Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहला पद (9) और अंतर (7) है इसलिए (a_n=9+(n-1)7=7n+2)। समान्तर श्रेणी में (n-1) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (9) and the difference is (7), so (a_n=9+(n-1)7=7n+2). In an arithmetic sequence, (n-1) differences are added.
सातवाँ पद ज्ञात करने के लिए n=7 रखें: a_7=4(7)2-3(7)+2=4×49-21+2=196-21+2=177। अतः सही उत्तर 177 है। 181 प्राप्त करने में प्रायः घटाव या जोड़ में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजक में पहले घात का मान निकालें, फिर गुणा तथा जोड़-घटाव करें। / To find the seventh term, substitute n=7: a_7=4(7)2-3(7)+2=4×49-21+2=196-21+2=177. Therefore, 177 is the correct answer. A value such as 181 usually results from an error in subtraction or addition. Exam tip: evaluate the power first, then perform multiplication and addition/subtraction.
(6d=36) से (d=6) और \(a_1=4\), इसलिए \(a_n=6n-2\)। दो पद दिए हों तो पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (6d=36), (d=6) and \(a_1=4\), so \(a_n=6n-2\). When two terms are given, find the common difference first.
दिए गए पद \(n^2+2n+2\) से मिलते हैं। द्विघात पैटर्न में पहले कुछ पदों पर विकल्प जांचें। / The given terms match \(n^2+2n+2\). In a quadratic pattern, test the options using the first few terms.
दिया है \(a_n=7n-4\)। \(a_{3m}\) ज्ञात करने के लिए सूत्र में \(n\) के स्थान पर \(3m\) रखें: \(a_{3m}=7(3m)-4=21m-4\)। इसलिए सही उत्तर \(21m-4\) है। \(21m-12\) तब मिलता यदि \(-4\) को भी 3 से गुणा कर दिया जाता, जो गलत है। परीक्षा टिप: सूचकांक बदलने पर केवल \(n\) के स्थान पर नया मान रखें; स्थिर पद को बिना कारण न बदलें। / Given \(a_n=7n-4\), substitute \(3m\) for \(n\): \(a_{3m}=7(3m)-4=21m-4\). Hence, the correct answer is \(21m-4\). The expression \(21m-12\) incorrectly multiplies the constant \(-4\) by 3. Exam tip: when the index changes, replace only \(n\) throughout the formula and do not alter a constant term unnecessarily.
यह गुणोत्तर श्रेणी है और \(a_8=3\cdot3^7=3^8=6561\)। घात की गणना में पद संख्या ध्यान से रखें। / This is a geometric sequence and \(a_8=3\cdot3^7=3^8=6561\). Be careful with the term number while using powers.
\(a_3=4\) और \(a_8=34\), इसलिए योग (38) नहीं बल्कि सही गणना (38) है। विकल्पों को देखकर गणना दोबारा जांचें। / \(a_3=4\) and \(a_8=34\), so the correct sum is (38). Recheck calculation if options seem close.
दूसरे अंतर समान (4) हैं और पद \(2n^2+n+1\) से मिलते हैं। दूसरे अंतर से द्विघात नियम का संकेत मिलता है। / The second differences are (4), and the terms match \(2n^2+n+1\). Equal second differences suggest a quadratic rule.
दिया है कि \(a_n=18-4n\)। \(-30\) वाले पद के लिए \(18-4n=-30\) रखें। अतः \(-4n=-48\), इसलिए \(n=12\)। जाँच करने पर \(a_{12}=18-4(12)=18-48=-30\)। इसलिए 12वाँ पद सही है। 13वाँ पद लेने पर मान \(-34\) आता है, \(-30\) नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या वाले समीकरण में दोनों पक्षों पर किए गए संक्रियाओं के चिन्ह ध्यान से बदलें। / Given \(a_n=18-4n\), set the nth term equal to \(-30\): \(18-4n=-30\). Thus, \(-4n=-48\), so \(n=12\). Checking, \(a_{12}=18-4(12)=18-48=-30\). Hence, the 12th term is correct. The 13th term gives \(-34\), not \(-30\). Exam tip: handle signs carefully when solving equations involving negative numbers.
पद \(4n^2-2n\) से मिलते हैं क्योंकि (n=1) पर (2) और (n=2) पर (12) नहीं आता। सही विकल्प जांचकर चुनें। / The terms are generated by \(4n^2-2n\) only if checked carefully against the sequence. Always test more than one term.
(n=5) पर ((-1)6=1) और (3(5)-2=13)। वैकल्पिक चिन्ह में घात की सम-विषम स्थिति देखें। / For (n=5), ((-1)6=1) and (3(5)-2=13). In alternating signs, check whether the exponent is even or odd.
\(a_8=a_1+7d\) से \(a_1=6\), इसलिए (a_n=6+(n-1)5=5n+1)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_8=a_1+7d\), \(a_1=6\), so (a_n=6+(n-1)5=5n+1). Finding the first term from a middle term is useful.
पद \(8-1,16-1,32-1,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^{n+2}-1\)। घातीय पैटर्न में शुरुआती घात पहचानें। / The terms are \(8-1,16-1,32-1,\ldots\), so \(a_n=2^{n+2}-1\). In exponential patterns, identify the starting power.
सूत्र में \(n=11\) रखने पर \(a_{11}=\frac{3(11)+7}{2}=\frac{33+7}{2}=\frac{40}{2}=20\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 20 है। 21 निकट का विकल्प है, पर वह सही गणना से नहीं मिलता। परीक्षा टिप: \(n\) का मान रखने के बाद पहले अंश को सरल करें और फिर 2 से भाग दें। / Substituting \(n=11\) gives \(a_{11}=\frac{3(11)+7}{2}=\frac{33+7}{2}=\frac{40}{2}=20\). Hence, the correct answer is 20. Although 21 is a close distractor, it does not result from the correct calculation. Exam tip: After substituting the value of \(n\), simplify the numerator first and then divide by 2.
क्रमागत पदों के अंतर \(5,9,13,17\) हैं, जिनके अंतर \(4\) हैं। अतः पदों का सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=n(2n-1)=2n^2-n\) रखने पर \(a_1=1\), \(a_2=6\), \(a_3=15\), \(a_4=28\) और \(a_5=45\) मिलते हैं। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प C में \(n=1\) रखने पर \(3\) मिलता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: द्वितीय अंतर स्थिर हो तो सामान्य पद प्रायः \(n\) का द्विघात व्यंजक होता है। / The successive differences are \(5,9,13,17\), and their differences are constantly \(4\). Hence the nth term should be a quadratic expression in \(n\). With \(a_n=n(2n-1)=2n^2-n\), we get \(a_1=1\), \(a_2=6\), \(a_3=15\), \(a_4=28\), and \(a_5=45\). Therefore, option D is correct. Option C gives \(3\) when \(n=1\), so it cannot represent the sequence. Exam tip: a constant second difference usually indicates a quadratic nth-term formula.
दिया है \(a_n=5n^2-2n+1\)। \(n\) के स्थान पर \(n+1\) रखने पर \(a_{n+1}=5(n+1)^2-2(n+1)+1=5n^2+8n+4\) मिलता है। अतः \(a_{n+1}-a_n=(5n^2+8n+4)-(5n^2-2n+1)=10n+3\)। विकल्प \(10n-2\) में \((n+1)^2\) का प्रसार करते समय आने वाला \(10n\) पद छूट जाता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(a_{n+1}\) अलग से लिखकर फिर घटाएँ। / Given \(a_n=5n^2-2n+1\), substitute \(n+1\) for \(n\): \(a_{n+1}=5(n+1)^2-2(n+1)+1=5n^2+8n+4\). Therefore, \(a_{n+1}-a_n=(5n^2+8n+4)-(5n^2-2n+1)=10n+3\). The distractor \(10n-2\) results from missing the \(10n\) term produced while expanding \((n+1)^2\). Exam tip: write \(a_{n+1}\) separately before subtracting \(a_n\).
दिया है कि a_n=2n-3+n। n=4 रखने पर a_4=2(4)3+4=2×64+4=132 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 132 है। 128 केवल 2×43 है; उसमें अंतिम +4 जोड़ना छूट जाता है। परीक्षा टिप: n का मान रखने के बाद घात का मान पहले निकालें, फिर गुणा और जोड़ करें। / Given a_n=2n-3+n, substitute n=4: a_4=2(4)3+4=2×64+4=132. Therefore, 132 is the correct option. The value 128 represents only 2×43 and misses the final +4 term. Exam tip: after substituting n, evaluate the power first, then multiply and add.
पहला पद (20) और अंतर (-3) है इसलिए (a_n=20+(n-1)(-3)=23-3n)। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक लें। / The first term is (20) and the difference is (-3), so (a_n=20+(n-1)(-3)=23-3n). Take the difference as negative in a decreasing sequence.
पद \(n^2+5n+4\) से मिलते हैं क्योंकि (n=1) पर (10) और (n=2) पर (18) आता है। विकल्प को पहले दो पदों पर जरूर जांचें। / The terms match \(n^2+5n+4\), giving (10) for (n=1) and (18) for (n=2). Always test the option on the first two terms.
दिया है कि \(a_n=9n-13\) और पद का मान \(122\) है। अतः \(9n-13=122\), इसलिए \(9n=135\) और \(n=15\)। इसलिए \(122\), श्रेणी का 15वाँ पद है। निकटतम विकल्प 14वाँ पद गलत है, क्योंकि \(a_{14}=9(14)-13=113\) होता है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का स्थान ज्ञात करने के लिए \(a_n\) को उस पद के मान के बराबर रखें। / Given \(a_n=9n-13\) and the term value is \(122\), set \(9n-13=122\). Thus, \(9n=135\), so \(n=15\). Hence, \(122\) is the 15th term of the sequence. The close distractor, the 14th term, is incorrect because \(a_{14}=9(14)-13=113\). Exam tip: To find the position of a given term, equate \(a_n\) to that term’s value.
हर पद में \(\frac{5}{3}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{5n}{3}\)। भिन्नों को समान हर में देखकर पैटर्न पहचानें। / Each term increases by \(\frac{5}{3}\), so \(a_n=\frac{5n}{3}\). Identify the pattern by using a common denominator.
दिया है \(a_n=n^2+4n-6\)। अतः \(a_{10}=10^2+4(10)-6=134\) और \(a_6=6^2+4(6)-6=54\)। इसलिए \(a_{10}-a_6=134-54=80\)। विकल्प 74, \(a_6\) में \(4\times6\) या घटाव में गणना-त्रुटि होने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें, फिर उनका अंतर लें। / Given \(a_n=n^2+4n-6\), \(a_{10}=10^2+4(10)-6=134\) and \(a_6=6^2+4(6)-6=54\). Therefore, \(a_{10}-a_6=134-54=80\). The value 74 can result from an arithmetic error while evaluating \(a_6\) or subtracting. Exam tip: calculate each required term separately before finding their difference.
पद \(2\cdot1^2,2\cdot2^2,2\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2n^2\)। वर्ग पैटर्न को गुणांक के साथ पहचानें। / The terms are \(2\cdot1^2,2\cdot2^2,2\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=2n^2\). Recognize the square pattern with its coefficient.
\(a_4=-1\) और \(a_9=-16\), इसलिए योग (-17) है। ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते समय चिन्ह ध्यान से रखें। / \(a_4=-1\) and \(a_9=-16\), so the sum is (-17). Keep signs in mind when adding negative numbers.
यह घनों की श्रेणी है और \(512=8^3\), इसलिए यह (8)वां पद है। घन श्रेणी में पद संख्या घनमूल से मिलती है। / This is a cube sequence and \(512=8^3\), so it is the (8)th term. In a cube sequence, the term number matches the cube root.
सूचकांक (4) बढ़ा है और सामान्य अंतर (6) है इसलिए अंतर (24) होगा। रैखिक नियम में गुणांक सामान्य अंतर होता है। / The index increases by (4) and the common difference is (6), so the difference is (24). In a linear rule, the coefficient is the common difference.
हर बार गुणन (4) हो रहा है इसलिए \(a_n=6\cdot4^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद अलग रहता है। / Each term is multiplied by (4), so \(a_n=6\cdot4^{n-1}\). In a geometric sequence, the first term stays separate.
दिया है \(a_n=3n^2+2n-5\)। अतः \(a_{n+2}=3(n+2)^2+2(n+2)-5=3n^2+14n+11\)। इसलिए \(a_{n+2}-a_n=(3n^2+14n+11)-(3n^2+2n-5)=12n+16\)। विकल्प \(12n+20\) में स्थिर पद का घटाव गलत किया गया है। परीक्षा टिप: पहले \(n+2\) को पूरे व्यंजक में रखें, फिर समान पदों को सावधानी से घटाएँ। / Given \(a_n=3n^2+2n-5\), we get \(a_{n+2}=3(n+2)^2+2(n+2)-5=3n^2+14n+11\). Hence, \(a_{n+2}-a_n=(3n^2+14n+11)-(3n^2+2n-5)=12n+16\). The option \(12n+20\) results from an incorrect subtraction of the constant terms. Exam tip: substitute \(n+2\) into every term first, then combine like terms carefully.
(9d=45) से (d=5), इसलिए \(a_{20}=59+8\cdot5=99\)। दूर के पद को निकट दिए पद से निकालना आसान होता है। / From (9d=45), (d=5), so \(a_{20}=59+8\cdot5=99\). It is easier to find a far term from a nearby given term.
पद \(n^2+3n-4\) से मिलते हैं क्योंकि (n=1) पर (0) और (n=2) पर (6) नहीं बल्कि सावधानी से जांचना होगा। सही नियम के लिए सभी शुरुआती पद मिलाएं। / The terms should be matched carefully with the option. Test all starting terms before finalizing the rule.
दिया है \(a_n=4n-7\)। \(a_{2n+1}\) ज्ञात करने के लिए सूत्र में \(n\) के स्थान पर पूरा व्यंजक \(2n+1\) रखें: \(a_{2n+1}=4(2n+1)-7=8n+4-7=8n-3\)। इसलिए सही उत्तर \(8n-3\) है। \(8n-7\) तब मिलता है जब \(+1\) के कारण बनने वाले \(+4\) को छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: सूचकांक में कोई व्यंजक हो तो उसे हमेशा कोष्ठक में रखकर प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=4n-7\), substitute the complete index \(2n+1\) for \(n\): \(a_{2n+1}=4(2n+1)-7=8n+4-7=8n-3\). Hence, the correct answer is \(8n-3\). The option \(8n-7\) results from incorrectly ignoring the \(+4\) produced by the \(+1\) in the index. Exam tip: always place a compound index in brackets before substituting it into a formula.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 14 और सार्वांतर 8 है। इसका nवाँ पद \(a_n=14+(n-1)\times 8\) होगा। \(14+(n-1)\times 8=126\) रखने पर \(n-1=14\), अतः \(n=15\)। इसलिए 126, 15वाँ पद है। 14वाँ पद 118 होगा, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करते समय सूत्र में \(n-1\) अवश्य रखें। / This is an arithmetic progression with first term 14 and common difference 8. Its nth term is \(a_n=14+(n-1)\times 8\). On setting \(14+(n-1)\times 8=126\), we get \(n-1=14\), hence \(n=15\). Therefore, 126 is the 15th term. The 14th term is 118, so it is a close but incorrect option. Exam tip: while finding a term number, be careful to use \(n-1\) in the AP formula.
सूत्र \(a_n=\frac{n(n+3)}{2}\) में \(n=9\) रखने पर \(a_9=\frac{9(9+3)}{2}=\frac{9\times12}{2}=54\) मिलता है। अतः सही उत्तर 54 है। 48 जैसा मान \(9+3\) या गुणा में त्रुटि करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: \(n\) का मान रखने के बाद कोष्ठक के भीतर की गणना पहले करें। / Substitute \(n=9\) in \(a_n=\frac{n(n+3)}{2}\): \(a_9=\frac{9(9+3)}{2}=\frac{9\times12}{2}=54\). Therefore, 54 is correct. A value such as 48 may result from an error in evaluating \(9+3\) or in multiplication. Exam tip: after substituting \(n\), simplify the expression inside brackets first.
क्रमागत अंतर \(7,11,15,19\) हैं, जिनके अंतर \(4\) हैं। इसलिए पदों का नियम द्विघात रूप का होगा। \(a_n=2n^2+n\) रखने पर \(a_1=3\), \(a_2=10\), \(a_3=21\) और \(a_4=36\) मिलता है। विकल्प \(2n^2+n-1\) निकट है, लेकिन उससे पहला पद \(2\) आएगा, \(3\) नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर द्वितीय अंतर होने पर \(n^2\) वाला नियम जाँचें। / The successive differences are \(7,11,15,19\), and their second differences are constant at \(4\). Hence the sequence has a quadratic nth-term rule. With \(a_n=2n^2+n\), we get \(a_1=3\), \(a_2=10\), \(a_3=21\), and \(a_4=36\). The close distractor \(2n^2+n-1\) gives the first term as \(2\), not \(3\). Exam tip: a constant second difference usually indicates an \(n^2\)-based rule.
\(n=6\) रखने पर \(a_6=5\cdot2^{6-1}+1=5\cdot2^5+1=5\cdot32+1=161\)। अतः सही उत्तर 161 है। विकल्प 160 तब मिलता है, जब अंतिम \(+1\) को गलती से छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: पहले घात \(n-1\) में \(n\) का मान रखें, फिर क्रम से गणना करें। / Putting \(n=6\), \(a_6=5\cdot2^{6-1}+1=5\cdot2^5+1=5\cdot32+1=161\). Therefore, 161 is correct. Option 160 would result from incorrectly omitting the final \(+1\). Exam tip: Substitute the value of \(n\) into the exponent \(n-1\) first, then calculate step by step.
विषम (n) पर पद ऋणात्मक और सम (n) पर धनात्मक है, इसलिए (a_n=2(-1)^n n)। वैकल्पिक चिन्ह में पहले (n=1) पर जांचें। / For odd (n), terms are negative and for even (n), terms are positive, so (a_n=2(-1)^n n). In alternating signs, test first at (n=1).
87 के लिए
\(a_n=87\) रखें: \(n^2+6=87\)। अतः \(n^2=81\), इसलिए \(n=9\), क्योंकि पद संख्या धन पूर्णांक होती है। इसलिए 87, अनुक्रम का 9वाँ पद है। 8वाँ पद \(8^2+6=70\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का स्थान ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n\) को उस दिए गए मान के बराबर रखें और फिर \(n\) हल करें। / To find the position of 87, set \(a_n=87\): \(n^2+6=87\). Thus, \(n^2=81\), giving \(n=9\), since a term number must be a positive integer. Hence, 87 is the 9th term of the sequence. The 8th term is \(8^2+6=70\), so it is not correct. Exam tip: To find which term has a given value, equate \(a_n\) to that value and solve for \(n\).
हर पद आधा हो रहा है इसलिए \(a_n=18\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) से शुरू होती है। / Each term is halved, so \(a_n=18\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). In a geometric sequence, the exponent starts with (n-1).
दिया है: \(a_n=3n^2-7n+6\)। अतः \(a_2=3(2)^2-7(2)+6=12-14+6=4\) और \(a_9=3(9)^2-7(9)+6=243-63+6=186\)। इसलिए दोनों पदों का अंतर \(186-4=182\) है। 180 जैसे विकल्प में गणना या घटाव की छोटी त्रुटि हो सकती है। परीक्षा में प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान सावधानी से रखकर पहले अलग-अलग पद ज्ञात करें। / Given \(a_n=3n^2-7n+6\), \(a_2=3(2)^2-7(2)+6=12-14+6=4\), while \(a_9=3(9)^2-7(9)+6=243-63+6=186\). Therefore, the difference is \(186-4=182\). A value such as 180 can result from a small calculation or subtraction error. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately before finding the difference.
पहला पद (12) और अंतर (13) है, इसलिए \(a_{30}=12+29\cdot13=389\)। (30)वें पद में (29) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (12) and the difference is (13), so \(a_{30}=12+29\cdot13=389\). The (30)th term includes (29) differences.
दिया है कि \(a_n=2n^2+5n\)। अतः \(a_6=2(6)^2+5(6)=72+30=102\) और \(a_3=2(3)^2+5(3)=18+15=33\)। इसलिए \(a_6-a_3=102-33=69\)। विकल्प 66 तब मिल सकता है जब \(a_3\) या घटाव में गणना की त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर निकालें, फिर अंतर ज्ञात करें। / Given \(a_n=2n^2+5n\), \(a_6=2(6)^2+5(6)=72+30=102\) and \(a_3=2(3)^2+5(3)=18+15=33\). Therefore, \(a_6-a_3=102-33=69\). The value 66 can result from an error while calculating \(a_3\) or subtracting. Exam tip: evaluate each term separately before finding their difference.
पद \(5\cdot1^2,5\cdot2^2,5\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=5n^2\)। गुणांक वाले वर्ग पैटर्न को पहचानें। / The terms are \(5\cdot1^2,5\cdot2^2,5\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=5n^2\). Recognize the square pattern with a coefficient.
दिया है कि \(a_n=25-6n\) और \(a_n=1\)। अतः \(25-6n=1\), इसलिए \(6n=24\) और \(n=4\)। इसलिए अनुक्रम का 4वां पद 1 होगा। 3वां पद \(25-18=7\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद की स्थिति जानने के लिए दिए गए पद के मान को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=25-6n\) and \(a_n=1\), set \(25-6n=1\). This gives \(6n=24\), so \(n=4\). Therefore, the 4th term is 1. The 3rd term is \(25-18=7\), so it is not correct. Exam tip: To find the position of a specified term, equate the nth-term expression to that value and solve for \(n\).
दूसरे अंतर (4) हैं और \(2n^2+4n+3\) सभी शुरुआती पद देता है। दूसरे अंतर आधे से \(n^2\) का गुणांक मिलता है। / The second differences are (4), and \(2n^2+4n+3\) gives all starting terms. Half of the second difference gives the coefficient of \(n^2\).
दिया है \(a_n=4n+9\)। \(a_{5p-1}\) ज्ञात करने के लिए \(n\) के स्थान पर पूरा व्यंजक \(5p-1\) रखें: \(a_{5p-1}=4(5p-1)+9=20p-4+9=20p+5\)। अतः सही उत्तर \(20p+5\) है। \(20p+9\) तब मिलता यदि \(-1\) को प्रतिस्थापन में छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: सूचकांक में चर के साथ कोई व्यंजक हो, तो उसे हमेशा कोष्ठक में रखकर प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=4n+9\), substitute the complete index \(5p-1\) for \(n\): \(a_{5p-1}=4(5p-1)+9=20p-4+9=20p+5\). Therefore, \(20p+5\) is correct. The option \(20p+9\) would result from incorrectly ignoring the \(-1\) in the index. Exam tip: when an index is an expression, substitute the whole expression using brackets.
पद \(2+2,4+2,8+2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^n+2\)। घातीय पैटर्न में स्थिर जोड़ को पहचानें। / The terms are \(2+2,4+2,8+2,\ldots\), so \(a_n=2^n+2\). In exponential patterns, identify the constant addition.
(n(n-2)=48) में (n=8) रखने पर \(8\cdot6=48\)। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका हो सकता है। / In (n(n-2)=48), putting (n=8) gives \(8\cdot6=48\). Directly testing options can be a quick method.
\(a_n=5n+12\) में (n) का गुणांक (5) है, इसलिए सामान्य अंतर (5) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=5n+12\), the coefficient of (n) is (5), so the common difference is (5). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
हर पद पिछले का आधा है इसलिए \(a_n=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। पहले पद को सुरक्षित रखकर (n-1) घात लगाएं। / Each term is half of the previous one, so \(a_n=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). Keep the first term fixed and use exponent (n-1).
दूसरे अंतर (6) हैं और \(3n^2+4n+4\) सभी शुरुआती पद देता है। द्विघात श्रेणी में विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचें। / The second differences are (6), and \(3n^2+4n+4\) gives all starting terms. In a quadratic sequence, test options on the first three terms.
