Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (42+45+7=94)। चरण 2: 94, 47 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 है; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
Since the remainder of (n) is 25, the remainder of (n+1) is 0.
Step 3
Exam Tip
When (n+1) is divisible by 26, its square is also divisible by 26. चरण 1: (n-2+2n+1=(n+1)2) है। चरण 2: (n) का शेषफल 25 है, इसलिए (n+1) का शेषफल 0 होगा। चरण 3: जब (n+1) 26 से विभाज्य है, तो उसका वर्ग भी 26 से विभाज्य होगा।
121 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, check the remainder range first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<121\) है। चरण 2: 121 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले शेषफल की सीमा जांचें।
\(492=54\times9+6\), so the remainder is 6. चरण 1: (a) का शेषफल 41 है। चरण 2: (12a) के लिए \(12\times41=492\) देखें। चरण 3: \(492=54\times9+6\), इसलिए शेषफल 6 है।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(6^2+6+1=43\).
Step 3
Exam Tip
Dividing 43 by 7 gives remainder 1. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 6 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(6^2+6+1=43\) से मिलेगा। चरण 3: 43 को 7 से भाग देने पर शेषफल 1 है।
(93+1=94), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 93 है। चरण 2: 283 को 94 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: (93+1=94), इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
In (6a+5b), the remainder part is \(6\times14+5\times19=179\).
Step 2
Why this answer is correct
\(179=23\times7+18\), so the remainder is 18.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately. चरण 1: (6a+5b) में शेषफल \(6\times14+5\times19=179\) होगा। चरण 2: \(179=23\times7+18\), इसलिए शेषफल 18 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
The remainder of \(a^2+9\) comes from \(11^2+9=130\).
Step 3
Exam Tip
\(130=18\times7+4\), so the final remainder is 4. चरण 1: (a) का शेषफल 11 है। चरण 2: \(a^2+9\) का शेषफल \(11^2+9=130\) से मिलेगा। चरण 3: \(130=18\times7+4\), इसलिए अंतिम शेषफल 4 है।
For fifteen times the number, the remainder part is \(15\times14=210\).
Step 2
Why this answer is correct
\(210=57\times3+39\), so the final remainder is 39.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, divide the result again by the divisor. चरण 1: पंद्रह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(15\times14=210\) होगा। चरण 2: \(210=57\times3+39\), इसलिए अंतिम शेषफल 39 है। चरण 3: गुणन के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से भाग दें।
\(1^2\) and \(13^2\) give 1, \(3^2\) and \(11^2\) give 9, and \(5^2\) and \(9^2\) give 11 as remainders.
Step 3
Exam Tip
Write possible remainders without repeating them. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\) और \(13^2\) से 1, \(3^2\) और \(11^2\) से 9, तथा \(5^2\) और \(9^2\) से 11 शेषफल मिलता है। चरण 3: संभावित शेषफलों को दोहराए बिना लिखें।
In standard form, the remainder must be from 0 to 899.
Step 2
Why this answer is correct
\(900\times10=9000\), so (9001=9000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 900 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 899 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(900\times10=9000\), इसलिए (9001=9000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 900 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
The remainder of (ab+a) comes from \(17\times22+17=391\).
Step 3
Exam Tip
\(391=24\times16+7\), so the final remainder is 7. चरण 1: (a) और (b) के शेषफल 17 और 22 हैं। चरण 2: (ab+a) का शेषफल \(17\times22+17=391\) से मिलेगा। चरण 3: \(391=24\times16+7\), इसलिए अंतिम शेषफल 7 है।
\(12^2=144\), and 144 leaves remainder 11 when divided by 19.
Step 2
Why this answer is correct
For \(12^4\), check \(11^2=121\).
Step 3
Exam Tip
\(121=19\times6+7\), so the remainder is 7. चरण 1: \(12^2=144\), और 144 को 19 से भाग देने पर शेषफल 11 है। चरण 2: \(12^4\) के लिए \(11^2=121\) देखें। चरण 3: \(121=19\times6+7\), इसलिए शेषफल 7 है।
The remainder of \(u^2-u\) comes from \(13^2-13=156\).
Step 3
Exam Tip
\(156=20\times7+16\), so the remainder is 16. चरण 1: (u) का शेषफल 13 है। चरण 2: \(u^2-u\) का शेषफल \(13^2-13=156\) से मिलेगा। चरण 3: \(156=20\times7+16\), इसलिए शेषफल 16 है।
The total remainder is (85+1=86), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 85 है। चरण 2: 259 को 86 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: कुल शेषफल (85+1=86) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
A. क्योंकि 12 से भाग देने पर शेषफल 0 से 11 तक चक्र में आते हैं/Because division by 12 gives remainders from 0 to 11 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 12, possible remainders are from 0 to 11.
Step 2
Why this answer is correct
Twelve consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 12. चरण 1: 12 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 11 तक हैं। चरण 2: बारह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 12 से विभाज्य होगी।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (10-23=-13) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 41 जोड़ें, जिससे 28 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़ना चाहिए।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(112\times27+111=3024+111=3135\).
Step 3
Exam Tip
The remainder 111 is less than divisor 112, so the form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(112\times27+111=3024+111=3135\)। चरण 3: शेषफल 111, भाजक 112 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है।
The nearest lower multiple below 6789 is 6751, so the remainder is (6789-6751=38).
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than 157. चरण 1: \(157\times43=6751\) और \(157\times44=6908\) है। चरण 2: 6789 से छोटा निकट गुणज 6751 है, इसलिए शेषफल (6789-6751=38) है। चरण 3: ऋणात्मक या 157 से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(13^2+13=182\).
Step 3
Exam Tip
Since 182 is exactly divisible by 14, the remainder is 0. चरण 1: (x) का शेषफल 13 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(13^2+13=182\) से मिलेगा। चरण 3: 182, 14 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The final answer must always be less than 34. चरण 1: वर्ग के लिए \(27^2=729\) लें। चरण 2: \(729=34\times21+15\), इसलिए शेषफल 15 है। चरण 3: अंतिम उत्तर हमेशा 34 से छोटा होना चाहिए।
The number is exactly divisible by 79, so the remainder is 0. चरण 1: (a-140=79q+61-140=79q-79)। चरण 2: इसे (79(q-1)+0) लिखा जा सकता है। चरण 3: संख्या 79 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
\(5^2=25\) and \(7^2=49\), and both leave remainder 1 when divided by 12.
Step 3
Exam Tip
In form-based questions, work only with the remainder. चरण 1: दोनों रूपों में शेषफल 5 या 7 है। चरण 2: \(5^2=25\) और \(7^2=49\), दोनों को 12 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: रूप आधारित प्रश्नों में केवल शेषफल पर काम करें।
A. क्योंकि 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक चक्र में आते हैं/Because division by 11 gives remainders from 0 to 10 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 11, possible remainders are from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Eleven consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 11. चरण 1: 11 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 10 तक होते हैं। चरण 2: ग्यारह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 11 से विभाज्य होगी।
For thirteen times the number, the remainder part is \(13\times15=195\).
Step 2
Why this answer is correct
\(195=73\times2+49\), so the final remainder is 49.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: तेरह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(13\times15=195\) होगा। चरण 2: \(195=73\times2+49\), इसलिए अंतिम शेषफल 49 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
The remainder part of (6t+17) is \(6\times37+17=239\).
Step 3
Exam Tip
\(239=46\times5+9\), so the final remainder is 9. चरण 1: (t) का शेषफल 37 है। चरण 2: (6t+17) का शेषफल \(6\times37+17=239\) से मिलेगा। चरण 3: \(239=46\times5+9\), इसलिए अंतिम शेषफल 9 है।
The nearest lower multiple below 9876 is 9476, so the remainder is (400).
Step 3
Exam Tip
Since the remainder is less than 412, it is valid. चरण 1: \(412\times23=9476\) और \(412\times24=9888\) है। चरण 2: 9876 से छोटा निकट गुणज 9476 है, इसलिए शेषफल (400) होना चाहिए। चरण 3: शेषफल 412 से छोटा है, इसलिए वैध है।
When the divisor is 69, the remainder can be from 0 to 68.
Step 2
Why this answer is correct
69 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 69 होने पर शेषफल 0 से 68 तक हो सकता है। चरण 2: 69 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The total remainder is (39+8=47), so the final remainder is 0. चरण 1: (N) का शेषफल 39 है। चरण 2: 102 को 47 से भाग देने पर शेषफल 8 है। चरण 3: कुल शेषफल (39+8=47) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 है।
A. केवल 0, 1, 3, 4, 5 और 9/Only 0, 1, 3, 4, 5 and 9
Step 1
Concept
On division by 11, remainders can be from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Their distinct square remainders are 0, 1, 3, 4, 5, and 9.
Step 3
Exam Tip
In square-remainder questions, making a short list of possible remainders is useful. चरण 1: 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के अलग-अलग शेषफल 0, 1, 3, 4, 5 और 9 मिलते हैं। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में सभी संभावित शेषफलों की छोटी सूची बनाना उपयोगी है।
In powers, working with small remainders avoids large calculations. चरण 1: घन के लिए \(6^3=216\) देखें। चरण 2: \(216=13\times16+8\), इसलिए शेषफल 8 है। चरण 3: घातों में छोटे शेषफल पर काम करने से बड़ी गणना से बचते हैं।
For multiplication, multiply the remainders 32 and 35.
Step 2
Why this answer is correct
\(32\times35=1120\), and \(1120=37\times30+10\).
Step 3
Exam Tip
In product questions, the answer is the final remainder, not the full product. चरण 1: गुणन के लिए शेषफल 32 और 35 को गुणा करें। चरण 2: \(32\times35=1120\) और \(1120=37\times30+10\)। चरण 3: गुणन वाले प्रश्नों में पूरा गुणनफल नहीं, अंतिम शेषफल उत्तर होता है।
Since (53=31+22), the final remainder is 22. चरण 1: दोनों शेषफल 25 और 28 हैं। चरण 2: योग का शेषफल (25+28=53) से मिलेगा। चरण 3: (53=31+22), इसलिए अंतिम शेषफल 22 है।
The remainder of (7p-18) comes from \(7\times19-18=115\).
Step 3
Exam Tip
Since \(115=23\times5\), the final remainder is 0. चरण 1: (p) का शेषफल 19 है। चरण 2: (7p-18) का शेषफल \(7\times19-18=115\) से मिलेगा। चरण 3: \(115=23\times5\), इसलिए अंतिम शेषफल 0 है।
B. शेषफल 0 से 31 तक हो सकता है/The remainder can be from 0 to 31
Step 1
Concept
In Euclid’s lemma, \(0\le r<b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (b=32), so the remainder can be from 0 to 31.
Step 3
Exam Tip
Include 0 in the list of remainders and do not include 32. चरण 1: यूक्लिड प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। चरण 2: यहाँ (b=32), इसलिए शेषफल 0 से 31 तक हो सकता है। चरण 3: शेषफलों की सूची में 0 शामिल करें और 32 शामिल न करें।
In power questions, reduce remainders repeatedly to keep the calculation simple. चरण 1: घन के लिए \(11^3=1331\) देखें। चरण 2: \(1331=18\times73+17\), इसलिए शेषफल 17 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में शेषफल को बार-बार छोटा करके गणना सरल रखें।
Find the nearest lower multiple of 359 below 9264.
Step 2
Why this answer is correct
\(359\times25=8975\), so the remainder is (9264-8975=289).
Step 3
Exam Tip
With large numbers, the nearest lower multiple method saves time. चरण 1: 359 का 9264 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(359\times25=8975\), इसलिए शेषफल (9264-8975=289) है। चरण 3: बड़े अंकों में निकटतम छोटे गुणज की विधि समय बचाती है।
For nine times the number, the remainder part is \(9\times58=522\).
Step 2
Why this answer is correct
\(522=59\times8+50\), so the remainder is 50.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, always reduce the result below the divisor. चरण 1: नौ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(9\times58=522\) होगा। चरण 2: \(522=59\times8+50\), इसलिए शेषफल 50 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को हमेशा भाजक से छोटा करें।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<144\) है। चरण 2: 144 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 143 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
It is exactly divisible by 53, so the remainder is 0. चरण 1: (m=53q+12) लिखें। चरण 2: (m-118=53q+12-118=53q-106=53(q-2))। चरण 3: यह 53 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The number becomes exactly divisible by 97, so the remainder is 0. चरण 1: (a) का शेषफल 96 है, जो 97 से एक कम है। चरण 2: 1 जोड़ने पर (97q+97=97(q+1)) मिलता है। चरण 3: संख्या 97 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है, इसलिए शेषफल 0 है।
On division by 17, remainders can be from 0 to 16.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (17q) to (17q+16).
Step 3
Exam Tip
Include zero remainder, but do not include 17. चरण 1: 17 से भाग देने पर शेषफल 0 से 16 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (17q) से (17q+16) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में शून्य शेषफल शामिल करें, लेकिन 17 शामिल न करें।
The square remainder comes from dividing \(16^2=256\) by 19.
Step 2
Why this answer is correct
\(256=19\times13+9\), so the remainder is 9.
Step 3
Exam Tip
In square questions, square only the remainder instead of the full number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(16^2=256\) को 19 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(256=19\times13+9\), इसलिए शेषफल 9 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय केवल शेषफल का वर्ग लें।
The remainder of (9n+22) comes from \(9\times31+22=301\).
Step 3
Exam Tip
Since \(301=43\times7+0\), the remainder is 0. चरण 1: (n) की जगह उसका शेषफल 31 रखें। चरण 2: (9n+22) का शेषफल \(9\times31+22=301\) से मिलेगा। चरण 3: \(301=43\times7+0\), इसलिए शेषफल 0 है।
140 leaves remainder 6 when divided by 67, so the total remainder is (64+6=70).
Step 3
Exam Tip
Since (70=67+3), the final remainder is 3. चरण 1: (x) का शेषफल 64 है। चरण 2: 140 को 67 से भाग देने पर शेषफल 6 है, इसलिए कुल शेषफल (64+6=70) होगा। चरण 3: (70=67+3), इसलिए अंतिम शेषफल 3 है।
In standard form, the remainder must be from 0 to 390.
Step 2
Why this answer is correct
\(391\times15=5865\), so (6127=5865+262).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 391 does not make the correct Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 390 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(391\times15=5865\), इसलिए (6127=5865+262) है। चरण 3: ऋणात्मक या 391 से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
For the least value, the remainder is 0, so the number is \(143\times23=3289\).
Step 3
Exam Tip
In least-value questions, taking the remainder as zero is the clearest method. चरण 1: संख्या \(143\times23+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 होगा, इसलिए संख्या \(143\times23=3289\) है। चरण 3: न्यूनतम मान वाले प्रश्न में शेषफल शून्य लेना सबसे साफ तरीका है।
The number is of the form \(87\times46+r\), where \(0\le r<87\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 86, so the number is (4002+86=4088).
Step 3
Exam Tip
For the greatest value, the remainder is always one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(87\times46+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<87\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 86 है, इसलिए संख्या (4002+86=4088) है। चरण 3: अधिकतम मान में शेषफल हमेशा भाजक से एक कम लिया जाता है।
Find the nearest lower multiple of 238 below 4961.
Step 2
Why this answer is correct
\(238\times20=4760\), so the remainder is (4961-4760=201).
Step 3
Exam Tip
Since the remainder is smaller than 238, this is the valid Euclidean form. चरण 1: 238 का 4961 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(238\times20=4760\), इसलिए शेषफल (4961-4760=201) है। चरण 3: शेषफल 238 से छोटा है, इसलिए यही वैध यूक्लिडीय रूप है।
Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (35+37+6=78)। चरण 2: 78, 39 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 है; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
Since the remainder of (n) is 21, the remainder of (n+1) is 0.
Step 3
Exam Tip
When (n+1) is divisible by 22, its square is also divisible by 22. चरण 1: (n-2+2n+1=(n+1)2) है। चरण 2: (n) का शेषफल 21 है, इसलिए (n+1) का शेषफल 0 होगा। चरण 3: जब (n+1) 22 से विभाज्य है, तो उसका वर्ग भी 22 से विभाज्य होगा।
109 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, check the remainder range first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<109\) है। चरण 2: 109 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले शेषफल की सीमा जांचें।
\(370=48\times7+34\), so the remainder is 34. चरण 1: (a) का शेषफल 37 है। चरण 2: (10a) के लिए \(10\times37=370\) देखें। चरण 3: \(370=48\times7+34\), इसलिए शेषफल 34 है।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(5^2+5+1=31\).
Step 3
Exam Tip
Dividing 31 by 6 gives remainder 1. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 5 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(5^2+5+1=31\) से मिलेगा। चरण 3: 31 को 6 से भाग देने पर शेषफल 1 है।
(73+1=74), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 73 है। चरण 2: 223 को 74 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: (73+1=74), इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
In (5a+4b), the remainder part is \(5\times11+4\times16=119\).
Step 2
Why this answer is correct
\(119=19\times6+5\), so the remainder is 5.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately. चरण 1: (5a+4b) में शेषफल \(5\times11+4\times16=119\) होगा। चरण 2: \(119=19\times6+5\), इसलिए शेषफल 5 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
The remainder of \(a^2+7\) comes from \(9^2+7=88\).
Step 3
Exam Tip
\(88=16\times5+8\), so the final remainder is 8. चरण 1: (a) का शेषफल 9 है। चरण 2: \(a^2+7\) का शेषफल \(9^2+7=88\) से मिलेगा। चरण 3: \(88=16\times5+8\), इसलिए अंतिम शेषफल 8 है।
For thirteen times the number, the remainder part is \(13\times11=143\).
Step 2
Why this answer is correct
\(143=45\times3+8\), so the final remainder is 8.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, divide the result again by the divisor. चरण 1: तेरह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(13\times11=143\) होगा। चरण 2: \(143=45\times3+8\), इसलिए अंतिम शेषफल 8 है। चरण 3: गुणन के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से भाग दें।
\(1^2\), \(5^2\), \(7^2\), and \(11^2\) all leave remainder 1 when divided by 12.
Step 3
Exam Tip
Checking the squares of possible remainders separately is a safe method. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\), \(5^2\), \(7^2\), और \(11^2\) सभी को 12 से भाग देने पर शेषफल 1 मिलता है। चरण 3: संभावित शेषफलों के वर्गों को अलग-अलग जांचना सुरक्षित तरीका है।
In standard form, the remainder must be from 0 to 699.
Step 2
Why this answer is correct
\(700\times10=7000\), so (7001=7000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 700 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 699 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(700\times10=7000\), इसलिए (7001=7000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 700 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
The remainder of (ab+a) comes from \(13\times18+13=247\).
Step 3
Exam Tip
\(247=20\times12+7\), so the final remainder is 7. चरण 1: (a) और (b) के शेषफल 13 और 18 हैं। चरण 2: (ab+a) का शेषफल \(13\times18+13=247\) से मिलेगा। चरण 3: \(247=20\times12+7\), इसलिए अंतिम शेषफल 7 है।
\(10^2=100\), and 100 leaves remainder 15 when divided by 17.
Step 2
Why this answer is correct
For \(10^4\), check \(15^2=225\).
Step 3
Exam Tip
\(225=17\times13+4\), so the remainder is 4. चरण 1: \(10^2=100\), और 100 को 17 से भाग देने पर शेषफल 15 है। चरण 2: \(10^4\) के लिए \(15^2=225\) देखें। चरण 3: \(225=17\times13+4\), इसलिए शेषफल 4 है।
The remainder of \(u^2-u\) comes from \(11^2-11=110\).
Step 3
Exam Tip
\(110=18\times6+2\), so the remainder is 2. चरण 1: (u) का शेषफल 11 है। चरण 2: \(u^2-u\) का शेषफल \(11^2-11=110\) से मिलेगा। चरण 3: \(110=18\times6+2\), इसलिए शेषफल 2 है।
The total remainder is (61+1=62), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 61 है। चरण 2: 187 को 62 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: कुल शेषफल (61+1=62) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
A. क्योंकि 10 से भाग देने पर शेषफल 0 से 9 तक चक्र में आते हैं/Because division by 10 gives remainders from 0 to 9 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 10, possible remainders are from 0 to 9.
Step 2
Why this answer is correct
Ten consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 10. चरण 1: 10 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 9 तक हैं। चरण 2: दस लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 10 से विभाज्य होगी।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (8-19=-11) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 35 जोड़ें, जिससे 24 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़ना चाहिए।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(96\times31+95=2976+95=3071\).
Step 3
Exam Tip
The remainder 95 is less than divisor 96, so the form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(96\times31+95=2976+95=3071\)। चरण 3: शेषफल 95, भाजक 96 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है।
The nearest lower multiple below 4097 is 3973, so the remainder is (4097-3973=124).
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than 137. चरण 1: \(137\times29=3973\) और \(137\times30=4110\) है। चरण 2: 4097 से छोटा निकट गुणज 3973 है, इसलिए शेषफल (4097-3973=124) है। चरण 3: ऋणात्मक या 137 से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(11^2+11=132\).
Step 3
Exam Tip
Since 132 is exactly divisible by 12, the remainder is 0. चरण 1: (x) का शेषफल 11 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(11^2+11=132\) से मिलेगा। चरण 3: 132, 12 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
\(441=26\times16+25\), so the remainder should be 25.
Step 3
Exam Tip
The final answer must always be less than 26. चरण 1: वर्ग के लिए \(21^2=441\) लें। चरण 2: \(441=26\times16+25\), इसलिए शेषफल 25 होना चाहिए। चरण 3: अंतिम उत्तर हमेशा 26 से छोटा होना चाहिए।
The number is exactly divisible by 67, so the remainder is 0. चरण 1: (a-119=67q+52-119=67q-67)। चरण 2: इसे (67(q-1)+0) लिखा जा सकता है। चरण 3: संख्या 67 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
\(3^2=9\) and \(7^2=49\), and both leave remainder 9 when divided by 10.
Step 3
Exam Tip
In form-based questions, work only with the remainder. चरण 1: दोनों रूपों में शेषफल 3 या 7 है। चरण 2: \(3^2=9\) और \(7^2=49\), दोनों को 10 से भाग देने पर शेषफल 9 है। चरण 3: रूप आधारित प्रश्नों में केवल शेषफल पर काम करें।
A. क्योंकि 9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक चक्र में आते हैं/Because division by 9 gives remainders from 0 to 8 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 9, possible remainders are from 0 to 8.
Step 2
Why this answer is correct
Nine consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 9. चरण 1: 9 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 8 तक हैं। चरण 2: नौ लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 9 से विभाज्य होगी।
For eleven times the number, the remainder part is \(11\times12=132\).
Step 2
Why this answer is correct
\(132=61\times2+10\), so the final remainder is 10.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: ग्यारह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(11\times12=132\) होगा। चरण 2: \(132=61\times2+10\), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
The remainder part of (5t+16) is \(5\times27+16=151\).
Step 3
Exam Tip
\(151=34\times4+15\), so the final remainder is 15. चरण 1: (t) का शेषफल 27 है। चरण 2: (5t+16) का शेषफल \(5\times27+16=151\) से मिलेगा। चरण 3: \(151=34\times4+15\), इसलिए अंतिम शेषफल 15 है।
Choose a multiple that does not exceed the number and leaves a difference smaller than the divisor. चरण 1: \(307\times23=7061\) है। चरण 2: (7341-7061=280), इसलिए शेषफल 280 है। चरण 3: ऐसा गुणज चुनें जो दी गई संख्या से बड़ा न हो और अंतर भाजक से छोटा हो।
When the divisor is 58, the remainder can be from 0 to 57.
Step 2
Why this answer is correct
58 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 58 होने पर शेषफल 0 से 57 तक हो सकता है। चरण 2: 58 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The total remainder is (33+8=41), so the final remainder is 0. चरण 1: (N) का शेषफल 33 है। चरण 2: 90 को 41 से भाग देने पर शेषफल 8 है। चरण 3: कुल शेषफल (33+8=41) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 है।
