A. पिछले कर्ण के एक सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा जोड़कर नया त्रिभुज बनाया जाता है/A perpendicular side of length 1 unit is added at an endpoint of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण पर 1 इकाई की भुजा लंबवत जोड़ी जाती है। पाइथागोरस के अनुसार, यदि पिछले कर्ण का वर्ग n हो, तो नए कर्ण का वर्ग n + 1 होता है। परीक्षा में लंबवत चिह्न अवश्य पहचानें। / In a square root spiral, a 1-unit side is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. By Pythagoras, if the previous hypotenuse has square n, the new hypotenuse has square n + 1. Exam tip: look for the right-angle mark.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{899}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{900}\) होगा। क्योंकि \(900=30^2\), इसलिए \(\sqrt{900}=30\)। विकल्प 29 निकट है, पर \(29^2=841\) होता है, 900 नहीं। परीक्षा टिप: यदि मूलांक पूर्ण वर्ग हो, तो उसका वर्गमूल पूर्ण संख्या होता है। / In a square root spiral, the hypotenuse after \(\sqrt{899}\) is \(\sqrt{900}\). Since \(900=30^2\), \(\sqrt{900}=30\). Although 29 is close, \(29^2=841\), not 900. Exam tip: when the number under a square root is a perfect square, its square root is a whole number.
A. \(\sqrt{n}\) वाली भुजा पर 1 इकाई का लंब रेखाखंड जोड़ना; नई कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होगी/Add a unit segment perpendicular to \(\sqrt{n}\); the new hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\)
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सर्पिल में \(\sqrt{n}\) वाली भुजा पर 1 इकाई की लंब भुजा बनाई जाती है। पाइथागोरस से नई कर्ण का वर्ग \(n+1\) होता है, इसलिए दूरी \(\sqrt{n+1}\) है। टिप: लंब कोण अवश्य जाँचें। / The \(\sqrt{n}\) segment and a perpendicular unit segment are the legs. Pythagoras gives hypotenuse squared \(=n+1\), hence \(\sqrt{n+1}\). Exam tip: verify the right angle.
A. पिछले कर्ण के लंबवत एक इकाई का नया रेखाखंड खींचा जाता है/A new unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse.
Explanation
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हर चरण में पिछले कर्ण पर 1 इकाई का लंबवत रेखाखंड जोड़ने से नया समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस से
g(
gsqrt{n})2+12=n+1 मिलता है, इसलिए अगला कर्ण
gsqrt{n+1} होता है। परीक्षा में ‘लंबवत’ और ‘1 इकाई’ अवश्य पहचानें। / At each step, a unit segment is added perpendicular to the previous hypotenuse, creating a right triangle. By Pythagoras,
g(
gsqrt{n})2+12=n+1, so the next hypotenuse is
gsqrt{n+1}. Exam tip: look for “perpendicular” and “unit length.”
A. हर नए चरण में 1 इकाई की भुजा पिछले कर्ण के अंतिम बिंदु पर उसके लंबवत खींची जाती है/At each new stage, a side of length 1 unit is drawn perpendicular to the previous hypotenuse at its endpoint.
Explanation
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पिछला कर्ण \(\sqrt{n}\) और नई 1 इकाई की लंब परस्पर लंब होते हैं। पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण \(\sqrt{n^2+1}\) नहीं, बल्कि \(\sqrt{n+1}\) बनता है। परीक्षा में समकोण का चिह्न अवश्य पहचानें। / The previous hypotenuse \(\sqrt{n}\) and the new unit side form a right angle. By Pythagoras, the next hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\), not \(\sqrt{n^2+1}\). Exam tip: first locate the right-angle mark.
A. उसकी एक भुजा 1 इकाई और दूसरी लम्ब भुजा \(\sqrt{n-1}\) होती है।/One leg is 1 unit and the other perpendicular leg is \(\sqrt{n-1}\).
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सर्पिल में पिछले कर्ण \(\sqrt{n-1}\) पर 1 इकाई की लम्ब भुजा बनती है। पाइथागोरस से कर्ण² = \((n-1)+1=n\), इसलिए नया कर्ण \(\sqrt n\) है। परीक्षा में लम्ब भुजा 1 याद रखें। / In the spiral, a 1-unit perpendicular leg is drawn on the previous hypotenuse \(\sqrt{n-1}\). By Pythagoras, hypotenuse² = \((n-1)+1=n\), so it becomes \(\sqrt n\). Exam tip: remember the added leg is always 1 unit.
वर्गमूल सर्पिल (थियोडोरस सर्पिल) में हर नया समकोण त्रिभुज पिछली कर्ण के साथ बनाया जाता है और उसकी नई लंब भुजा \(1\) इकाई रखी जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से इससे क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि कर्ण प्राप्त होते हैं। \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) लंब भुजाएँ नहीं, बल्कि शुरुआती चरणों में बनने वाली कर्ण हैं। परीक्षा टिप: सर्पिल में जो भुजा हर चरण में समान रहती है, वह \(1\) इकाई की नई लंब भुजा है। / In a square root (Theodorus) spiral, each new right triangle is constructed on the previous hypotenuse, with a new perpendicular side of \(1\) unit. By the Pythagorean theorem, the successive hypotenuses become \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Thus, \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are hypotenuses at early stages, not the new perpendicular side. Exam tip: remember that the side kept fixed in every new triangle is \(1\) unit.
