What is the (n)th term of the sequence (5,15,45,135,\ldots)?श्रेणी (5,15,45,135,\ldots) का (n)वां पद क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (5\cdot3^{n-1})(5\cdot3^{n-1})
The correct answer is option A: \\(a_n=5\cdot3^{n-1}\\). The sequence is geometric because every term is multiplied by 3: \\(15/5=3\\), \\(45/15=3\\), and \\(135/45=3\\). The nth-term rule is \\(a_n=ar^{n-1}\\). Substituting the first term \\(a=5\\) and ratio \\(r=3\\) gives \\(a_n=5\cdot3^{n-1}\\). Option A gives \\(5\\) when \\(n=1\\), \\(15\\) when \\(n=2\\), and \\(45\\) when \\(n=3\\), so it matches. Option B starts with 3 rather than 5. Option C has exponent n, so its first value is 15 instead of 5. Option D starts with 15 and therefore represents a shifted sequence, not the given one. Common mistake: do not use the ratio as the first term; keep the first term outside the power.सही उत्तर विकल्प A है: \\(a_n=5\cdot3^{n-1}\\)। यह गुणोत्तर श्रेणी है, क्योंकि हर बार पिछले पद को 3 से गुणा किया गया है: \\(15/5=3\\), \\(45/15=3\\), और \\(135/45=3\\)। गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \\(a_n=ar^{n-1}\\) होता है। यहाँ पहला पद \\(a=5\\) और अनुपात \\(r=3\\) है, इसलिए \\(a_n=5\cdot3^{n-1}\\)। विकल्प A में n=1 रखने पर 5, n=2 पर 15 और n=3 पर 45 मिलता है, इसलिए यह सही है। विकल्प B का पहला पद 3 होगा, 5 नहीं। विकल्प C में घात n है, इसलिए पहला पद 15 आएगा। विकल्प D का पहला पद 15 है; यह दी गई श्रेणी से एक पद आगे जैसी अभिव्यक्ति है। सामान्य गलती से बचें: अनुपात को पहला पद न बनाएं; पहला पद घात से बाहर रखें।
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