401 से 450 तक कुल पदों की संख्या 50 है। प्रथम और अंतिम पद का औसत \(\frac{401+450}{2}=425.5\) होगा। अतः योग \(50\times 425.5=21275\) है। 21375 जैसा विकल्प पदों की संख्या या औसत में छोटी गणना-त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी बंद अंतराल में पदों की संख्या \(अंतिम-अन्यतम+1\) लें। / There are 50 terms from 401 to 450. Their average is \(\frac{401+450}{2}=425.5\). Therefore, the sum is \(50\times 425.5=21275\). A value such as 21375 can result from a small error in counting terms or finding the average. Exam tip: for an inclusive interval, the number of terms is \(last-first+1\).
58 से 112 तक कुल पदों की संख्या
\(112-58+1=55\) है। समांतर श्रेणी का योग \(S=\frac{n}{2}(a+l)\) होगा। अतः \(S=\frac{55}{2}(58+112)=\frac{55}{2}\times170=4675\)। इसलिए सही उत्तर 4675 है। 4735 जैसा विकल्प पदों की संख्या या औसत में गलत गणना करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: दोनों सिरों सहित पदों की संख्या निकालते समय हमेशा \(+1\) लगाएँ। / There are \(112-58+1=55\) terms from 58 to 112. Using the arithmetic progression sum formula, \(S=\frac{n}{2}(a+l)\), we get \(S=\frac{55}{2}(58+112)=\frac{55}{2}\times170=4675\). Hence, 4675 is correct. A value such as 4735 can result from an error in counting terms or finding the average. Exam tip: always include \(+1\) when counting terms from one endpoint to another.
121 से 150 तक कुल पदों की संख्या 30 है। यह एक समान्तर श्रेणी है, अतः योग
\(S=\frac{n}{2}(a+l)=\frac{30}{2}(121+150)=15\times271=4065\)। इसलिए सही उत्तर 4065 है। 4035 जैसा उत्तर पदों की संख्या या अंतिम पद लेते समय हुई गणना-त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी सीमा से योग निकालते समय पदों की संख्या हमेशा \(l-a+1\) लें। / There are 30 terms from 121 to 150. This is an arithmetic progression, so
\(S=\frac{n}{2}(a+l)=\frac{30}{2}(121+150)=15\times271=4065\). Therefore, the correct answer is 4065. An answer such as 4035 may result from an error in counting the terms or using the last term. Exam tip: for a sum from \(a\) to \(l\), always count the terms as \(l-a+1\).
25 से 75 तक कुल पदों की संख्या \(75-25+1=51\) है। यह एक समांतर श्रेणी है, इसलिए योग \(=\frac{51}{2}(25+75)=\frac{51}{2}\times100=2550\) होगा। विकल्प 2500 में पदों की संख्या या औसत का सही उपयोग नहीं हुआ है। परीक्षा टिप: किसी भी समावेशी सीमा \(a\) से \(b\) तक पदों की संख्या हमेशा \(b-a+1\) लें। / There are \(75-25+1=51\) terms from 25 to 75. These numbers form an arithmetic progression, so their sum is \(\frac{51}{2}(25+75)=\frac{51}{2}\times100=2550\). The option 2500 results from not using the number of terms or the average correctly. Exam tip: for an inclusive range from \(a\) to \(b\), always use \(b-a+1\) terms.
15 से 45 तक कुल पदों की संख्या \(45-15+1=31\) है। पहला और अंतिम पद जोड़ने पर \(15+45=60\) मिलता है, इसलिए योग \(\frac{31\times 60}{2}=930\) होगा। 960 निकट का विकल्प है, लेकिन वह इस श्रेणी के सही पदों की संख्या और औसत से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: क्रमागत संख्याओं के योग में दोनों सीमाएँ शामिल हों, तो पदों की संख्या में \(+1\) अवश्य लगाएँ। / There are \(45-15+1=31\) terms from 15 to 45. The sum of the first and last terms is \(15+45=60\), so the sum is \(\frac{31\times 60}{2}=930\). Although 960 is close, it does not follow from the correct number of terms and average of this sequence. Exam tip: When both endpoints are included, always use \(+1\) while counting the terms.
31 से 40 तक कुल 10 संख्याएँ हैं। यह एक समानांतर श्रेणी है, इसलिए योग \\(\frac{10}{2}(31+40)=5\times71=355\\) होगा। 345 प्राप्त करना गलत है, क्योंकि उसमें पदों की संख्या या अंतिम पद का सही ध्यान नहीं रखा गया है। परीक्षा टिप: किसी भी क्रमागत संख्याओं के योग में पदों की संख्या गिनते समय दोनों सीमाओं को शामिल करें। / There are 10 numbers from 31 to 40, inclusive. They form an arithmetic progression, so the sum is \\(\frac{10}{2}(31+40)=5\times71=355\\). Getting 345 indicates an error in counting the terms or using the last term. Exam tip: When finding the sum over an inclusive range, count both endpoints.
