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A. \(\sqrt{50}\) 7 और 8 के बीच है, क्योंकि \(49<50<64\)/\(\sqrt{50}\) lies between 7 and 8 because \(49<50<64\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(7^2=49\) और \(8^2=64\), इसलिए \(49<50<64\) से \(7<\sqrt{50}<8\)। अतः A सही है; \(\sqrt{50}\) ठीक 7 नहीं है। परीक्षा में निकटवर्ती पूर्ण वर्गों की जाँच करें। / Since \(7^2=49\) and \(8^2=64\), \(49<50<64\) gives \(7<\sqrt{50}<8\). Hence A is correct; \(\sqrt{50}\) is not exactly 7. In exams, compare the nearest perfect squares.
वर्गमूल सर्पिल में क्रमिक कर्ण \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots\) होते हैं। दिया गया नया कर्ण \(14\) है और \(14=\sqrt{196}\)। अतः इसके ठीक पहले का कर्ण \(\sqrt{195}\) होगा। \(\sqrt{196}\) वर्तमान कर्ण है, पिछला नहीं। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग संख्या को \(\sqrt{n}\) के रूप में लिखकर उससे 1 घटाएँ। / In a square root spiral, the successive hypotenuses are \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots\). The given new hypotenuse is \(14\), and \(14=\sqrt{196}\). Therefore, the hypotenuse immediately before it is \(\sqrt{195}\). \(\sqrt{196}\) is the current hypotenuse, not the preceding one. Exam tip: Express the whole number as \(\sqrt{n}\), then subtract 1 from the radicand to find the previous hypotenuse.
एक विद्यार्थी ने वर्गमूल सर्पिल में
\(\sqrt{12}\) तक निर्माण कर लिया है। अब \(\sqrt{13}\) प्राप्त करने के लिए वह अंतिम त्रिज्या के सिरे पर 1 इकाई का लंब खींचता है। निम्न में से कौन-सा निष्कर्ष सही है?
A. नई कर्ण की लंबाई \(\sqrt{13}\) होगी, क्योंकि \((\sqrt{12})^2+1^2=13\)।/The new hypotenuse will have length \(\sqrt{13}\), because \((\sqrt{12})^2+1^2=13\).
Explanation
Simple Explanation
हर नए समकोण त्रिभुज में पिछली कर्ण एक भुजा और 1 दूसरी भुजा होती है। इसलिए नई कर्ण² = 12 + 1 = 13, अतः लंबाई \(\sqrt{13}\) है। \(\sqrt{12}+1\) जोड़ना गलती है। परीक्षा टिप: पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ। / In each new right triangle, the previous hypotenuse is one leg and 1 is the other. Thus, new hypotenuse² = 12 + 1 = 13, so its length is \(\sqrt{13}\). Adding \(\sqrt{12}+1\) is incorrect. Exam tip: apply Pythagoras’ theorem.
वर्गमूल सर्पिल में कर्ण वर्गों के योग से बनता है। \(\sqrt{18}+1\) को \(\sqrt{19}\) नहीं मानना चाहिए। / In a square root spiral, the hypotenuse is formed by the sum of squares. Do not treat \(\sqrt{18}+1\) as \(\sqrt{19}\).
पहले कर्ण \(\sqrt{n}\) है और नई लंब भुजा \(3\) इकाई है। पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण का वर्ग \((\sqrt{n})^2+3^2=n+9\) होगा। अतः नया कर्ण \(\sqrt{n+9}\) है। \(\sqrt{n+3}\) गलत है, क्योंकि लंब भुजा का वर्ग \(3^2=9\) लिया जाता है, \(3\) नहीं। परीक्षा टिप: कर्ण निकालते समय प्रत्येक भुजा का वर्ग जोड़ना याद रखें। / The existing hypotenuse is \(\sqrt{n}\), and the new perpendicular side is \(3\) units. By the Pythagorean theorem, the square of the new hypotenuse is \((\sqrt{n})^2+3^2=n+9\). Therefore, the new hypotenuse is \(\sqrt{n+9}\). \(\sqrt{n+3}\) is incorrect because the perpendicular contributes \(3^2=9\), not \(3\). Exam tip: while finding a hypotenuse, add the squares of the two perpendicular sides.
A. नई 1 इकाई भुजा पिछले कर्ण पर लंब होनी चाहिए।/The new 1-unit side should be perpendicular to the previous hypotenuse.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में अगली 1 इकाई भुजा पिछले कर्ण पर लंब खींची जाती है, ताकि नया त्रिभुज समकोण हो। तब नया कर्ण के लिए संबंध \(h^2=a^2+1\) मिलता है। परीक्षा में ‘लंब’ शर्त अवश्य जाँचें। / In a square root spiral, the next 1-unit side is drawn perpendicular to the previous hypotenuse, making a right triangle. Hence the new hypotenuse satisfies \(h^2=a^2+1\). Exam tip: always check the perpendicular condition.
A. \(\sqrt{n}\) वाली भुजा पर 1 इकाई का लंब रेखाखंड जोड़ना; नई कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होगी/Add a unit segment perpendicular to \(\sqrt{n}\); the new hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\)
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल में \(\sqrt{n}\) वाली भुजा पर 1 इकाई की लंब भुजा बनाई जाती है। पाइथागोरस से नई कर्ण का वर्ग \(n+1\) होता है, इसलिए दूरी \(\sqrt{n+1}\) है। टिप: लंब कोण अवश्य जाँचें। / The \(\sqrt{n}\) segment and a perpendicular unit segment are the legs. Pythagoras gives hypotenuse squared \(=n+1\), hence \(\sqrt{n+1}\). Exam tip: verify the right angle.
अगला कर्ण \(\sqrt{144}\) होगा और \(\sqrt{144}=12\) है। पूर्ण वर्ग पर सटीक मान मिलता है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{144}\), and \(\sqrt{144}=12\). A perfect square gives an exact value.
यदि (k)वाँ कर्ण \(\sqrt{k}\) है, तो \(\sqrt{36}\) (36)वाँ कर्ण है। \(\sqrt{36}=6\) होता है। / If the (k)-th hypotenuse is \(\sqrt{k}\), then \(\sqrt{36}\) is the (36)-th hypotenuse. Also, \(\sqrt{36}=6\).
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय रिया कहती है कि प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछले त्रिभुज के सर्वांगसम होता है, क्योंकि हर बार एक भुजा 1 इकाई ली जाती है। रिया की त्रुटि का सही विश्लेषण कौन-सा है?
A. केवल नई लंब 1 इकाई होती है; दूसरी भुजा पिछले त्रिभुज का कर्ण होती है, जो हर चरण में बदलता है।/Only the new perpendicular is 1 unit; the other leg is the hypotenuse of the previous triangle, which changes at every step.
Explanation
Simple Explanation
हर नए त्रिभुज में केवल जोड़ी गई लंब 1 इकाई है; दूसरी लंब पिछला कर्ण होती है। जैसे दूसरे त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{2}\) और अगले का \(\sqrt{3}\) होता है, इसलिए त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं। परीक्षा टिप: कर्ण हर चरण में बढ़ता है। / Only the newly added perpendicular has length 1; the other leg is the previous hypotenuse. For example, after a hypotenuse of \(\sqrt{2}\), the next one is \(\sqrt{3}\), so the triangles are not congruent. Exam tip: track the changing hypotenuse.
A. प्रत्येक नए कर्ण के वर्ग का मान पिछले कर्ण के वर्ग से 1 अधिक होता है।/The square of each new hypotenuse is 1 more than the square of the previous hypotenuse.
Explanation
Simple Explanation
हर नए समकोण त्रिभुज की एक भुजा 1 और दूसरी पिछला कर्ण होती है। पाइथागोरस से, यदि पिछला कर्ण-वर्ग n है, तो नया कर्ण-वर्ग n+1 होगा। विकल्प B लंबाइयों को 1 बढ़ना मानता है, जो सही नहीं है। परीक्षा में पहले कर्णों के वर्ग लिखें। / Each new right triangle has one leg of length 1 and the previous hypotenuse as the other leg. By Pythagoras, if the previous square is n, the next is n+1. Option B wrongly adds 1 to lengths. Exam tip: track squared lengths first.
\(16^2=256\) और \(17^2=289\) होते हैं। क्योंकि \(256<257<289\), इसलिए \(16^2<257<17^2\) सही असमानता है और \(\sqrt{257}\) का मान 16 तथा 17 के बीच होगा। निकटतम विकल्प \(15^2<257<16^2\) गलत है, क्योंकि \(16^2=256\), जो 257 से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके निकट के पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(16^2=256\) and \(17^2=289\). Since \(256<257<289\), the correct inequality is \(16^2<257<17^2\), so \(\sqrt{257}\) lies between 16 and 17. The close distractor \(15^2<257<16^2\) is incorrect because \(16^2=256\), which is less than 257. Exam tip: compare the number with nearby perfect squares to locate its square root.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{n}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है। दिया गया कर्ण 25 है, इसलिए \(\sqrt{n+1}=25\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(n+1=625\), अतः \(n=624\)। विकल्प 625 गलत है क्योंकि वह \(n+1\) का मान है, \(n\) का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दिए गए कर्ण का वर्ग लेकर फिर क्रम में 1 का अंतर अवश्य जाँचें। / In a square root spiral, the hypotenuse after \(\sqrt{n}\) is \(\sqrt{n+1}\). Since the given hypotenuse is 25, \(\sqrt{n+1}=25\). Squaring both sides gives \(n+1=625\), so \(n=624\). Option 625 is incorrect because it is the value of \(n+1\), not \(n\). Exam tip: square the given hypotenuse and then check the one-step change in the spiral sequence.
B. \(\sqrt{2}\rightarrow\sqrt{3}\rightarrow\sqrt{4}\rightarrow\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल में कर्ण क्रमिक रूप से बनते हैं। सामान्य निर्माण में बीच के वर्गमूल नहीं छोड़े जाते। / Hypotenuses are formed successively in the spiral. In the usual construction, intermediate square roots are not skipped.
A. दोनों \(13\) और \(14\) के बीच हैं/Both lie between \(13\) and \(14\).
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(13^2=169\) और \(14^2=196\) हैं। \(169<170<196\) तथा \(169<195<196\), इसलिए \(\sqrt{170}\) और \(\sqrt{195}\) दोनों \(13\) और \(14\) के बीच स्थित हैं। \(\sqrt{195}\), \(14\) से थोड़ा कम है, क्योंकि \(195<196\); इसलिए वह \(14\) और \(15\) के बीच नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(13^2=169\) and \(14^2=196\), we have \(169<170<196\) and \(169<195<196\). Therefore, both \(\sqrt{170}\) and \(\sqrt{195}\) lie between \(13\) and \(14\). In particular, \(\sqrt{195}\) is slightly less than \(14\) because \(195<196\), so it cannot lie between \(14\) and \(15\). Exam tip: locate a square root by comparing its radicand with nearby perfect squares.
A. अगला कर्ण \(\sqrt{25}=5\) है और \(\sqrt{26}\) (5) और (6) के बीच है/The next hypotenuse is \(\sqrt{25}=5\), and \(\sqrt{26}\) lies between (5) and (6)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{24}\) के बाद \(\sqrt{25}=5\) बनता है। \(5^2<26<6^2\), इसलिए \(\sqrt{26}\) (5) और (6) के बीच है। / After \(\sqrt{24}\), \(\sqrt{25}=5\) is formed. Since \(5^2<26<6^2\), \(\sqrt{26}\) lies between (5) and (6).
अगला कर्ण \(\sqrt{m+1}\) होगा। यदि (m+1) पूर्ण वर्ग है, तो उसका वर्गमूल पूर्ण संख्या होगा। / The next hypotenuse is \(\sqrt{m+1}\). If (m+1) is a perfect square, its square root will be a whole number.
A. \(\sqrt{440}\) 20 और 21 के बीच है तथा \(\sqrt{441}=21\) है/\(\sqrt{440}\) lies between 20 and 21, and \(\sqrt{441}=21\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(20^2=400\) और \(21^2=441\), इसलिए \(400<440<441\) है। अतः \(20<\sqrt{440}<21\), जबकि \(\sqrt{441}=\sqrt{21^2}=21\) है। विकल्प B में \(\sqrt{440}\) को 21 कहा गया है, पर 440, 441 से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का मान जानने के लिए उसके निकट के दो पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(20^2=400\) and \(21^2=441\), we have \(400<440<441\). Therefore, \(20<\sqrt{440}<21\), whereas \(\sqrt{441}=\sqrt{21^2}=21\). Option B is incorrect because \(440<441\), so \(\sqrt{440}\) cannot be 21. Exam tip: compare a number with the nearest perfect squares to locate its square root.
अगला कर्ण \(\sqrt{49}\) होगा और \(\sqrt{49}=7\) है। पूर्ण वर्ग पर कर्ण पूर्ण संख्या बनता है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{49}\), and \(\sqrt{49}=7\). At a perfect square, the hypotenuse becomes a whole number.
\(24^2=576\) और \(25^2=625\) हैं। क्योंकि \(576<624<625\), इसलिए धनात्मक वर्गमूलों के लिए \(24<\sqrt{624}<25\) होगा। \(25<\sqrt{624}<26\) नहीं हो सकता, क्योंकि \(624<25^2\) है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके निकटवर्ती पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / We have \(24^2=576\) and \(25^2=625\). Since \(576<624<625\), taking positive square roots gives \(24<\sqrt{624}<25\). It cannot lie between 25 and 26 because \(624<25^2\). Exam tip: compare the number with consecutive perfect squares to locate its square root.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{899}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{900}\) होगा। क्योंकि \(900=30^2\), इसलिए \(\sqrt{900}=30\)। विकल्प 29 निकट है, पर \(29^2=841\) होता है, 900 नहीं। परीक्षा टिप: यदि मूलांक पूर्ण वर्ग हो, तो उसका वर्गमूल पूर्ण संख्या होता है। / In a square root spiral, the hypotenuse after \(\sqrt{899}\) is \(\sqrt{900}\). Since \(900=30^2\), \(\sqrt{900}=30\). Although 29 is close, \(29^2=841\), not 900. Exam tip: when the number under a square root is a perfect square, its square root is a whole number.
A. दोनों 5 और 6 के बीच हैं/Both lie between 5 and 6
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(5^2=25\) और \(6^2=36\) हैं तथा \(25<27<36\) और \(25<32<36\), इसलिए \(5<\sqrt{27}<6\) तथा \(5<\sqrt{32}<6\)। अतः वर्गमूल सर्पिल में दोनों लंबाइयाँ 5 और 6 के बीच होंगी। विकल्प B में \(\sqrt{27}\) को 4 और 5 के बीच बताया गया है, जो गलत है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(5^2=25\) and \(6^2=36\), and \(25<27<36\) as well as \(25<32<36\), we get \(5<\sqrt{27}<6\) and \(5<\sqrt{32}<6\). Hence, both lengths lie between 5 and 6 in the square root spiral. Option B is wrong because \(\sqrt{27}\) is not between 4 and 5. Exam tip: To locate a square root, compare the number with the nearest perfect squares.
पाइथागोरस प्रमेय में भुजाओं के वर्ग जुड़ते हैं। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{8}\) बनता है। / In Pythagoras theorem, the squares of sides are added. Therefore the new hypotenuse becomes \(\sqrt{8}\).
\(30^2=900\) और \(31^2=961\) हैं। चूँकि \(900<960<961\), इसलिए वर्गमूल लेने पर \(30<\sqrt{960}<31\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प B है। \(31\) के बहुत निकट होने पर भी \(960<961\) है, इसलिए \(\sqrt{960}\), \(31\) से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए दिए गए संख्या के दोनों ओर के क्रमागत पूर्ण वर्ग खोजें। / \(30^2=900\) and \(31^2=961\). Since \(900<960<961\), taking square roots gives \(30<\sqrt{960}<31\). Therefore, option B is correct. Although 960 is very close to 961, it is still less than 961, so \(\sqrt{960}\) is less than 31. Exam tip: To locate a square root, find the consecutive perfect squares on either side of the given number.
A. नई लंब (1) इकाई हो और समकोण बने/The new perpendicular is (1) unit and a right angle is formed
Explanation
Simple Explanation
(1) इकाई लंब और समकोण से (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) लागू होता है। यही सर्पिल का नियम है। / With a (1) unit perpendicular and a right angle, (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) applies. This is the spiral rule.
A. नया कर्ण \(\sqrt{169}\) है और इसका मान \(13\) है/The new hypotenuse is \(\sqrt{169}\) and its value is \(13\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण पिछले कर्ण के वर्ग के अंदर 1 जोड़कर बनता है। इसलिए \(\sqrt{168}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{168+1}=\sqrt{169}\) होगा। क्योंकि \(169=13^2\), अतः \(\sqrt{169}=13\)। विकल्प B में मूलांक सही है, पर उसका मान गलत दिया गया है। परीक्षा टिप: अगले कर्ण के लिए हमेशा मूलांक में 1 जोड़ें और फिर जाँचें कि वह पूर्ण वर्ग है या नहीं। / In a square root spiral, each new hypotenuse is obtained by adding 1 to the number under the previous radical. Thus, after \(\sqrt{168}\), the next hypotenuse is \(\sqrt{168+1}=\sqrt{169}\). Since \(169=13^2\), \(\sqrt{169}=13\). Option B has the correct radicand but gives the wrong value. Exam tip: add 1 to the radicand for the next hypotenuse, then check whether it is a perfect square.
\(28^2=784\) और \(29^2=841\) हैं। क्योंकि \(784<840<841\), इसलिए वर्गमूल लेने पर \(28<\sqrt{840}<29\) प्राप्त होता है। अतः वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{840}\), \(\sqrt{784}=28\) और \(\sqrt{841}=29\) के बीच स्थित होगा। \(29\) के बाद वाला अंतराल गलत है, क्योंकि \(840<841\)। परीक्षा टिप: किसी संख्या के आसपास के क्रमागत पूर्ण वर्गों की तुलना करके उसका वर्गमूल जल्दी ज्ञात करें। / \(28^2=784\) and \(29^2=841\). Since \(784<840<841\), taking square roots gives \(28<\sqrt{840}<29\). Therefore, on the square root spiral, \(\sqrt{840}\) lies between \(\sqrt{784}=28\) and \(\sqrt{841}=29\). The interval after \(29\) is incorrect because \(840<841\). Exam tip: compare a number with consecutive perfect squares to locate its square root quickly.
B. दोनों 7 और 8 के बीच हैं/Both lie between 7 and 8.
Explanation
Simple Explanation
\(7^2=49\) और \(8^2=64\) हैं। चूँकि \(49<50<64\) तथा \(49<63<64\), इसलिए \(7<\sqrt{50}<8\) और \(7<\sqrt{63}<8\)। अतः वर्गमूल सर्पिल में दोनों बिंदु 7 और 8 के बीच होंगे। विकल्प A में \(\sqrt{50}\) को 6 और 7 के बीच बताया गया है, जबकि \(50>49=7^2\)। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल जानने के लिए उसके निकटवर्ती पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(7^2=49\) and \(8^2=64\), we have \(49<50<64\) and \(49<63<64\). Hence, \(7<\sqrt{50}<8\) and \(7<\sqrt{63}<8\). Therefore, both points lie between 7 and 8 on the square root spiral. Option A is incorrect because \(50>49=7^2\), so \(\sqrt{50}\) cannot lie between 6 and 7. Exam tip: To locate a square root, compare the number with consecutive perfect squares.
पिछला कर्ण \(\sqrt{224}\) है, अर्थात यहाँ \(n=224\) है। वर्गमूल सर्पिल में अगला कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है, इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{224+1}=\sqrt{225}\) होगा। \(\sqrt{224}\) वही पिछला कर्ण है, जबकि \(\sqrt{223}\) एक चरण पहले का मान है। परीक्षा टिप: सर्पिल में अगले कर्ण के लिए वर्गमूल के अंदर की संख्या में 1 जोड़ें। / The previous hypotenuse is \(\sqrt{224}\), so \(n=224\). In a square root spiral, the next hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\); hence it is \(\sqrt{224+1}=\sqrt{225}\). \(\sqrt{224}\) is the previous hypotenuse itself, while \(\sqrt{223}\) belongs to the preceding step. Exam tip: for the next hypotenuse, add 1 to the number inside the square root.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{n}\) के बराबर होता है। यहाँ नया कर्ण \(\sqrt{225}\) है और \(225=15^2\), इसलिए \(\sqrt{225}=15\)। \(14\) इसलिए गलत है क्योंकि \(14^2=196\), जबकि \(16^2=256\)। परीक्षा टिप: पहले जाँचें कि दी गई संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। / In a square root spiral, each new hypotenuse represents \(\sqrt{n}\). Here the new hypotenuse is \(\sqrt{225}\), and since \(225=15^2\), \(\sqrt{225}=15\). Option 14 is incorrect because \(14^2=196\), while \(16^2=256\). Exam tip: first check whether the number under the square root is a perfect square.
वर्गमूल सर्पिल के प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा पिछले कर्ण के बराबर और दूसरी भुजा 1 इकाई होती है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{(\sqrt{399})^2+1^2}=\sqrt{399+1}=\sqrt{400}\) होगा। \(\sqrt{401}\) अगला चरण लेने पर बनेगा, इस चरण पर नहीं। परीक्षा टिप: हर नए चरण में कर्ण के वर्ग के अंदर की संख्या में 1 जोड़ें। / In each new right triangle of a square root spiral, one side is the previous hypotenuse and the other side is 1 unit. Hence, the new hypotenuse is \(\sqrt{(\sqrt{399})^2+1^2}=\sqrt{399+1}=\sqrt{400}\). \(\sqrt{401}\) would be obtained in the next step, not in this one. Exam tip: at each new step, add 1 to the number under the square root of the hypotenuse.
क्योंकि \(13^2=169\) और \(14^2=196\) हैं तथा \(169<195<196\) है, इसलिए \(13<\sqrt{195}<14\)। वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{195}\) का बिंदु \(\sqrt{169}=13\) और \(\sqrt{196}=14\) के बीच होगा। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(\sqrt{195}\), 14 से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के निकटतम छोटे और बड़े पूर्ण वर्ग खोजकर उसके वर्गमूल का अंतराल तुरंत ज्ञात करें। / Since \(13^2=169\) and \(14^2=196\), and \(169<195<196\), we get \(13<\sqrt{195}<14\). On the square root spiral, the point for \(\sqrt{195}\) lies between \(\sqrt{169}=13\) and \(\sqrt{196}=14\). Option B is incorrect because \(\sqrt{195}\) is less than 14. Exam tip: Find the nearest smaller and larger perfect squares to determine a square root’s interval quickly.
A. \(\sqrt{2}\) कर्ण की लंबाई कंपास में लेकर मूल बिंदु से चाप खींचना/Take the \(\sqrt{2}\) hypotenuse length in a compass and draw an arc from the origin
Explanation
Simple Explanation
जिस वर्गमूल को अंकित करना है, उसी कर्ण की लंबाई कंपास में ली जाती है। मूल बिंदु से चाप सही स्थान देता है। / The hypotenuse length of the square root to be marked is taken in the compass. An arc from the origin gives the correct location.
\(\sqrt{439}\) पर (1) इकाई लंब बनाने से \(\sqrt{440}\) बनता है। पिछला कर्ण एक कम संख्या का होता है। / Drawing a (1) unit perpendicular on \(\sqrt{439}\) forms \(\sqrt{440}\). The previous hypotenuse has one less number.
B. \(\sqrt{150}\) 12 और 13 के बीच है तथा \(\sqrt{169}=13\) है/\(\sqrt{150}\) lies between 12 and 13, and \(\sqrt{169}=13\).
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(12^2=144\) और \(13^2=169\), इसलिए \(144<150<169\) है। अतः \(12<\sqrt{150}<13\)। दूसरी ओर, \(169=13^2\) होने से \(\sqrt{169}=13\) है। विकल्प A में \(\sqrt{150}\) का अंतराल गलत दिया गया है। परीक्षा टिप: किसी पूर्ण वर्ग के बीच की संख्या का वर्गमूल उन दो क्रमागत पूर्णांकों के बीच होता है। / Since \(12^2=144\) and \(13^2=169\), we have \(144<150<169\). Therefore, \(12<\sqrt{150}<13\). On the other hand, \(169=13^2\), so \(\sqrt{169}=13\). Option A gives the wrong interval for \(\sqrt{150}\). Exam tip: the square root of a number between two consecutive perfect squares lies between their square roots.
A. क्योंकि (\(\sqrt{4}\)2+12=5)/Because (\(\sqrt{4}\)2+12=5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{4}\) पिछला कर्ण है और (1) नई लंब है। पाइथागोरस से कर्ण \(\sqrt{5}\) मिलता है। / \(\sqrt{4}\) is the previous hypotenuse and (1) is the new perpendicular. Pythagoras gives hypotenuse \(\sqrt{5}\).
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\) आदि होता है। इसलिए \(\sqrt{255}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{256}\) होगा। क्योंकि \(256=16^2\), अतः \(\sqrt{256}=16\) एक पूर्णांक मान पर स्थित है। \(\sqrt{257}\) उसके बाद वाला कर्ण है, जबकि \(\sqrt{254}\) पहले का है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल हमेशा पूर्णांक होता है। / In a square root spiral, successive hypotenuses are \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\), and so on. Hence, the hypotenuse after \(\sqrt{255}\) is \(\sqrt{256}\). Since \(256=16^2\), \(\sqrt{256}=16\), so it lies at an integer value. \(\sqrt{257}\) is the following hypotenuse, while \(\sqrt{254}\) comes earlier. Exam tip: the square root of a perfect square is always an integer.
A. \(\sqrt{24}\) 4 और 5 के बीच है, जबकि \(\sqrt{26}\) 5 और 6 के बीच है/\(\sqrt{24}\) lies between 4 and 5, whereas \(\sqrt{26}\) lies between 5 and 6
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(4^2=16\), \(5^2=25\) और \(6^2=36\) हैं, इसलिए \(16<24<25\) से \(4<\sqrt{24}<5\) प्राप्त होता है। इसी प्रकार, \(25<26<36\) से \(5<\sqrt{26}<6\) प्राप्त होता है। अतः दोनों वर्गमूल सर्पिल में अलग-अलग पूर्णांकों के बीच स्थित होंगे। विकल्प B निकट का भ्रम पैदा करता है, लेकिन \(\sqrt{26}\), 5 से बड़ा है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान जानने के लिए उसके निकटवर्ती पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(4^2=16\), \(5^2=25\), and \(6^2=36\), \(16<24<25\) gives \(4<\sqrt{24}<5\). Similarly, \(25<26<36\) gives \(5<\sqrt{26}<6\). Hence, the two square roots occur between different consecutive integers on the square root spiral. Option B is a close distractor, but \(\sqrt{26}\) is greater than 5. Exam tip: locate a square root by comparing the number with nearby perfect squares.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि के रूप में बनता है। इसलिए \(\sqrt{624}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{625}\) होगा। चूँकि \(625=25^2\), इसलिए \(\sqrt{625}=25\)। \(\sqrt{626}\) उसके बाद वाला कर्ण है, जबकि \(\sqrt{623}\) पिछला कर्ण है। परीक्षा टिप: यदि मूल के भीतर की संख्या पूर्ण वर्ग हो, तो उसका वर्गमूल पूर्णांक होता है। / In a square root spiral, successive hypotenuses are formed as \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Therefore, the hypotenuse after \(\sqrt{624}\) is \(\sqrt{625}\). Since \(625=25^2\), \(\sqrt{625}=25\). \(\sqrt{626}\) is the next hypotenuse after it, while \(\sqrt{623}\) is the preceding one. Exam tip: when the number inside a square root is a perfect square, its square root is an integer.
C. \(\sqrt{80}\) (8) और (9) के बीच है, \(\sqrt{82}\) (9) और (10) के बीच है क्योंकि \(82>81\)/\(\sqrt{80}\) lies between (8) and (9), \(\sqrt{82}\) lies between (9) and (10) because \(82>81\)
Explanation
Simple Explanation
\(80<81\) होने से \(\sqrt{80}<9\), और \(81<82<100\) होने से \(\sqrt{82}\) (9) और (10) के बीच है। / Since \(80<81\), \(\sqrt{80}<9\), and since \(81<82<100\), \(\sqrt{82}\) lies between (9) and (10).
A. (n+1) पूर्ण वर्ग नहीं है/(n+1) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
पूर्णांक का वर्गमूल पूर्ण संख्या तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। पूर्ण वर्ग न हो तो वर्गमूल अपरिमेय हो सकता है। / The square root of an integer is a whole number only when it is a perfect square. If it is not a perfect square, the square root can be irrational.
A. \(\sqrt{168}\) 12 और 13 के बीच है, जबकि \(\sqrt{170}\) 13 और 14 के बीच है/\(\sqrt{168}\) lies between 12 and 13, whereas \(\sqrt{170}\) lies between 13 and 14
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(12^2=144\), \(13^2=169\) और \(14^2=196\) हैं। \(144<168<169\) होने से \(12<\sqrt{168}<13\) है। इसी प्रकार, \(169<170<196\) होने से \(13<\sqrt{170}<14\) है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\sqrt{168}\), 13 से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Here, \(12^2=144\), \(13^2=169\), and \(14^2=196\). Since \(144<168<169\), we get \(12<\sqrt{168}<13\). Similarly, \(169<170<196\) gives \(13<\sqrt{170}<14\). Therefore, option A is correct. Option B is incorrect because \(\sqrt{168}\) is less than 13. Exam tip: To locate a square root, compare the number with the nearest perfect squares.
A. \((\sqrt{12})^2+1^2=13\), इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{13}\)/\((\sqrt{12})^2+1^2=13\), so the new hypotenuse is \(\sqrt{13}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल के प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा पिछला कर्ण और दूसरी भुजा \(1\) होती है। अतः पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण \(\sqrt{(\sqrt{12})^2+1^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}\) होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि सामान्यतः \(\sqrt{12}+1\neq\sqrt{13}\)। परीक्षा टिप: पिछले कर्ण का वर्ग लेकर उसमें \(1\) जोड़ें, फिर उसका वर्गमूल लें। / In each new right triangle of a square root spiral, one leg is the previous hypotenuse and the other leg is \(1\). Therefore, by Pythagoras’ theorem, the new hypotenuse is \(\sqrt{(\sqrt{12})^2+1^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}\). Option B is incorrect because, in general, \(\sqrt{12}+1\neq\sqrt{13}\). Exam tip: square the previous hypotenuse, add \(1\), and then take the square root.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\) आदि होता है। इसलिए \(\sqrt{1023}\) के बाद अगला कर्ण \(\sqrt{1024}\) होगा। क्योंकि \(1024=32^2\), अतः \(\sqrt{1024}=32\)। \(\sqrt{1025}\) अगला नहीं, बल्कि उसके बाद वाला कर्ण है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए निकट की संख्याओं के वर्ग याद रखें; \(32^2=1024\)। / In a square root spiral, successive hypotenuses are \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\), and so on. Hence, the hypotenuse after \(\sqrt{1023}\) is \(\sqrt{1024}\). Since \(1024=32^2\), \(\sqrt{1024}=32\). \(\sqrt{1025}\) is the following hypotenuse, not the immediate next one. Exam tip: remember nearby perfect squares; \(32^2=1024\).
A. अगला कर्ण \(\sqrt{36}=6\) है और \(\sqrt{37}\) (6) और (7) के बीच है/The next hypotenuse is \(\sqrt{36}=6\), and \(\sqrt{37}\) lies between (6) and (7)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{35}\) के बाद \(\sqrt{36}=6\) बनता है। \(6^2<37<7^2\), इसलिए \(\sqrt{37}\) (6) और (7) के बीच है। / After \(\sqrt{35}\), \(\sqrt{36}=6\) is formed. Since \(6^2<37<7^2\), \(\sqrt{37}\) lies between (6) and (7).
\(36^2=1296\) और \(37^2=1369\) हैं। (1368) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{1368}\) (36) और (37) के बीच है। / \(36^2=1296\) and \(37^2=1369\). The number (1368) lies between them, so \(\sqrt{1368}\) lies between (36) and (37).
D. अगला कर्ण पिछले कर्ण में सीधे (1) जोड़कर निकालना/Finding the next hypotenuse by directly adding (1) to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में सीधे जोड़ नहीं होता। नया कर्ण समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस से मिलता है। / Direct addition is not used in a square root spiral. The new hypotenuse is found using a right triangle and Pythagoras theorem.
A. निकटतम पूर्ण वर्गों (a-2<n<(a+1)2) की पहचान करना/Identify nearest perfect squares (a-2<n<(a+1)2)
Explanation
Simple Explanation
निकटतम पूर्ण वर्ग सही अंतराल बताते हैं। फिर सर्पिल की लंबाई कंपास से संख्या रेखा पर रखी जाती है। / Nearest perfect squares give the correct interval. Then the spiral length is placed on the number line using a compass.
B. यह समकोण त्रिभुजों की क्रमिक रचना है जिसमें (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) से अगला कर्ण बनता है/It is a successive construction of right triangles where the next hypotenuse is formed by (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित है। पिछला कर्ण और (1) इकाई लंब मिलकर अगला वर्गमूल बनाते हैं। / A square root spiral is based on Pythagoras theorem. The previous hypotenuse and (1) unit perpendicular form the next square root.
अगला कर्ण \(\sqrt{728+1}=\sqrt{729}\) होगा। \(729=27^2\), इसलिए यह ठीक (27) पर स्थित होगा। / The next hypotenuse is \(\sqrt{728+1}=\sqrt{729}\). Since \(729=27^2\), it will lie exactly at (27).
