What is the (n)th term of the sequence (6,24,96,384,\ldots)?श्रेणी (6,24,96,384,\ldots) का (n)वां पद क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (6\cdot4^{n-1})(6\cdot4^{n-1})
The correct answer is option A: \\(a_n=6\cdot4^{n-1}\\). This is a geometric sequence because each term is obtained by multiplying the previous term by 4: \\(24/6=4\\), \\(96/24=4\\), and \\(384/96=4\\). For a geometric sequence, the nth term is \\(a_n=ar^{n-1}\\), where \\(a\\) is the first term and \\(r\\) is the common ratio. Here \\(a=6\\) and \\(r=4\\), so \\(a_n=6\cdot4^{n-1}\\). Option A gives the first term when \\(n=1\\): \\(6\cdot4^0=6\\), so it works. Option B gives 4 when \\(n=1\\), not 6. Option C gives \\(24\\) for \\(n=1\\), so its exponent is one step too large. Option D also gives 24 for the first term, not 6. Memory cue: first term stays outside, and the exponent is one less than the term number.सही उत्तर विकल्प A है: \\(a_n=6\cdot4^{n-1}\\)। यह गुणोत्तर श्रेणी है, क्योंकि हर पद पिछले पद को 4 से गुणा करने पर मिलता है: \\(24/6=4\\), \\(96/24=4\\), और \\(384/96=4\\)। गुणोत्तर श्रेणी के लिए सूत्र है \\(a_n=ar^{n-1}\\), जहाँ \\(a\\) पहला पद और \\(r\\) समान अनुपात है। यहाँ \\(a=6\\) और \\(r=4\\), इसलिए \\(a_n=6\cdot4^{n-1}\\)। विकल्प A में \\(n=1\\) रखने पर \\(6\cdot4^0=6\\) आता है, इसलिए यह सही है। विकल्प B में पहला पद 4 आएगा, 6 नहीं। विकल्प C में \\(n=1\\) पर 24 आएगा; घात एक अधिक है। विकल्प D में भी पहला पद 24 आता है, इसलिए वह गलत है। याद रखें: पहला पद बाहर रहता है और घात हमेशा पद संख्या से एक कम होती है।
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