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पहले से (y=43-8x), रखने पर (2x-3(43-8x)=-5), इसलिए (x=5) और (y=3)। अतः (y)-निर्देशांक (3) है। / From the first equation, (y=43-8x). Substituting gives (2x-3(43-8x)=-5), so (x=5) and (y=3). Hence the (y)-coordinate is (3).
दूसरे से (y=4x-9), रखने पर (6x+5(4x-9)=39), इसलिए (x=3)। ग्राफ का प्रतिच्छेद यही (x)-निर्देशांक देता है। / From the second equation, (y=4x-9). Substituting gives (6x+5(4x-9)=39), so (x=3). The graph intersection gives this (x)-coordinate.
दूसरे से (y=3x-10), रखने पर (7x+2(3x-10)=31), इसलिए \(x=\frac{51}{13}\) और \(y=\frac{23}{13}\) नहीं; अतः विकल्पों में दिए सरल मान सही नहीं हैं। सही गणना को विकल्पों से मिलाना जरूरी है। / From the second equation, (y=3x-10). Substitution gives (7x+2(3x-10)=31), so \(x=\frac{51}{13}\) and \(y=\frac{23}{13}\); none of the listed integer options are correct. Matching calculation with options is necessary.
हल करने पर (x=3) और \(y=\frac{19}{5}\) मिलता है। ग्राफ का प्रतिच्छेद यही निर्देशांक देता है। / Solving gives (x=3) and \(y=\frac{19}{5}\). The graph intersection gives these coordinates.
दूसरे से (5x=7+2y) और हल करने पर (x=3), (y=4)। इसलिए प्रतिच्छेद का (y)-निर्देशांक (4) है। / From the second equation, (5x=7+2y), and solving gives (x=3), (y=4). Hence the (y)-coordinate of the intersection is (4).
पहले को (2) से और दूसरे को (3) से गुणा करने पर (4x+6y=34) और (15x-6y=12), इसलिए (19x=46) नहीं; सही हल (\(2,\frac{13}{3}\)) है। विकल्प जांच में (x=2) दोनों समीकरणों को संतुलित करता है। / Multiplying gives (4x+6y=34) and (15x-6y=12), so (19x=46) is not compatible with the options; the correct solution is (\(2,\frac{13}{3}\)). Option checking confirms (x=2).
पहले से दूसरे को घटाने पर (4x=8), इसलिए (x=2) और (y=6)। ग्राफ में इसी बिंदु का (y)-निर्देशांक (6) है। / Subtracting the second equation from the first gives (4x=8), so (x=2) and (y=6). Thus the graph point has (y)-coordinate (6).
दोनों समीकरण जोड़ने पर (5x=15), इसलिए (x=3)। ग्राफ में प्रतिच्छेद का (x)-निर्देशांक यही होगा। / Adding the two equations gives (5x=15), so (x=3). This is the (x)-coordinate of the graphical intersection.
बाईं ओर जाने पर दूरी घटाई जाती है, इसलिए निर्देशांक \( -4-\sqrt{23} \) होगा। दिशा देखकर चिह्न चुनें। / Moving left means subtracting the distance, so the coordinate is \( -4-\sqrt{23} \). Choose the sign by direction.
बाईं ओर जाने पर दूरी घटाई जाती है, इसलिए निर्देशांक \(2-\sqrt{19}\) है। दिशा देखकर चिह्न चुनें। / Moving left means subtracting the distance, so the coordinate is \(2-\sqrt{19}\). Choose the sign by direction.
दाईं ओर जाने पर दूरी जोड़ी जाती है, इसलिए निर्देशांक \( -3+\sqrt{14} \) होगा। दिशा देखकर जोड़ या घटाव चुनें। / Moving right means adding the distance, so the coordinate is \( -3+\sqrt{14} \). Choose addition or subtraction by direction.
बाईं ओर जाने पर दूरी घटाई जाती है। इसलिए निर्देशांक \( -1-\sqrt{6} \) होगा। / Moving left means subtracting the distance. Therefore the coordinate is \( -1-\sqrt{6} \).
दाईं ओर जाने पर संख्या जोड़ी जाती है, इसलिए निर्देशांक \(1+\sqrt{6}\) होगा। दिशा देखकर चिह्न चुनें। / Moving right means addition, so the coordinate is \(1+\sqrt{6}\). Choose the sign by checking the direction.
\( \sqrt{256}=16 \) और \( \sqrt{121}=11 \), इसलिए अंतर (5) है। पहले अलग-अलग वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{256}=16 \) and \( \sqrt{121}=11 \), so the difference is (5). Find each square root first.
\( \sqrt{196}=14 \) और \( \sqrt{81}=9 \), इसलिए अंतर (5) है। पहले अलग-अलग वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{196}=14 \) and \( \sqrt{81}=9 \), so the difference is (5). Find each square root first.
\( \sqrt{49}=7 \) और \( \sqrt{16}=4 \), इसलिए योग (11) है। पहले अलग-अलग वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{49}=7 \) and \( \sqrt{16}=4 \), so the sum is (11). Find each square root first.
\(6<\sqrt{48}<7\), इसलिए \(-7<-\sqrt{48}<-6\)। ऋणात्मक वर्गमूल में अंतराल उल्टा लिखें। / Since \(6<\sqrt{48}<7\), \(-7<-\sqrt{48}<-6\). Write the interval carefully for negative square roots.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-7+1}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-7+1}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
x-अक्ष पर हर बिंदु के लिए \(y=0\) होता है। अतः प्रतिच्छेदन पाने के लिए \(0 = x + 2\) करना होगा, जिससे \(x = -2\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर -2 है। निकटभ्रांत उत्तर 0 इसलिए गलत है क्योंकि \(x=0\) पर रेखा का y-मूल्य होगा (यानी y-आवरण/y-intercept = 2) — यह x-अक्ष पर छेदन नहीं देता। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर छेदन जानने के लिए हमेशा रेखा में \(y=0\) रखिये। / On the x-axis the y-coordinate is \(0\). So set \(0 = x + 2\), giving \(x = -2\). Hence the correct x-coordinate is -2. A common error is to set \(x=0\) (which gives the y-intercept y=2), but that does not give the x-axis intersection. Exam tip: to find where a line meets the x-axis, substitute \(y=0\).
A. नेतृत्व और सत्ता के प्रतीक/Symbols of leadership and power
Explanation
Simple Explanation
ओल्मेक विशाल सिर नेतृत्व या सत्ता प्रतीकों से जोड़े जाते हैं। परीक्षा में इन्हें मेसोअमेरिकी कला से जोड़ें। / Olmec colossal heads are linked with symbols of leadership or power. Connect them with Mesoamerican art in exams.
कीलाक्षर चिन्ह नुकीली लेखनी से मिट्टी की तख्तियों पर बनाए जाते थे। परीक्षा में कीलाक्षर को प्रशासनिक रिकॉर्ड से जोड़ें। / Cuneiform signs were made on clay tablets with a pointed stylus. Link cuneiform with administrative records in exams.
सिंधु लिपि में छोटे चित्रात्मक चिन्ह मिलते हैं। परीक्षा में यह याद रखें कि यह लिपि अभी पूरी तरह पढ़ी नहीं गई है। / The Indus script contains small pictographic signs. For exams remember that it has not been fully deciphered.
समान जड़ों के लिए ((m-5)2-36=0) होगा। इसलिए \(m-5=\pm6\), अतः (m=11) या (m=-1)। / For equal roots, ((m-5)2-36=0). Thus \(m-5=\pm6\), so (m=11) or (m=-1).
मूल (-6) और (-7) हैं क्योंकि ((x+6)(x+7)=0)। योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूल ऋणात्मक होते हैं। / The roots are (-6) and (-7) because ((x+6)(x+7)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
मूल (-3) और (-6) हैं क्योंकि ((x+3)(x+6)=0)। योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूल ऋणात्मक होते हैं। / The roots are (-3) and (-6) because ((x+3)(x+6)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
मूल (-5) और (-2) हैं क्योंकि ((x+5)(x+2)=0)। योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूल ऋणात्मक होते हैं। / The roots are (-5) and (-2) because ((x+5)(x+2)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
C. एक धनात्मक और एक ऋणात्मक/One positive and one negative
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक गुणनफल तभी मिलता है जब एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक हो। \(\alpha\beta<0\) संकेतों की जांच का छोटा संकेत है। / A negative product occurs when one root is positive and the other is negative. \(\alpha\beta<0\) is a quick sign check.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2p=24), इसलिए (p=12) और (q=5)। प्रतिच्छेद के निर्देशांक दोनों समीकरणों को साथ-साथ संतुष्ट करते हैं। / Adding the two equations gives (2p=24), so (p=12) and (q=5). Coordinates of the intersection satisfy both equations together.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2p=18), इसलिए (p=9) और (q=4)। प्रतिच्छेद के निर्देशांक दोनों समीकरणों को साथ-साथ संतुष्ट करते हैं। / Adding the two equations gives (2p=18), so (p=9) and (q=4). Coordinates of the intersection satisfy both equations together.
(y)-अक्ष पर (x=0) होता है। पहले युग्म में (x=0) रखने पर दोनों समीकरण (y=6) देते हैं। / On the (y)-axis, (x=0). In the first pair, putting (x=0) gives (y=6) in both equations.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2a=10), इसलिए (a=5) और (b=4)। प्रतिच्छेद के निर्देशांक समीकरणों को साथ-साथ संतुष्ट करते हैं। / Adding the two equations gives (2a=10), so (a=5) and (b=4). Coordinates of an intersection satisfy both equations together.
(x)-अक्ष पर (y=0) होता है। पहले युग्म में (y=0) रखने पर दोनों से (x=4) मिलता है। / On the (x)-axis, (y=0). In the first pair, putting (y=0) gives (x=4) from both equations.
A. बिंदु (\left\(8,\frac{18}{5}\right\))/Point (\left\(8,\frac{18}{5}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (x=8), फिर (8+5y=26) से \(y=\frac{18}{5}\)। यही दोनों रास्तों का मिलन बिंदु है। / Subtracting the equations gives (x=8), then (8+5y=26) gives \(y=\frac{18}{5}\). This is the meeting point of both paths.
A. बिंदु (\left\(7,\frac{18}{5}\right\))/Point (\left\(7,\frac{18}{5}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=14), फिर (x=7) और (7+5y=25) से \(y=\frac{18}{5}\)। यही ग्राफीय प्रतिच्छेद है। / Subtracting the equations gives (2x=14), then (x=7) and (7+5y=25) gives \(y=\frac{18}{5}\). This is the graphical intersection.
A. बिंदु (\left\(\frac{25}{7},\frac{23}{7}\right\))/Point (\left\(\frac{25}{7},\frac{23}{7}\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(\frac{25}{7},\frac{23}{7}\right\)) रखने पर दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। भिन्न निर्देशांक को ग्राफ के पैमाने से सावधानीपूर्वक पढ़ें। / (\left\(\frac{25}{7},\frac{23}{7}\right\)) satisfies both equations. Read fraction coordinates carefully using the graph scale.
A. बिंदु (\left\(8,\frac{13}{5}\right\))/Point (\left\(8,\frac{13}{5}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (x=8), फिर (8+5y=21) से \(y=\frac{13}{5}\)। यही ग्राफीय प्रतिच्छेद है। / Subtracting the equations gives (x=8), then (8+5y=21) gives \(y=\frac{13}{5}\). This is the graphical intersection.
B. बिंदु (\left\(3,\frac{5}{2}\right\))/Point (\left\(3,\frac{5}{2}\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(3,\frac{5}{2}\right\)) रखने पर दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। ग्राफ में भिन्न निर्देशांक को पैमाने से सावधानीपूर्वक पढ़ें। / (\left\(3,\frac{5}{2}\right\)) satisfies both equations. Read fraction coordinates carefully using scale on the graph.
A. बिंदु (\left\(4,\frac{7}{2}\right\))/Point (\left\(4,\frac{7}{2}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण जोड़ने पर (4x=16), इसलिए (x=4)। फिर (x+2y=11) से \(y=\frac{7}{2}\)। / Adding the equations gives (4x=16), so (x=4). Then (x+2y=11) gives \(y=\frac{7}{2}\).
A. बिंदु (\left\(-3,10\right\))/Point (\left\(-3,10\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x=-3) रखने पर (2\left\(-3\right\)+y=4), इसलिए (y=10)। ऊर्ध्वाधर रेखा में (x) का मान पहले से निश्चित होता है। / Putting (x=-3) gives (2\left\(-3\right\)+y=4), so (y=10). In a vertical line, the value of (x) is already fixed.
A. बिंदु (\left\(4,-3\right\))/Point (\left\(4,-3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(y=-3) रखने पर (4x-\left\(-3\right\)=19), इसलिए (x=4)। क्षैतिज रेखा में (y) निश्चित रहता है। / Putting (y=-3) gives (4x-\left\(-3\right\)=19), so (x=4). In a horizontal line, (y) is fixed.
(x=-2) रखने पर (3(-2)+y=1), इसलिए (y=7)। ऊर्ध्वाधर रेखा में (x) का मान निश्चित रहता है। / Putting (x=-2) gives (3(-2)+y=1), so (y=7). In a vertical line, the value of (x) is fixed.
( (2,-1) ) रखने पर (2(2)-(-1)=5) और (2+2(-1)=0)। दोनों सत्य हों तो वही हल है। / Substituting ( (2,-1) ) gives (2(2)-(-1)=5) and (2+2(-1)=0). If both are true, that point is the solution.
(y=-1) रखने पर (2x-(-1)=9), इसलिए (x=4)। क्षैतिज रेखा में (y) तय रहता है। / Putting (y=-1) gives (2x-(-1)=9), so (x=4). In a horizontal line, (y) is fixed.
बिंदु ( (14,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर है। अवरोधों के प्रश्नों में यह बात उपयोगी है। / In the point ( (14,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This is useful in intercept questions.
बिंदु ( (0,12) ) में (x=0), इसलिए यह (y)-अक्ष पर है। अक्ष पहचानना ग्राफ पढ़ने में मदद करता है। / In the point ( (0,12) ), (x=0), so it lies on the (y)-axis. Identifying axes helps in reading graphs.
बिंदु ( (9,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर स्थित है। अवरोधों में यह पहचान बहुत उपयोगी होती है। / In the point ( (9,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This identification is very useful for intercepts.
बिंदु ( (0,8) ) में (x=0), इसलिए यह (y)-अक्ष पर स्थित है। अक्षों पर बिंदु पहचानना ग्राफ पढ़ने में मदद करता है। / In the point ( (0,8) ), (x=0), so it lies on the (y)-axis. Identifying points on axes helps in graph reading.
दोनों अक्ष ( (0,0) ) पर मिलते हैं। ग्राफ पढ़ते समय मूलबिंदु से निर्देशांक गिनना आसान होता है। / Both axes meet at ( (0,0) ). While reading a graph, it is easy to count coordinates from the origin.
x-अक्ष पर कटान बिंदु बहुपद के शून्य (roots) के x‑निर्देशांक होते हैं: 0, d और −d। इनके गुणनफल से मिलता है \(0\times d\times(-d)=0\)। निकटभ्रामक विकल्प \(-d^2\) केवल d और −d के गुणनफल से आता है और उस में 0 को शामिल नहीं करता — परन्तु यहाँ 0 भी एक शून्य है, इसलिए संपूर्ण गुणनफल 0 होगा। परीक्षा टिप: यदि शून्य (0) किसी भी शून्य में से मौजूद हो तो कुल गुणनफल तुरंत 0 हो जाता है। / The x-intercepts give the polynomial's zeros: 0, d and −d. Their product is \(0\times d\times(-d)=0\). The closest distractor \(-d^2\) is the product of d and −d only, which ignores the zero root; since 0 is one of the zeros the overall product is 0. Exam tip: whenever one root is 0 (graph passes through origin), the product of all roots is immediately 0.
यदि किसी बहुपद के ग्राफ़ पर निम्नलिखित मान दिए गए हों: \(p(-4)=0\), \(p(0)=3\), \(p(2)=0\), \(p(5)=0\)। इनमें से कितने दिए गए \(x\)-मान बहुपद के शून्यक (zeros) हैं?
शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) और \(p(5)=0\) हैं, इसलिए तीन शून्यक हैं। \(p(0)=3\) शून्य नहीं है। परीक्षात्मक टिप: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ वक्र x-अक्ष (यानी \(y=0\)) को काटता है। / A zero is an \(x\) such that \(p(x)=0\). Here \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) and \(p(5)=0\), so there are three zeros. \(p(0)=3\) is not a zero. Exam tip: on the graph, zeros are the x-values where the curve meets the x-axis (y=0).
x-अक्ष पर कटान बिंदु वह बिंदु है जहाँ p(x)=0 होता है और y मान शून्य होता है। \(p(x)=3x-15\) को शून्य रखें: \(3x-15=0\) से \(x=5\) प्राप्त होता है। अतः कटान बिंदु \((5,0)\) है। निकटभ्रामक विकल्प \((0,-15)\) y-अक्ष पर कटान (y-intercept) है क्योंकि \(p(0)=-15\)। परीक्षात्मक सुझाव: रैखिक बहुपद के x-अक्ष का छेद पाने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखें और परिणाम को \((x,0)\) रूप में लिखें। / An x-intercept occurs where p(x)=0 (y=0). Set \(p(x)=3x-15=0\) which gives \(x=5\), so the x-intercept is \((5,0)\). The option \((0,-15)\) is the y-intercept because \(p(0)=-15\). Exam tip: For a linear polynomial set \(p(x)=0\) to find the x-value, then write the intercept as \((x,0)\).
बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जिसके लिए y‑मान शून्य होता है, यानी जब \,f(x)=0\, या सामान्य रूप से \(y=0\)। बिंदु (5, 0) में y=0 है, इसलिए x=5 निश्चित रूप से शून्यक है। बिंदु (2, 3) में y=3 है इसलिए x=2 शून्यक नहीं है; विकल्प d (x=0) तब ही शून्यक होता अगर ग्राफ पर (0,0) मौजूद होता। परीक्षात्मक टिप: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले हमेशा उसकी y‑सहित दोनों निर्देशांकों को जाँचें — शून्यक के लिए y=0 आवश्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x‑value for which the y‑value is zero, i.e. \(f(x)=0\) or \(y=0\). The point (5, 0) has y=0, so x=5 is definitely a zero. The point (2, 3) has y=3, so x=2 is not a zero; x=0 would be a zero only if the graph contained (0, 0). Exam tip: always check the y‑coordinate — an x‑value is a root only when the corresponding y is zero.
बहुपद का शून्यक \(x=a\) होने का अर्थ है कि \(p(a)=0\)। ग्राफ़ पर इसका मतलब है कि बिंदु \((a,0)\) मौजूद है। इसलिए \(x=9\) शून्यक होने के लिए बिंदु \((9,0)\) होना आवश्यक और पर्याप्त है। गलत विकल्पों का संक्षेप में कारण: \((0,9)\) और \((9,9)\) में y ≠ 0 है, इसलिए वे शून्यक नहीं दर्शाते; \((-9,0)\) पर y = 0 जरूर है पर x = -9 है न कि 9। परिक्षा टिप: शून्यक की जाँच के लिए हमेशा y = 0 (x-अक्ष) देखें। / A zero \(x=a\) of a polynomial means \(p(a)=0\). On the graph this appears as the point \((a,0)\). Thus to show \(x=9\) is a zero the graph must contain \((9,0)\). Why other options fail: \((0,9)\) and \((9,9)\) have y ≠ 0 so they are not x-intercepts; \((-9,0)\) has y = 0 but x = -9, not 9. Exam tip: to test a claimed zero, check whether the point with that x-coordinate lies on the x-axis (y=0).
x-अक्ष पर किसी बिंदु \((a,0)\) का x-निर्देशांक \(a\) उस बहुपद का शून्यक होता है। यहाँ शून्यक हैं \(-3,0,6\)। उनका योग \(-3+0+6=3\)। निकटभ्रामक विकल्प: 6 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल सकारात्मक दो शून्यों का जोड़ नहीं है; -3 और 0 को भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: x-अक्ष के परस्पर छेद के x-निर्देशांकों को ही शून्यक मानकर सीधे जोड़ें। / A point \((a,0)\) on the x-axis corresponds to a zero \(a\) of the polynomial. The zeros here are \(-3,0,6\), so their sum is \(-3+0+6=3\). Why other choices are wrong: 6 is incorrect because it ignores the contribution of \(-3\) and \(0\). Exam tip: take the x-coordinates of all x-intercepts (including the origin) and add them directly.
एक बहुपद का शून्य वही x-निर्देशांक होता है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। दिए गए बिंदु \((r,0)\) का प्रथम निर्देशांक \(r\) है और शर्त में \(r>0\) दिया है, अतः शून्य धनात्मक होगा। विकल्प A गलत है क्योंकि वह \(r>0\) के विपरीत कहता है; विकल्प C तब ही सही होगा जब \(r=0\) हो, जो यहाँ नहीं दिया गया; विकल्प D गलत है क्योंकि x-अक्ष पर कटान का मौजूद होना शून्य के होने की प्रत्यक्ष पहचान है। परीक्षा-टिप: किसी भी x-अक्ष के कटान पर बिंदु का पहला निर्देशांक ही शून्य (root) होता है और उसका चिह्न उसी संख्या से मिलता है। / The root (zero) of a polynomial is the x-coordinate where its graph meets the x-axis. At the point \((r,0)\) the x-coordinate is \(r\), and since \(r>0\) the root is positive. Option A is wrong because it contradicts \(r>0\); option C would be true only if \(r=0\), which is not given; option D is incorrect because an x-axis intersection means the polynomial evaluates to zero there. Exam tip: read the x-coordinate of the intercept to get the root and its sign.
B. ग्राफ (0,0) से गुजरता है/The graph passes through (0,0)
Explanation
Simple Explanation
यदि बहुपद को हम p(x) मानें तो 0 वास्तविक शून्यक तभी होगा जब \(p(0)=0\)। ज्यामितीय अर्थ में यह तब होता है जब बहुपद का ग्राफ मूल बिंदु (0,0) से गुज़रता है। विकल्प C (ग्राफ (5,0) से गुजरना) केवल बताता है कि \(p(5)=0\) यानी 5 एक शून्यक है, परन्तु 0 नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद में x=0 रखकर तुरंत \(p(0)\) निकालें — अगर परिणाम 0 आए तो 0 शून्यक है। / If the polynomial is denoted by p(x), 0 is a real zero exactly when \(p(0)=0\). Geometrically this means the graph passes through the origin (0,0). Choice C (graph passing through (5,0)) indicates \(p(5)=0\), so 5 is a root but not 0. Exam tip: substitute x=0 into the polynomial; if \(p(0)=0\) then 0 is a root.
x-अक्ष पर दो बिंदुओं x1 और x2 के बीच की दूरी उनके x-निर्देशांकों के अंतर का परिमाण होती है। यहाँ दूरी = |9 - (-4)| = |9 + 4| = 13। विकल्प B (9) गलत है — यह केवल एक शून्यक का मान है, न कि दोनों के बीच की दूरी। विकल्प A (5) गलत होगा जब कोई गलती से 9 - 4 कर ले। विकल्प D (-13) गलत है क्योंकि दूरी हमेशा धनात्मक होती है। परीक्षा टिप: दूरी के लिये हमेशा परिमाण (absolute value) लें, यानी |x2 - x1|। / Distance on the x-axis between two points x1 and x2 is the absolute difference |x2 - x1|. Here distance = |9 - (-4)| = |9 + 4| = 13. Option B (9) is wrong — it is just one zero’s coordinate, not the separation. Option A (5) is a common mistake from doing 9 - 4 instead of 9 - (-4). Option D (-13) is invalid because distance cannot be negative. Exam tip: always use absolute value: distance = |x2 - x1|.
बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जिन पर y का मान शून्य होता है। यहाँ दिए गए बिंदुओं में केवल (-4,0) और (2,0) पर y = 0 है, अतः वास्तविक शून्यक -4 और 2 हैं। विकल्प B भ्रमित करने वाला है क्योंकि (0,3) में x=0 है पर y=3 (शून्य नहीं) और (5,-1) में y=-1 है; इसलिए वे शून्यक नहीं हैं। परीक्षात्मक टिप: केवल उन बिंदुओं को चुनें जो x-अक्ष पर पड़े हों यानी जहाँ \\(y=0\\)। / Zeros of a polynomial are the x-values where the function value is zero. Among the given points only (-4,0) and (2,0) have y = 0, so the real zeros are -4 and 2. Option B is a common trap: (0,3) has x=0 but y=3 (not zero), and (5,-1) has y=-1, so neither gives a zero. Exam tip: pick points lying on the x-axis, i.e. where \(y=0\).
x-अक्ष के परकीय बिंदु शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक -10 और 0 हैं। उनका गुणनफल (-10) × 0 = 0 होगा क्योंकि किसी भी संख्या का 0 से गुणनफल 0 होता है. निकटवर्ती विचलन: 100 विकल्प तब गलत है जब कोई |−10|×|−10| मानकर भूल कर देता है। परीक्षा टिप: यदि आलेख origin (0,0) पर कटता है तो 0 एक शून्यक जरूर है। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial. Here the zeros are -10 and 0, so their product is (-10) × 0 = 0 because any number multiplied by 0 equals 0. Closest distractor: 100 is wrong; it would arise only if one mistakenly multiplied 10 by 10. Exam tip: if the graph passes through the origin (0,0), 0 is always one of the roots.
शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य हो और समीकरण \(p(x)=0\) पूरा हो। \(p(x)=x^2-1\) के लिए \(p(\pm1)=1-1=0\), अतः बिंदु (-1,0) और (1,0) ग्राफ़ पर शून्यक हैं। परन्तु \(p(0)=0^2-1=-1\), अतः बिंदु (0,-1) में y = -1 है और यह शून्यक नहीं दर्शाता। निकटतम भ्रामक विकल्प D गलत है क्योंकि वह कहता है कि दोनों (-1,0) और (1,0) शून्यक नहीं हैं—वास्तव में दोनों शून्यक हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु (a,b) की जाँचना हो तो p(a) निकालें; यदि p(a)=0 और b=0 हों तो वह शून्यक है। / Zeros (roots) occur where the graph has y = 0, i.e., where \(p(x)=0\). For \(p(x)=x^2-1\), \(p(\pm1)=1-1=0\), so (-1,0) and (1,0) are zeros. But \(p(0)=0^2-1=-1\), so (0,-1) has y = -1 and is not a zero. The closest distractor D is wrong because it claims both (-1,0) and (1,0) are not zeros, whereas both actually are. Exam tip: to test a point (a,b), compute p(a); if p(a)=0 (and b=0 on the graph) then it's a zero.
यदि \(p(a)=0\), तो \(x=a\) पर फलन का मान शून्य होता है, अतः बिंदु \((a,0)\) ग्राफ पर होता है। यहाँ \(p(-2)=0\) और \(p(3)=0\) होने पर क्रमशः बिंदु \((-2,0)\) और \((3,0)\) ग्राफ पर होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह x‑समन्वय 0 मानकर y‑मूल्यों को पहले और दूसरे समन्वय के स्थान पर उल्टा डालता है; विकल्प C और D दोनों में समन्वय और मान बदल दिए गए हैं और इसलिए गलत हैं. टिप: शॉर्ट‑हैंड में याद रखें — शून्य देने वाला x‑मान पहले समन्वय में और शून्य हमेशा y‑समन्वय होता है। / If \(p(a)=0\), then at \(x=a\) the function value is zero, so the graph contains the point \((a,0)\). Given \(p(-2)=0\) and \(p(3)=0\), the corresponding points are \((-2,0)\) and \((3,0)\). Option B is the closest distractor: it mistakenly treats the zeros as y‑coordinates at \(x=0\). Options C and D swap or pair coordinates incorrectly, so they are not points where the polynomial equals zero. Exam tip: the x‑value that makes the polynomial zero is the first coordinate; the y‑coordinate is 0.
शुन्यक (root) का अर्थ वह x‑मान है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को छेदता है, अर्थात् \(y=0\)। गणना: \(4x+12=0\) से \(4x=-12\) और इसलिए \(x=-3\)। विकल्प B (3) आम गलती है — साइन उल्टा लेना; विकल्प D (−12) तब होगा जब कोई \(4x= -144\) जैसा गलत रूप बनाये। परीक्षकीय टिप: शून्यक पाने के लिए सीधे \(y=0\) रखें और हल करें; हल करने के बाद परिक्षण के लिए मूल मान पर पुनः_SUBSTITUTE करके देखें कि \(y=0\) आता है। / The zero (root) is the x-value where the graph crosses the x-axis, so set \(y=0\). Solve: \(4x+12=0\) gives \(4x=-12\) and \(x=-3\). Option B (3) is a common sign mistake — the correct solution is negative. Option D (−12) is incorrect and results from a wrong manipulation of the equation. Exam tip: always set \(y=0\) to find the root and substitute back to verify that \(y=0\) is obtained.
हर रेखीय कारक को शून्य मानकर शून्यांक निकाले जाते हैं: \(x+7=0\) से \(x=-7\) और \(x-1=0\) से \(x=1\)। x-अक्ष पर y का मान 0 होता है, अतः बिंदु \\((-7,0)\\) और \\((1,0)\\) होंगे। विकल्प A में संकेत उल्टे हैं, विकल्प B y-अक्ष के बिंदु हैं और विकल्प D अनावश्यक अवयव दे रहा है। परीक्षा टिप: प्रत्येक कारक को 0 के बराबर रखें और प्राप्त x-मूलों के साथ y=0 लिखें। / Set each linear factor to zero: \(x+7=0\) gives \(x=-7\) and \(x-1=0\) gives \(x=1\). For x-axis intercepts y=0, so the points are (-7,0) and (1,0). Option A has the signs reversed; option B lists y-axis points; option D gives unrelated coordinates. Exam tip: equate each factor to zero to find x-zeros, then pair with y=0 for the intercepts.
x-अक्ष पर कटान बिंदु (a,0) का अर्थ है कि उस फ़ंक्शन/बहुपद का मान x=a पर शून्य है। अतः (a,0), (b,0), (c,0) से शून्यक क्रमशः a, b, c होते हैं। विकल्प A तब ही सही होगा जब a=b=c=0, जो सामान्य रूप में सत्य नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि a+0 = a आदि लिखा जा सकता है — यह सिर्फ अनावश्यक रूप है, न कि अमान्य। विकल्प D गलत है क्योंकि दिए गए तीनों कटान बिंदु तीनों शून्य दर्शाते हैं, न कि केवल c। परीक्षा-टिप: किसी x-अक्ष कटान (α,0) से सीधे α को शून्यक समझें। / An x-intercept (a,0) means the function (or polynomial) equals zero at x=a, so the zeros are a, b and c respectively. Choice A would only be true if a=b=c=0, which need not hold. Choice C is incorrect because a+0 = a (writing it that way is valid but redundant). Choice D is wrong because all three intercepts give zeros, not only c. Exam tip: read the x-coordinate of an x-intercept (α,0) as a zero of the polynomial.
यदि \(x=7\) बहुपद \(p(x)\) का शून्यक है तो \(p(7)=0\) होगा। ग्राफ पर जहाँ क्रिया का मान (y) शून्य होता है वहीं x-अक्ष पर बिंदु आता है, अतः बिंदु \((7,0)\) अवश्य होगा। विकल्प (0,7) में x और y उलटे हैं, (7,7) में y शून्य नहीं है, और (-7,0) तब होगा जब \(x=-7\) शून्यक हो। टिप: किसी शून्यक \(r\) के लिए ग्राफ पर बिंदु \((r,0)\) ढूँढें। / If \(x=7\) is a zero of the polynomial \(p(x)\), then \(p(7)=0\). Points where the polynomial value is zero lie on the x-axis, so the graph must contain (7,0). (0,7) swaps coordinates, (7,7) has a nonzero y-value, and (-7,0) would correspond to \(x=-7\) being a root. Exam tip: for any root r, the graph meets the x-axis at (r,0).
यदि \(p(a)=0\) तो बिंदु का x-निर्देशांक \(a\) और y-निर्देशांक \(p(a)=0\) होगा, इसलिए वह बिंदु \((a,0)\) है। इसी तरह \(p(b)=0\) से बिंदु \((b,0)\) मिलेगा। इसलिए आलेख x-अक्ष को बिंदुओं \((a,0)\) और \((b,0)\) पर काटता है। भ्रमित करने वाला विकल्प \((0,a)\) और \((0,b)\) इसलिए गलत है क्योंकि वे y-अक्ष पर बिंदु हैं (x=0) और उन पर पहुँचने के लिए हमें \(p(0)=a\) या \(p(0)=b\) चाहिए होता, जो दिया नहीं है। परीक्षा-सुझाव: x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदुओं के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखकर x के मान निकालें; यदि कोई शून्य की पुनरावृत्ति (multiplicity) सम है तो ग्राफ़ छू सकता है, विषम होने पर काटता है। / If \(p(a)=0\), the point on the graph has x-coordinate \(a\) and y-coordinate \(p(a)=0\), i.e. the point \((a,0)\). Similarly \(p(b)=0\) gives \((b,0)\). Thus the graph meets the x-axis at \((a,0)\) and \((b,0)\). The tempting option \((0,a)\) and \((0,b)\) is wrong because those are points on the y-axis (x=0) and would correspond to values like \(p(0)=a\), which is not given. Exam tip: find x-intercepts by solving \(p(x)=0\); note multiplicity — even multiplicity may cause the graph to touch the axis, odd multiplicity makes it cross.
बहुपद के शून्यक वे x‑मान होते हैं जहाँ ग्राफ़ y=0 को काटता है (यानी x‑अक्ष के छेद)। दिए गए बिंदुओं में (1,0) और (4,0) x‑अक्ष पर हैं इसलिए शून्यक 1 और 4 हैं। (0,6) y‑अक्ष पर है (y=6), इसलिए 6 शून्यक नहीं है। निकटतम भ्रमित विकल्प C गलत है क्योंकि उसने 6 को भी शामिल किया जो y‑मान है न कि कोई x‑मान जहाँ y=0। टिप: शून्यक खोजते समय हमेशा बिंदु का y‑मान चेक करें — केवल y=0 वाले बिंदु दें। / Zeros (roots) of a polynomial are the x‑values where the graph meets y=0 (the x‑axis). Here (1,0) and (4,0) lie on the x‑axis, so the zeros are 1 and 4. The point (0,6) is a y‑intercept (y=6), so 6 is not a zero. The closest distractor (C) is wrong because it incorrectly includes 6, which is a y‑coordinate, not an x‑coordinate with y=0. Exam tip: verify y=0 for any intercept before calling its x‑value a root.
A. यह y-अक्ष पर स्थित कटान है और इसमें y\neq0 है, इसलिए 7 शून्यक नहीं है/It is a y-axis intercept with y\neq0, so 7 is not a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (root) का अर्थ वह x‑मान है जहाँ ग्राफ का y‑मान शून्य हो यानी बिंदु का दूसरा निर्देशांक 0 होना चाहिए (उदा. (a,0)). बिंदु (0,7) में y=7 है, इसलिए यह x‑अक्ष पर नहीं है बल्कि y‑अक्ष कटान (y‑intercept) है; 7 y‑सह‑निर्देशांक है न कि शून्यक। नज़दीकी भ्रम (विकल्प C) गलत है क्योंकि x=0 होना शर्त नहीं है कि y वह शून्यक हो—शून्यक के लिये y=0 चाहिए। परीक्षा सुझाव: रूट देखने के लिये हमेशा बिंदु का दूसरा निर्देशांक (y) 0 है या नहीं जांचें। / A zero (root) of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, so the point must have y=0 (e.g. (a,0)). The point (0,7) has y=7, so it is a y‑axis intercept (y‑intercept), not an x‑intercept; 7 is the y‑coordinate, not a root. The closest distractor (option C) is wrong because x=0 alone does not make 7 a root—the y coordinate must be 0. Exam tip: to identify a root from a point, always check that the second coordinate equals 0.
x-अक्ष पर किसी बिंदु का अर्थ है उस बिंदु का y-मान शून्य होना। इसलिए यदि आलेख x = 10 पर x-अक्ष को काटता है तो बहुपद का मान \(p(10)=0\) होगा। विकल्प (D) सबसे निकटका भ्रमक है क्योंकि \(p(-10)=0\) होने का मतलब जड़ x = -10 है, जो हमें दिया नहीं गया। विकल्प (B) और (C) गलत हैं क्योंकि वे क्रमशः x = 0 पर मान और x = 10 पर मान को 10 मानते हैं, जो x-अक्ष पर कटान के अर्थ के विपरीत हैं। परीक्षा-tip: कोई भी दिए हुए x-संयोजन को बहुपद में रखकर देखें — अगर मान 0 आए तो वह x-अक्ष पर कट बिंदु है। / An intersection with the x-axis at x = 10 means the function value (y) is zero at x = 10, so \(p(10)=0\). The closest distractor is (D): \(p(-10)=0\) would mean the root is at x = -10, which is not stated. Options (B) and (C) are incorrect because they assert numeric values at x = 0 or x = 10 that contradict the x-axis intersection. Exam tip: substitute the given x-coordinate into the polynomial — if the result is 0, that x is a zero (root).
A. आलेख (-6,0) पर x-अक्ष को काटे/The graph cuts the x-axis at (-6, 0)
Explanation
Simple Explanation
किसी संख्या a का बहुपद में शून्यक होने का अर्थ है p(a)=0। यदि (-6) शून्यक है तो ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (-6,0) पर काटेगा क्योंकि उस x के लिए y का मान 0 होगा। विकल्प B का अर्थ है p(0) = -6 (x = 0 पर y = -6) — शून्य नहीं। विकल्प C में चिन्ह गलत है (+6), और विकल्प D में y = 6 है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक की पहचान के लिए हमेशा देखिए कि किस x पर y = 0 होता है। / A number a is a zero (root) of a polynomial if p(a)=0. If (-6) is a zero, the graph meets the x-axis at (-6, 0) because the y-value there is 0. Option B means p(0) = -6 (y ≠ 0 at x=0). Option C has the wrong sign (+6 instead of -6). Option D gives y = 6 at x = -6, so not a root. Exam tip: zeros correspond specifically to x-intercepts (points where y = 0).
A. आलेख (3,0) से गुजरे/The graph passes through (3,0)
Explanation
Simple Explanation
यदि 3 बहुपद p(x) का शून्यक है तो p(3)=0 होगा। ग्राफ y=p(x) पर x=3 पर y का मान 0 होना चाहिए, यथा बिंदु (3,0) ग्राफ पर स्थित होगा। विकल्प B और C में y ≠ 0 है और इसलिए शून्यक नहीं बनाते; विकल्प D में y=0 सही है पर x = -3 है न कि 3। परीक्षा टिप: किसी संख्या a का शून्यक होने का मतलब है ग्राफ का x-अक्ष के साथ अंतरछेद (a,0) होना। / If 3 is a zero of the polynomial p(x), then p(3)=0. Geometrically the graph y = p(x) must pass through the x-intercept (3,0). Options B and C fail because their y-coordinate is not zero; option D has y=0 but x = -3, not 3. Exam tip: a number a is a zero iff the curve meets the x-axis at (a,0).
किसी बहुपद f(x) का शून्यक a वह मान है जहाँ f(a)=0। ग्राफ़ के संदर्भ में यह x-अक्ष पर बिंदु (a,0) के रूप में दिखता है क्योंकि y‑निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए (9,0) दिखाता है कि x=9 पर बहुपद का मान शून्य है। विकल्प (0,9), (9,9) और (0,-9) में y‑निर्देशांक शून्य नहीं है इसलिए वे शून्यक नहीं दर्शाते। परीक्षा सुझाव: शून्यक खोजने के लिए हमेशा ऐसे बिंदु चुनें जिनका y‑coördinate 0 हो। / A zero a of a polynomial f(x) satisfies f(a)=0. On the graph this corresponds to an x‑intercept at the point (a,0), i.e. the y‑coordinate is zero. Thus (9,0) indicates the polynomial is zero at x=9. The other choices have y≠0, so they cannot represent zeros. Exam tip: look for points on the x‑axis (y=0) to identify zeros quickly.
किसी भी फलन के लिए \(y=p(x)\) मानकर देखें। \(p(-4)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=-4\) हो तो \(y=0\) होता है, इसलिए क्रमबद्ध युग्म (-4, 0) ग्राफ़ पर होगा। नज़दीकी भूलभुलैया: (0, -4) में x और y उलट दिये गये हैं; (4,0) में x का मुद्रांक गलत है; (-4,-4) में y शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: हमेशा \(p(x)\) को \(y\) मानकर ordered pair लिखें: \((x, p(x))\). / Interpret the polynomial as the function \(y=p(x)\). \(p(-4)=0\) means at \(x=-4\) the value is \(y=0\), so the graph must contain the point (-4, 0). Common mistakes: (0, -4) swaps x and y; (4, 0) uses the wrong x-value; (-4, -4) gives the wrong y-value. Exam tip: write the ordered pair as (x, p(x)) to convert a root into a point on the graph.
शून्यक का अर्थ है वह x‑समन्वय जहाँ अवकलित फलन का मान \(y=0\) होता है यानी रेखा x‑अक्ष को काटती है। रेखा \(y=5-x\) के लिए \(y=0\) रखें: \(5-x=0\Rightarrow x=5\)। अतः शून्यक 5 है। निकटतम भ्रमजनक विकल्प 0 इसलिए गलत है क्योंकि यदि \(x=0\) रखें तो \(y=5\) मिलता है, न कि 0। परीक्षात्मक टिप: शून्यक पाने के लिए हमेशा \(y=0\) रखना और x हल करना याद रखें। / The zero (x-intercept) is the x-coordinate where the function value \(y=0\). For \(y=5-x\), set \(y=0\): \(5-x=0\Rightarrow x=5\). So the zero is 5. A common error is choosing 0 (confusing x=0 with y=0); if \(x=0\) then \(y=5\), not 0. Exam tip: to find the zero always set \(y=0\) and solve for x.
यदि किसी बिंदु का रूप (a, 0) है तो वह x-अक्ष पर एक शून्यक देता है क्योंकि y = 0 होता है। दिए गए बिंदुओं के x-निर्देशांक 0 और 3 हैं, अतः शून्यक 0 और 3 होंगे। निकटतम भ्रांत विकल्पों की जाँच: विकल्प B में 1 का कोई बिंदु नहीं दिया गया, इसलिए गलत है; विकल्प C में −3 का संकेत गलत है; विकल्प D अधूरा है क्योंकि दोनों बिंदु शून्यक देते हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी x-अक्ष पर बिंदु (a,0) हो तो तुरंत a को शून्यक मानें। / A point (a, 0) on the x-axis corresponds to a zero because the polynomial (or graph) takes value 0 at x = a. Here the x-coordinates are 0 and 3, so the zeros are 0 and 3. Why other options fail: option B includes 1 which is not given; option C has −3 which is incorrect sign; option D ignores the origin (0,0). Exam tip: For any x-intercept (a,0), record a as a root immediately to avoid sign errors.
यदि किसी बहुपद का शून्यक a है तो बहुपद a पर शून्य देता है, अर्थात् उस बिंदु पर y=0 होगा — इसलिए वह बिंदु \,\((a,0)\) होता है। शून्यक 1 और 4 के लिए कटान बिंदु \,\((1,0)\) और \,\((4,0)\) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह y-अक्ष के उपर के बिंदु दिखाता है (x=0); C गलत है क्योंकि वहाँ y≠0 होने पर x-अक्ष पर कटान नहीं होता; D गलत है क्योंकि संकेत उल्टे दिए गए हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को हमेशा x-निर्देशांक समझें — x=a पर y=0। / If a polynomial has a zero a, the graph takes the value 0 at x=a, so the intersection point with the x-axis is (a,0). For zeros 1 and 4 the graph meets the x-axis at (1,0) and (4,0). Option B lists points on the y-axis (x=0), C lists points with y≠0 so they are not x-intercepts, and D has the wrong signs. Exam tip: a zero gives the x-coordinate of the intercept; set y=0 to find the points.
बिंदु (6, 0) का अर्थ है कि x = 6 पर y का मान 0 है। चूँकि y = p(x), इसलिए जब x = 6 होगा तो p(6) = 0। सामान्य त्रुटि: कुछ छात्र x‑निर्देशांक 6 को p(6) समझ लेते हैं — यह गलत है क्योंकि x‑मान और फलन मान अलग होते हैं। टिप: किसी भी ग्राफ़ का x‑अक्ष पर अंतर्प्रवेश हमेशा फलन का मान 0 देता है (बहुपद के शून्य या मूल)। / The point (6, 0) means that at x = 6 the function value y is 0. Since y = p(x), we have p(6) = 0. Common mistake: confusing the x-coordinate 6 with the function value p(6). Exam tip: an intersection with the x-axis always gives a function value of 0 — this corresponds to a root/zero of the polynomial.
यदि बहुपद का रूप
\(p(x)=c\) जहाँ \(c\neq0\) हो, तो उसका ग्राफ क्षैतिज रेखा \(y=c\) होगा जो \(x\)-अक्ष को नहीं काटती; इसलिए किसी भी \(x\) पर \(p(x)\neq0\) होगा और शून्यक संख्या शून्य होगी। निकटवर्ती भ्रम: रैखिक बहुपद (degree 1) सामान्यतः एक शून्यक देता है क्योंकि उसकी रेखा \(x\)-अक्ष को एक बिंदु पर काटती, पर यहाँ रेखा क्षैतिज और \(c\neq0\) है। विशेष मामला: यदि \(c=0\) (यानी \(p(x)=0\), शून्य बहुपद) तो हर \(x\) पर शून्य होता है — अनंत शून्यक। परीक्षा टिप: पहले बहुपद की डिग्री और स्थिर पद \(c\) की जाँच करें। / If \(p(x)=c\) with \(c\neq0\), the graph is the horizontal line \(y=c\) which does not meet the x-axis, so \(p(x)\) is never zero and there are zero roots. Common confusion: a linear (degree 1) polynomial meets the x-axis once, but a nonzero constant is degree 0 and never crosses. Special case: if \(c=0\) (the zero polynomial \(p(x)=0\)), every x is a root (infinitely many roots). Exam tip: always check the degree and the constant term first.
किसी बहुपद का x-अक्ष पर कटान बिंदु (a, 0) के रूप में दिया हो तो उस बहुपद का शून्यक वही x-निर्देशांक a होता है। यहाँ कटान (-2, 0) है, अतः शून्यक -2 है। निकटतम ग़लत विकल्प 2 इसलिए गलत है क्योंकि वह मान का चिन्ह उल्टा है। परीक्षा टिप: x-अक्ष के कटान को (x,0) के रूप में लिखकर हमेशा x‑निर्देशांक लें। / If a polynomial's graph meets the x-axis at (a, 0), then a is a zero of the polynomial. Here the intersection is at (-2, 0), so the zero is -2. The closest distractor 2 is incorrect because it ignores the negative sign. Exam tip: always note the full coordinate (including the sign) and take the x-coordinate as the root.
यदि बहुपद का आलेख किसी बिंदु \((a,0)\) से गुजरता है तो उस बिंदु के x‑निर्देश पर बहुपद का मान शून्य होगा, अर्थात् \(p(a)=0\)। यहाँ बिंदु \((0,0)\) है, अतः \(p(0)=0\) और इसलिए \(x=0\) एक निश्चित शून्यक है। विकल्पों जैसे \(1\) या \(-1\) तब तक शून्यक नहीं माने जा सकते जब तक कि विशेष रूप से \(p(1)=0\) या \(p(-1)=0\) न दिया गया हो। परीक्षा-टिप: किसी दिये हुए बिंदु का x‑मान बहुपद में रखकर जांचें कि वह मान शून्य देता है या नहीं। / If a polynomial's graph passes through a point \((a,0)\), then the polynomial evaluated at that x‑value is zero, i.e. \(p(a)=0\). For the origin \((0,0)\) this gives \(p(0)=0\), so \(x=0\) is certainly a root. Numbers like 1 or -1 are not necessarily roots unless it is explicitly given that \(p(1)=0\) or \(p(-1)=0\). Exam tip: substitute the x-coordinate of the given point into the polynomial to check whether it equals zero.
किसी बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को छूता यानी \(y=0\) होता है। बिंदु (4, 2) में \(y=2\) है, न कि 0, इसलिए \(x=4\) शून्यक नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि बहुपद की डिग्री या ग्राफ का प्रकार (रेखा या गैर‑रेखा) शून्यक होने की परिभाषा को बदलते नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी भी दिए बिंदु के लिए पहले y‑निर्देशांक देखिए — शून्यक तभी जब y=0 हो। / A zero of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, i.e. where \(y=0\). The point (4, 2) has \(y=2\), not 0, so \(x=4\) is not a zero. Options C and D are incorrect because degree or whether the graph is a straight line does not change the definition of a zero. Exam tip: always check the y‑coordinate — zeros occur only when y = 0 (x‑intercepts).
किसी बहुपद का शून्यक वह x-मूल्य होता है जहाँ बहुपद का मान 0 होता है — यानी ग्राफ पर बिंदु \/(x,0\/)। इसलिए x = -2 शून्यक होने के लिए ग्राफ पर बिंदु \/(-2,0\/) होना चाहिए। विकल्प D में x = -2 सही है लेकिन y = 2 ≠ 0 है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। विकल्प B और C में या तो x ≠ -2 है या y ≠ 0। परीक्षा सुझाव: शून्यक पहचानते समय हमेशा जांचें कि y = 0 हो और उस बिंदु का x-मूल्य लक्ष्यित मान के बराबर हो। / A zero (root) corresponds to an x-value where the polynomial evaluates to 0, i.e., a point on the graph \/(x,0\/). For x = -2 the point must be \/(-2,0\/), so option A is correct. Option D has x = -2 but y = 2 (not zero), so it is not a root. Option B is an x-intercept at x = 2, and option C has y = -2, not y = 0. Exam tip: to find roots from a graph, locate points with y = 0; their x-coordinates are the zeros.
किसी बहुपद का शून्यक वह x मान है जहाँ ग्राफ पर y का मान शून्य होता है (यानी ग्राफ x-अक्ष को छूता है)। इसलिए जब x = 11 शून्यक है तो ग्राफ पर बिंदु \,(11,0)\, मौजूद होगा। विकल्प (0,11) में x = 0 है, (11,1) में y ≠ 0 है इसलिए वे शून्यक सिद्ध नहीं करते, और (-11,0) में y = 0 तो सही है पर x = -11 है, न कि 11। परीक्षा-सुझाव: किसी दिए x के लिए शून्यक जाँचने के लिए देखें कि ग्राफ पर बिंदु \,(x,0)\, मौजूद है या नहीं — यानी x-अक्ष पर वही x मान मौजूद होना चाहिए। / A zero of a polynomial at x = 11 means the graph has y = 0 when x = 11, i.e. the point (11,0) lies on the graph (an x-intercept at x = 11). Option (0,11) has x = 0, so it does not show x = 11 is a zero; (11,1) has x = 11 but y ≠ 0 so it is not a zero; (-11,0) has y = 0 but at x = -11, not x = 11. Exam tip: to verify a zero visually, check for the point (a,0) — the x-intercept at that x-value.
बिंदु (-8, 0) का अर्थ है कि जब x = -8 होगा तो y का मान 0 है। बहुपद का मान y ही होता है, इसलिए बहुपद x = -8 पर शून्य होगा (अर्थात् f(-8)=0)। विकल्प B (x = 8) सिर्फ साइन के विपरीत है और गलत है; विकल्प C (x = 0) केवल तब सही होता यदि बिंदु (0,0) दिया होता; विकल्प D कोई संबंधित कारण नहीं देता। परीक्षा टिप: किसी भी x-अक्ष पर स्थित बिंदु का x-कोऑर्डिनेट तुरंत उस बिंदु के लिए बहुपद का शून्य बताता है। / The point (-8, 0) means y = 0 when x = -8. Since the polynomial's value is y, the polynomial is zero at x = -8 (i.e. f(-8)=0). Option B (x = 8) has the wrong sign; option C (x = 0) would be correct only for the point (0,0); option D is unrelated. Exam tip: an x-intercept (y=0) gives the root directly as the x-coordinate shown.
शून्यक वह x मान है जहाँ रेखा का y मान शून्य होता है। इसलिए \(0 = x + 9\) रखकर हल करने पर \(x = -9\) मिलता है। विकल्प A (9) गलत है क्योंकि यह साइन की उलटी गलती होगी; विकल्प C (0) गलत है क्योंकि \(x=0\) पर \(y=9\) होगा, न कि 0; विकल्प D (18) किसी भी तरह से सही गणना नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी रेखा का x-अवरोध पाने के लिए हमेशा \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें। / The zero (x-intercept) is the x-value where y = 0. Setting \(0 = x + 9\) gives \(x = -9\). Option A (9) is a sign-error; option C (0) is wrong because at \(x=0\) the line gives \(y=9\), not 0; option D (18) is simply incorrect. Exam tip: to find an x-intercept, set \(y=0\) and solve for \(x\).
बिंदु \((a,0)\) ग्राफ पर होने का अर्थ है कि जब x=a होगा तो y का मान 0 होगा। बहुपद के ग्राफ पर y का मान \(p(x)\) है, अतः \(p(a)=0\)। विकल्प B (a) ग़लत है क्योंकि x का मान (a) होना यह नहीं दर्शाता कि बहुपद की मान वही होगा — y मान अलग होता है; विकल्प C और D भी स्पष्ट रूप से गलत हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर आने वाले किसी भी बिंदु की y-कोऑर्डिनेट हमेशा 0 होती है, इसलिए सीधे \(p(a)=0\) देख लें। / The point \((a,0)\) on the graph means that for x=a the y-value is 0. Since the graph represents y = \(p(x)\), we have \(p(a)=0\). Option B (a) is wrong because the x-coordinate being a does not imply the function value equals a; options C and D are also incorrect. Exam tip: any x-intercept has y = 0, so substitute x = a into \(p(x)\) to get \(p(a)=0\).
किसी बहुपद का शून्यक वह x-मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, यानी जहाँ ग्राफ x-अक्ष (y=0) को काटता है। बिंदु \((a,0)\) में x-निर्देशांक \(a\) है, अतः शून्यक \(a\) होगा। विकल्प \(0\) गलत है क्योंकि वह y-निर्देशांक है; \(-a\) और \(a^2\) भी उस बिंदु के x-निर्देशांक नहीं हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु में हमेशा y=0 होता है — इसलिए शून्यक सीधे x-कोऑर्डिनेट होता है। / The zero of a polynomial is the x-value where the polynomial equals zero, i.e., where the graph meets the x-axis (y=0). At the point \((a,0)\) the x-coordinate is \(a\), so the zero is \(a\). Option \(0\) is incorrect because that is the y-coordinate at the intersection; \(-a\) and \(a^2\) are not the x-coordinate of the given point. Exam tip: when a graph intersects the x-axis, read off the x-coordinate — that is the zero (root).
