बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 4, 2, 1 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए सही उत्तर 4 है। 7 गुणांक है, घात नहीं; इसलिए 7 डिग्री नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: पहले चर की घातें देखें, फिर उनमें सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of its variable with a non-zero coefficient. Here, the exponents of the terms are 4, 2, 1, and 0. The highest exponent is 4, so the degree is 4. The number 7 is a coefficient, not an exponent, so it cannot be the degree. Exam tip: identify the exponents of the variable and choose the greatest one.
व्यंजक \(5x+12\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है। डिग्री 1 वाले बहुपद को रेखीय बहुपद कहते हैं। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / In \(5x+12\), the highest power of \(x\) is 1, so its degree is 1. A polynomial of degree 1 is called a linear polynomial. A quadratic polynomial has highest power 2, so it is not correct here. Exam tip: To identify the type of a polynomial, look for the highest exponent of the variable.
व्यंजक \(3x^2-8x+6\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है। डिग्री 2 वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं। रैखिक बहुपद की डिग्री 1 होती है, जबकि त्रिघात बहुपद की डिग्री 3 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / In \(3x^2-8x+6\), the highest power of \(x\) is 2, so its degree is 2. A polynomial of degree 2 is called a quadratic polynomial. A linear polynomial has degree 1, whereas a cubic polynomial has degree 3. Exam tip: identify the highest power of the variable to determine the type of a polynomial.
बहुपद की कोटि उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह त्रिघात बहुपद है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार पहचानने के लिए पहले चर की उच्चतम घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable. Here, the highest power of x is 3, so it is a cubic polynomial. A quadratic polynomial has highest power 2. Exam tip: To identify the type of a polynomial, first find the highest exponent of the variable.
A. \(x^{1/2}+3 में चर की घात \(1 / 2\) है, जो ऋणेतर पूर्णांक नहीं है। / In \(x^{1 / 2}+3\), the exponent of the variable is \(1 / 2\), which is not a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात \(0,1,2,\dots\) जैसी ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{1/2}\) की घात \(1/2\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। ऋणात्मक गुणांक मान्य हैं। परीक्षा टिप: घात पहले जाँचें। / In a polynomial, every variable exponent must be a non-negative integer such as \(0,1,2,\dots\). Since \(x^{1/2}\) has exponent \(1/2\), it is not a polynomial. Negative coefficients are allowed. Exam tip: check exponents first.
B. क्योंकि चर की घात भिन्न है/Because the variable has a fractional power
Explanation
Simple Explanation
\(x^{\frac{1}{2}}\) में घात भिन्न है। बहुपद में चर की घात अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^{\frac{1}{2}}\), the power is fractional. In a polynomial, the variable power must be a non-negative integer.
7 में x वाला कोई पद नहीं है, फिर भी इसे 7x-0 लिखा जा सकता है। इसलिए यह x में स्थिर बहुपद है और इसकी घात 0 है। x, x + 7 तथा x-2 की घात क्रमशः 1, 1 और 2 है। परीक्षा टिप: अचर संख्या को हमेशा x-0 के गुणज के रूप में पहचानें। / The expression 7 has no x-term, but it can be written as 7x-0. Hence, it is a constant polynomial in x with degree 0. The degrees of x, x + 7, and x-2 are 1, 1, and 2 respectively. Exam tip: recognise every non-zero constant as a multiple of x-0.
बहुपद में पदों को जोड़ (+) या घटाव (−) के चिह्न अलग करते हैं। यहाँ पद हैं: \(3x^4\), \(2x^2\), \(-x\) और \(7\)। अतः कुल 4 पद हैं। \(-x\) को एक ही पद गिना जाता है, इसलिए 3 पद वाला विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद गिनते समय प्रत्येक + या − चिह्न के बाद आने वाले पूरे व्यंजक को एक पद मानें। / In a polynomial, terms are separated by plus (+) or minus (−) signs. Here the terms are \(3x^4\), \(2x^2\), \(-x\), and \(7\). Therefore, there are 4 terms. The expression \(-x\) counts as one term, so 3 is not correct. Exam tip: Count each complete expression separated by a + or − sign as one term.
बहुपद के पद हैं \(8x^5\), \(-3x^2\) और \(1\)। इनमें \(x\) की घातें क्रमशः 5, 2 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए \(8x^5\) सही पद है। \(-3x^2\) में घात केवल 2 है, जबकि 8 केवल गुणांक है, पद नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में चर की घात देखकर सबसे बड़ी घात चुनें। / The terms of the polynomial are \(8x^5\), \(-3x^2\), and \(1\). Their powers of \(x\) are 5, 2, and 0 respectively. Since 5 is the greatest power, \(8x^5\) is the correct term. The term \(-3x^2\) has power 2 only, and 8 is just a coefficient, not a term. Exam tip: compare the exponent of the variable in each term to identify the highest power.
\(2x^2+\sqrt{7}x-3\) में चर \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं। इसके गुणांक \(2\), \(\sqrt{7}\) और \(-3\) वास्तविक संख्याएँ हैं। गुणांक का अपरिमेय होना किसी व्यंजक को बहुपद होने से नहीं रोकता, इसलिए यह बहुपद है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\sqrt{7}\) केवल एक अपरिमेय गुणांक है, चर की घात नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए देखें कि प्रत्येक चर की घात \(0,1,2,\ldots\) में हो। / In \(2x^2+\sqrt{7}x-3\), the exponents of the variable \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Its coefficients \(2\), \(\sqrt{7}\), and \(-3\) are real numbers. An irrational coefficient does not stop an expression from being a polynomial, so this is a polynomial. Option B is incorrect because \(\sqrt{7}\) is only an irrational coefficient, not an exponent of the variable. Exam tip: To identify a polynomial, check that every variable exponent is \(0,1,2,\ldots\).
\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) होता है, इसलिए दिए गए व्यंजक में \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है। बहुपद में चर की घातें केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, जैसे \(0,1,2,\ldots\), हो सकती हैं। अतः \(4x+\sqrt{x}\) बहुपद नहीं है। \(4x\) स्वयं रैखिक बहुपद है, लेकिन \(\sqrt{x}\) जुड़ने से पूरा व्यंजक बहुपद नहीं रहता। परीक्षा टिप: वर्गमूल में चर दिखे तो उसे भिन्न घात में बदलकर जाँचें। / As \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), the expression contains \(x\) with exponent \(\frac{1}{2}\). In a polynomial, variable exponents must be non-negative integers such as \(0,1,2,\ldots\). Hence, \(4x+\sqrt{x}\) is not a polynomial. While \(4x\) alone is a linear polynomial, the term \(\sqrt{x}\) makes the complete expression non-polynomial. Exam tip: Convert a square root involving a variable into a fractional exponent before checking for a polynomial.
नियतांक पद वह पद होता है जिसमें कोई चर नहीं होता। \(11x^3\) में केवल \(x\) वाला पद है और बिना चर का कोई पद नहीं है, इसलिए इसका नियतांक पद \(0\) है। \(11\) गुणांक है, नियतांक पद नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद में जिस पद के साथ चर न हो, वही नियतांक पद होता है। / A constant term has no variable in it. The expression \(11x^3\) contains only a term involving \(x\), with no variable-free term; therefore, its constant term is \(0\). Here, \(11\) is the coefficient, not the constant term. Exam tip: Identify the term with no variable to find the constant term.
बहुपद में पद हैं: x-7, x-4 और x। इसमें x-6 का कोई पद नहीं है, इसलिए x-6 का गुणांक 0 माना जाता है। 1, x का गुणांक है, x-6 का नहीं। परीक्षा टिप: जिस घात का पद दिखाई न दे, उसका गुणांक हमेशा 0 होता है। / The terms of the polynomial are x-7, x-4, and x. There is no x-6 term, so the coefficient of x-6 is 0. The number 1 is the coefficient of x, not of x-6. Exam tip: If a required power is absent from a polynomial, its coefficient is always 0.
A. हाँ, क्योंकि इसमें x की घातें 0 और 1 हैं, जो अऋणात्मक पूर्णांक हैं।/Yes, because the powers of x are 0 and 1, which are non-negative integers.
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(2x^0-3x\) एक बहुपद है। क्योंकि x-0=1, यह व्यंजक 2-3x के बराबर है। इसमें x की घातें 0 और 1 हैं; दोनों अऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह बहुपद की परिभाषा को पूरा करता है। घटाव चिह्न होने से बहुपद अमान्य नहीं होता। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा 0, 1, 2, ... जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Yes, \(2x^0-3x\) is a polynomial. Since x-0=1, the expression becomes 2-3x. The powers of x are 0 and 1, and both are non-negative integers, so it satisfies the definition of a polynomial. A subtraction sign does not make an expression non-polynomial. Exam tip: In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer such as 0, 1, 2, ... .
B. हां, क्योंकि (x) की घात (1) है/Yes, because the power of (x) is (1)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{7x}{3}\) में (x) की घात (1) है और गुणांक \(\frac{7}{3}\) है। भिन्न गुणांक मान्य है। / In \(\frac{7x}{3}\), the power of (x) is (1) and the coefficient is \(\frac{7}{3}\). A fractional coefficient is valid.
A. हाँ, क्योंकि इसके गुणांक वास्तविक हैं और \(x\) की घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं/Yes, because its coefficients are real and the powers of \(x\) are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(-\frac{5}{6}x^2+x-8\) एक बहुपद है। बहुपद में गुणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं; इसलिए \(-\frac{5}{6}\) जैसा ऋणात्मक भिन्न गुणांक भी मान्य है। इसमें \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि भिन्न गुणांक बहुपद को अमान्य नहीं बनाता। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय चर की घातें जाँचें; वे अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Yes, \(-\frac{5}{6}x^2+x-8\) is a polynomial. Its coefficients may be any real numbers, so a negative fractional coefficient such as \(-\frac{5}{6}\) is allowed. The exponents of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Option B is incorrect because a fractional coefficient does not make an expression non-polynomial. Exam tip: identify a polynomial by checking that every variable exponent is a non-negative integer.
\(x^{\frac{3}{4}}+2\) बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें चर \(x\) की घात \(\frac{3}{4}\) है, जो अऋणात्मक पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घातें केवल \(0,1,2,3,\dots\) हो सकती हैं। इसके विपरीत, \(x^3+4\), \(4x^2+1\) और \(3x+4\) में चर की घातें क्रमशः 3, 2 और 1 हैं, इसलिए ये बहुपद हैं। परीक्षा टिप: भिन्न घात वाला चर दिखे तो व्यंजक बहुपद नहीं होता। / \(x^{\frac{3}{4}}+2\) is not a polynomial because the exponent of the variable \(x\) is \(\frac{3}{4}\), which is not a non-negative integer. In a polynomial, variable exponents can only be \(0,1,2,3,\dots\). In contrast, \(x^3+4\), \(4x^2+1\), and \(3x+4\) have exponents 3, 2, and 1 respectively, so they are polynomials. Exam tip: an expression containing a variable with a fractional exponent is not a polynomial.
बहुपद की डिग्री उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पद 10x-2, -6x और 5 हैं तथा x की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है। 10 गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय चर की घात देखें, गुणांक नहीं। / The degree of a polynomial is the highest exponent of its variable with a non-zero coefficient. Here the terms are 10x-2, -6x, and 5, and the highest power of x is 2. Therefore, the degree is 2. The number 10 is a coefficient, not the degree. Exam tip: check the exponent of the variable, not its coefficient.
बहुपद \(-9x+14\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, क्योंकि \(-9x=-9x^1\)। इसलिए इस बहुपद की डिग्री \(1\) है। \(9\) और \(14\) गुणांक तथा अचर पद हैं, घात नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक का मान नहीं। / In the polynomial \(-9x+14\), the highest power of \(x\) is \(1\), since \(-9x=-9x^1\). Therefore, its degree is \(1\). The numbers \(9\) and \(14\) are a coefficient and a constant term, not powers of the variable. Exam tip: To find the degree, look for the greatest exponent of the variable, not the coefficient.
C. शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती और अशून्य नियतांक की डिग्री (0) होती है/The zero polynomial degree is not defined and a non-zero constant has degree (0)
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। / The degree of the zero polynomial is not defined. The degree of a non-zero constant polynomial is (0).
बहुपद का अग्रणी पद वह पद होता है जिसकी चर की घात सबसे अधिक हो। दिए गए बहुपद में \(-4x^6\) की घात 6 है, जो \(2x^3\) की घात 3, \(-x\) की घात 1 और अचर \(8\) की घात 0 से अधिक है। इसलिए \(-4x^6\) अग्रणी पद है। परीक्षा टिप: पदों की घातों की तुलना करें; सबसे अधिक घात वाला पद चुनें। / The leading term of a polynomial is the term with the highest exponent of the variable. In the given polynomial, \(-4x^6\) has exponent 6, which is greater than the exponents 3 in \(2x^3\), 1 in \(-x\), and 0 in the constant term \(8\). Therefore, \(-4x^6\) is the leading term. Exam tip: compare the exponents of the terms and select the term with the greatest exponent.
बहुपद का सबसे अधिक घात वाला पद उसका अग्रणी पद कहलाता है। यहाँ सबसे अधिक घात 4 है, इसलिए अग्रणी पद 12x-4 है और उसका गुणांक 12 है। 4 बहुपद की घात है, गुणांक नहीं। परीक्षा टिप: पहले पदों को घात के घटते क्रम में देखें, फिर सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक चुनें। / The term with the greatest exponent is called the leading term. Here the greatest exponent is 4, so the leading term is 12x-4 and its coefficient is 12. The number 4 is the degree of the polynomial, not its leading coefficient. Exam tip: identify the term with the highest exponent, then take its numerical coefficient.
B. नहीं, क्योंकि \(\frac{5}{x}=5x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/No, because in \(\frac{5}{x}=5x^{-1}\), the exponent of \(x\) is negative
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात अशून्य नहीं, बल्कि गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए; अर्थात \(0,1,2,\ldots\)। यहाँ \(\frac{5}{x}=5x^{-1}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-1\) है। अतः \(3x^2-\frac{5}{x}\) बहुपद नहीं है। विकल्प A में \(x^2\) की घात सही है, लेकिन दूसरा पद बहुपद की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा टिप: चर हर में दिखे तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer: \(0,1,2,\ldots\). Here, \(\frac{5}{x}=5x^{-1}\), so the exponent of \(x\) is \(-1\). Therefore, \(3x^2-\frac{5}{x}\) is not a polynomial. In option A, the exponent in \(x^2\) is valid, but the other term fails the polynomial condition. Exam tip: If a variable occurs in a denominator, rewrite it using a negative exponent and check it.
किसी भी व्यंजक में \(0\) से गुणा किया गया पद \(0\) होता है। इसलिए \(0x^2=0\) और इसे हटाने पर \(6x^3+0x^2-5=6x^3-5\) मिलता है। विकल्प B में \(x^2\) का गुणांक गलत रूप से \(1\) मान लिया गया है। परीक्षा टिप: शून्य गुणांक वाले पदों को सरल रूप में न लिखें। / Any term multiplied by \(0\) equals \(0\). Hence, \(0x^2=0\), and removing this zero term gives \(6x^3+0x^2-5=6x^3-5\). Option B incorrectly treats the coefficient of \(x^2\) as \(1\). Exam tip: Do not write terms with a zero coefficient in the simplified form.
\(3x^2+x-6\) में \(x^4\) का कोई पद नहीं है, इसलिए \(x^4\) का गुणांक \(0\) है। इसके विपरीत, \(x^4+2\), \(5x^4-x\) और \(7x^4+1\) में \(x^4\) के गुणांक क्रमशः \(1\), \(5\) और \(7\) हैं। परीक्षा टिप: जिस घात का पद बहुपद में न हो, उसका गुणांक \(0\) होता है। / In \(3x^2+x-6\), there is no \(x^4\) term, so the coefficient of \(x^4\) is \(0\). In contrast, the coefficients of \(x^4\) in \(x^4+2\), \(5x^4-x\), and \(7x^4+1\) are \(1\), \(5\), and \(7\), respectively. Exam tip: If a term of a particular power is absent in a polynomial, its coefficient is \(0\).
C. क्योंकि इसमें चर की ऋणात्मक घात वाला पद \(x^{-1}\) है/Because it contains the term \(x^{-1}\), in which the variable has a negative exponent
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल अशून्य पूर्णांक हो सकती है, जैसे 0, 1, 2, 3 आदि। यहाँ \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) में \(x\) की घात −1 है, इसलिए यह व्यंजक बहुपद नहीं है। \(5x^3\) की घात 3 और अचर पद 4, दोनों बहुपद में मान्य हैं। परीक्षा टिप: चर यदि हर में हो, तो उसकी घात सामान्यतः ऋणात्मक होती है और व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer such as 0, 1, 2, or 3. Here, \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) has exponent −1, so the expression is not a polynomial. The term \(5x^3\) and the constant term 4 are both allowed in a polynomial. Exam tip: if a variable occurs in the denominator, it usually represents a negative exponent and the expression is not a polynomial.
A. हाँ, क्योंकि x की सभी घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं/Yes, because all powers of x are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(7x^4-x^2+3x-2\) एक बहुपद है, क्योंकि इसमें x की घातें 4, 2, 1 और 0 हैं तथा ये सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। अचर पद -2 को -2x-0 लिखा जा सकता है, इसलिए वह भी मान्य है। चार पद होना या घात 4 होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा 0, 1, 2, ... जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Yes, \(7x^4-x^2+3x-2\) is a polynomial because the powers of x are 4, 2, 1, and 0, all of which are non-negative integers. The constant term -2 can be written as -2x-0, so it is also valid. Having four terms or degree 4 does not prevent an expression from being a polynomial. Exam tip: in a polynomial, variable exponents must be non-negative integers such as 0, 1, 2, and so on.
बहुपद में x वाला पद -9x है। किसी पद में x के साथ गुणा हो रही संख्या उसका गुणांक कहलाती है, इसलिए x का गुणांक -9 है। 4, x² का गुणांक है, जबकि 15 अचर पद है। परीक्षा टिप: गुणांक ज्ञात करते समय चर के साथ लगा धन या ऋण चिह्न अवश्य शामिल करें। / The term containing x is -9x. The number multiplying x is called its coefficient, so the coefficient of x is -9. Here, 4 is the coefficient of x², while 15 is the constant term. Exam tip: Always include the sign attached to the variable when identifying a coefficient.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में x की घातें 8, 6 और 2 हैं तथा स्थिर पद -5 की घात 0 है। सबसे बड़ी घात 8 है, इसलिए सही उत्तर 8 है। 6 केवल पद -3x-6 की घात है, बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटाकर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable among terms with non-zero coefficients. Here, the powers of x are 8, 6, and 2, while the constant term -5 has degree 0. The greatest power is 8, so the correct answer is 8. Option 6 is only the power in the term -3x-6, not the degree of the whole polynomial. Exam tip: Ignore zero-coefficient terms and identify the highest exponent of the variable.
A. हां, क्योंकि दशमलव गुणांक वास्तविक संख्या है/Yes, because a decimal coefficient is a real number
Explanation
Simple Explanation
दशमलव गुणांक वास्तविक संख्या होता है और (x) की घातें (2), (1), और (0) हैं। इसलिए यह बहुपद है। / A decimal coefficient is a real number and the powers of (x) are (2), (1), and (0). Therefore it is a polynomial.
B. क्योंकि \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) gives \(x\) a negative exponent
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, अर्थात् \(0,1,2,\dots\), हो सकती है। यहाँ \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-1\) है। ऋणात्मक घात होने के कारण यह व्यंजक बहुपद नहीं है। दो पद होना या नियतांक पद का शून्य होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\dots\). Here, \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), so the exponent of \(x\) is \(-1\). Hence, the expression is not a polynomial. Having two terms or a zero constant term does not stop an expression from being a polynomial. Exam tip: If a variable occurs in the denominator, rewrite it using a negative exponent and check it.
बहुपद की डिग्री उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ 0x-2 पद प्रभावी पद नहीं है, जबकि 2x-3 में x की घात 3 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। 5 स्थिर पद की घात 0 होती है, इसलिए वह डिग्री निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: शून्य गुणांक वाले पदों को डिग्री ज्ञात करते समय न गिनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Here, the term 0x-2 has no effect, while in 2x-3 the exponent of x is 3. Therefore, the degree of the polynomial is 3. The constant term 5 has degree 0, so it does not determine the degree. Exam tip: Ignore terms whose coefficients are zero when finding the degree.
D. क्योंकि \(\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}\) है/Because \(\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt[3]{x}\) में चर की घात \(\frac{1}{3}\) है। भिन्न घात बहुपद में मान्य नहीं होती। / The power of \(\sqrt[3]{x}\) is \(\frac{1}{3}\). Fractional powers are not valid in a polynomial.
बहुपद 7x-2+11 में पद 7x-2 और 11 हैं। इसमें x वाला कोई रैखिक पद नहीं है, अर्थात x का पद 0x है। इसलिए x का गुणांक 0 है। 7, x-2 का गुणांक है, x का नहीं। परीक्षा टिप: जिस चर की घात 1 हो, उसी पद का गुणांक देखें; पद न होने पर गुणांक 0 होता है। / The polynomial 7x-2+11 has the terms 7x-2 and 11. There is no linear term in x, so the x-term can be written as 0x. Hence, the coefficient of x is 0. Note that 7 is the coefficient of x-2, not of x. Exam tip: look for the term in which the variable has power 1; if that term is absent, its coefficient is 0.
बहुपद के मानक रूप में पदों को चर की घातों के घटते क्रम में लिखा जाता है। यहाँ सबसे अधिक घात \(3\) है, फिर \(1\), और अंत में अचर पद \(4\) आता है। इसलिए मानक रूप \(2x^3-6x+4\) है। विकल्प A में पद बढ़ती घातों के क्रम में नहीं हैं, जबकि C और D में भी पदों का क्रम मानक नहीं है। परीक्षा टिप: मानक रूप लिखते समय पहले सबसे बड़ी घात वाला पद रखें। / In the standard form of a polynomial, terms are arranged in descending powers of the variable. Here, the highest power is \(3\), followed by \(1\), and then the constant term \(4\). Therefore, the standard form is \(2x^3-6x+4\). Option A is not in descending order, and options C and D also do not follow the standard order. Exam tip: Write the term with the highest exponent first.
C. यह एक बहुपद है क्योंकि इसके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और \(x\) की घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं/It is a polynomial because its coefficients are real numbers and the exponents of \(x\) are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
विकल्प C सही है। \(\pi\), \(\sqrt{2}\) और \(-5\) सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए वे बहुपद के गुणांक हो सकते हैं। यहाँ \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए दिया गया व्यंजक \(x\) में द्विघात बहुपद है। विकल्प A और B गलत हैं, क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ भी गुणांक हो सकती हैं। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय गुणांकों के बजाय चर की घातों की जाँच करें। / Option C is correct. \(\pi\), \(\sqrt{2}\), and \(-5\) are all real numbers, so they may be coefficients of a polynomial. The exponents of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Hence, the given expression is a quadratic polynomial in \(x\). Options A and B are incorrect because irrational numbers can also be coefficients. Exam tip: when identifying a polynomial, check the exponents of the variable rather than whether the coefficients are rational.
D. क्योंकि \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) has a negative exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में प्रत्येक चर की घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-2\) है। ऋणात्मक घात होने के कारण यह व्यंजक बहुपद नहीं है। \(x^3\) पद मान्य है और बहुपद में नियतांक पद होना आवश्यक नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को बहुपद मानने से पहले हर चर की घात जाँचें। / In a polynomial, the exponent of every variable must be a non-negative integer. Here, \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), so the exponent of \(x\) is \(-2\). Since this exponent is negative, the expression is not a polynomial. The term \(x^3\) is valid, and a polynomial does not need to have a constant term. Exam tip: check the exponent of each variable before identifying an expression as a polynomial.
बहुपद की डिग्री उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में पदों की घातें 9, 4 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 9 है, इसलिए सही उत्तर 9 है। 4 केवल पद 3x-4 की घात है, पूरे बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: नियतांक पद, जैसे -2, की घात 0 मानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable with a non-zero coefficient. In the given polynomial, the powers are 9, 4, and 0. The greatest power is 9, so the correct answer is 9. Option 4 is only the degree of the term 3x-4, not of the whole polynomial. Exam tip: A constant term such as -2 has degree 0.
बहुपद में x-5 वाला पद 6x-5 है। किसी पद में चर की घात के साथ गुणा होने वाली संख्या उसका गुणांक कहलाती है, इसलिए x-5 का गुणांक 6 है। 5, x की घात है, गुणांक नहीं। परीक्षा टिप: जिस घात वाले पद का गुणांक पूछें, केवल उसी पद में x के पहले की संख्या पहचानें। / The term containing x-5 is 6x-5. The numerical factor multiplying the variable part is called the coefficient, so the coefficient of x-5 is 6. Here, 5 is the exponent of x, not its coefficient. Exam tip: Locate the required power first, then identify the number multiplying that term.
C. नहीं, क्योंकि \(x^{-2}\) की घात ऋणात्मक है/No, because \(x^{-2}\) has a negative power
Explanation
Simple Explanation
\(x^{-2}\) में चर की घात ऋणात्मक है। एक अमान्य घात के कारण व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In \(x^{-2}\), the variable has a negative power. One invalid power makes the expression not a polynomial.
B. हां, क्योंकि चर की घातें (2), (1), और (0) हैं/Yes, because the variable powers are (2), (1), and (0)
Explanation
Simple Explanation
भिन्न गुणांक बहुपद में मान्य होते हैं। यहां सभी चर घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं। / Fractional coefficients are valid in a polynomial. Here all variable powers are non-negative integers.
B. क्योंकि \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) है/Because \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x}\) में चर की घात \(\frac{1}{2}\) है। बहुपद में चर की घात अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(\sqrt{x}\), the power of the variable is \(\frac{1}{2}\). In a polynomial, the variable power must be a non-negative integer.
चूँकि \(0x^3=0\), इसलिए \(0x^3\) वाला पद बहुपद के मान में कोई योगदान नहीं देता और उसे हटा दिया जाता है। अतः सरल रूप \(9x^4+2x-1\) है। विकल्प C में \(9x^4\) और \(2x\) को जोड़ा गया है, लेकिन ये असमान पद हैं क्योंकि उनकी घातें अलग हैं। परीक्षा टिप: केवल समान घात वाले पदों के गुणांक ही जोड़े या घटाए जा सकते हैं। / Since \(0x^3=0\), the term \(0x^3\) contributes nothing to the polynomial and is removed. Therefore, the simplified form is \(9x^4+2x-1\). In option C, \(9x^4\) and \(2x\) have been incorrectly combined; they are unlike terms because their powers of \(x\) are different. Exam tip: add or subtract coefficients only for like terms with the same variable powers.
बहुपद 2x-5-7x-2+4 में x-5, x-2 और स्थिर पद 4 हैं, लेकिन x-3 का कोई पद नहीं है। किसी घात का पद अनुपस्थित होने पर उसका गुणांक 0 होता है। अतः x-3 का गुणांक 0 है। -7, x-2 का गुणांक है, x-3 का नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक घात के पद को अलग-अलग देखकर उसका गुणांक पहचानें। / The polynomial 2x-5-7x-2+4 contains an x-5 term, an x-2 term, and the constant term 4, but no x-3 term. When a term of a particular power is absent, its coefficient is 0. Therefore, the coefficient of x-3 is 0. Here, -7 is the coefficient of x-2, not x-3. Exam tip: Check the power of the variable carefully before choosing a coefficient.
A. हां, क्योंकि \(\sqrt{11}\) वास्तविक गुणांक है/Yes, because \(\sqrt{11}\) is a real coefficient
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{11}\) केवल गुणांक है और (x) की घातें (3), (1), और (0) हैं। इसलिए यह बहुपद है। / \(\sqrt{11}\) is only a coefficient and the powers of (x) are (3), (1), and (0). Therefore it is a polynomial.
\(\frac{2}{3}\) भिन्न घात है। बहुपद में चर की घात अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / \(\frac{2}{3}\) is a fractional power. In a polynomial, the variable power must be a non-negative integer.
बहुपद का अग्रणी पद वह पद होता है जिसकी चर की घात सबसे अधिक हो। दिए गए बहुपद में \(x\) की घातें \(6, 4, 2\) और \(0\) हैं। सबसे अधिक घात \(6\) है, इसलिए अग्रणी पद \(5x^6\) है। \(-4x^4\) भी एक पद है, पर उसकी घात \(4\) कम है। परीक्षा टिप: अग्रणी पद ज्ञात करने के लिए बहुपद को चर की घातों के घटते क्रम में देखें। / The leading term of a polynomial is the term with the greatest exponent of the variable. In the given polynomial, the exponents of \(x\) are \(6, 4, 2\), and \(0\). Since \(6\) is the greatest exponent, \(5x^6\) is the leading term. Although \(-4x^4\) is also a term, its exponent is only \(4\). Exam tip: Identify the term with the highest power when the polynomial is written in descending order of powers.
C. क्योंकि \(\frac{3}{x^4}=3x^{-4}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{3}{x^4}=3x^{-4}\) has a negative exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{3}{x^4}=3x^{-4}\) होने के कारण व्यंजक में \(x\) की घात \(-4\) है। बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है; ऋणात्मक घात मान्य नहीं होती। दो पद होना या नियतांक पद का न होना किसी व्यंजक को बहुपद होने से नहीं रोकता। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / Since \(\frac{3}{x^4}=3x^{-4}\), the expression contains \(x\) with exponent \(-4\). In a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer; negative exponents are not allowed. Having two terms or no constant term does not make an expression non-polynomial. Exam tip: If a variable is in the denominator, rewrite it with a negative exponent and check it.
\(x^4-2x+6\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है तथा \(x\) की सभी घातें अशून्य पूर्णांक हैं। इसलिए यह \(x\) में डिग्री \(4\) का बहुपद है। \(x^3+4\) बहुपद तो है, पर इसकी डिग्री \(3\) है। \(\frac{1}{x}\) में \(x\) की घात \(-1\) और \(\sqrt{x}\) में \(\frac12\) होती है, इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(x^4-2x+6\), the highest power of \(x\) is \(4\), and all exponents of \(x\) are non-negative integers. Therefore, it is a polynomial in \(x\) of degree \(4\). \(x^3+4\) is a polynomial, but its degree is \(3\). In \(\frac{1}{x}\) and \(\sqrt{x}\), the exponents of \(x\) are \(-1\) and \(\frac12\), so they are not polynomials. Exam tip: exponents of a variable in a polynomial can only be \(0,1,2,\ldots\).
