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असमता \(2x+8>0\) को हल करने पर \(2x>-8\), अतः \(x>-4\) प्राप्त होता है। इसलिए इसका हल-समुच्चय \((-4,\infty)\) है; \(-4\) शामिल नहीं है क्योंकि असमता सख्त है। विकल्प B से \(x<-4\), जबकि विकल्प C और D क्रमशः \(x>4\) और \(x<4\) देते हैं। परीक्षा में खुले अंतराल के छोर का अर्थ याद रखें कि वह संख्या हल-समुच्चय में शामिल नहीं होती। / Solving \(2x+8>0\) gives \(2x>-8\), and hence \(x>-4\). Therefore, its solution set is \((-4,\infty)\); \(-4\) is excluded because the inequality is strict. Option B gives \(x<-4\), while options C and D give \(x>4\) and \(x<4\), respectively. Exam tip: an open endpoint means that the boundary value is not included in the solution set.
असमानता \(\frac{x+5}{2}>3\) में 2 से गुणा करने पर \(x+5>6\), अर्थात् \(x>1\) प्राप्त होता है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, 1 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 2 है। इसलिए सही उत्तर 2 है। ध्यान रखें कि असमानता सख्त \(>\) है, इसलिए \(x=1\) स्वीकार्य नहीं है। / Multiplying \(\frac{x+5}{2}>3\) by the positive number 2 gives \(x+5>6\), or \(x>1\). Since \(x\) is an integer, the least integer greater than 1 is 2. Therefore, the correct answer is 2. Exam tip: because the inequality is strict (\(>\)), \(x=1\) is not included.
असमानता \(4x+1<2x+9\) में दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(2x+1<9\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों से \(1\) घटाने पर \(2x<8\), अतः \(x<4\)। इसलिए सही अंतराल \((- infty,4)\) है। विकल्प B में \(x>4\) लिखा है, जो असमानता की विपरीत दिशा दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Starting with \(4x+1<2x+9\), subtract \(2x\) from both sides to get \(2x+1<9\). Subtracting \(1\) gives \(2x<8\), and dividing by the positive number \(2\) yields \(x<4\). Thus, the correct interval is \((- infty,4)\). Option B represents \(x>4\), the opposite inequality. Exam tip: dividing by a positive number does not reverse the inequality sign.
दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर (2-x>4) मिलता है। अतः (-x>2)। दोनों पक्षों को (-1) से गुणा करने पर असमता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए (x<-2) प्राप्त होता है। विकल्प B में यही चिह्न-परिवर्तन नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमता का चिह्न अवश्य पलटें। / Multiplying both sides by 4 gives (2-x>4), so (-x>2). Multiplying both sides by (-1) reverses the inequality sign, yielding (x<-2). Option B misses this sign reversal. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर \\(6x-2<5x+6\\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से \\(5x\\) घटाने पर \\(x-2<6\\), अतः \\(x<8\\)। विकल्प B में असमता का चिह्न अनावश्यक रूप से उलट दिया गया है; चिह्न तभी उलटता है जब किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाए। परीक्षा में पहले कोष्ठक खोलकर चर वाले पदों को एक ही पक्ष में रखें। / Expanding the bracket gives \\(6x-2<5x+6\\). Subtracting \\(5x\\) from both sides gives \\(x-2<6\\), so \\(x<8\\). In option B, the inequality sign has been reversed incorrectly; the sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number. In an exam, expand the bracket first and collect the variable terms on one side.
\(-5\leq x<2\) के लिए पूर्णांक हल \(-5,-4,-3,-2,-1,0,1\) हैं। यहाँ \(-5\) शामिल है क्योंकि उस पर \(\leq\) है, जबकि \(2\) शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ \(<\) है। इसलिए कुल 7 हल हैं। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत पूर्णांकों की संख्या निकालने के लिए शामिल अंतिम और प्रारंभिक मानों का अंतर लेकर 1 जोड़ें। / For \(-5\leq x<2\), the integer solutions are \(-5,-4,-3,-2,-1,0,1\). The endpoint \(-5\) is included because of \(\leq\), whereas 2 is excluded because of \(<\). Hence, there are 7 solutions. Exam tip: for consecutive included integers, subtract the first value from the last value and add 1.
असमिका \(-4x-1<7\) में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(-4x<8\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को \(-4\) से भाग देने पर असमिका का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x>-2\)। विकल्प B में चिह्न उलटने की बात छूट गई है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमिका का चिह्न अवश्य बदलें। / Adding 1 to both sides of \(-4x-1<7\) gives \(-4x<8\). Dividing both sides by \(-4\) reverses the inequality sign, so \(x>-2\). Option B results from forgetting this reversal. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर \(8-6x-2\leq 0\), अर्थात् \(6-6x\leq 0\) मिलता है। अतः \(-6x\leq -6\)। दोनों पक्षों को \(-6\) से विभाजित करने पर असमता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x\geq 1\)। परीक्षा-युक्ति: किसी असमता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर \(\leq\) और \(\geq\) आपस में बदल जाते हैं। / Expanding the brackets gives \(8-6x-2\leq 0\), or \(6-6x\leq 0\). Thus, \(-6x\leq -6\). Dividing both sides by \(-6\) reverses the inequality sign, so \(x\geq 1\). Exam tip: whenever an inequality is multiplied or divided by a negative number, reverse the inequality sign.
किसी व्यंजक के धनात्मक होने का अर्थ है \(3-2x>0\)। अतः \(-2x>-3\)। ऋणात्मक संख्या \(-2\) से दोनों पक्षों में भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x<\frac{3}{2}\)। विकल्प B में यह चिह्न उलटने की प्रक्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य बदलें। / A positive expression satisfies \(3-2x>0\). Thus, \(-2x>-3\). Dividing both sides by the negative number \(-2\) reverses the inequality sign, giving \(x<\frac{3}{2}\). Option B results from forgetting this reversal. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
‘ऋणात्मक नहीं’ का अर्थ \(5x+2\geq 0\) होता है। अतः \(5x\geq -2\), और 5 से भाग देने पर \(x\geq -\frac{2}{5}\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(x=-\frac{2}{5}\) को शामिल नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: ‘नहीं’ वाले कथनों में बराबरी की स्थिति अवश्य जाँचें। / ‘Non-negative’ means \(5x+2\geq 0\). Therefore, \(5x\geq -2\), and dividing by 5 gives \(x\geq -\frac{2}{5}\). Option B is incorrect because it excludes the endpoint \(x=-\frac{2}{5}\). Exam tip: whenever an expression is described as ‘not negative,’ include the equality case.
‘कम नहीं है’ का अर्थ ‘से बड़ा या बराबर’ होता है, इसलिए असमता \(2x-5\geq x+3\) होगी। दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(x-5\geq 3\), अतः \(x\geq 8\)। विकल्प B में ‘कम नहीं’ को सख्त असमता \(>\) माना गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: ‘कम से कम’ या ‘कम नहीं’ दिखे तो \(\geq\) का प्रयोग करें। / ‘Not less than’ means ‘greater than or equal to’, so the inequality is \(2x-5\geq x+3\). Subtracting \(x\) from both sides gives \(x-5\geq 3\), and adding 5 gives \(x\geq 8\). Option B is incorrect because it uses the strict inequality \(>\), which excludes equality. Exam tip: phrases such as ‘at least’ and ‘not less than’ correspond to \(\geq\).
विकल्प B में \(2x-8\geq 0\) से \(2x\geq 8\), अर्थात् \(x\geq 4\) प्राप्त होता है। इसलिए इसका हल-समुच्चय \([4,\infty)\) है। विकल्प A से \(x>4\) मिलता है, जिसका हल \((4,\infty)\) होगा और उसमें 4 शामिल नहीं है। परीक्षा में याद रखें: बंद कोष्ठक \([\) या \(]\) बराबरी सहित असमता को दर्शाता है। / For option B, \(2x-8\geq 0\) gives \(2x\geq 8\), so \(x\geq 4\). Hence, the solution set is \([4,\infty)\). Option A gives \(x>4\), whose solution set is \((4,\infty)\), so 4 is excluded. Exam tip: a square bracket indicates that the endpoint is included, which corresponds to an inequality containing equality.
‘धनात्मक नहीं’ का अर्थ है कि व्यंजक शून्य या ऋणात्मक हो सकता है, अर्थात \(2x+5\leq 0\)। दोनों पक्षों में 5 घटाने पर \(2x\leq -5\) और 2 से भाग देने पर \(x\leq -\frac{5}{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प C में \(<\) होने के कारण \(x=-\frac{5}{2}\) छूट जाता है, जबकि इस मान पर \(2x+5=0\) होता है और व्यंजक धनात्मक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘नहीं’ जैसे शब्दों पर ध्यान दें—‘धनात्मक नहीं’ में शून्य भी शामिल होता है। / ‘Not positive’ means the expression can be zero or negative, so \(2x+5\leq 0\). Subtracting 5 from both sides gives \(2x\leq -5\), and dividing by 2 gives \(x\leq -\frac{5}{2}\). Therefore, option D is correct. Option C incorrectly uses \(<\) and excludes \(x=-\frac{5}{2}\), even though the expression equals zero at that value and is therefore not positive. Exam tip: ‘not positive’ includes zero, whereas ‘negative’ excludes zero.
मानें कि \(L(x)<R(x)\) एक असमता है। इसे हल करते समय निम्नलिखित में से कौन-सा रूपांतरण \(x\) के मान पर कोई अतिरिक्त शर्त लगाए बिना सदैव समतुल्य रहता है?
दोनों पक्षों में एक ही व्यंजक \(3x-2\) जोड़ने से असमता का क्रम नहीं बदलता, इसलिए A सदैव समतुल्य है। B और C में गुणक/भाजक का चिह्न बदल सकता है; C में \(x=-2\) भी मान्य नहीं है। टिप: चिह्न-अज्ञात व्यंजक से गुणा या भाग करने से बचें। / Adding the same expression \(3x-2\) to both sides preserves the inequality, so A is always equivalent. In B and C, the factor or divisor may change sign; moreover, C is undefined at \(x=-2\). Exam tip: do not multiply or divide by an expression whose sign is unknown.
दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \\(10\leq 2x\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से विभाजित करने पर \\(5\leq x\\), अर्थात् \\(x\geq 5\\) प्राप्त होता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमता का चिह्न उलटता है। / Subtracting 1 from both sides gives \\(10\leq 2x\\). Dividing both sides by the positive number 2 yields \\(5\leq x\\), which is equivalent to \\(x\geq 5\\). The inequality sign does not reverse when dividing by a positive number. Exam tip: Reverse the sign only when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
असमता \(3x+2\geq 17\) से \(3x\geq 15\), अतः \(x\geq 5\) प्राप्त होता है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, सबसे छोटा संभव मान 5 है। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि \(3(4)+2=14<17\)। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता। / From \(3x+2\geq 17\), we get \(3x\geq 15\), and hence \(x\geq 5\). Since \(x\) is an integer, the least possible value is 5. Option 4 is incorrect because \(3(4)+2=14<17\). Exam tip: dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
“अधिक नहीं” का अर्थ \(\leq\) होता है, इसलिए असमिका \(4x-7\leq 13\) होगी। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(4x\leq 20\), और 4 से भाग देने पर \(x\leq 5\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। विकल्प D गलत है, क्योंकि वह \(x=5\) को शामिल नहीं करता, जबकि \(x=5\) रखने पर \(4(5)-7=13\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: “not greater than” को \(\leq\) और “not less than” को \(\geq\) के रूप में पढ़ें। / “Not greater than” means \(\leq\), so the inequality is \(4x-7\leq 13\). Adding 7 to both sides gives \(4x\leq 20\), and dividing by 4 gives \(x\leq 5\). Therefore, option C is correct. Option D is incorrect because it excludes \(x=5\), even though \(4(5)-7=13\). Exam tip: interpret “not greater than” as \(\leq\) and “not less than” as \(\geq\).
कोष्ठक खोलने पर \(6-3x>x+10\) मिलता है। अतः \(-4x>4\)। दोनों पक्षों को \(-4\) से भाग देने पर असमता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \(x<-1\)। विकल्प B में चिन्ह उलटने की यह आवश्यक प्रक्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमता का चिन्ह अवश्य पलटें। / Expanding the bracket gives \(6-3x>x+10\), so \(-4x>4\). Dividing both sides by \(-4\) reverses the inequality sign, yielding \(x<-1\). Option B incorrectly keeps the original direction after division by a negative number. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
पहली असमता से \(x+4\geq0\Rightarrow x\geq-4\) प्राप्त होता है। दूसरी असमता से \(2x-1<9\Rightarrow2x<10\Rightarrow x<5\) मिलता है। इसलिए दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(-4\leq x<5\) है, अर्थात \([-4,5)\)। \(-4\) शामिल है क्योंकि वहाँ \(\geq\) है, जबकि \(5\) शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ \(<\) है। परीक्षा-टिप: \(\geq\) या \(\leq\) पर सिरा बंद और \(>\) या \(<\) पर सिरा खुला रखें। / From the first inequality, \(x+4\geq0\) gives \(x\geq-4\). From the second, \(2x-1<9\Rightarrow2x<10\Rightarrow x<5\). Thus both conditions together give \(-4\leq x<5\), represented by \([-4,5)\). The endpoint \(-4\) is included because the inequality is non-strict, whereas \(5\) is excluded because the inequality is strict. Exam tip: use a closed endpoint for \(\leq\) or \(\geq\), and an open endpoint for \(<\) or \(>\).
दोनों पक्षों को \(-2\) से गुणा करने पर असमता का चिन्ह उलट जाता है, क्योंकि \(-2\) ऋणात्मक है: \(x-4\leq -6\)। दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(x\leq -2\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा में याद रखें: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमता का चिन्ह अवश्य पलटता है। / Multiplying both sides by \(-2\) reverses the inequality sign because \(-2\) is negative: \(x-4\leq -6\). Adding 4 to both sides gives \(x\leq -2\), so option B is correct. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
\(2<x<7\) में दोनों सीमाओं पर कठोर असमताएँ हैं, इसलिए 2 और 7 हल में शामिल नहीं होते; इसका हल खुला अंतराल \((2,7)\) है। B और C अर्ध-खुले हैं। परीक्षा में \(<\) या \(>\) के लिए खुला सिरा याद रखें। / In \(2<x<7\), both inequalities are strict, so neither 2 nor 7 is included; the solution is the open interval \((2,7)\). B and C are half-open intervals. Exam tip: use an open endpoint for \(<\) or \(>\).
विकल्प C में दोनों सीमाएँ ‘\(\leq\)’ हैं, इसलिए दोनों अंतिम बिंदु शामिल होंगे। इसे हल करने पर \(-5\leq x\leq 2\) मिलता है, जो बंद अंतराल \([-5,2]\) है। A और B अर्ध-अनंत अंतराल देते हैं। परीक्षा टिप: दोनों ओर गैर-कठोर चिह्न हों तो बंद अंतराल पहचानें। / In option C, both boundary signs are ‘\(\leq\)’, so both endpoints are included. Solving it gives \(-5\leq x\leq 2\), the closed interval \([-5,2]\). A and B give half-infinite intervals. Exam tip: two non-strict bounds indicate a closed interval.
दोनों पक्षों से \\(2x\\) घटाने पर \\(-3<3x+12\\) मिलता है। फिर 12 घटाने पर \\(-15<3x\\) और 3 से भाग देने पर \\(x>-5\\) प्राप्त होता है। 3 धनात्मक है, इसलिए असमता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न बदलना अनावश्यक है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमता का चिह्न वही रहता है। / Subtracting \\(2x\\) from both sides gives \\(-3<3x+12\\). Subtracting 12 and then dividing by the positive number 3 gives \\(-15<3x\\), hence \\(x>-5\\). The inequality sign does not reverse because 3 is positive; therefore, option B is incorrect. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमता को सरल करने पर \(9-3x\geq 2x-16\Rightarrow 25\geq 5x\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 5 से भाग देने पर \(x\leq 5\) मिलता है, इसलिए सही विकल्प A है। यदि किसी असमता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग दिया जाए, तो असमता का चिह्न उलट जाता है; यहाँ ऐसा नहीं होता। परीक्षा-टिप: चर वाले पदों को एक ओर और स्थिर पदों को दूसरी ओर रखने के बाद चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / Rearranging the inequality gives \(9-3x\geq 2x-16\Rightarrow 25\geq 5x\). Dividing both sides by the positive number 5 yields \(x\leq 5\), so option A is correct. The inequality sign would reverse only if we divided or multiplied by a negative number; that does not happen here. Exam tip: after collecting the variable terms, always check the sign of the number used to divide.
असमानता \(12<4x\leq 28\) के प्रत्येक भाग को धनात्मक संख्या \(4\) से भाग देने पर \(3<x\leq 7\) प्राप्त होता है। क्योंकि भाजक धनात्मक है, इसलिए असमानता के चिन्हों की दिशा नहीं बदलती। विकल्प B में दोनों सिरों पर समानता और असमानता के चिन्ह उलटे हैं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिन्ह पलटता है। / Dividing every part of \(12<4x\leq 28\) by the positive number \(4\) gives \(3<x\leq 7\). Since the divisor is positive, the inequality signs do not reverse. Option B incorrectly reverses the endpoint inclusions. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर \(4x+8-3x+15\geq 20\) मिलता है, अर्थात् \(x+23\geq 20\)। दोनों पक्षों से 23 घटाने पर \(x\geq -3\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमता की दिशा उलट दी गई है, जबकि विकल्प C और D में स्थिरांक घटाने की गणना गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक पद के सामने कोष्ठक खोलते समय उसके भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न बदलना न भूलें। / Expanding the brackets gives \(4x+8-3x+15\geq 20\), so \(x+23\geq 20\). Subtracting 23 from both sides yields \(x\geq -3\), making option A correct. Option B reverses the inequality incorrectly, while options C and D result from an incorrect subtraction. Exam tip: when removing a minus sign before a bracket, change the sign of every term inside that bracket.
पहली असमता से \(x-2<4\) होने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। दूसरी असमता से \(x+5\geq 1\) होने पर \(x\geq -4\) मिलता है। इसलिए दोनों शर्तों का साझा हल \(-4\leq x<6\) है, जिसे अंतराल रूप में \([-4,6)\) लिखा जाता है। ध्यान रखें कि वर्ग कोष्ठक \(-4\) को शामिल करता है, जबकि कोष्ठक \(6\) को शामिल नहीं करता। / From the first inequality, \(x-2<4\) gives \(x<6\). From the second, \(x+5\geq 1\) gives \(x\geq -4\). Therefore, the common solution is \(-4\leq x<6\), written in interval notation as \([-4,6)\). Remember that the square bracket includes \(-4\), while the parenthesis excludes \(6\).
असमानता को सरल करने पर \(4x-8>3x+7\), अतः \(x>15\) प्राप्त होता है। 16, 20 और 25, 15 से बड़े हैं, इसलिए वे हल हैं; जबकि \(x=14\), \(x>15\) की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा में याद रखें कि \(>\) होने पर सीमा मान 15 स्वयं भी हल नहीं होता। / Simplifying the inequality gives \(4x-8>3x+7\), so \(x>15\). The values 16, 20, and 25 are greater than 15 and are therefore solutions, whereas \(x=14\) does not satisfy the condition. Exam tip: with a strict sign \(>\), the boundary value 15 itself is also excluded.
कोष्ठक खोलने पर बायाँ पक्ष \(3x+6-5=3x+1\) और दायाँ पक्ष \(2x-2+8=2x+6\) मिलता है। अतः \(3x+1\geq 2x+6\), इसलिए \(x\geq 5\)। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है, जबकि 9 प्राप्त करने पर स्थिरांकों का सरलीकरण गलत होता है। परीक्षा-युक्ति: असमानता में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / Expanding the brackets gives \(3x+6-5=3x+1\) on the left and \(2x-2+8=2x+6\) on the right. Thus, \(3x+1\geq 2x+6\), which simplifies to \(x\geq 5\). Option B reverses the inequality without justification, while 9 results from incorrect simplification of the constants. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
विकल्प B को हल करने पर \(3x+1>25\Rightarrow 3x>24\Rightarrow x>8\) प्राप्त होता है। विकल्प A से \(x\geq 8\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है; C से \(x<8\) और D से \(x\leq 8\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Solving option B gives \(3x+1>25\Rightarrow 3x>24\Rightarrow x>8\). Option A gives \(x\geq 8\), so it is not equivalent; option C gives \(x<8\), and option D gives \(x\leq 8\). Exam tip: dividing both sides of an inequality by a positive number does not reverse the inequality sign.
दोनों पक्षों से \(1.5\) घटाने पर \(0.2x\leq 1.6\) प्राप्त होता है। अब \(0.2\) से भाग देने पर \(x\leq 8\) मिलता है। चूँकि \(0.2\) धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता; अतः \(x\geq 8\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Subtracting \(1.5\) from both sides gives \(0.2x\leq 1.6\). Dividing by the positive number \(0.2\) yields \(x\leq 8\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive, so \(x\geq 8\) is incorrect. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(2a-3<7\) में दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(2a<10\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर \(a<5\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है; दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / Adding 3 to both sides of \(2a-3<7\) gives \(2a<10\). Dividing both sides by the positive number 2 yields \(a<5\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality; the sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: always reverse the inequality sign when dividing by a negative quantity.
असमानता को सरल करने पर \(6-4x\geq 2x-12\Rightarrow 18\geq 6x\) मिलता है। दोनों पक्षों को 6 से भाग देने पर \(3\geq x\), अर्थात् \(x\leq 3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट गई है; ऐसा तभी होता जब किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाता। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर असमानता का चिह्न अवश्य बदलें। / Rearranging gives \(6-4x\geq 2x-12\Rightarrow 18\geq 6x\). Dividing both sides by the positive number 6 yields \(3\geq x\), or \(x\leq 3\). Option B incorrectly reverses the inequality sign; the sign changes only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: always check whether the divisor is positive or negative before deciding the direction of the inequality.
दिया है \(3x-7>11\)। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(3x>18\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर असमीका की दिशा नहीं बदलती, इसलिए \(x>6\)। \(x\geq6\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमीका में बराबरी का चिह्न नहीं है और \(x=6\) रखने पर \(11>11\) असत्य होता है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमीका का चिह्न नहीं बदलता। / Given \(3x-7>11\), add 7 to both sides to get \(3x>18\). Dividing by the positive number 3 does not reverse the inequality, so \(x>6\). The option \(x\geq6\) is incorrect because equality is not included; substituting \(x=6\) gives \(11>11\), which is false. Exam tip: an inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
\(-2x\le 8\) और ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलटता है इसलिए \(x\ge -4\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक पर विशेष ध्यान दें। / \(-2x\le 8\) and dividing by a negative reverses the sign so \(x\ge -4\). Watch the sign reversal in exams.
दिया है \(\frac{x}{3}+4<7\)। दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(\frac{x}{3}<3\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से गुणा करने पर असमीका का चिह्न नहीं बदलता और \(x<9\) प्राप्त होता है। \(x\leq 9\) गलत है, क्योंकि मूल असमीका में चिह्न कठोर \(<\) है। परीक्षा टिप: किसी असमीका को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / Given \(\frac{x}{3}+4<7\), subtracting 4 from both sides gives \(\frac{x}{3}<3\). Multiplying both sides by the positive number 3 does not change the inequality sign, so \(x<9\). The option \(x\leq 9\) is incorrect because the original inequality is strict. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
\(2x-5\ge 12\) से \(2x\ge 17\), इसलिए \(x\ge \frac{17}{2}\)। परीक्षा में धनात्मक हर से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / From \(2x-5\ge 12\), \(2x\ge 17\), so \(x\ge \frac{17}{2}\). Multiplying by a positive denominator does not change the sign.
सरलीकरण से \(4x-5\le 2x+9\), इसलिए \(2x\le 14\) और \(x\le 7\)। परीक्षा में कोष्ठक सही खोलें। / Simplifying gives \(4x-5\le 2x+9\), so \(2x\le 14\) and \(x\le 7\). Open brackets carefully in exams.
पहले कोष्ठक खोलने पर \(7-3x-3>2x-6\), अर्थात \(4-3x>2x-6\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(3x\) और \(6\) जोड़ने पर \(10>5x\) होगा। 5 धनात्मक है, इसलिए 5 से भाग देने पर असमीका का चिह्न नहीं बदलेगा और \(x<2\) प्राप्त होगा। \(x\leq2\) गलत है क्योंकि दी गई असमीका में चिह्न \(>\) है, बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमीका का चिह्न उलटता है। / On expanding the bracket, \(7-3x-3>2x-6\), so \(4-3x>2x-6\). Adding \(3x\) and \(6\) to both sides gives \(10>5x\). Since 5 is positive, dividing by 5 does not reverse the inequality sign, giving \(x<2\). The option \(x\leq2\) is incorrect because the original inequality is strict and does not include equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दिए गए असमीकरण में दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(5<x-4\) मिलता है। अब दोनों पक्षों में \(4\) जोड़ने पर \(9<x\), अर्थात \(x>9\) प्राप्त होता है। \(x\geq 9\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमीकरण में चिह्न \(<\) है और \(x=9\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: असमीकरण में केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलटता है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(5<x-4\). Adding \(4\) to both sides gives \(9<x\), or \(x>9\). The option \(x\geq 9\) is not correct because the original inequality is strict; at \(x=9\), both sides are equal. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
\(6x-1\ge 4x+14\) से \(2x\ge 15\), इसलिए \(x\ge \frac{15}{2}\)। परीक्षा में दोनों पक्षों को पहले सरल करें। / \(6x-1\ge 4x+14\) gives \(2x\ge 15\), so \(x\ge \frac{15}{2}\). Simplify both sides first in exams.
(3(x-2)\le 5(x+4)) से \(3x-6\le 5x+20\), इसलिए \(x\ge -13\)। परीक्षा में लघुत्तम समापवर्त्य से हर हटाएं। / (3(x-2)\le 5(x+4)) gives \(3x-6\le 5x+20\), hence \(x\ge -13\). Use the LCM to clear denominators.
(2(3x+1)>x-5) से (6x+2>x-5), इसलिए \(x>-\frac{7}{5}\)। परीक्षा में हर हटाते समय हर पक्ष पर सही गुणा करें। / (2(3x+1)>x-5) gives (6x+2>x-5), so \(x>-\frac{7}{5}\). Multiply both sides correctly while clearing denominators.
\(0.4x\le 2.4\), इसलिए \(x\le 6\)। परीक्षा में दशमलव को भिन्न में बदलना गणना आसान कर सकता है। / \(0.4x\le 2.4\), so \(x\le 6\). Converting decimals to fractions can simplify exam calculations.
(-0.3x<-0.9) और ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर (x>3)। परीक्षा में दशमलव के साथ भी चिन्ह पलटने का नियम वही रहता है। / (-0.3x<-0.9), and division by a negative gives (x>3). The sign reversal rule also applies with decimals.
\(-4x\ge 16\) और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\le -4\)। परीक्षा में अंतिम चरण में असमीका चिन्ह जांचें। / \(-4x\ge 16\), and dividing by a negative gives \(x\le -4\). Check the inequality sign in the final step.
(-5x<-10), इसलिए चिन्ह पलटकर (x>2) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक भाग देने पर चिन्ह अवश्य पलटें। / (-5x<-10), so reversing the sign gives (x>2). Always reverse the sign when dividing by a negative.
\(6x-7\ge 4x+7\) से \(2x\ge 14\), इसलिए \(x\ge 7\)। परीक्षा में कोष्ठक और स्थिर पद दोनों ध्यान से सरल करें। / \(6x-7\ge 4x+7\) gives \(2x\ge 14\), so \(x\ge 7\). Simplify brackets and constants carefully.
\(7-8x\le 3x-4\) से \(11\le 11x\), इसलिए \(x\ge 1\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणा से कोष्ठक खोलते समय चिन्ह ध्यान रखें। / \(7-8x\le 3x-4\) gives \(11\le 11x\), hence \(x\ge 1\). Be careful with signs while expanding a negative multiple.
सभी पक्षों से (1) घटाने पर \(-4<2x\le 8\), इसलिए \(-2<x\le 4\)। परीक्षा में द्वि-असमीका में तीनों पक्षों पर समान क्रिया करें। / Subtracting (1) from all parts gives \(-4<2x\le 8\), so \(-2<x\le 4\). Apply the same operation to all three parts.
तीनों पक्षों में (2) जोड़ने पर \(6\le 3x<15\), इसलिए \(2\le x<5\)। परीक्षा में खुले और बंद सिरों को सही रखें। / Adding (2) to all parts gives \(6\le 3x<15\), so \(2\le x<5\). Keep open and closed endpoints correct.
हर (6) से गुणा करने पर (3(x+3)-2(x-1)<24), इसलिए (x<13)। परीक्षा में भिन्नों को हटाने के बाद कोष्ठक जरूर खोलें। / Multiplying by (6) gives (3(x+3)-2(x-1)<24), hence (x<13). After clearing fractions, expand brackets carefully.
हर (6) से गुणा करने पर (2(2x-1)+(x+5)\ge 12), इसलिए \(5x+3\ge 12\) और \(x\ge \frac{9}{5}\)। परीक्षा में लघुत्तम समापवर्त्य से हर हटाएं। / Multiplying by (6) gives (2(2x-1)+(x+5)\ge 12), so \(5x+3\ge 12\) and \(x\ge \frac{9}{5}\). Use the LCM to clear denominators.
हर (4) से गुणा करने पर (5x+2\le 2(3x-1)+4), इसलिए \(x\ge 0\)। परीक्षा में पूरे दाएं पक्ष पर हर का गुणा करें। / Multiplying by (4) gives (5x+2\le 2(3x-1)+4), hence \(x\ge 0\). Multiply the entire right side while clearing denominators.
\(\frac{x}{4}>7\) मिलता है, इसलिए (x>28)। परीक्षा में चर पदों को एक तरफ और स्थिर पदों को दूसरी तरफ रखें। / We get \(\frac{x}{4}>7\), so (x>28). Keep variable terms on one side and constants on the other.
\(10-5x\ge 13+3x\) से \(-8x\ge 3\), इसलिए \(x\le -\frac{3}{8}\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर चिन्ह पलटें। / \(10-5x\ge 13+3x\) gives \(-8x\ge 3\), so \(x\le -\frac{3}{8}\). Reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
हर (12) से गुणा करने पर \(6x+6+4x+8\le 3x+9\), इसलिए \(x\le -\frac{5}{7}\)। परीक्षा में समान हर हटाकर रैखिक पद मिलाएं। / Multiplying by (12) gives \(6x+6+4x+8\le 3x+9\), so \(x\le -\frac{5}{7}\). Clear denominators and combine linear terms.
हर (10) से गुणा करने पर (8x-14>x+2), इसलिए \(x>\frac{16}{7}\)। परीक्षा में भिन्न हटाते समय पूरा अंश गुणा करें। / Multiplying by (10) gives (8x-14>x+2), hence \(x>\frac{16}{7}\). Multiply the complete numerator while clearing fractions.
हर (6) से गुणा करने पर \(4x-5\ge 3x+6\), इसलिए \(x\ge 11\)। परीक्षा में छोटे हरों का लघुत्तम समापवर्त्य जल्दी लिखें। / Multiplying by (6) gives \(4x-5\ge 3x+6\), so \(x\ge 11\). Quickly identify the LCM of small denominators.
हर (6) से गुणा करने पर \(14-4x\le x+1\), इसलिए \(x\ge \frac{13}{5}\)। परीक्षा में चर को दाईं तरफ ले जाना कभी-कभी आसान होता है। / Multiplying by (6) gives \(14-4x\le x+1\), hence \(x\ge \frac{13}{5}\). Moving the variable to the right can sometimes simplify the work.
दिया है \(1<\frac{x-2}{3}\le4\)। चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए तीनों भागों को 3 से गुणा करने पर असमीका-चिह्न नहीं बदलते: \(3<x-2\le12\)। अब तीनों भागों में 2 जोड़ने पर \(5<x\le14\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x=5\) शामिल है, जबकि मूल असमीका में बायाँ चिह्न \(<\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न वही रहते हैं; ऋणात्मक संख्या होने पर चिह्न उलटते हैं। / Given \(1<\frac{x-2}{3}\le4\), multiply all three parts by 3. Since 3 is positive, the inequality signs do not change: \(3<x-2\le12\). Adding 2 throughout gives \(5<x\le14\). Hence, option A is correct. Option B incorrectly includes \(x=5\), although the left inequality in the original statement is strict. Exam tip: inequality signs reverse only when multiplying or dividing by a negative number.
पहले (5) से गुणा करके \(-10\le 3x+1<20\) मिलता है, इसलिए \(-\frac{11}{3}\le x<\frac{19}{3}\)। परीक्षा में धनात्मक गुणा से चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (5) gives \(-10\le 3x+1<20\), so \(-\frac{11}{3}\le x<\frac{19}{3}\). A positive multiplier does not change the signs.
\(-3x\le -9\) से \(x\ge 3\), इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक (3) है। परीक्षा में ऋणात्मक भाग देने के बाद सीमा जांचें। / \(-3x\le -9\) gives \(x\ge 3\), so the least integer is (3). Check the boundary after division by a negative.
पूर्णांक (-1,0,1,2,3,4) हैं, इसलिए कुल (6) समाधान हैं। परीक्षा में खुले सिरे को शामिल न करें। / The integers are (-1,0,1,2,3,4), so there are (6) solutions. Do not include an open endpoint in exams.
पहली असमीका से \(x\ge -2\) और दूसरी से (x<5)। पूर्णांक समाधान (-2) से (4) तक हैं। / The first inequality gives \(x\ge -2\) and the second gives (x<5). The integer solutions run from (-2) to (4).
\(2x\le 12\) से \(x\le 6\), इसलिए अंतराल (\(-\infty,6]\) है। परीक्षा में \(\le\) के लिए बंद सिरा लगाएं। / \(2x\le 12\) gives \(x\le 6\), so the interval is (\(-\infty,6]\). Use a closed endpoint for \(\le\).
हर (12) से गुणा करने पर (6x-9>4x+2), इसलिए \(x>\frac{11}{2}\)। परीक्षा में छोटे भिन्नों को हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Multiplying by (12) gives (6x-9>4x+2), hence \(x>\frac{11}{2}\). Use the LCM to remove small fractions.
हर (4) से गुणा करने पर \(10-6x\ge x+1\), इसलिए \(x\le \frac{9}{7}\)। परीक्षा में चर पदों को मिलाने के बाद ही भाग दें। / Multiplying by (4) gives \(10-6x\ge x+1\), so \(x\le \frac{9}{7}\). Combine variable terms before dividing.
शर्त के अनुसार असमीका \(x+5\geq 75\) होगी। दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(x\geq 70\) मिलता है। इसलिए मूल अंकों का न्यूनतम मान 70 है। विकल्प 75 लेने पर भी शर्त पूरी होती है, लेकिन वह न्यूनतम मान नहीं है। परीक्षा टिप: “कम से कम” के लिए \(\geq\) चिह्न प्रयोग करें। / The condition is represented by \(x+5\geq 75\). Subtracting 5 from both sides gives \(x\geq 70\). Hence, the minimum original score is 70. Although 75 also satisfies the condition, it is not the minimum value. Exam tip: use \(\geq\) for the phrase “at least.”
आयत का परिमाप \(2[(x+3)+5]\) है। अतः \(2x+16\leq30\), जिससे \(2x\leq14\) और \(x\leq7\) मिलता है। साथ ही, लंबाई \(x+3\) धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए \(x>-3\)। दोनों शर्तों को मिलाने पर \(-3<x\leq7\) प्राप्त होता है। विकल्प \(x\leq7\) परिमाप की शर्त तो बताता है, पर ऋणात्मक या शून्य लंबाई वाले मानों को नहीं हटाता। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्नों में असमानता हल करने के बाद राशि के व्यावहारिक प्रतिबंध, जैसे लंबाई का धनात्मक होना, अवश्य जाँचें। / The perimeter is \(2[(x+3)+5]\). Therefore, \(2x+16\leq30\), which gives \(2x\leq14\) and hence \(x\leq7\). Also, the length \(x+3\) must be positive, so \(x>-3\). Combining both conditions gives \(-3<x\leq7\). The option \(x\leq7\) satisfies only the perimeter condition and still includes values that give a non-positive length. Exam tip: after solving an inequality in a word problem, always check practical restrictions such as a length being positive.
हर (10) से गुणा करने पर (2(2x+3)-5(x-4)\le 10), इसलिए \(x\ge 16\)। परीक्षा में घटाव के बाद आने वाले कोष्ठक के चिन्ह ध्यान रखें। / Multiplying by (10) gives (2(2x+3)-5(x-4)\le 10), so \(x\ge 16\). Watch the signs after a subtraction before a bracket.
हर (14) से गुणा करने पर (2(3x-2)+(x+1)>28), इसलिए \(x>\frac{31}{7}\)। परीक्षा में असमीका में भी सामान्य समीकरण जैसी सरलीकरण प्रक्रिया अपनाएं। / Multiplying by (14) gives (2(3x-2)+(x+1)>28), hence \(x>\frac{31}{7}\). Use the same simplification process as equations while tracking the sign.
हर (12) से गुणा करने पर (3x-15\ge 4(2x+1)-24), इसलिए \(x\le 1\)। परीक्षा में हर हटाने के बाद स्थिर पदों को सावधानी से मिलाएं। / Multiplying by (12) gives (3x-15\ge 4(2x+1)-24), so \(x\le 1\). Combine constants carefully after clearing denominators.
हर (6) से गुणा करने पर (12-2x<3x-6), इसलिए \(x>\frac{18}{5}\)। परीक्षा में दोनों तरफ के चर पदों को सही दिशा में ले जाएं। / Multiplying by (6) gives (12-2x<3x-6), hence \(x>\frac{18}{5}\). Move variable terms in the correct direction.
\(-7\le -3x<9\) मिलता है और (-3) से भाग देने पर क्रम पलटता है, इसलिए \(-3<x\le \frac{7}{3}\)। परीक्षा में ऋणात्मक भाग से द्वि-असमीका की दिशा बदलती है। / We get \(-7\le -3x<9\), and dividing by (-3) reverses the order, so \(-3<x\le \frac{7}{3}\). Division by a negative changes the direction of a compound inequality.
पहले (2) से गुणा करने पर \(-8<x+2\le 2\), इसलिए \(-10<x\le 0\)। परीक्षा में धनात्मक गुणा से असमीका का चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying first by (2) gives \(-8<x+2\le 2\), so \(-10<x\le 0\). A positive multiplier does not change the inequality sign.
हर (6) से गुणा करने पर (4x+3-2(x-2)\ge 3(x+5)), इसलिए \(x\le -8\)। परीक्षा में हर हटाने के बाद कोष्ठक और चिन्ह ध्यान से सरल करें। / Multiplying by (6) gives (4x+3-2(x-2)\ge 3(x+5)), so \(x\le -8\). After clearing denominators, simplify brackets and signs carefully.
\(-6<5-2x\le 9\) से \(-11<-2x\le 4\), इसलिए \(-2\le x<\frac{11}{2}\)। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर द्वि-असमीका की दिशा बदलती है। / From \(-6<5-2x\le 9\), we get \(-11<-2x\le 4\), so \(-2\le x<\frac{11}{2}\). In compound inequalities, division by a negative reverses the direction.
\(7x-3x\ge 15+9\) से \(4x\ge 24\), इसलिए \(x\ge 6\)। परीक्षा में चर पदों और स्थिर पदों को अलग रखें। / From \(7x-3x\ge 15+9\), \(4x\ge 24\), so \(x\ge 6\). Keep variable terms and constants separate in exams.
(-5x<15) और ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलटता है, इसलिए (x>-3)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक पर चिन्ह अवश्य बदलें। / (-5x<15), and division by a negative reverses the sign, so (x>-3). Always reverse the sign with a negative coefficient.
हर (6) से गुणा करने पर \(2x+8-12\le x-1\), इसलिए \(x\le 3\)। परीक्षा में भिन्न हटाने के बाद सभी पद ध्यान से मिलाएं। / Multiplying by (6) gives \(2x+8-12\le x-1\), so \(x\le 3\). After clearing fractions, combine all terms carefully.
दिए गए व्यंजक में कोष्ठक खोलने पर \(8x-12>5x+9\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(5x\) जोड़ने पर \(3x-12>9\), अर्थात \(3x>21\)। 3 एक धनात्मक संख्या है, इसलिए 3 से भाग देने पर असमीका का चिह्न नहीं बदलता और \(x>7\) प्राप्त होता है। \(x\geq7\) गलत है, क्योंकि मूल असमीका में \(>\) है, \(\geq\) नहीं। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमीका का चिह्न वही रहता है। / Expanding the bracket gives \(8x-12>5x+9\). Adding \(5x\) to both sides gives \(3x-12>9\), so \(3x>21\). Since 3 is positive, dividing by 3 does not reverse the inequality sign, giving \(x>7\). The option \(x\geq7\) is incorrect because the original inequality is strict. Exam tip: An inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
हर (4) से गुणा करने पर (2(3x-5)\ge x+7+12), इसलिए \(x\ge \frac{29}{5}\)। परीक्षा में पूरे दाएं पक्ष को गुणा करना न भूलें। / Multiplying by (4) gives (2(3x-5)\ge x+7+12), so \(x\ge \frac{29}{5}\). Do not forget to multiply the entire right side.
सरलीकरण से \(1-2x\le 3x-4\), इसलिए \(5\le 5x\) और \(x\ge 1\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणा से कोष्ठक सही खोलें। / Simplifying gives \(1-2x\le 3x-4\), so \(5\le 5x\) and \(x\ge 1\). Expand brackets with negative multiplication carefully.
हर (6) से गुणा करने पर (10-8x>x+2), इसलिए \(x<\frac{8}{9}\)। परीक्षा में चर को एक तरफ लाकर फिर भाग दें। / Multiplying by (6) gives (10-8x>x+2), so \(x<\frac{8}{9}\). Move variables to one side before dividing.
हर (10) से गुणा करने पर (6x+20<5x+70), इसलिए (x<50)। परीक्षा में लघुत्तम समापवर्त्य से भिन्न हटाएं। / Multiplying by (10) gives (6x+20<5x+70), so (x<50). Use the LCM to clear fractions in exams.
तीनों पक्षों में (1) जोड़ने पर \(-3\le 2x<10\), इसलिए \(-\frac{3}{2}\le x<5\)। परीक्षा में खुले और बंद सिरों को सही रखें। / Adding (1) to all parts gives \(-3\le 2x<10\), so \(-\frac{3}{2}\le x<5\). Keep open and closed endpoints correct.
हर (5) से गुणा करने पर (30-(3x-2)\ge 5), इसलिए \(x\le 9\)। परीक्षा में घटाव से पहले पूरा अंश कोष्ठक में रखें। / Multiplying by (5) gives (30-(3x-2)\ge 5), so \(x\le 9\). Put the full numerator in brackets after subtraction.
कोष्ठक खोलने पर \(-2(3-x)=-6+2x\) होगा, क्योंकि \(-2\times(-x)=+2x\)। अतः \(-6+2x+4>x+10\), यानी \(2x-2>x+10\)। दोनों पक्षों से \(x\) जोड़-घटाने पर \(x>12\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(x>12\) है। \(x\ge12\) गलत है, क्योंकि \(x=12\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि असमीका में \(>\) है। परीक्षा टिप: कोष्ठक हटाते समय बाहर के ऋणात्मक गुणक को प्रत्येक पद से गुणा करें। / On expanding the bracket, \(-2(3-x)=-6+2x\), since \(-2\times(-x)=+2x\). Thus, \(-6+2x+4>x+10\), or \(2x-2>x+10\). Rearranging gives \(x>12\). Therefore, \(x>12\) is the correct option. \(x\ge12\) is incorrect because at \(x=12\) both sides are equal, whereas the inequality is strict. Exam tip: when removing brackets, multiply every term inside by the negative coefficient carefully.
\(0.25x\ge 3.5\), इसलिए \(x\ge 14\)। परीक्षा में दशमलव को भिन्न में बदलना गणना को सरल बना सकता है। / \(0.25x\ge 3.5\), so \(x\ge 14\). Converting decimals to fractions can simplify calculations.
\(-0.6x\le -3.6\) और ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर \(x\ge 6\)। परीक्षा में दशमलव के साथ भी चिन्ह पलटने का नियम लागू होता है। / \(-0.6x\le -3.6\), and division by a negative gives \(x\ge 6\). The sign reversal rule applies to decimals too.
हर (10) से गुणा करने पर (2x-16+2x+1<30), इसलिए \(x<\frac{45}{4}\)। परीक्षा में समान पदों को मिलाने से पहले चिन्ह जांचें। / Multiplying by (10) gives (2x-16+2x+1<30), so \(x<\frac{45}{4}\). Check signs before combining like terms.
हर (9) से गुणा करने पर \(7x+3\ge 6x-3\), इसलिए \(x\ge -6\)। परीक्षा में हर हटाने पर पूरे अंश को गुणा करें। / Multiplying by (9) gives \(7x+3\ge 6x-3\), so \(x\ge -6\). Multiply the complete numerator while clearing denominators.
(-4x<-16) से (x>4), इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक (5) है। परीक्षा में सख्त असमीका में सीमा को शामिल न करें। / (-4x<-16) gives (x>4), so the least integer is (5). Do not include the boundary in a strict inequality.
पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं, इसलिए कुल (7) समाधान हैं। परीक्षा में बंद सिरा शामिल करें और खुला सिरा छोड़ें। / The integers are (-3,-2,-1,0,1,2,3), so there are (7) solutions. Include closed endpoints and exclude open endpoints.
\(3x\le 18\) से \(x\le 6\), इसलिए प्राकृतिक समाधान (1) से (6) तक हैं। परीक्षा में प्राकृतिक संख्याओं की गिनती (1) से करें। / \(3x\le 18\) gives \(x\le 6\), so natural solutions are from (1) to (6). Count natural numbers from (1) in exams.
कथन के अनुसार असमीका \(2x+7>23\) होगी। दोनों पक्षों से \(7\) घटाने पर \(2x>16\) मिलता है। अब \(2\) से भाग देने पर \(x>8\) प्राप्त होता है। \(x\geq 8\) सही नहीं है, क्योंकि \(x=8\) रखने पर परिणाम \(23\) आता है, जो \(23\) से अधिक नहीं है। परीक्षा टिप: “से अधिक” के लिए सदैव \(>\) का प्रयोग करें। / The statement translates to \(2x+7>23\). Subtracting \(7\) from both sides gives \(2x>16\). Dividing by \(2\) gives \(x>8\). The option \(x\geq 8\) is incorrect because at \(x=8\), the result is \(23\), not greater than \(23\). Exam tip: the phrase “greater than” always uses \(>\), not \(\geq\).
“अधिकतम 250 रुपये” का अर्थ है \(15x+40\le250\)। दोनों पक्षों से 40 घटाने पर \(15x\le210\) मिलता है। 15 धनात्मक है, इसलिए 15 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\le14\) प्राप्त होता है। \(x<14\) गलत है क्योंकि \(x=14\) पर कुल खर्च ठीक 250 रुपये है, जो अनुमत है। परीक्षा टिप: ‘अधिकतम’ को हमेशा \(\le\) से दर्शाएँ। / “At most 250 rupees” means \(15x+40\le250\). Subtracting 40 from both sides gives \(15x\le210\). Since 15 is positive, dividing by 15 does not reverse the inequality sign, so \(x\le14\). The option \(x<14\) is incorrect because \(x=14\) gives a total cost of exactly 250 rupees, which is allowed. Exam tip: translate “at most” as \(\le\).
(2((x-2)+8)\ge 40) से \(2x+12\ge 40\), इसलिए \(x\ge 14\)। परीक्षा में कम से कम का अर्थ \(\ge\) होता है। / (2((x-2)+8)\ge 40) gives \(2x+12\ge 40\), so \(x\ge 14\). At least means \(\ge\) in exams.
(500-25x>200) से (-25x>-300), इसलिए (x<12)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर चिन्ह पलटें। / (500-25x>200) gives (-25x>-300), so (x<12). Reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
\(-10<-2x\le 6\) मिलता है और (-2) से भाग देने पर दिशा बदलती है, इसलिए \(-3\le x<5\)। परीक्षा में ऋणात्मक भाग से दोनों चिन्हों की दिशा बदलें। / We get \(-10<-2x\le 6\), and division by (-2) reverses direction, so \(-3\le x<5\). Reverse both signs when dividing by a negative.
हर (12) से गुणा करने पर \(4x+8+3x-15\ge 12\), इसलिए \(x\ge \frac{19}{7}\)। परीक्षा में लघुत्तम समापवर्त्य से हर हटाएं। / Multiplying by (12) gives \(4x+8+3x-15\ge 12\), so \(x\ge \frac{19}{7}\). Use the LCM to clear denominators.
हर (10) से गुणा करने पर \(4x-6-5x-5\le -10\), इसलिए \(x\ge -1\)। परीक्षा में घटाव वाले भिन्न के दोनों पदों के चिन्ह बदलें। / Multiplying by (10) gives \(4x-6-5x-5\le -10\), so \(x\ge -1\). Change signs of both terms after a subtracted fraction.
हर (12) से गुणा करने पर (9-6x+4x-24>0), इसलिए \(x<-\frac{15}{2}\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक मिलने पर चिन्ह पलटें। / Multiplying by (12) gives (9-6x+4x-24>0), so \(x<-\frac{15}{2}\). Reverse the sign when a negative coefficient remains.
हर (8) से गुणा करने पर (5x+4<4x-8+24), इसलिए (x<12)। परीक्षा में हर हटाने के बाद स्थिर पदों को सही मिलाएं। / Multiplying by (8) gives (5x+4<4x-8+24), so (x<12). Combine constants correctly after clearing denominators.
दोनों पक्षों से (2x) हटाने पर (5>9) मिलता है, जो असत्य है। परीक्षा में ऐसी स्थिति में कोई समाधान नहीं होता। / Subtracting (2x) from both sides gives (5>9), which is false. In such a case, there is no solution.
दोनों पक्षों से (3x) हटाने पर \(-4\le 1\) मिलता है, जो सदैव सत्य है। परीक्षा में ऐसी असमीका का समाधान सभी वास्तविक संख्याएं होता है। / Subtracting (3x) from both sides gives \(-4\le 1\), which is always true. Such an inequality has all real numbers as solution.
पहली असमीका से (x>2) और दूसरी से \(x\le 7\) मिलता है। दोनों का प्रतिच्छेद \(2<x\le 7\) है। / The first inequality gives (x>2), and the second gives \(x\le 7\). Their intersection is \(2<x\le 7\).
पहली असमीका से \(x\le 4\) और दूसरी से (x>-2) मिलता है। संयुक्त समाधान \(-2<x\le 4\) है। / The first inequality gives \(x\le 4\), and the second gives (x>-2). The common solution is \(-2<x\le 4\).
\(3x+7\ge -8\) से \(x\ge -5\), इसलिए अंतराल \([-5,\infty\)) है। परीक्षा में \(\ge\) के लिए बंद सिरा लगाएं। / \(3x+7\ge -8\) gives \(x\ge -5\), so the interval is \([-5,\infty\)). Use a closed endpoint for \(\ge\).
7 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 7 से गुणा करने पर असमीका का चिह्न नहीं बदलता: \(5-2x<-7\)। अतः \(-2x<-12\)। अब \(-2\) से भाग देने पर चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x>6\)। इसलिए अंतराल रूप \((6,\infty)\) है। विकल्प C में 6 शामिल है, लेकिन मूल असमीका सख्त है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमीका का चिह्न अवश्य पलटें। / Since 7 is positive, multiplying both sides by 7 does not change the inequality sign: \(5-2x<-7\). Thus, \(-2x<-12\). Dividing by \(-2\) reverses the inequality, giving \(x>6\). Hence, the interval is \((6,\infty)\). Option C incorrectly includes 6, whereas the original inequality is strict. Exam tip: Always reverse an inequality when multiplying or dividing by a negative number.
असमीका \(2x-3\le 5\) में दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(2x\le 8\) मिलता है। 2 से भाग देने पर \(x\le 4\) प्राप्त होता है। अतः \(x=5\), 4 से बड़ा है और असमीका को संतुष्ट नहीं करता। \(x=4\) निकटतम विकल्प है, लेकिन यह सीमा मान होने के कारण असमीका को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: \(\le\) में बराबर वाला सीमा मान भी समाधान होता है। / Adding 3 to both sides of \(2x-3\le 5\) gives \(2x\le 8\). Dividing by 2 gives \(x\le 4\). Therefore, \(x=5\) is greater than 4 and does not satisfy the inequality. The closest option, \(x=4\), does satisfy it because the equality case is included. Exam tip: In an inequality containing \(\le\), the boundary value is also a solution.
असमानता के सभी भागों से 1 घटाने पर \,\(-6<3x\le 9\) मिलता है। 3 से भाग देने पर \,\(-2<x\le 3\) प्राप्त होता है। इस अंतराल में पूर्णांक \(-1,0,1,2,3\) हैं, अर्थात कुल 5 समाधान हैं। विकल्प 4 में \(x=3\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: संयुक्त असमानता में दोनों सीमाओं पर < और \(\le\) के चिह्न अलग-अलग जाँचें। / Subtracting 1 from all three parts gives \(-6<3x\le 9\). Dividing by 3 gives \(-2<x\le 3\). The integers in this range are \(-1,0,1,2,3\), so there are 5 solutions. Option 4 misses \(x=3\), which is included because the upper inequality is \(\le\). Exam tip: In a compound inequality, check strict and inclusive endpoints separately.
हर (12) से गुणा करने पर \(3x+2x\le 60\), इसलिए \(x\le 12\)। परीक्षा में समान चर पदों को जोड़कर सरल करें। / Multiplying by (12) gives \(3x+2x\le 60\), so \(x\le 12\). Add like variable terms to simplify.
हर (6) से गुणा करने पर (9x-10>1), इसलिए \(x>\frac{11}{9}\)। परीक्षा में सभी भिन्नों का एक साथ लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Multiplying by (6) gives (9x-10>1), so \(x>\frac{11}{9}\). Take the LCM of all fractions together.
हर (6) से गुणा करने पर \(4x-14\le 4-x\), इसलिए \(x\le \frac{18}{5}\)। परीक्षा में दोनों पक्षों के चर पदों को सावधानी से मिलाएं। / Multiplying by (6) gives \(4x-14\le 4-x\), so \(x\le \frac{18}{5}\). Combine variable terms from both sides carefully.
दिया है \(\frac{x+9}{-3}<2\)। दोनों पक्षों को \(-3\) से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या से गुणा करने के कारण असमीका का चिह्न पलट जाएगा: \(x+9>-6\)। अतः \(x>-15\)। विकल्प B में \(x=-15\) भी शामिल है, पर मूल असमीका में strict चिह्न \(<\) होने के कारण \(-15\) समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: किसी असमीका को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिह्न अवश्य पलटें। / Given \(\frac{x+9}{-3}<2\), multiply both sides by \(-3\). Since the multiplier is negative, the inequality sign reverses: \(x+9>-6\). Therefore, \(x>-15\). Option B incorrectly includes \(x=-15\), which is not allowed because the original inequality is strict. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
हर (5) से गुणा करने पर (-(2x-1)\ge 15), इसलिए \(x\le -7\)। परीक्षा में ऋण चिन्ह को पूरे अंश पर लागू करें। / Multiplying by (5) gives (-(2x-1)\ge 15), so \(x\le -7\). Apply the negative sign to the whole numerator.
हर (2) से गुणा करने पर (16-(x-3)\le 2), इसलिए \(x\ge 17\)। परीक्षा में घटाव के बाद कोष्ठक खोलते समय चिन्ह बदलें। / Multiplying by (2) gives (16-(x-3)\le 2), so \(x\ge 17\). Change signs properly when opening brackets after subtraction.
हर (4) से गुणा करने पर (12-(2x+1)>2), इसलिए \(x<\frac{9}{2}\)। परीक्षा में ऋणात्मक चर गुणांक पर चिन्ह पलटना याद रखें। / Multiplying by (4) gives (12-(2x+1)>2), so \(x<\frac{9}{2}\). Remember sign reversal with a negative variable coefficient.
हर (6) से गुणा करने पर (2(5x-2)-(2x+1)\ge 3x), इसलिए \(x\ge 1\)। परीक्षा में घटाए गए अंश पर कोष्ठक जरूर लगाएं। / Multiplying by (6) gives (2(5x-2)-(2x+1)\ge 3x), so \(x\ge 1\). Put brackets around the subtracted numerator.
\(4x\le 32\) से \(x\le 8\), इसलिए अधिकतम मान (8) है। परीक्षा में अधिकतम मान के लिए ऊपरी सीमा देखें। / \(4x\le 32\) gives \(x\le 8\), so the maximum value is (8). For maximum value, check the upper bound.
\(120-8x\ge 40\) से \(-8x\ge -80\), इसलिए \(x\le 10\)। परीक्षा में ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटता है। / \(120-8x\ge 40\) gives \(-8x\ge -80\), so \(x\le 10\). Dividing by a negative reverses the sign.
हर (18) से गुणा करने पर (3(4x-5)+2(x+2)<9(3x+1)), इसलिए \(x>\frac{1}{20}\)। परीक्षा में हर हटाने के बाद दोनों पक्षों को ध्यान से सरल करें। / Multiplying by (18) gives (3(4x-5)+2(x+2)<9(3x+1)), so \(x>\frac{1}{20}\). After clearing denominators, simplify both sides carefully.
दिया है: \(3x-7<11\)। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(3x<18\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x<6\) प्राप्त होता है। \(x\leq 6\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / Given \(3x-7<11\), add 7 to both sides to get \(3x<18\). Dividing both sides by the positive number 3 does not reverse the inequality sign, so \(x<6\). The option \(x\leq 6\) is incorrect because equality is not included in the original inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
पहले दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(-2x\ge 12\) मिलता है। अब \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है: \(x\le -6\)। विकल्प C निकटतम भ्रमक है, लेकिन मूल असमानता में \(\ge\) होने के कारण \(x=-6\) भी समाधान है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिह्न अवश्य उलटें। / Subtracting 5 from both sides gives \(-2x\ge 12\). On dividing by \(-2\), the inequality sign reverses, so \(x\le -6\). Option C is a close distractor, but \(x=-6\) is included because the original inequality has \(\ge\). Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(\frac{x-3}{4}+2>\frac{x}{2}\) के दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर \(x-3+8>2x\) मिलता है। अर्थात \(x+5>2x\), जिससे \(5>x\) या \(x<5\) प्राप्त होता है। \(x\leq 5\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=5\) पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: असमानता को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides of \(\frac{x-3}{4}+2>\frac{x}{2}\) by 4 gives \(x-3+8>2x\). Thus, \(x+5>2x\), which gives \(5>x\), or \(x<5\). \(x\leq 5\) is not correct because the original inequality is strict; at \(x=5\), both sides are equal. Exam tip: Multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
असमानता में दोनों पक्षों में \(1.2\) जोड़ने पर \(0.3x\le 1.8\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(0.3\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\le 6\) प्राप्त होता है। \(x<6\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=6\) भी मूल असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / Adding \(1.2\) to both sides gives \(0.3x\le 1.8\). Dividing both sides by the positive number \(0.3\) does not reverse the inequality sign, so \(x\le 6\). The close distractor \(x<6\) is incorrect because \(x=6\) also satisfies the original inequality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दिया है: \(-4(2x-1)<3(1-x)+5\)। कोष्ठक खोलने पर \(-8x+4<8-3x\) मिलता है। अतः \(-4<5x\), इसलिए \(x>-\frac{4}{5}\)। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है, जबकि C में बराबरी शामिल है, जो मूल सख्त असमानता में नहीं है। परीक्षा टिप: असमानता का चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर पलटता है। / Given \(-4(2x-1)<3(1-x)+5\), expanding the brackets gives \(-8x+4<8-3x\). Hence, \(-4<5x\), so \(x>-\frac{4}{5}\). Option B has the inequality in the wrong direction, while option C incorrectly includes equality; the original inequality is strict. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दिया है: \(7-(3x+2)\ge 2x-10\)। कोष्ठक खोलने पर \(7-3x-2\ge 2x-10\), अर्थात \(5-3x\ge 2x-10\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(3x\) और \(10\) जोड़ने पर \(15\ge 5x\) होता है। 5 धनात्मक है, इसलिए 5 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\le 3\) प्राप्त होता है। \(x<3\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=3\) भी असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / Given \(7-(3x+2)\ge 2x-10\), opening the bracket gives \(7-3x-2\ge 2x-10\), or \(5-3x\ge 2x-10\). Adding \(3x\) and \(10\) to both sides gives \(15\ge 5x\). Since 5 is positive, dividing by 5 does not reverse the inequality sign, so \(x\le 3\). The closest distractor, \(x<3\), is incorrect because \(x=3\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(2x+1)\le 3(x-4)\), अर्थात \(4x+2\le 3x-12\)। दोनों पक्षों से \(3x\) और 2 घटाने पर \(x\le -14\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। \(x<-14\) निकटतम विकल्प है, पर इसमें \(x=-14\) शामिल नहीं है, जबकि वह असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(2(2x+1)\le 3(x-4)\), so \(4x+2\le 3x-12\). Subtracting \(3x\) and 2 from both sides gives \(x\le -14\). Hence, option A is correct. The closest distractor, \(x<-14\), excludes \(x=-14\), although this value satisfies the inequality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के बाएँ पक्ष को सरल करें: \(2(3x-5)-4(x+1)=6x-10-4x-4=2x-14\)। अतः \(2x-14>8\), यानी \(2x>22\), इसलिए \(x>11\)। \(x\geq11\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता कठोर \(>\) है और \(x=11\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय \(-4(x+1)\) के दोनों पदों के चिह्न बदलना न भूलें। / Simplify the left-hand side: \(2(3x-5)-4(x+1)=6x-10-4x-4=2x-14\). Thus, \(2x-14>8\), so \(2x>22\), giving \(x>11\). \(x\geq11\) is not correct because the original inequality is strict; at \(x=11\), both sides become equal. Exam tip: while expanding \(-4(x+1)\), apply the negative factor to both terms.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(14\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(5x-2)<3x+8\)। अतः \(10x-4<3x+8\), इसलिए \(7x<12\) और \(x<\frac{12}{7}\)। विकल्प \(x\leq\frac{12}{7}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{12}{7}\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि प्रश्न में कठोर असमानता \(<\) है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(14\) does not change the inequality sign: \(2(5x-2)<3x+8\). Thus, \(10x-4<3x+8\), so \(7x<12\) and hence \(x<\frac{12}{7}\). The option \(x\leq\frac{12}{7}\) is incorrect because at \(x=\frac{12}{7}\), both sides are equal, whereas the question has a strict \(<\) inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को 15 से गुणा करने पर \(-5x+60\le 6x-15\) मिलता है। 60 और \(-5x\) को दूसरी ओर ले जाने पर \(75\le 11x\) प्राप्त होता है। चूँकि 11 धनात्मक है, इसलिए भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\ge \frac{75}{11}\) मिलता है। विकल्प C में बराबरी शामिल नहीं है, जबकि मूल असमानता में \(\le\) है। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं पलटता। / Multiplying both sides by 15 gives \(-5x+60\le 6x-15\). Moving 60 and \(-5x\) to the other sides gives \(75\le 11x\). Since 11 is positive, dividing by it does not reverse the inequality sign, so \(x\ge \frac{75}{11}\). Option C excludes equality, but the original inequality uses \(\le\). Exam tip: An inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
सरलीकरण से (15-8x<5x+10) मिलता है। इससे (5<13x), इसलिए \(x>\frac{5}{13}\) नहीं बल्कि \(x>\frac{5}{13}\) होता है। / Simplification gives (15-8x<5x+10). This gives (5<13x), so \(x>\frac{5}{13}\).
दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(2(1-x)+15=17-2x\) मिलता है। अतः \(4x-9\ge 17-2x\), इसलिए \(6x\ge 26\) और \(x\ge \frac{13}{3}\)। विकल्प \(x>\frac{13}{3}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{13}{3}\) पर भी असमानता सत्य है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न पलटता है। / Simplifying the right-hand side gives \(2(1-x)+15=17-2x\). Thus, \(4x-9\ge 17-2x\), so \(6x\ge 26\) and hence \(x\ge \frac{13}{3}\). The option \(x>\frac{13}{3}\) is incorrect because \(x=\frac{13}{3}\) also satisfies the inequality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 4 है। अतः \(\frac{3x+5}{4}-\frac{x-1}{2}=\frac{3x+5-2(x-1)}{4}=\frac{x+7}{4}\)। इसलिए \(\frac{x+7}{4}\ge 6\Rightarrow x+7\ge24\Rightarrow x\ge17\)। \(x>17\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=17\) पर भी असमानता सत्य है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Using the common denominator 4, \(\frac{3x+5}{4}-\frac{x-1}{2}=\frac{3x+5-2(x-1)}{4}=\frac{x+7}{4}\). Hence, \(\frac{x+7}{4}\ge 6\Rightarrow x+7\ge24\Rightarrow x\ge17\). Option \(x>17\) is the closest distractor, but \(x=17\) also satisfies the inequality. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(4-x>2(x+2)\)। अतः \(4-x>2x+4\), जिससे \(-3x>0\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या \(-3\) से भाग देने पर चिह्न पलटता है, इसलिए \(x<0\)। \(x\leq0\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=0\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि प्रश्न में \(>\) है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(4-x>2(x+2)\). Thus, \(4-x>2x+4\), giving \(-3x>0\). On dividing by the negative number \(-3\), the inequality sign reverses, so \(x<0\). The closest distractor, \(x\leq0\), is incorrect because at \(x=0\) both sides are equal, whereas the question uses \(>\). Exam tip: always reverse an inequality when multiplying or dividing by a negative number.
दिए गए असमानता में दोनों पक्षों से \(0.6x\) और \(2.4\) घटाने पर \(0.9x<-5.4\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(0.9\) धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को \(0.9\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(x<-6\)। \(x\le -6\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी का चिह्न नहीं है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / Subtracting \(0.6x\) and \(2.4\) from both sides gives \(0.9x<-5.4\). Since \(0.9\) is positive, dividing both sides by \(0.9\) does not reverse the inequality sign, so \(x<-6\). The option \(x\le -6\) is incorrect because the original inequality is strict and does not include equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
हरों को हटाने के लिए असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करें: \(20x-6\ge 5x+9\)। अतः \(15x\ge 15\), इसलिए \(x\ge 1\)। \(x>1\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=1\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं; इसलिए 1 भी हल में शामिल है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiply both sides by the positive number 10 to remove the fractions: \(20x-6\ge 5x+9\). Hence, \(15x\ge 15\), so \(x\ge 1\). The closest distractor, \(x>1\), is incorrect because at \(x=1\) both sides are equal, so 1 is included in the solution. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
कोष्ठक खोलने पर \(6-5(x-2)=16-5x\) और \(3(2-x)=6-3x\) मिलता है। अतः \(16-5x\le 6-3x\), यानी \(10\le 2x\)। 2 धनात्मक है, इसलिए 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\ge 5\) प्राप्त होता है। \(x\le 5\) गलत है, क्योंकि चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर पलटता है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलने के बाद समान पदों को अलग-अलग पक्षों में ले जाकर चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / On expanding the brackets, \(6-5(x-2)=16-5x\) and \(3(2-x)=6-3x\). Therefore, \(16-5x\le 6-3x\), which gives \(10\le 2x\). Since 2 is positive, dividing by 2 does not reverse the inequality sign, so \(x\ge 5\). The option \(x\le 5\) is incorrect because an inequality reverses only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: after expanding brackets, move like terms carefully and check whether any operation involves a negative number.
बायाँ पक्ष (5x-10) है और असमानता \(5x-10\le 5x-7\) हमेशा सत्य है। इसलिए सही उत्तर सभी वास्तविक संख्याएँ होना चाहिए। / The left side is (5x-10), and \(5x-10\le 5x-7\) is always true. Hence the answer should be all real numbers.
बाएँ पक्ष को फैलाने पर \(4(2x+3)=8x+12\) मिलता है। अतः असमानता \(8x+12>8x+15\) होगी। दोनों पक्षों से \(8x\) घटाने पर \(12>15\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए असमानता सत्य नहीं है और कोई हल नहीं है। \(x>3\) या \(x<3\) जैसे विकल्प गलत हैं, क्योंकि \(x\) वाले पद पूरी तरह कट जाते हैं। परीक्षा टिप: समान गुणांक वाले \(x\)-पदों को पहले दोनों पक्षों से घटाकर स्थिर पदों की तुलना करें। / Expanding the left-hand side gives \(4(2x+3)=8x+12\). Thus, the inequality becomes \(8x+12>8x+15\). Subtracting \(8x\) from both sides gives \(12>15\), which is false. Hence, the inequality is not true for any real value of \(x\), so there is no solution. Options such as \(x>3\) or \(x<3\) are incorrect because the variable terms cancel completely. Exam tip: When the coefficients of the variable are the same on both sides, cancel those terms first and compare the constants.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(14-4x \le 3x+1\)। अब \(13 \le 7x\), इसलिए \(x \ge \frac{13}{7}\)। विकल्प \(x>\frac{13}{7}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{13}{7}\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं और \(\le\) में समानता शामिल होती है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 10 does not change the inequality sign: \(14-4x \le 3x+1\). Hence, \(13 \le 7x\), so \(x \ge \frac{13}{7}\). The option \(x>\frac{13}{7}\) is incorrect because at \(x=\frac{13}{7}\), both sides are equal, and \(\le\) includes equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(-3(x+2)+7=-3x+1\) और दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(2(4-x)-5=3-2x\) मिलता है। अतः \(-3x+1\ge 3-2x\), जिससे \(-x\ge 2\) और इसलिए \(x\le -2\) प्राप्त होता है। विकल्प \(x<-2\) निकट है, लेकिन \(x=-2\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए \(-2\) भी हल में शामिल है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से असमानता को गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / Simplifying the left side gives \(-3(x+2)+7=-3x+1\), and simplifying the right side gives \(2(4-x)-5=3-2x\). Thus, \(-3x+1\ge 3-2x\), which gives \(-x\ge 2\), and hence \(x\le -2\). The option \(x<-2\) is close, but at \(x=-2\) both sides are equal, so \(-2\) must be included. Exam tip: reverse the inequality sign whenever you multiply or divide an inequality by a negative number.
दिए गए व्यंजक में दूसरा भिन्न हर 4 वाला है, इसलिए उसे हर 8 में लिखते हैं: \(\frac{x+6}{8}-\frac{2(x-2)}{8}=\frac{10-x}{8}\)। अतः \(\frac{10-x}{8}<1\Rightarrow 10-x<8\Rightarrow -x<-2\)। ऋणात्मक संख्या \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x>2\)। \(x\geq2\) गलत है क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=2\) पर बायाँ पक्ष 1 आता है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Write the second fraction with denominator 8: \(\frac{x+6}{8}-\frac{2(x-2)}{8}=\frac{10-x}{8}\). Therefore, \(\frac{10-x}{8}<1\Rightarrow 10-x<8\Rightarrow -x<-2\). Multiplying by \(-1\) reverses the inequality sign, so \(x>2\). The option \(x\geq2\) is incorrect because the original inequality is strict; at \(x=2\), the left-hand side equals 1. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दिया है: \(11-3x>2x+1\)। दोनों पक्षों से \(1\) घटाने पर \(10-3x>2x\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों में \(3x\) जोड़ने पर \(10>5x\), अर्थात \(x<2\)। इसलिए अंतराल रूप में हल \(( -\infty, 2)\) है। विकल्प C में \(2\) शामिल है, लेकिन मूल असमानता कठोर \(>\) है; इसलिए \(2\) को शामिल नहीं किया जाएगा। परीक्षा टिप: कठोर असमानताओं \((<,>)\) में अंतराल का सिरा हमेशा खुला कोष्ठक होता है। / Given \(11-3x>2x+1\), subtracting \(1\) from both sides gives \(10-3x>2x\). Adding \(3x\) to both sides gives \(10>5x\), so \(x<2\). Hence, the interval-form solution is \(( -\infty, 2)\). Option C incorrectly includes \(2\); a strict inequality \(>\) does not include the endpoint. Exam tip: use an open bracket at an endpoint for strict inequalities \((<,>)\).
असमानता में दोनों पक्षों से \(18\) घटाने और \(7x\) जोड़ने पर \(-5x<14\) मिलता है। अब \(-5\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x>-\frac{14}{5}\) होगा। विकल्प \(x\geq-\frac{14}{5}\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=-\frac{14}{5}\) पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Subtracting \(18\) from both sides and adding \(7x\) gives \(-5x<14\). On dividing by \(-5\), the inequality sign reverses, so \(x>-\frac{14}{5}\). The option \(x\geq-\frac{14}{5}\) is incorrect because the original inequality is strict; at \(x=-\frac{14}{5}\), both sides become equal. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
बाएँ पक्ष को फैलाने पर \(2.5(2x-1)=5x-2.5\) और दाएँ पक्ष को फैलाने पर \(1.5(x+3)=1.5x+4.5\) मिलता है। अतः \(5x-2.5\ge 1.5x+4.5\), यानी \(3.5x\ge 7\)। चूँकि \(3.5\) धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को इससे भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\ge 2\) मिलता है। \(x>2\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=2\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए 2 भी शामिल है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न वही रहता है। / Expanding the left side gives \(2.5(2x-1)=5x-2.5\), while the right side gives \(1.5(x+3)=1.5x+4.5\). Hence, \(5x-2.5\ge 1.5x+4.5\), so \(3.5x\ge 7\). Since \(3.5\) is positive, dividing both sides by it does not reverse the inequality sign, giving \(x\ge 2\). The closest distractor is \(x>2\), but \(x=2\) makes both sides equal, so it must be included. Exam tip: An inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। असमानता को 6 से गुणा करने पर \(2(2x-5)+(x+1)\le 24\) मिलता है। अतः \(5x-9\le 24\), इसलिए \(5x\le 33\) और \(x\le \frac{33}{5}\)। विकल्प C में बराबरी का चिह्न नहीं है, जबकि मूल असमानता में \(\le\) है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / The LCM of the denominators is 6. Multiplying the inequality by 6 gives \(2(2x-5)+(x+1)\le 24\). Thus, \(5x-9\le 24\), so \(5x\le 33\) and \(x\le \frac{33}{5}\). Option C wrongly excludes equality, although the original inequality contains \(\le\). Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दिया गया व्यंजक सरल करने पर \(5x-5-6x-8<9\), अर्थात \(-x-13<9\) मिलता है। दोनों पक्षों में 13 जोड़ने पर \(-x<22\) होगा। अब \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x>-22\) प्राप्त होता है। \(x<-22\) तब मिलता, जब ऋणात्मक संख्या से गुणा करते समय चिह्न न बदला जाता। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर उसका चिह्न अवश्य उलटें। / On simplifying, \(5x-5-6x-8<9\) becomes \(-x-13<9\). Adding 13 to both sides gives \(-x<22\). Multiplying by \(-1\) reverses the inequality sign, so \(x>-22\). The option \(x<-22\) results from forgetting to reverse the sign when multiplying by a negative number. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative quantity.
हरों 2 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर \(9-12x\ge 30-2x\) मिलता है। अतः \(-21\ge 10x\), इसलिए \(x\le -\frac{21}{10}\)। विकल्प C निकट है, पर मूल असमानता में \(\ge\) है, इसलिए सीमा मान \(-\frac{21}{10}\) भी शामिल होगा। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / The LCM of the denominators 2 and 3 is 6. Multiplying both sides of the inequality by the positive number 6 gives \(9-12x\ge 30-2x\). Hence, \(-21\ge 10x\), so \(x\le -\frac{21}{10}\). Option C is close, but the original inequality has \(\ge\), so the boundary value \(-\frac{21}{10}\) is included. Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(8-(5x-1)<2x+14\)। अतः \(9-5x<2x+14\), जिससे \(-7x<5\) मिलता है। अब \(-7\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x>-\frac{5}{7}\)। विकल्प C में बराबरी शामिल है, लेकिन मूल असमानता कठोर \(<\) है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not change the inequality sign: \(8-(5x-1)<2x+14\). Thus, \(9-5x<2x+14\), which gives \(-7x<5\). Dividing by \(-7\) reverses the inequality, so \(x>-\frac{5}{7}\). Option C incorrectly includes equality, whereas the original inequality is strict. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(2<x<7\) में दोनों सिरों पर कठोर असमानताएँ (<) हैं, इसलिए 2 और 7 हल-समुच्चय में शामिल नहीं होते। अतः इसका हल-समुच्चय खुला अंतराल \((2,7)\) है। विकल्प B और C अर्ध-खुले अंतराल हैं, जबकि विकल्प D बंद अंतराल है क्योंकि दोनों छोर शामिल हैं। परीक्षा टिप: < या > होने पर संबंधित छोर खुला होता है; \(\le\) या \(\ge\) होने पर छोर बंद होता है। / In \(2<x<7\), both inequalities are strict, so neither 2 nor 7 is included in the solution set. Hence, the solution set is the open interval \((2,7)\). Options B and C represent half-open intervals, while option D is a closed interval because both endpoints are included. Exam tip: An endpoint is open for < or >, and closed for \(\le\) or \(\ge\).
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(-2(5-x)+3(x-4)=-10+2x+3x-12=5x-22\) मिलता है। अतः \(5x-22>6x+1\), यानी \(-x>23\)। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x<-23\) प्राप्त होता है। \(x\le -23\) सही नहीं है क्योंकि मूल असमानता कठोर \(>\) है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Simplifying the left-hand side gives \(-2(5-x)+3(x-4)=-10+2x+3x-12=5x-22\). Thus, \(5x-22>6x+1\), so \(-x>23\). On multiplying both sides by \(-1\), the inequality sign reverses, giving \(x<-23\). \(x\le -23\) is incorrect because the original inequality is strict, \(>\). Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
\(0.75x=\frac{3x}{4}\) लिखें। दोनों पक्षों में \(\frac{x}{4}\) जोड़ने पर \(x+\frac{1}{2}<2\) मिलता है। अब \(\frac{1}{2}\) घटाने पर \(x<\frac{3}{2}\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि दी गई असमता कठोर है; \(x=\frac{3}{2}\) पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि \(<\) में बराबरी स्वीकार नहीं होती। परीक्षा टिप: असमता का चिह्न तभी पलटता है जब दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग दिया जाए। / Write \(0.75x\) as \(\frac{3x}{4}\). Adding \(\frac{x}{4}\) to both sides gives \(x+\frac{1}{2}<2\). Subtracting \(\frac{1}{2}\) gives \(x<\frac{3}{2}\), so option A is correct. Option C is incorrect because the inequality is strict: at \(x=\frac{3}{2}\), both sides are equal, which is not allowed by \(<\). Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing both sides by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(5\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(9x+4\ge 10x-15\)। अब \(9x\) को दाएँ और \(-15\) को बाएँ लेने पर \(19\ge x\), अर्थात \(x\le 19\)। \(x<19\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=19\) भी असमानता को संतुष्ट करता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(5\) does not reverse the inequality: \(9x+4\ge 10x-15\). Rearranging gives \(19\ge x\), or \(x\le 19\). The closest distractor, \(x<19\), is incorrect because \(x=19\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
(14) से गुणा करने पर (42-2(2x+5)\le 7(1-x)) मिलता है। इससे \(32-4x\le 7-7x\), अतः \(x\le -\frac{25}{3}\) नहीं बल्कि \(3x\le -25\) है। / Multiplying by (14) gives (42-2(2x+5)\le 7(1-x)). This gives \(32-4x\le 7-7x\), so \(3x\le -25\).
कोष्ठक खोलने पर \(8-3(2-x)=8-6+3x=2+3x\) मिलता है। अतः \(2+3x\ge 4x-1\), इसलिए \(3\ge x\), अर्थात \(x\le 3\)। \(x<3\) निकटतम विकल्प है, पर वह गलत है क्योंकि \(x=3\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं और \(\ge\) में समानता शामिल होती है। परीक्षा टिप: असमानता में पदों को एक पक्ष से दूसरे पक्ष ले जाते समय चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर पलटता है। / On expanding the bracket, \(8-3(2-x)=8-6+3x=2+3x\). Thus, \(2+3x\ge 4x-1\), which gives \(3\ge x\), or \(x\le 3\). The closest distractor, \(x<3\), is incorrect because at \(x=3\) both sides are equal, and \(\ge\) includes equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 6 लेकर बायाँ पक्ष \(\frac{2x-(x-5)}{6}=\frac{x+5}{6}\) बनता है। अतः \(\frac{x+5}{6}>2\) से \(x+5>12\), इसलिए \(x>7\)। \(x\geq 7\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=7\) पर बायाँ पक्ष 2 के बराबर होता है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Using the LCM 6, the left-hand side becomes \(\frac{2x-(x-5)}{6}=\frac{x+5}{6}\). Thus, \(\frac{x+5}{6}>2\) gives \(x+5>12\), so \(x>7\). The option \(x\geq 7\) is not correct because the original inequality is strict; at \(x=7\), the left-hand side equals 2. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दिया है \(\frac{-4x+1}{3}\le 5-x\)। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(3\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(-4x+1\le 15-3x\)। दोनों पक्षों में \(4x\) जोड़ने पर \(1\le 15+x\), अतः \(-14\le x\), अर्थात \(x\ge -14\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(x>-14\) गलत है, क्योंकि \(x=-14\) भी असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / The inequality is \(\frac{-4x+1}{3}\le 5-x\). Multiplying both sides by the positive number \(3\) does not reverse the inequality sign: \(-4x+1\le 15-3x\). Adding \(4x\) to both sides gives \(1\le 15+x\), so \(-14\le x\), i.e. \(x\ge -14\). Hence, option A is correct. \(x>-14\) is incorrect because \(x=-14\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दिया है: \(2(1-3x)<4-7x\)। कोष्ठक खोलने पर \(2-6x<4-7x\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(7x\) जोड़ने पर \(2+x<4\), अतः \(x<2\)। इसलिए सही विकल्प \(x<2\) है। \(x\leq2\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता में < है; \(x=2\) को शामिल नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: असमानता को हल करते समय केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Given \(2(1-3x)<4-7x\), expanding the bracket gives \(2-6x<4-7x\). Adding \(7x\) to both sides gives \(2+x<4\), so \(x<2\). Hence, \(x<2\) is correct. \(x\leq2\) is not correct because the original inequality is strict, so \(x=2\) is excluded. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing both sides by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(20-2(x-3)\ge 3x+1\)। सरल करने पर \(26-2x\ge 3x+1\), अर्थात \(25\ge 5x\)। 5 से भाग देने पर \(x\le 5\) प्राप्त होता है। \(x<5\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=5\) भी मूल असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न वही रहता है। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not change the inequality sign: \(20-2(x-3)\ge 3x+1\). Simplifying gives \(26-2x\ge 3x+1\), or \(25\ge 5x\). Dividing by 5 gives \(x\le 5\). The close distractor \(x<5\) is incorrect because \(x=5\) also satisfies the original inequality. Exam tip: the inequality sign remains unchanged when multiplying or dividing by a positive number.
दाएँ पक्ष को फैलाने पर \(3(2x+1)=6x+3\) मिलता है। अतः असमानता \(6x+2<6x+3\) बनती है। दोनों पक्षों से \(6x\) घटाने पर \(2<3\) प्राप्त होता है, जो हमेशा सत्य है। इसलिए \(x\) के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए असमानता सत्य है। \(x<1\) या \(x>1\) जैसी शर्तें यहाँ नहीं बनतीं, क्योंकि \(x\) वाले पद पूरी तरह कट जाते हैं। परीक्षा टिप: रैखिक असमानता में पहले कोष्ठक खोलें और समान चर-पदों को दोनों पक्षों से घटाकर जाँचें। / Expanding the right-hand side gives \(3(2x+1)=6x+3\). Thus, the inequality becomes \(6x+2<6x+3\). Subtracting \(6x\) from both sides gives \(2<3\), which is always true. Therefore, the inequality is satisfied by every real value of \(x\). Conditions such as \(x<1\) or \(x>1\) do not arise because the variable terms cancel completely. Exam tip: first expand brackets, then cancel like variable terms before deciding the solution set.
\(5x\le 20\) से \(x\le 4\) मिलता है। सरल रैखिक असमानता में पहले (x) वाले पद एक ओर लाएँ। / From \(5x\le 20\), we get \(x\le 4\). In a simple linear inequality, first collect (x)-terms on one side.
दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3(4-2x)+x=12-6x+x=12-5x\) मिलता है। अतः असमानता \(12-5x\ge 12-5x\) बनती है, जो प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए सत्य है। \(x\le0\) या \(x\ge0\) केवल कुछ मानों को लेते हैं, जबकि यहाँ कोई प्रतिबंध नहीं है। परीक्षा टिप: दोनों पक्षों को पहले पूरी तरह सरल करें; यदि दोनों समान हों और \(\ge\) या \(\le\) हो, तो सभी वास्तविक संख्याएँ हल होती हैं। / Simplifying the right-hand side gives \(3(4-2x)+x=12-6x+x=12-5x\). Thus, the inequality becomes \(12-5x\ge 12-5x\), which is true for every real value of \(x\). The conditions \(x\le0\) and \(x\ge0\) include only some values, whereas this inequality has no restriction. Exam tip: Simplify both sides first; if they become identical with \(\ge\) or \(\le\), the solution is all real numbers.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(6\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(24-9x>6+x\)। अतः \(18>10x\), इसलिए \(x<\frac{9}{5}\)। विकल्प \(x\leq\frac{9}{5}\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में \(>\) है; \(x=\frac{9}{5}\) पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(6\) does not change the inequality sign: \(24-9x>6+x\). Hence, \(18>10x\), so \(x<\frac{9}{5}\). The option \(x\leq\frac{9}{5}\) is incorrect because the original inequality is strict; at \(x=\frac{9}{5}\), both sides become equal. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
\(2.7x\ge 5.5\) से \(x\ge \frac{55}{27}\) मिलता है। दशमलव हटाने के लिए (10) से गुणा करना उपयोगी है। / From \(2.7x\ge 5.5\), \(x\ge \frac{55}{27}\). Multiplying by (10) is useful for removing decimals.
बायाँ पक्ष (x-13) है। \(x-13\le x-20\) असत्य \( -13\le -20\) देता है, इसलिए कोई हल नहीं होना चाहिए। / The left side is (x-13). The inequality \(x-13\le x-20\) gives false \(-13\le -20\), so there should be no solution.
(15) से गुणा करने पर (3x-24\ge 5(2x+1)-60) मिलता है। इससे \(31\ge 7x\), इसलिए \(x\le \frac{31}{7}\)। / Multiplying by (15) gives (3x-24\ge 5(2x+1)-60). Thus \(31\ge 7x\), so \(x\le \frac{31}{7}\).
कोष्ठक खोलने पर \(9-4x-4<6-2x\), अर्थात \(5-4x<6-2x\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(4x\) जोड़ने पर \(5<6+2x\), इसलिए \(-1<2x\)। 2 से भाग देने पर \(x>-\frac{1}{2}\) प्राप्त होता है। \(x\geq-\frac{1}{2}\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में चिह्न \(<\) है और \(x=-\frac{1}{2}\) को शामिल नहीं किया जाएगा। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / On expanding the brackets, \(9-4x-4<6-2x\), so \(5-4x<6-2x\). Adding \(4x\) to both sides gives \(5<6+2x\), hence \(-1<2x\). Dividing by 2 gives \(x>-\frac{1}{2}\). The option \(x\geq-\frac{1}{2}\) is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=-\frac{1}{2}\) is not included. Exam tip: dividing by a positive number does not reverse the inequality sign.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(-24+10x\le x-3\)। अब \(9x\le21\), इसलिए \(x\le\frac{21}{9}=\frac{7}{3}\)। विकल्प B में \(x=\frac{7}{3}\) शामिल नहीं है, जबकि यह मान असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not change the inequality sign: \(-24+10x\le x-3\). Hence \(9x\le21\), so \(x\le\frac{21}{9}=\frac{7}{3}\). Option B incorrectly excludes \(x=\frac{7}{3}\), which satisfies the inequality. Exam tip: Reverse an inequality only when multiplying or dividing by a negative number.
दाएँ पक्ष को फैलाने पर \(2(2x+5)=4x+10\) मिलता है। अतः \(4x+7>4x+10\)। दोनों पक्षों से \(4x\) घटाने पर \(7>10\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए असमानता सत्य नहीं है और कोई हल नहीं है। \(x<3\) या \(x>3\) जैसे विकल्प गलत हैं, क्योंकि \(x\) वाले पद कट जाने के बाद \(x\) बचता ही नहीं है। परीक्षा टिप: समान \(x\)-पदों के कटने पर प्राप्त स्थिर असमानता को अवश्य जाँचें। / Expanding the right-hand side gives \(2(2x+5)=4x+10\). Thus, \(4x+7>4x+10\). Subtracting \(4x\) from both sides gives \(7>10\), which is false. Therefore, the inequality is not true for any real value of \(x\), so there is no solution. Options such as \(x<3\) or \(x>3\) are incorrect because the \(x\)-terms cancel completely. Exam tip: When like variable terms cancel, always check the resulting numerical inequality.
दोनों पक्षों को 18 से गुणा करने पर, क्योंकि 18 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(2-3x)<3(x+4)\)। अतः \(4-6x<3x+12\), यानी \(-9x<8\)। अब \(-9\) से भाग देने पर चिह्न उलट जाएगा, इसलिए \(x>-\frac{8}{9}\)। \(x\geq-\frac{8}{9}\) गलत है क्योंकि मूल असमानता में चिह्न सख्त \(<\) है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Multiplying both sides by 18 does not change the inequality sign because 18 is positive: \(2(2-3x)<3(x+4)\). Thus, \(4-6x<3x+12\), so \(-9x<8\). On dividing by \(-9\), the inequality sign reverses, giving \(x>-\frac{8}{9}\). \(x\geq-\frac{8}{9}\) is incorrect because the original inequality is strict. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
