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‘कम नहीं है’ का अर्थ ‘से बड़ा या बराबर’ होता है, इसलिए असमता \(2x-5\geq x+3\) होगी। दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(x-5\geq 3\), अतः \(x\geq 8\)। विकल्प B में ‘कम नहीं’ को सख्त असमता \(>\) माना गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: ‘कम से कम’ या ‘कम नहीं’ दिखे तो \(\geq\) का प्रयोग करें। / ‘Not less than’ means ‘greater than or equal to’, so the inequality is \(2x-5\geq x+3\). Subtracting \(x\) from both sides gives \(x-5\geq 3\), and adding 5 gives \(x\geq 8\). Option B is incorrect because it uses the strict inequality \(>\), which excludes equality. Exam tip: phrases such as ‘at least’ and ‘not less than’ correspond to \(\geq\).
विकल्प B में \(2x-8\geq 0\) से \(2x\geq 8\), अर्थात् \(x\geq 4\) प्राप्त होता है। इसलिए इसका हल-समुच्चय \([4,\infty)\) है। विकल्प A से \(x>4\) मिलता है, जिसका हल \((4,\infty)\) होगा और उसमें 4 शामिल नहीं है। परीक्षा में याद रखें: बंद कोष्ठक \([\) या \(]\) बराबरी सहित असमता को दर्शाता है। / For option B, \(2x-8\geq 0\) gives \(2x\geq 8\), so \(x\geq 4\). Hence, the solution set is \([4,\infty)\). Option A gives \(x>4\), whose solution set is \((4,\infty)\), so 4 is excluded. Exam tip: a square bracket indicates that the endpoint is included, which corresponds to an inequality containing equality.
‘धनात्मक नहीं’ का अर्थ है कि व्यंजक शून्य या ऋणात्मक हो सकता है, अर्थात \(2x+5\leq 0\)। दोनों पक्षों में 5 घटाने पर \(2x\leq -5\) और 2 से भाग देने पर \(x\leq -\frac{5}{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प C में \(<\) होने के कारण \(x=-\frac{5}{2}\) छूट जाता है, जबकि इस मान पर \(2x+5=0\) होता है और व्यंजक धनात्मक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘नहीं’ जैसे शब्दों पर ध्यान दें—‘धनात्मक नहीं’ में शून्य भी शामिल होता है। / ‘Not positive’ means the expression can be zero or negative, so \(2x+5\leq 0\). Subtracting 5 from both sides gives \(2x\leq -5\), and dividing by 2 gives \(x\leq -\frac{5}{2}\). Therefore, option D is correct. Option C incorrectly uses \(<\) and excludes \(x=-\frac{5}{2}\), even though the expression equals zero at that value and is therefore not positive. Exam tip: ‘not positive’ includes zero, whereas ‘negative’ excludes zero.
मानें कि \(L(x)<R(x)\) एक असमता है। इसे हल करते समय निम्नलिखित में से कौन-सा रूपांतरण \(x\) के मान पर कोई अतिरिक्त शर्त लगाए बिना सदैव समतुल्य रहता है?
दोनों पक्षों में एक ही व्यंजक \(3x-2\) जोड़ने से असमता का क्रम नहीं बदलता, इसलिए A सदैव समतुल्य है। B और C में गुणक/भाजक का चिह्न बदल सकता है; C में \(x=-2\) भी मान्य नहीं है। टिप: चिह्न-अज्ञात व्यंजक से गुणा या भाग करने से बचें। / Adding the same expression \(3x-2\) to both sides preserves the inequality, so A is always equivalent. In B and C, the factor or divisor may change sign; moreover, C is undefined at \(x=-2\). Exam tip: do not multiply or divide by an expression whose sign is unknown.
दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \\(10\leq 2x\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से विभाजित करने पर \\(5\leq x\\), अर्थात् \\(x\geq 5\\) प्राप्त होता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमता का चिह्न उलटता है। / Subtracting 1 from both sides gives \\(10\leq 2x\\). Dividing both sides by the positive number 2 yields \\(5\leq x\\), which is equivalent to \\(x\geq 5\\). The inequality sign does not reverse when dividing by a positive number. Exam tip: Reverse the sign only when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
असमता \(3x+2\geq 17\) से \(3x\geq 15\), अतः \(x\geq 5\) प्राप्त होता है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, सबसे छोटा संभव मान 5 है। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि \(3(4)+2=14<17\)। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता। / From \(3x+2\geq 17\), we get \(3x\geq 15\), and hence \(x\geq 5\). Since \(x\) is an integer, the least possible value is 5. Option 4 is incorrect because \(3(4)+2=14<17\). Exam tip: dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
“अधिक नहीं” का अर्थ \(\leq\) होता है, इसलिए असमिका \(4x-7\leq 13\) होगी। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(4x\leq 20\), और 4 से भाग देने पर \(x\leq 5\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। विकल्प D गलत है, क्योंकि वह \(x=5\) को शामिल नहीं करता, जबकि \(x=5\) रखने पर \(4(5)-7=13\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: “not greater than” को \(\leq\) और “not less than” को \(\geq\) के रूप में पढ़ें। / “Not greater than” means \(\leq\), so the inequality is \(4x-7\leq 13\). Adding 7 to both sides gives \(4x\leq 20\), and dividing by 4 gives \(x\leq 5\). Therefore, option C is correct. Option D is incorrect because it excludes \(x=5\), even though \(4(5)-7=13\). Exam tip: interpret “not greater than” as \(\leq\) and “not less than” as \(\geq\).
कोष्ठक खोलने पर \(6-3x>x+10\) मिलता है। अतः \(-4x>4\)। दोनों पक्षों को \(-4\) से भाग देने पर असमता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \(x<-1\)। विकल्प B में चिन्ह उलटने की यह आवश्यक प्रक्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमता का चिन्ह अवश्य पलटें। / Expanding the bracket gives \(6-3x>x+10\), so \(-4x>4\). Dividing both sides by \(-4\) reverses the inequality sign, yielding \(x<-1\). Option B incorrectly keeps the original direction after division by a negative number. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
पहली असमता से \(x+4\geq0\Rightarrow x\geq-4\) प्राप्त होता है। दूसरी असमता से \(2x-1<9\Rightarrow2x<10\Rightarrow x<5\) मिलता है। इसलिए दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(-4\leq x<5\) है, अर्थात \([-4,5)\)। \(-4\) शामिल है क्योंकि वहाँ \(\geq\) है, जबकि \(5\) शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ \(<\) है। परीक्षा-टिप: \(\geq\) या \(\leq\) पर सिरा बंद और \(>\) या \(<\) पर सिरा खुला रखें। / From the first inequality, \(x+4\geq0\) gives \(x\geq-4\). From the second, \(2x-1<9\Rightarrow2x<10\Rightarrow x<5\). Thus both conditions together give \(-4\leq x<5\), represented by \([-4,5)\). The endpoint \(-4\) is included because the inequality is non-strict, whereas \(5\) is excluded because the inequality is strict. Exam tip: use a closed endpoint for \(\leq\) or \(\geq\), and an open endpoint for \(<\) or \(>\).
दोनों पक्षों को \(-2\) से गुणा करने पर असमता का चिन्ह उलट जाता है, क्योंकि \(-2\) ऋणात्मक है: \(x-4\leq -6\)। दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(x\leq -2\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा में याद रखें: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमता का चिन्ह अवश्य पलटता है। / Multiplying both sides by \(-2\) reverses the inequality sign because \(-2\) is negative: \(x-4\leq -6\). Adding 4 to both sides gives \(x\leq -2\), so option B is correct. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
\(2<x<7\) में दोनों सीमाओं पर कठोर असमताएँ हैं, इसलिए 2 और 7 हल में शामिल नहीं होते; इसका हल खुला अंतराल \((2,7)\) है। B और C अर्ध-खुले हैं। परीक्षा में \(<\) या \(>\) के लिए खुला सिरा याद रखें। / In \(2<x<7\), both inequalities are strict, so neither 2 nor 7 is included; the solution is the open interval \((2,7)\). B and C are half-open intervals. Exam tip: use an open endpoint for \(<\) or \(>\).
विकल्प C में दोनों सीमाएँ ‘\(\leq\)’ हैं, इसलिए दोनों अंतिम बिंदु शामिल होंगे। इसे हल करने पर \(-5\leq x\leq 2\) मिलता है, जो बंद अंतराल \([-5,2]\) है। A और B अर्ध-अनंत अंतराल देते हैं। परीक्षा टिप: दोनों ओर गैर-कठोर चिह्न हों तो बंद अंतराल पहचानें। / In option C, both boundary signs are ‘\(\leq\)’, so both endpoints are included. Solving it gives \(-5\leq x\leq 2\), the closed interval \([-5,2]\). A and B give half-infinite intervals. Exam tip: two non-strict bounds indicate a closed interval.
दोनों पक्षों से \\(2x\\) घटाने पर \\(-3<3x+12\\) मिलता है। फिर 12 घटाने पर \\(-15<3x\\) और 3 से भाग देने पर \\(x>-5\\) प्राप्त होता है। 3 धनात्मक है, इसलिए असमता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न बदलना अनावश्यक है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमता का चिह्न वही रहता है। / Subtracting \\(2x\\) from both sides gives \\(-3<3x+12\\). Subtracting 12 and then dividing by the positive number 3 gives \\(-15<3x\\), hence \\(x>-5\\). The inequality sign does not reverse because 3 is positive; therefore, option B is incorrect. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमता को सरल करने पर \(9-3x\geq 2x-16\Rightarrow 25\geq 5x\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 5 से भाग देने पर \(x\leq 5\) मिलता है, इसलिए सही विकल्प A है। यदि किसी असमता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग दिया जाए, तो असमता का चिह्न उलट जाता है; यहाँ ऐसा नहीं होता। परीक्षा-टिप: चर वाले पदों को एक ओर और स्थिर पदों को दूसरी ओर रखने के बाद चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / Rearranging the inequality gives \(9-3x\geq 2x-16\Rightarrow 25\geq 5x\). Dividing both sides by the positive number 5 yields \(x\leq 5\), so option A is correct. The inequality sign would reverse only if we divided or multiplied by a negative number; that does not happen here. Exam tip: after collecting the variable terms, always check the sign of the number used to divide.
असमानता \(12<4x\leq 28\) के प्रत्येक भाग को धनात्मक संख्या \(4\) से भाग देने पर \(3<x\leq 7\) प्राप्त होता है। क्योंकि भाजक धनात्मक है, इसलिए असमानता के चिन्हों की दिशा नहीं बदलती। विकल्प B में दोनों सिरों पर समानता और असमानता के चिन्ह उलटे हैं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिन्ह पलटता है। / Dividing every part of \(12<4x\leq 28\) by the positive number \(4\) gives \(3<x\leq 7\). Since the divisor is positive, the inequality signs do not reverse. Option B incorrectly reverses the endpoint inclusions. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर \(4x+8-3x+15\geq 20\) मिलता है, अर्थात् \(x+23\geq 20\)। दोनों पक्षों से 23 घटाने पर \(x\geq -3\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमता की दिशा उलट दी गई है, जबकि विकल्प C और D में स्थिरांक घटाने की गणना गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक पद के सामने कोष्ठक खोलते समय उसके भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न बदलना न भूलें। / Expanding the brackets gives \(4x+8-3x+15\geq 20\), so \(x+23\geq 20\). Subtracting 23 from both sides yields \(x\geq -3\), making option A correct. Option B reverses the inequality incorrectly, while options C and D result from an incorrect subtraction. Exam tip: when removing a minus sign before a bracket, change the sign of every term inside that bracket.
पहली असमता से \(x-2<4\) होने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। दूसरी असमता से \(x+5\geq 1\) होने पर \(x\geq -4\) मिलता है। इसलिए दोनों शर्तों का साझा हल \(-4\leq x<6\) है, जिसे अंतराल रूप में \([-4,6)\) लिखा जाता है। ध्यान रखें कि वर्ग कोष्ठक \(-4\) को शामिल करता है, जबकि कोष्ठक \(6\) को शामिल नहीं करता। / From the first inequality, \(x-2<4\) gives \(x<6\). From the second, \(x+5\geq 1\) gives \(x\geq -4\). Therefore, the common solution is \(-4\leq x<6\), written in interval notation as \([-4,6)\). Remember that the square bracket includes \(-4\), while the parenthesis excludes \(6\).
