बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 5, 3, 1 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। 6 गुणांक है, इसलिए डिग्री 6 नहीं होगी। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. Here, the exponents of the terms are 5, 3, 1, and 0. The greatest exponent is 5, so the degree of the polynomial is 5. The number 6 is a coefficient, not the degree. Exam tip: To find the degree, look for the highest power of the variable.
व्यंजक \(8x-11\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(1\) है। डिग्री \(1\) वाला बहुपद रेखीय बहुपद कहलाता है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात \(2\) होती है, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / In \(8x-11\), the highest power of \(x\) is \(1\), so its degree is \(1\). A polynomial with degree \(1\) is called a linear polynomial. A quadratic polynomial has highest power \(2\), so it is not correct here. Exam tip: To identify the type of a polynomial, look for the highest power of the variable.
व्यंजक में x की सबसे बड़ी घात 2 है, क्योंकि पद 7x-2 मौजूद है। इसलिए इस बहुपद की घात 2 है और इसे द्विघात बहुपद कहते हैं। रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, जबकि यहाँ 4x के साथ x-2 वाला पद भी है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The highest power of x is 2 because the term 7x-2 is present. Therefore, the degree of this polynomial is 2, so it is a quadratic polynomial. A linear polynomial has degree 1, but this expression also contains an x-2 term. Exam tip: To identify the type of a polynomial, look for the highest exponent of the variable.
बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। व्यंजक \(3x^3-5x+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह त्रिघात बहुपद है। \(-5x\) की घात 1 और 2 की घात 0 है; ये बहुपद की घात नहीं बदलते। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए पहले चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. In \(3x^3-5x+2\), the highest power of \(x\) is 3, so it is a cubic polynomial. The terms \(-5x\) and 2 have degrees 1 and 0 respectively, so they do not affect the degree. Exam tip: To identify the type of a polynomial, first locate the highest power of the variable.
व्यंजक 21 में कोई चर, जैसे x, उपस्थित नहीं है; इसका मान सदैव 21 ही रहता है। अतः यह शून्येतर नियतांक बहुपद है और इसकी घात 0 होती है। शून्य बहुपद में प्रत्येक गुणांक 0 होता है, जबकि यहाँ नियतांक 21 है। परीक्षा टिप: केवल किसी गैर-शून्य संख्या वाला व्यंजक नियतांक बहुपद होता है। / The expression 21 contains no variable, such as x, so its value always remains 21. Therefore, it is a non-zero constant polynomial and has degree 0. A zero polynomial has all its coefficients equal to 0, whereas the constant here is 21. Exam tip: An expression containing only a non-zero number is a constant polynomial.
B. क्योंकि चर की घात भिन्नात्मक है/Because the exponent of the variable is fractional
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ \(x\) की घात \(\frac{7}{3}\) है, जो भिन्नात्मक है; इसलिए \(x^{\frac{7}{3}}+2\) बहुपद नहीं है। स्थिर पद 2, जोड़ का चिह्न और दो पद होना बहुपद बनने में बाधा नहीं हैं। परीक्षा टिप: घात में भिन्न, ऋणात्मक संख्या या चर होने पर व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, every exponent of a variable must be a non-negative integer. Here, the exponent of \(x\) is \(\frac{7}{3}\), which is fractional, so \(x^{\frac{7}{3}}+2\) is not a polynomial. A constant term such as 2, addition, and having two terms do not prevent an expression from being a polynomial. Exam tip: An expression is not a polynomial if a variable has a fractional or negative exponent, or appears in an exponent.
बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। इस व्यंजक में x^{-5} है, जिसमें x की घात -5 है; इसलिए यह बहुपद नहीं है। 9x एक वैध रैखिक पद है और दो पदों का होना या जोड़ का चिह्न होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाली घात दिखे, तो वह बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer. This expression contains x^{-5}, where the exponent of x is -5, so it is not a polynomial. The term 9x is a valid linear term; having two terms or an addition sign does not prevent an expression from being a polynomial. Exam tip: An expression with a negative, fractional, or variable exponent is not a polynomial.
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 7, 4, 2 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 7 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 7 है। 6 एक अचर पद है, इसलिए उसकी घात 0 होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक की नहीं। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients. Here, the exponents are 7, 4, 2, and 0. The greatest exponent is 7, so the degree of the polynomial is 7. The term -6 is a constant term and has degree 0. Exam tip: To find the degree, look for the highest power of the variable, not the coefficient.
बहुपद में धन या ऋण चिह्नों से अलग होने वाले भाग पद कहलाते हैं। यहाँ पद हैं: \(5x^4\), \(-3x^2\), \(x\) और \(-12\)। अतः कुल 4 पद हैं। \(-3x^2\) को एक ही पद गिना जाता है, क्योंकि ऋण चिह्न उसके गुणांक का भाग है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या गिनते समय प्रत्येक + या − चिह्न के बाद बनने वाले पूरे बीजीय भाग को एक पद मानें। / Terms of a polynomial are algebraic parts separated by addition or subtraction. Here the terms are \(5x^4\), \(-3x^2\), \(x\), and \(-12\). Therefore, there are 4 terms. Note that \(-3x^2\) is one complete term; the negative sign is part of its coefficient. Exam tip: Count each complete algebraic part separated by + or − as one term.
बहुपद के पदों की घात क्रमशः \(5\), \(3\) और \(0\) है। सबसे बड़ी घात \(5\) है, जो \(9x^5\) पद में है। \(x^3\) की घात \(3\) है, इसलिए वह सबसे बड़ी नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद में चर की घात देखकर उसकी डिग्री ज्ञात करें; अचर पद की घात \(0\) होती है। / The degrees of the terms are \(5\), \(3\), and \(0\), respectively. The greatest power is \(5\), which occurs in the term \(9x^5\). The term \(x^3\) has power \(3\), so it is not the highest. Exam tip: Find a term’s degree by looking at the exponent of its variable; a constant term has degree \(0\).
यह एक बहुपद है, क्योंकि इसमें चर \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं। \(\sqrt{7}\) एक अपरिमेय लेकिन वास्तविक संख्या है, इसलिए यह \(x\) का मान्य गुणांक हो सकता है। \(\sqrt{7}\) होने के कारण व्यंजक बहुपद नहीं बनता, यह भ्रम गलत है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) होनी चाहिए; गुणांक वास्तविक हो सकते हैं। / This is a polynomial because the powers of the variable \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Although \(\sqrt{7}\) is irrational, it is a real number and can be a valid coefficient of \(x\). The presence of \(\sqrt{7}\) does not make the expression a non-polynomial. Exam tip: In a polynomial, variable exponents must be \(0,1,2,\ldots\), while coefficients may be any real numbers.
सही उत्तर बहुपद नहीं है। क्योंकि \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) होता है और इस व्यंजक में \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है। बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है; भिन्न घात स्वीकार्य नहीं होती। इसलिए यह रैखिक या द्विघात बहुपद भी नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले चर को घात के रूप में लिखकर उसकी घात जाँचें। / The correct answer is not a polynomial. Since \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), the exponent of \(x\) in the expression is \(\frac{1}{2}\). In a polynomial, variable exponents must be zero or positive integers; fractional exponents are not allowed. Therefore, it is neither a linear nor a quadratic polynomial. Exam tip: Rewrite a square root as an exponent and check the exponent of the variable.
नियतांक पद वह पद होता है जिसमें कोई चर नहीं होता, अर्थात \(x\) की घात 0 होती है। \(14x^2\) में केवल \(x^2\) वाला पद है; बिना चर का कोई पद नहीं है। इसलिए इसका नियतांक पद \(0\) है। \(14\) गुणांक है, नियतांक पद नहीं। परीक्षा टिप: जिस पद में चर न हो, केवल वही नियतांक पद होता है। / A constant term contains no variable; equivalently, it has \(x\) raised to the power 0. The expression \(14x^2\) has only an \(x^2\) term and no term without a variable. Therefore, its constant term is \(0\). Here, \(14\) is the coefficient, not the constant term. Exam tip: identify the term with no variable to find the constant term.
बहुपद \(x^6+x^2+1\) में केवल \(x^6\), \(x^2\) और अचर पद \(1\) हैं; \(x^4\) का कोई पद नहीं है। किसी घात का पद अनुपस्थित होने पर उसका गुणांक \(0\) माना जाता है। इसलिए सही उत्तर \(0\) है। \(1\) अचर पद का गुणांक है, \(x^4\) का नहीं। परीक्षा टिप: जिस घात का गुणांक पूछें, पहले उसी घात वाले पद को बहुपद में खोजें। / The polynomial \(x^6+x^2+1\) contains only the terms \(x^6\), \(x^2\), and the constant term \(1\); it has no \(x^4\) term. When a term of a particular power is absent, its coefficient is taken as \(0\). Therefore, the correct answer is \(0\). Note that \(1\) is the coefficient of the constant term, not of \(x^4\). Exam tip: First locate the term with the exact power asked in the question.
A. हाँ, क्योंकि \(x^0=1\) होने पर व्यंजक \(3+5x\) बनता है, जिसमें \(x\) की घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं/Yes, because \(x^0=1\), so the expression becomes \(3+5x\), in which the exponents of \(x\) are non-negative integers.
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(x^0=1\) होता है। इसलिए \(3x^0+5x=3+5x\)। इस व्यंजक में \(x\) की घातें 0 और 1 हैं, जो अऋणात्मक पूर्णांक हैं; अतः यह एक बहुपद है। विकल्प B गलत है क्योंकि शून्य घात बहुपद में मान्य होती है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में \(x^0\) दिखे तो पहले उसे 1 से बदलकर सरल करें। / Yes. Since \(x^0=1\), \(3x^0+5x=3+5x\). The exponents of \(x\) are 0 and 1, both non-negative integers, so it is a polynomial. Option B is incorrect because an exponent of zero is allowed in a polynomial. Exam tip: When you see \(x^0\), simplify it to 1 before deciding whether the expression is a polynomial.
B. हां, क्योंकि (x) की घात (1) है/Yes, because the power of (x) is (1)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{5x}{7}\) में गुणांक \(\frac{5}{7}\) है और (x) की घात (1) है। भिन्न गुणांक बहुपद में मान्य है। / In \(\frac{5x}{7}\), the coefficient is \(\frac{5}{7}\) and the power of (x) is (1). A fractional coefficient is valid in a polynomial.
A. हां, क्योंकि गुणांक वास्तविक हो सकते हैं और घातें मान्य हैं/Yes, because coefficients can be real and powers are valid
Explanation
Simple Explanation
गुणांक ऋणात्मक या भिन्न हो सकते हैं। यहां चर की घातें (4), (1), और (0) हैं, इसलिए यह बहुपद है। / Coefficients can be negative or fractional. Here the variable powers are (4), (1), and (0), so it is a polynomial.
बहुपद में चर की प्रत्येक घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती है, जैसे \(0,1,2,\ldots\)। \(x^{\frac{5}{6}}+4\) में \(x\) की घात \(\frac{5}{6}\) भिन्नात्मक है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। \(x^5+6\) में घात 5 है, इसलिए वह बहुपद है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय चर की ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात को तुरंत जाँचें। / In a polynomial, every exponent of a variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\ldots\). In \(x^{\frac{5}{6}}+4\), the exponent of \(x\) is fractional, so it is not a polynomial. In contrast, \(x^5+6\) has exponent 5 and is a polynomial. Exam tip: while identifying polynomials, check first for negative or fractional exponents of variables.
बहुपद की डिग्री उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पद 8x-2, -9x और 16 हैं तथा x की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है। 8 केवल गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात देखें, सबसे बड़ा गुणांक नहीं। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. Here, the terms are 8x-2, -9x, and 16, and the highest power of x is 2. Therefore, the degree is 2. The number 8 is a coefficient, not the degree. Exam tip: Look for the highest exponent, not the largest coefficient.
बहुपद 17x - 5 में x वाले पद की घात 1 है, क्योंकि x = x-1 होता है। अचर पद -5 की घात 0 मानी जाती है। सबसे बड़ी घात 1 होने के कारण इसकी डिग्री 1 है। 5 और 17 क्रमशः अचर पद तथा गुणांक हैं, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / In the polynomial 17x - 5, the power of x in the term 17x is 1 because x = x-1. The constant term -5 has power 0. Since the highest power is 1, its degree is 1. The numbers 5 and 17 are the constant term and coefficient respectively, not the degree. Exam tip: To find the degree, identify the highest exponent of the variable.
अशून्य नियतांक बहुपद में चर का कोई घात वाला पद नहीं होता। इसे \(-31x^0\) के रूप में लिखा जा सकता है और \(x\) का उच्चतम घात \(0\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) है। \(1\) डिग्री वाला बहुपद रैखिक होता है, जैसे \(x-31\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: केवल शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं मानी जाती है; प्रत्येक अशून्य नियतांक की डिग्री \(0\) होती है। / A non-zero constant polynomial has no variable term. It can be written as \(-31x^0\), so the highest power of \(x\) is \(0\); hence its degree is \(0\). A polynomial of degree \(1\) is linear, such as \(x-31\), so it is not correct here. Exam tip: only the zero polynomial has an undefined degree; every non-zero constant has degree \(0\).
C. शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती और अशून्य नियतांक की डिग्री (0) होती है/The zero polynomial degree is not defined and a non-zero constant has degree (0)
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। / The degree of the zero polynomial is not defined. The degree of a non-zero constant polynomial is (0).
किसी बहुपद का अग्रणी पद वह पद होता है जिसकी चर की घात सबसे अधिक हो। दिए गए बहुपद में \(-5x^6\) की घात 6 है, जो \(3x^4\) की घात 4, \(-x\) की घात 1 और अचर \(9\) की घात 0 से अधिक है। इसलिए \(-5x^6\) अग्रणी पद है। परीक्षा टिप: पदों की घातों की तुलना करें; गुणांक का धनात्मक या ऋणात्मक होना अग्रणी पद तय नहीं करता। / The leading term of a polynomial is the term with the greatest exponent of the variable. In the given polynomial, \(-5x^6\) has exponent 6, which is greater than the exponents of \(3x^4\), \(-x\), and the constant \(9\), namely 4, 1, and 0. Therefore, \(-5x^6\) is the leading term. Exam tip: Compare exponents; whether the coefficient is positive or negative does not determine the leading term.
\(4x^3-7x+1\) में x की घातें 3, 1 और 0 हैं, जो सभी पूर्णांक और अऋणात्मक हैं; इसलिए यह बहुपद है। \(3/x=3x^{-1}\) बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक या भिन्न घात दिखे तो बहुपद नहीं होता। / In \(4x^3-7x+1\), the powers of x are 3, 1 and 0, all non-negative integers, so it is a polynomial. But \(3/x=3x^{-1}\), which is not allowed. Exam tip: reject expressions with negative or fractional powers.
B. नहीं, क्योंकि \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/No, because \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) has a negative exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल अशून्य पूर्णांक हो सकती है, जैसे \(0,1,2,\dots\)। यहाँ \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-1\) हो जाती है। अतः \(6x^3+\frac{4}{x}\) बहुपद नहीं है। केवल दो पद होना या वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\dots\). Here, \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\), so the exponent of \(x\) is \(-1\). Therefore, \(6x^3+\frac{4}{x}\) is not a polynomial. Having two terms or real coefficients alone does not make an expression a polynomial. Exam tip: If a variable appears in the denominator, rewrite it with a negative exponent and check it.
\(\frac{7}{x^2}=7x^{-2}\) है, इसलिए घात ऋणात्मक है। एक पद होना बहुपद होने के लिए पर्याप्त नहीं है। / \(\frac{7}{x^2}=7x^{-2}\), so the power is negative. Having one term is not enough to be a polynomial.
क्योंकि \(0x^2=0\), इसलिए \(0x^2\) वाला पद बहुपद के मान में कोई योगदान नहीं देता और उसे हटाया जा सकता है। अतः सरल रूप \(4x^3+5\) है। विकल्प B में \(x^2\) का गुणांक गलत रूप से 0 के बजाय 1 लिया गया है। परीक्षा टिप: जिस पद का गुणांक 0 हो, उसे सरल करते समय हटा दें। / Since \(0x^2=0\), the term containing \(0x^2\) makes no contribution to the polynomial and can be removed. Therefore, the simplified form is \(4x^3+5\). Option B incorrectly treats the coefficient of \(x^2\) as 1 instead of 0. Exam tip: Remove any term whose coefficient is 0 while simplifying a polynomial.
\(3x^2+2x-4\) में \(x^5\) वाला कोई पद नहीं है, इसलिए \(x^5\) का गुणांक \(0\) होता है। इसके विपरीत, \(x^5+1\) में \(x^5\) का गुणांक \(1\) है, जबकि \(2x^5-x\) और \(9x^5+7\) में यह क्रमशः \(2\) और \(9\) है। परीक्षा टिप: जिस घात का पद दिखाई न दे, उसका गुणांक \(0\) मानें। / In \(3x^2+2x-4\), there is no \(x^5\) term, so the coefficient of \(x^5\) is \(0\). In contrast, the coefficient of \(x^5\) is \(1\) in \(x^5+1\), and it is \(2\) and \(9\) in \(2x^5-x\) and \(9x^5+7\), respectively. Exam tip: If a term of a required power is absent, its coefficient is \(0\).
C. क्योंकि इसमें \(x\) की ऋणात्मक घात वाला पद \(x^{-4}\) है/Because it contains the term \(x^{-4}\), in which the exponent of \(x\) is negative
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। यहाँ पद \(x^{-4}\) में \(x\) की घात \(-4\) है, जो ऋणात्मक है; इसलिए दिया गया व्यंजक बहुपद नहीं है। \(7x^2\) और अचर \(3\) बहुपद के वैध पद हैं, तथा तीन पद होना भी कोई समस्या नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए चर की सभी घातों की जाँच करें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a zero or a positive integer. Here, the term \(x^{-4}\) has exponent \(-4\), which is negative, so the given expression is not a polynomial. The terms \(7x^2\) and the constant \(3\) are valid polynomial terms, and having three terms is not a problem. Exam tip: Check the exponents of every variable when identifying a polynomial.
A. हाँ, क्योंकि x की सभी घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं/Yes, because all powers of x are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(6x^4-3x^2+x-10\) एक बहुपद है, क्योंकि इसमें x की घातें 4, 2, 1 और 0 हैं। ये सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं, जो बहुपद के लिए आवश्यक है। चार पद होना या अचर पद -10 होना बहुपद होने में बाधा नहीं है; x-4 भी मान्य पद है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय जाँचें कि चर की कोई भी घात ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर के हर में न हो। / Yes, \(6x^4-3x^2+x-10\) is a polynomial because the powers of x are 4, 2, 1, and 0. All of these are non-negative integers, as required for a polynomial. Having four terms or a constant term such as -10 does not make an expression non-polynomial; x-4 is also a valid term. Exam tip: check that no variable has a negative or fractional exponent, and that no variable appears in a denominator.
बहुपद में x वाला रैखिक पद -8x है। किसी पद में x के साथ गुणा होने वाली संख्या उसका गुणांक कहलाती है, इसलिए x का गुणांक -8 है। 5, x² का गुणांक है, जबकि 12 अचर पद है। परीक्षा टिप: गुणांक ज्ञात करते समय चर के साथ लगा धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न अवश्य शामिल करें। / The linear term containing x is -8x. The number multiplying x is its coefficient, so the coefficient of x is -8. Here, 5 is the coefficient of x², while 12 is the constant term. Exam tip: Always include the positive or negative sign when identifying a coefficient.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में x की घातें 8, 5, 2 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 8 है, इसलिए इसकी डिग्री 8 है। 5 केवल दूसरे पद 4x-5 की घात है, बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले सभी पदों में चर की घातों को देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. In the given polynomial, the exponents of x are 8, 5, 2, and 0. The greatest exponent is 8, so its degree is 8. The number 5 is only the exponent in the term 4x-5, not the degree of the polynomial. Exam tip: Check the exponents of the variable in all terms before choosing the degree.
A. हां, क्योंकि दशमलव गुणांक भी वास्तविक संख्या है/Yes, because a decimal coefficient is also a real number
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में गुणांक वास्तविक संख्या हो सकते हैं। यहां (x) की घातें (2), (1), और (0) हैं। / Coefficients in a polynomial can be real numbers. Here the powers of (x) are (2), (1), and (0).
B. क्योंकि सरल करने पर \(\frac{1}{x}\) वाला पद आता है/Because after simplifying, a \(\frac{1}{x}\) term appears
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}\), जिसमें \(x^{-1}\) आता है। ऋणात्मक घात बहुपद में मान्य नहीं होती। / \(\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}\), which contains \(x^{-1}\). Negative powers are not valid in a polynomial.
बहुपद की डिग्री उसके उस पद की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ 0x² और 0x पदों का मान शून्य है, इसलिए वे बहुपद की डिग्री में योगदान नहीं देते। 2x³ की घात 3 है, अतः बहुपद की डिग्री 3 है। 9 केवल अचर पद है, इसलिए उसकी घात 0 होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को अनदेखा करें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of a term with a non-zero coefficient. Here, 0x² and 0x are zero terms, so they do not affect the degree. The term 2x³ has exponent 3; therefore, the degree is 3. The number 9 is a constant term and has degree 0. Exam tip: Ignore terms with zero coefficients before identifying the highest power.
A. क्योंकि \(\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}\) है/Because \(\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt[3]{x}\) की घात \(\frac{1}{3}\) है। भिन्न घात होने पर व्यंजक बहुपद नहीं होता। / The power of \(\sqrt[3]{x}\) is \(\frac{1}{3}\). An expression with a fractional power is not a polynomial.
\(3x^4+\frac{x}{5}-6\) में (x) की घातें (4), (1), और (0) हैं। भिन्न गुणांक मान्य होता है। / In \(3x^4+\frac{x}{5}-6\), the powers of (x) are (4), (1), and (0). A fractional coefficient is valid.
बहुपद \(4x^2-7\) के पद 4x-2 और -7 हैं। इसमें x वाला कोई रैखिक पद नहीं है, इसलिए x का गुणांक 0 है। 4, x-2 का गुणांक है, x का नहीं। परीक्षा टिप: जिस घात के चर का गुणांक पूछा हो, उसी घात वाला पद खोजें। / The terms of \(4x^2-7\) are 4x-2 and -7. There is no linear term containing x, so the coefficient of x is 0. Here, 4 is the coefficient of x-2, not of x. Exam tip: Look for the term with exactly the power of the variable asked in the question.
\(-\frac{5}{2}\) में कोई चर नहीं है और यह शून्य नहीं है। इसलिए यह अशून्य नियतांक बहुपद है। / \(-\frac{5}{2}\) has no variable and is not zero. Therefore it is a non-zero constant polynomial.
बहुपद के मानक रूप में पदों को चर की घात के घटते क्रम में लिखा जाता है। दिए गए बहुपद में सबसे अधिक घात \(4\) है, फिर \(1\) और अंत में स्थिर पद \(9\) है। इसलिए सही मानक रूप \(5x^4-2x+9\) है। विकल्प C में \(x\) वाला पद स्थिर पद के बाद है, इसलिए वह घटती घातों के क्रम में नहीं है। परीक्षा टिप: मानक रूप लिखते समय पहले सबसे बड़ी घात वाला पद रखें। / In the standard form of a polynomial, terms are arranged in descending powers of the variable. Here, the highest power is \(4\), followed by \(1\), and then the constant term \(9\). Therefore, the correct standard form is \(5x^4-2x+9\). In option C, the \(x\)-term comes after the constant term, so the powers are not in descending order. Exam tip: place the term with the highest exponent first when writing a polynomial in standard form.
C. यह एक बहुपद है क्योंकि इसके गुणांक वास्तविक हैं और \(x\) की घातें अशून्य पूर्णांक हैं/It is a polynomial because its coefficients are real and the powers of \(x\) are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\), \(-\pi\) और \(2\) सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए वे बहुपद के मान्य गुणांक हैं। \(x\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। अतः दिया गया व्यंजक एक बहुपद है। \(\pi\) या \(\sqrt{3}\) का अपरिमेय होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है; केवल चर की घातें अशून्य पूर्णांक होनी चाहिए। परीक्षा टिप: गुणांकों के प्रकार की बजाय चर की घातों को पहले जाँचें। / \(\sqrt{3}\), \(-\pi\), and \(2\) are all real numbers, so they are valid coefficients of a polynomial. The powers of \(x\) are \(3\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Therefore, the given expression is a polynomial. The fact that \(\pi\) and \(\sqrt{3}\) are irrational does not make the expression non-polynomial; it is the exponents of the variable that must be non-negative integers. Exam tip: check the exponents of the variable first.
B. क्योंकि \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) gives \(x\) a negative exponent
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{x^3}\) को \(x^{-3}\) लिखा जा सकता है, इसलिए इस व्यंजक में \(x\) की घात \(-3\) है। बहुपद में चर की घात केवल अशून्य ऋणेतर पूर्णांक, अर्थात \(0,1,2,\ldots\), हो सकती है; ऋणात्मक घात स्वीकार्य नहीं होती। नियतांक पद का न होना बहुपद को अमान्य नहीं बनाता, इसलिए विकल्प D कारण नहीं है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात में बदलकर जाँचें। / Since \(\frac{1}{x^3}\) can be written as \(x^{-3}\), the expression contains \(x\) with exponent \(-3\). In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer: \(0,1,2,\ldots\); negative exponents are not allowed. The absence of a constant term does not make an expression non-polynomial, so option D is not a valid reason. Exam tip: If a variable occurs in a denominator, rewrite it using a negative exponent to check whether the expression is a polynomial.
बहुपद की डिग्री उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 10, 5 और 0 हैं, इसलिए सबसे बड़ी घात 10 है। अतः सही उत्तर 10 है। 5 केवल पद 2x-5 की घात है, पूरी बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: स्थिरांक पद की घात 0 मानें और सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Here, the exponents of the terms are 10, 5, and 0, so the greatest exponent is 10. Therefore, the correct answer is 10. The number 5 is only the exponent in the term 2x-5, not the degree of the whole polynomial. Exam tip: Treat a non-zero constant term as having exponent 0 and select the greatest exponent.
रेखीय बहुपद का उच्चतम घातांक 1 होता है; इसका सामान्य रूप \(ax+b\) है, जहाँ \(a\neq 0\)। \(x^2+1\) में \(x\) का उच्चतम घातांक 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है, रेखीय बहुपद नहीं। \(\frac{x}{4}-6\) में भिन्न गुणांक होने पर भी \(x\) की घात 1 है, इसलिए वह रेखीय है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए चर का सबसे बड़ा घातांक देखें। / A linear polynomial has highest exponent 1 and is of the form \(ax+b\), where \(a\neq 0\). In \(x^2+1\), the highest exponent of \(x\) is 2, so it is a quadratic polynomial, not a linear polynomial. Although \(\frac{x}{4}-6\) has a fractional coefficient, its highest exponent of \(x\) is 1, so it is linear. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the greatest exponent of its variable.
\(4x^3+x-1\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह घन बहुपद है, द्विघात बहुपद नहीं। \(x^2+3x+2\) सबसे निकट विकल्प है, पर उसकी घात 2 है, इसलिए वह द्विघात बहुपद है। \(\sqrt{x}+1\) और \(\frac{1}{x}+2\) बहुपद नहीं हैं क्योंकि इनमें \(x\) की घात क्रमशः \(\frac12\) और \(-1\) है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। / In \(4x^3+x-1\), the highest power of \(x\) is 3, so it is a cubic polynomial, not a quadratic polynomial. \(x^2+3x+2\) is the closest distractor, but its degree is 2, so it is quadratic. \(\sqrt{x}+1\) and \(\frac{1}{x}+2\) are not polynomials because the powers of \(x\) are \(\frac12\) and \(-1\), respectively. Exam tip: in a polynomial, variable exponents must be 0 or positive integers.
दिया गया बहुपद \(2x^6-4x^2+8\) है। इसमें \(x^6\) वाला पद \(2x^6\) है, और \(x^6\) से गुणा होने वाली संख्या 2 है। अतः \(x^6\) का गुणांक 2 है।
(-4), \(x^2\) का गुणांक है, जबकि 8 अचर पद है। परीक्षा टिप: किसी पद का गुणांक ज्ञात करने के लिए उस चर-घात वाले पद के साथ गुणा हो रही संख्या देखें। / The given polynomial is \(2x^6-4x^2+8\). Its term containing \(x^6\) is \(2x^6\), and the number multiplying \(x^6\) is 2. Hence, the coefficient of \(x^6\) is 2.
(-4) is the coefficient of \(x^2\), while 8 is the constant term. Exam tip: To find a coefficient, identify the number multiplying the required variable term.
C. नहीं, क्योंकि \(x^{-1}\) की घात ऋणात्मक है/No, because \(x^{-1}\) has a negative power
Explanation
Simple Explanation
\(x^{-1}\) में चर की घात ऋणात्मक है। एक अमान्य घात होने से पूरा व्यंजक बहुपद नहीं रहता। / In \(x^{-1}\), the variable has a negative power. One invalid power makes the whole expression not a polynomial.
B. हां, क्योंकि चर की घातें (2), (1), और (0) हैं/Yes, because the variable powers are (2), (1), and (0)
Explanation
Simple Explanation
भिन्न गुणांक बहुपद में मान्य होते हैं। यहां चर की सभी घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं। / Fractional coefficients are valid in a polynomial. Here all variable powers are non-negative integers.
\(\frac{x}{x+1}\) में चर हर में है। ऐसा व्यंजक बहुपद की परिभाषा को पूरा नहीं करता। / In \(\frac{x}{x+1}\), the variable is in the denominator. Such an expression does not satisfy the definition of a polynomial.
B. क्योंकि \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) है/Because \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x}\) में चर की घात \(\frac{1}{2}\) है। बहुपद में चर की घात अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(\sqrt{x}\), the power of the variable is \(\frac{1}{2}\). In a polynomial, the variable power must be a non-negative integer.
