3=41\) मिलते हैं। अतः सही विकल्प \(n^2+9n+5\) है। विकल्प \(n^2+8n+6\) के लिए \(n=1\) रखने पर 15 तो मिलता है, पर \(n=2\) पर 26 मिलता है, जो गलत है। परीक्षा टिप: द्विघात श्रेणी में पहले और दूसरे अंतर अवश्य जाँचें। / The consecutive differences are 12, 14, 16, and 18; their second differences are 2, so the nth term is quadratic. For \(a_n=n^2+9n+5\), we get \(a_1=15\), \(a_2=27\), and \(a_3=41\). Hence, \(n^2+9n+5\) is correct. The close distractor \(n^2+8n+6\) gives 15 at \(n=1\), but gives 26 at \(n=2\), not 27. Exam tip: for a quadratic sequence, check both first and second differences.
दिया है कि \(a_n=11n-17\)। 159वाँ मान पाने के लिए \(11n-17=159\) लिखते हैं। अतः \(11n=176\), इसलिए \(n=16\)। इसलिए 159, श्रेणी का 16वाँ पद है। 15वें पद के लिए मान \(148\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए \(a_n\) के स्थान पर दिया गया मान रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=11n-17\), set the term equal to 159: \(11n-17=159\). Thus, \(11n=176\), so \(n=16\). Therefore, 159 is the 16th term of the sequence. The 15th term is \(148\), so it is not correct. Exam tip: To find a term number, substitute the given term value for \(a_n\) and solve for \(n\).
हर पद में \(\frac{9}{5}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{9n}{5}\)। समान हर वाले भिन्नों में अंश का पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{9}{5}\), so \(a_n=\frac{9n}{5}\). In fractions with a common denominator, observe the numerator pattern.
दिया है: \(a_n=2n^2+3n-4\)। अतः \(a_8=2(8)^2+3(8)-4=128+24-4=148\) और \(a_5=2(5)^2+3(5)-4=50+15-4=61\)। इसलिए \(a_8-a_5=148-61=87\)। विकल्प 84 निकट लग सकता है, पर वह पदों का सही मान निकालकर घटाने पर प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर निकालें, फिर अंतर लें। / Given \(a_n=2n^2+3n-4\), \(a_8=2(8)^2+3(8)-4=128+24-4=148\) and \(a_5=2(5)^2+3(5)-4=50+15-4=61\). Therefore, \(a_8-a_5=148-61=87\). Option 84 may seem close, but it does not result from evaluating both terms correctly. Exam tip: calculate each required term separately before finding their difference.
पद \(3\cdot1^2,3\cdot2^2,3\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=3n^2\)। गुणांक वाले वर्ग पैटर्न को पहचानें। / The terms are \(3\cdot1^2,3\cdot2^2,3\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=3n^2\). Recognize the square pattern with its coefficient.
दिया है कि \(a_n=17-4n\)। अतः \(a_5=17-4(5)=-3\) तथा \(a_{11}=17-4(11)=-27\)। इसलिए \(a_5+a_{11}=-3+(-27)=-30\)। \(-28\) तब मिलता यदि ऋणात्मक पदों के योग में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पद अलग-अलग निकालें, फिर उनके चिह्नों सहित जोड़ें। / Given \(a_n=17-4n\), \(a_5=17-4(5)=-3\) and \(a_{11}=17-4(11)=-27\). Therefore, \(a_5+a_{11}=-3+(-27)=-30\). A value such as \(-28\) can result from an error while adding the negative terms. Exam tip: find each required term separately and then add them with their signs.
पद \(3^3,4^3,5^3,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(n+2)3)। घन श्रेणी में शुरुआती आधार देखें। / The terms are \(3^3,4^3,5^3,\ldots\), so (a_n=(n+2)3). In cube sequences, observe the starting base.
सूचकांक (5) बढ़ा है और सामान्य अंतर (8) है इसलिए अंतर (40) होगा। रैखिक नियम में (n) का गुणांक सामान्य अंतर देता है। / The index increases by (5) and the common difference is (8), so the difference is (40). In a linear rule, the coefficient of (n) gives the common difference.
हर बार गुणन (3) हो रहा है इसलिए \(a_n=5\cdot3^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद अलग रहता है। / Each term is multiplied by (3), so \(a_n=5\cdot3^{n-1}\). In a geometric sequence, the first term stays separate.
दिया है \(a_n=4n^2+n-6\)। अतः \(a_{n+2}=4(n+2)^2+(n+2)-6=4n^2+17n+12\)। इसलिए \(a_{n+2}-a_n=(4n^2+17n+12)-(4n^2+n-6)=16n+18\)। विकल्प B में \(n+2\) रखने के बाद स्थिर पद का सही विस्तार नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(n\) के स्थान पर पूरा \(n+2\) लिखें, फिर कोष्ठक खोलें। / Given \(a_n=4n^2+n-6\), substitute \(n+2\) for \(n\): \(a_{n+2}=4(n+2)^2+(n+2)-6=4n^2+17n+12\). Hence, \(a_{n+2}-a_n=(4n^2+17n+12)-(4n^2+n-6)=16n+18\). Option B results from an incorrect expansion or simplification of the constant terms. Exam tip: replace every occurrence of \(n\) with \(n+2\) before expanding the expression.
(9d=63) से (d=7), इसलिए \(a_{23}=95+9\cdot7=158\)। निकट दिए गए पद से दूर का पद निकालना आसान है। / From (9d=63), (d=7), so \(a_{23}=95+9\cdot7=158\). It is easier to find a distant term from a nearby given term.
क्रमागत पदों के अंतर \(6,10,14,18\) हैं और इनके अंतर \(4\) स्थिर हैं। अतः श्रेणी का \(n\)वां पद द्विघात रूप का होगा। विकल्प \(2n^2-1\) में \(n=1,2,3\) रखने पर क्रमशः \(1,7,17\) मिलते हैं; इसलिए सही पद \(2n^2-1\) है। निकटतम विकल्प \(2n^2+n-2\) में \(n=2\) रखने पर \(8\) मिलता है, जो दिए गए दूसरे पद \(7\) से भिन्न है। परीक्षा टिप: द्वितीय अंतर स्थिर हो तो \(n\)वां पद सामान्यतः द्विघात होता है। / The consecutive differences are \(6,10,14,18\), and their second differences are constantly \(4\). Hence, the nth term is quadratic in \(n\). Substituting \(n=1,2,3\) in \(2n^2-1\) gives \(1,7,17\), respectively, so it matches the sequence. The close distractor \(2n^2+n-2\) gives \(8\) when \(n=2\), not the required second term \(7\). Exam tip: a constant second difference usually indicates a quadratic nth-term rule.
दिया है \(a_n=6n-8\)। \(a_{3n-2}\) ज्ञात करने के लिए सूचकांक \(n\) के स्थान पर पूरा व्यंजक \(3n-2\) रखेंगे: \(a_{3n-2}=6(3n-2)-8=18n-12-8=18n-20\)। इसलिए सही उत्तर \(18n-20\) है। \(18n-12\) में अंतिम \(-8\) घटाना छूट गया है। परीक्षा टिप: मिश्रित सूचकांक रखने पर उसे हमेशा कोष्ठक में लिखें। / Given \(a_n=6n-8\), substitute the entire index \(3n-2\) for \(n\): \(a_{3n-2}=6(3n-2)-8=18n-12-8=18n-20\). Hence, \(18n-20\) is correct. The option \(18n-12\) results from forgetting to subtract the final 8. Exam tip: always enclose a compound index in brackets before simplifying.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=19\) और सार्वांतर \(d=12\) है। \(n\)वां पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(19+(n-1)\times12=151\) से \((n-1)\times12=132\), इसलिए \(n-1=11\) और \(n=12\)। इसलिए 151, 12वां पद है। 13वां पद लेने पर मान 163 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करते समय सूत्र में \(n-1\) अवश्य रखें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=19\) and common difference \(d=12\). Its \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(19+(n-1)\times12=151\), so \((n-1)\times12=132\), giving \(n-1=11\) and \(n=12\). Hence, 151 is the 12th term. The 13th term would be 163, so it is not correct. Exam tip: while finding a term number, use \(n-1\) correctly in the AP formula.
सूत्र \(a_n=\frac{n(n+5)}{3}\) में \(n=12\) रखने पर \(a_{12}=\frac{12(12+5)}{3}=\frac{12\times17}{3}=4\times17=68\) मिलता है। अतः सही उत्तर 68 है। 66 एक संभावित त्रुटि है, जो \(12+5\) का गलत योग लेने पर मिल सकती है। परीक्षा में पहले \(n\) का मान रखें और फिर गुणा-भाग को क्रम से सरल करें। / Substitute \(n=12\) into \(a_n=\frac{n(n+5)}{3}\): \(a_{12}=\frac{12(12+5)}{3}=\frac{12\times17}{3}=4\times17=68\). Hence, 68 is correct. The distractor 66 can result from incorrectly adding \(12+5\). In an exam, substitute the term number first and then simplify systematically.
दूसरे अंतर (6) हैं और \(3n^2+4n+1\) सभी शुरुआती पद देता है। द्विघात श्रेणी में विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचें। / The second differences are (6), and \(3n^2+4n+1\) gives all starting terms. In a quadratic sequence, test options on the first three terms.
\(n=5\) रखने पर \(a_5=7\cdot2^{5-1}-3=7\cdot2^4-3=7\cdot16-3=112-3=109\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 109 है। 111 विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम \(-3\) को घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: घातांक वाले व्यंजक में पहले \(n-1\) निकालें, फिर घात का मान ज्ञात करें। / Substituting \(n=5\) gives \(a_5=7\cdot2^{5-1}-3=7\cdot2^4-3=7\cdot16-3=112-3=109\). Hence, 109 is correct. Option 111 may result from forgetting to subtract 3 at the end. Exam tip: in expressions with exponents, calculate \(n-1\) first and then evaluate the power.
विषम (n) पर पद धनात्मक और सम (n) पर ऋणात्मक है, इसलिए (a_n=3(-1)^{n+1}n)। वैकल्पिक चिन्ह में पहले (n=1) पर जांचें। / For odd (n), terms are positive and for even (n), terms are negative, so (a_n=3(-1)^{n+1}n). In alternating signs, test first at (n=1).
131 किस पद का मान है, इसके लिए \(a_n=131\) रखें: \(n^2+10=131\)। अतः \(n^2=121\), इसलिए \(n=11\)। पद संख्या धनात्मक पूर्णांक होती है, इसलिए 131 अनुक्रम का 11वाँ पद है। 12वाँ पद \(12^2+10=154\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n\) को दिए गए मान के बराबर रखें। / To find which term has value 131, set \(a_n=131\): \(n^2+10=131\). Thus, \(n^2=121\), so \(n=11\). Since a term number is a positive integer, 131 is the 11th term of the sequence. The 12th term is \(12^2+10=154\), so it is not correct. Exam tip: To find the position of a given term, equate \(a_n\) to the given value first.
हर पद आधा हो रहा है इसलिए \(a_n=24\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) से शुरू होती है। / Each term is halved, so \(a_n=24\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). In a geometric sequence, the exponent starts with (n-1).
दिया है
\(a_n=4n^2-9n+7\)। अतः \(a_{10}=4(10)^2-9(10)+7=317\) तथा \(a_3=4(3)^2-9(3)+7=16\)। इसलिए \(a_{10}-a_3=317-16=301\)। विकल्प 299 जैसे निकट मान प्रायः \(a_3\) या घटाव में गणना-त्रुटि से मिलते हैं। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों में \(n\) का मान अलग-अलग रखें, फिर अंतर निकालें। / Given \(a_n=4n^2-9n+7\), \(a_{10}=4(10)^2-9(10)+7=317\) and \(a_3=4(3)^2-9(3)+7=16\). Therefore, \(a_{10}-a_3=317-16=301\). A nearby value such as 299 can result from an error while evaluating \(a_3\) or subtracting. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately before finding the difference.
पहला पद (18) और अंतर (17) है, इसलिए \(a_{25}=18+24\cdot17=426\)। (25)वें पद में (24) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (18) and the difference is (17), so \(a_{25}=18+24\cdot17=426\). The (25)th term includes (24) differences.
दिया है कि \(a_n=3n^2+4n\)। अतः \(a_7=3(7)^2+4(7)=147+28=175\) और \(a_4=3(4)^2+4(4)=48+16=64\)। इसलिए \(a_7-a_4=175-64=111\)। विकल्प 108 जैसी त्रुटि प्रायः \(7^2\) या \(4^2\) की गणना में गलती से होती है। परीक्षा टिप: पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें, फिर उनका अंतर लें। / Given \(a_n=3n^2+4n\), \(a_7=3(7)^2+4(7)=147+28=175\) and \(a_4=3(4)^2+4(4)=48+16=64\). Therefore, \(a_7-a_4=175-64=111\). An answer such as 108 can result from an error while evaluating \(7^2\) or \(4^2\). Exam tip: calculate the two terms separately before subtracting.
पद \(6\cdot1^2,6\cdot2^2,6\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=6n^2\)। वर्ग पैटर्न के गुणांक को पहचानें। / The terms are \(6\cdot1^2,6\cdot2^2,6\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=6n^2\). Identify the coefficient of the square pattern.
दिया है कि \(a_n=40-7n\)। जब \(a_n=5\) हो, तब \(40-7n=5\)। अतः \(7n=35\), इसलिए \(n=5\)। इसलिए 5 पाँचवाँ पद है। निकटतम विकल्प चौथा पद गलत है, क्योंकि \(a_4=40-28=12\), 5 नहीं। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए दिए गए \(a_n\) के मान को सूत्र में रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=40-7n\). For \(a_n=5\), set \(40-7n=5\). Thus, \(7n=35\), so \(n=5\). Hence, 5 is the 5th term. The closest distractor, the 4th term, is incorrect because \(a_4=40-28=12\), not 5. Exam tip: To find the position of a specified term, substitute its value in the formula for \(a_n\) and solve for \(n\).
दूसरे अंतर (6) हैं और \(3n^2+7n+2\) शुरुआती पद देता है। द्विघात नियम में दूसरे अंतर का आधा \(n^2\) का गुणांक होता है। / The second differences are (6), and \(3n^2+7n+2\) gives the starting terms. In a quadratic rule, half of the second difference is the coefficient of \(n^2\).
दिया है \(a_n=5n+14\)। यहाँ सूचकांक \(n\) के स्थान पर पूरा व्यंजक \(4p+2\) रखें: \(a_{4p+2}=5(4p+2)+14=20p+10+14=20p+24\)। अतः सही विकल्प \(20p+24\) है। \(20p+14\) में \(5\times2=10\) पद जोड़ना छूट गया है। परीक्षा टिप: सूचकांक में कोई व्यंजक हो, तो उसे \(n\) के स्थान पर कोष्ठक सहित प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=5n+14\), substitute the complete index \(4p+2\) for \(n\): \(a_{4p+2}=5(4p+2)+14=20p+10+14=20p+24\). Therefore, \(20p+24\) is correct. The option \(20p+14\) misses the contribution \(5\times2=10\). Exam tip: when an index is an expression, substitute the entire expression in brackets for \(n\).
पद \(2+3,4+3,8+3,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^n+3\)। घातीय पैटर्न में स्थिर जोड़ को पहचानें। / The terms are \(2+3,4+3,8+3,\ldots\), so \(a_n=2^n+3\). In exponential patterns, identify the constant addition.
दिया है कि \(a_n=n(n+4)\)। 77 के लिए \(n(n+4)=77\), अर्थात \(n^2+4n-77=0\)। इसे गुणनखंडित करने पर \((n-7)(n+11)=0\) मिलता है। पद संख्या धनात्मक होती है, इसलिए \(n=7\)। अतः 77, 7वाँ पद है। \(n=-11\) गणितीय मूल है, पर वह पद संख्या नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: पद संख्या वाले प्रश्नों में केवल धनात्मक पूर्णांक मान ही स्वीकार करें। / Given \(a_n=n(n+4)\), set \(n(n+4)=77\). This gives \(n^2+4n-77=0\), or \((n-7)(n+11)=0\). Since a term number must be positive, \(n=7\). Therefore, 77 is the 7th term. Although \(n=-11\) is an algebraic root, it cannot be a term number. Exam tip: for sequence indices, accept only positive integer values.
\(a_n=12n-7\) में (n) का गुणांक (12) है, इसलिए सामान्य अंतर (12) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=12n-7\), the coefficient of (n) is (12), so the common difference is (12). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
हर पद \(\frac{1}{3}\) गुना हो रहा है इसलिए \(a_n=81\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\)। पहले पद को सुरक्षित रखकर (n-1) घात लगाएं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so \(a_n=81\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). Keep the first term fixed and use exponent (n-1).
