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यदि \(q\ne0\), तो \(q\sqrt{5}\) अपरिमेय होगा और योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में शून्य गुणांक की संभावना देखें। / If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
\(0.04\overline{6}\) में स्थिर आवर्ती अंक है इसलिए यह परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य आने पर ही सांत दशमलव माना जाता है। / \(0.04\overline{6}\) has a fixed repeating digit, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
\(0.58\overline{23}\) में (23) स्थिर रूप से दोहरता है, इसलिए यह परिमेय है। स्थिर आवर्ती खंड परिमेयता का मजबूत संकेत है। / In \(0.58\overline{23}\), the block (23) repeats regularly, so it is rational. A fixed repeating block is a strong sign of rationality.
\(0.\overline{625}\) स्थिर आवर्ती दशमलव है, इसलिए परिमेय है पर सांत नहीं है। अंत में केवल शून्य होने पर ही दशमलव सांत माना जाता है। / \(0.\overline{625}\) is a fixed recurring decimal, so it is rational but not terminating. A decimal is terminating only when zeros continue after some point.
\(0.\overline{018}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। / \(0.\overline{018}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
यह समाप्त नहीं होता, इसलिए सांत दशमलव नहीं है। बाकी सांत हैं या अपरिमेय हैं। / It does not end, so it is not a terminating decimal. The other options are either terminating or irrational.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / Recurring decimals are rational.
परिमेय संख्या का दशमलव या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। / A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
\(2.01001000100001\ldots\) में कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं हो सकता। / \(2.01001000100001\ldots\) has no fixed repeating block. So it cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
लंबा दशमलव देखकर नहीं, पुनरावृत्ति देखकर निर्णय लें। / Decide by checking repetition, not merely by seeing a long decimal.
\(0.\overline{25}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। / \(0.\overline{25}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
यह सांत नहीं है क्योंकि दशमलव कभी समाप्त नहीं होता। \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं। / It is not terminating because the decimal does not end. \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are irrational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या सांत या असांत आवर्ती दोनों हो सकती है। / Rational numbers can be terminating or non-terminating recurring.
\(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) है। / \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। / \(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), so the reduced denominator is (11).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाइए, फिर सरल कीजिए। / First form a denominator with (9)'s according to the repeating block, then reduce.
A. सांत होगा और अधिकतम (3) दशमलव स्थान होंगे/It will terminate and have at most (3) decimal places
Step 1
Concept
सरलतम रूप में हर केवल (2) और (5) के घातों से बना है। / In lowest form, the denominator contains only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। दशमलव स्थानों की संख्या (2) और (5) की घातों में बड़ी घात, यानी (3), तक हो सकती है। / So the decimal expansion is terminating. The number of decimal places can be up to the larger exponent, (3).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखना न भूलें। / In exams, always reduce the fraction first.
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (5) हों। / A rational number has a terminating decimal only when the denominator in lowest form has prime factors only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
यहां हर में (7) भी है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत नहीं होगा, पर परिमेय संख्या होने के कारण वह आवर्ती होगा। / Here the denominator also contains (7), so the decimal will not terminate, but since the number is rational, it will repeat.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में जांचें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड देखें। / In exams, always reduce the fraction first and then check the prime factors of the denominator.
\(0.135135135\ldots\) में (135) का समूह बार-बार आ रहा है। / In \(0.135135135\ldots\), the block (135) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं होता। / A recurring decimal is rational, but it does not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: असमाप्त दशमलव में नियमित दोहराव हो तो उसे परिमेय मानें। / Exam tip: If a non-terminating decimal has a regular repeated block, treat it as rational.
परिमेय संख्या का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। / A rational number has a decimal that either terminates or recurs.
Step 2
Why this answer is correct
असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या के लिए संभव नहीं है। / Non-terminating non-recurring decimal expansion is not possible for a rational number.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: यह अंतर परिमेय और अपरिमेय संख्या को पहचानने में मदद करता है। / Exam tip: This difference helps identify rational and irrational numbers.
\(0.727272\ldots\) में (72) का समूह बार-बार आ रहा है। / In \(0.727272\ldots\), the block (72) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
बार-बार आने वाला दशमलव परिमेय होता है। / A repeating decimal is rational.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: केवल लंबा दशमलव नहीं, दोहराव का नियम पहचानें। / Exam tip: Do not only see that a decimal is long; check whether a fixed pattern repeats.
A. या तो समाप्त या असमाप्त आवर्ती/Either terminating or non-terminating recurring
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है। / A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या कोई अंक समूह बार-बार आता है। / Its decimal either terminates or repeats a block of digits.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: असमाप्त अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या से जुड़ा होता है। / Exam tip: Non-terminating non-recurring decimals are linked with irrational numbers.
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि वह समाप्त नहीं है, तो उसमें कोई अंक या समूह दोहराएगा। / So if it does not terminate, some digit or block will repeat.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या को असमाप्त अनावर्ती नहीं मानना चाहिए। / Do not call a rational number non-terminating non-recurring.
ऋण चिह्न दशमलव के प्रकार को नहीं बदलता। / The negative sign does not change the type of decimal expansion.
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), इसलिए भाजक में (7) होने से दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / \(28=2^2\times7\), so the factor (7) makes the decimal non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
चिन्ह नहीं, सरल रूप का भाजक देखें। / Check the denominator in lowest form, not the sign.
\(-\frac{17}{200}\) में ऋण चिह्न केवल मान को ऋणात्मक बनाता है। / The negative sign in \(-\frac{17}{200}\) only makes the value negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(200=2^3\times5^2\) है, इसलिए भाजक में केवल (2) और (5) हैं और दशमलव समाप्त होगा। / Since \(200=2^3\times5^2\), the denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
प्रकार तय करते समय ऋण चिह्न को नहीं, सरल रूप के भाजक को देखें। / To decide the decimal type, check the denominator in lowest form, not the negative sign.
भाजक में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव विस्तार समाप्त होगा। / The denominator has only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले भिन्न को सरल रूप में देखकर भाजक के गुणनखंड जांचें। / In exams, first check the prime factors of the simplified denominator.
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल तभी परिमेय होना जरूरी है जब वह उपयुक्त पूर्ण वर्ग रूप में हो/The square root of a rational number is necessarily rational only when it is in a suitable perfect-square form
Step 1
Concept
(5) परिमेय है, लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण वर्ग न होने से उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं। / If it is not a perfect square, its square root need not be rational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\) की सिद्धि बताती है कि वह वास्तव में अपरिमेय है। / The proof of \(\sqrt{5}\) shows it is actually irrational.
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) परिमेय है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
संख्या और उसके वर्गमूल का प्रकार अलग-अलग जांचें। / Check a number and its square root separately.
A. किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) परिमेय है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें। / Check a number and its square root separately.
A. जब (a) को दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके/When (a) can be written as a ratio of two perfect squares
Step 1
Concept
किसी परिमेय भिन्न का वर्गमूल परिमेय तब होता है जब अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग बन सकें। / The square root of a rational fraction is rational when both numerator and denominator can be perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), इसलिए दो पूर्ण वर्गों का अनुपात सुरक्षित स्थिति है। / For example, \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), so a ratio of two perfect squares is a safe condition.
Step 3
Exam Tip
केवल धनात्मक या (1) से छोटा होना परिमेय वर्गमूल की गारंटी नहीं देता। / Being positive or less than (1) does not guarantee a rational square root.
परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बनती। / Adding a rational number cannot make an irrational number rational.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (r+s) परिमेय मान लें, तो (s=(r+s)-r) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। / If (r+s) were rational, then (s=(r+s)-r) would be rational, which is a contradiction.
Step 3
Exam Tip
ऐसे नियमों को उलटा सोचकर भी जांच सकते हैं। / Such rules can also be checked by reverse reasoning.
A. उसने जर्मन अनुमान को भ्रमित कर वास्तविक आक्रमण की दिशा छिपाई/It confused German estimates and hid the real attack direction
Explanation
Simple Explanation
छल और तैयारी ने बैग्रेशन को बहुत प्रभावी बनाया। परीक्षा में सोवियत अभियानों में छल की भूमिका याद रखें। / Deception and preparation made Bagration highly effective. For exams remember the role of deception in Soviet operations.
A. जर्मन नेतृत्व वास्तविक उतराई के बाद भी पास द काले पर ध्यान रखता रहा/German leadership kept attention on Pas de Calais even after the real landing
Explanation
Simple Explanation
फोर्टिट्यूड ने छल से जर्मन प्रतिक्रिया को देर और भ्रमित किया। परीक्षा में धोखे को रणनीति का सक्रिय साधन समझें। / Fortitude delayed and confused German response through deception. For exams understand deception as an active strategic tool.
A. क्योंकि मित्र राष्ट्र फ्रांसीसी नियंत्रित क्षेत्रों में उतर रहे थे/Because Allies were landing in French-controlled territories
Explanation
Simple Explanation
उत्तर अफ्रीका में उतराई सैन्य के साथ कूटनीतिक प्रश्न भी थी। परीक्षा में विची और फ्री फ्रेंच संदर्भ याद रखें। / The North African landing was a diplomatic issue as well as a military one. For exams remember Vichy and Free French contexts.
A. पूर्वी मोर्चे पर जर्मन निर्णायक आक्रमण क्षमता कमजोर हो गई/German decisive offensive capacity on the Eastern Front weakened
Explanation
Simple Explanation
कुर्स्क के बाद पहल अधिक स्पष्ट रूप से सोवियत पक्ष में चली गई। परीक्षा में इसे पूर्वी मोर्चे के निर्णायक मोड़ से जोड़ें। / After Kursk the initiative shifted more clearly to the Soviet side. For exams connect it with the decisive turn on the Eastern Front.
A. जर्मन छठी सेना को कमजोर किनारों से घेरना/To encircle the German Sixth Army through weak flanks
Explanation
Simple Explanation
ऑपरेशन यूरेनस ने जर्मन अग्रिम के किनारों को निशाना बनाया। परीक्षा में शहर की लड़ाई और घेराबंदी योजना अलग समझें। / Operation Uranus targeted the flanks of the German advance. For exams distinguish city fighting from the encirclement plan.
A. उसने जर्मन नेतृत्व को मुख्य उतराई स्थान के बारे में भ्रमित रखा/It kept German leadership confused about the main landing place
Explanation
Simple Explanation
फोर्टिट्यूड ने नॉरमैंडी के बजाय पास द काले पर ध्यान टिकाए रखने में मदद की। परीक्षा में छल को रणनीतिक साधन मानें। / Fortitude helped keep attention on Pas de Calais instead of Normandy. For exams treat deception as a strategic tool.
A. पश्चिम से दबाव और भूमध्यसागरीय रणनीति में बेहतर स्थिति/Pressure from the west and better position in Mediterranean strategy
Explanation
Simple Explanation
ऑपरेशन टॉर्च ने धुरी सेना को कई दिशाओं से दबाव में डाला। परीक्षा में अभियान को क्षेत्रीय रणनीति से जोड़ें। / Operation Torch put Axis forces under pressure from multiple directions. For exams connect campaigns with regional strategy.
A. ब्रिटेन पर आक्रमण टल गया और जर्मनी ने अन्य मोर्चों की ओर ध्यान मोड़ा/Invasion of Britain was postponed and Germany turned attention to other fronts
Explanation
Simple Explanation
वायु श्रेष्ठता न मिलने से ब्रिटेन पर उतराई संभव नहीं हुई। परीक्षा में वायु युद्ध और समुद्री आक्रमण का संबंध समझें। / Without air superiority a landing in Britain was not possible. For exams understand the link between air war and sea invasion.
A. इसमें विची फ्रांसीसी क्षेत्रों और मित्र कूटनीति की जटिलता शामिल थी/It involved Vichy French territories and complex Allied diplomacy
Explanation
Simple Explanation
टॉर्च ने उत्तर अफ्रीका में सैन्य और राजनीतिक दोनों प्रश्न उठाए। परीक्षा में अभियान को स्थानीय राजनीति से जोड़ें। / Torch raised both military and political questions in North Africa. For exams connect campaigns with local politics.
A. इसने पूर्वी मोर्चे पर जर्मन सेना को भारी रूप से तोड़ा/It severely broke German forces on the Eastern Front
Explanation
Simple Explanation
बैग्रेशन ने 1944 में जर्मनी पर पूर्वी दबाव को निर्णायक बनाया। परीक्षा में पश्चिमी और पूर्वी दोनों मोर्चों को संतुलित पढ़ें। / Bagration made eastern pressure on Germany decisive in 1944. For exams study western and eastern fronts in balance.
A. तेल संसाधनों की चाह और शहर पर केंद्रित संघर्ष से लक्ष्य बिखर गए/Goals became dispersed between desire for oil resources and city-focused battle
Explanation
Simple Explanation
काकेशस तेल और स्टालिनग्राद दोनों लक्ष्यों ने जर्मन संसाधन फैलाए। परीक्षा में संसाधन और प्रतीकात्मक लक्ष्य अलग पहचानें। / Caucasus oil and Stalingrad both stretched German resources. For exams distinguish resource aims and symbolic aims.
A. जर्मनी पर पूर्व और पश्चिम दोनों दिशाओं से भारी दबाव पड़ा/Germany faced heavy pressure from both east and west
Explanation
Simple Explanation
1944 में जर्मनी दो बड़े मोर्चों पर टूटने लगा। परीक्षा में समकालिक दबाव को समझें। / In 1944 Germany began collapsing under two major fronts. For exams understand simultaneous pressure.
A. यह हिटलर के विरुद्ध जर्मन प्रतिरोध और षड्यंत्र से जुड़ा था/It was linked with German resistance and plot against Hitler
Explanation
Simple Explanation
ऑपरेशन वाल्किरी ने दिखाया कि जर्मनी के भीतर भी हिटलर विरोध मौजूद था। परीक्षा में तानाशाही के अंदर प्रतिरोध को याद रखें। / Operation Valkyrie showed that anti-Hitler resistance existed inside Germany too. For exams remember resistance inside dictatorship.
A. सिसिली पर कब्जे से मुसोलिनी कमजोर हुआ और इटली में राजनीतिक संकट बढ़ा/The capture of Sicily weakened Mussolini and increased political crisis in Italy
Explanation
Simple Explanation
ऑपरेशन हस्की ने इटली पर प्रत्यक्ष सैन्य दबाव बनाया। परीक्षा में सैन्य अभियान और राजनीतिक परिणाम साथ पढ़ें। / Operation Husky created direct military pressure on Italy. For exams study military campaigns with political results.
A. उसने माल्टा तक महत्वपूर्ण आपूर्ति पहुंचाने का कठिन प्रयास किया/It made a difficult effort to deliver crucial supplies to Malta
Explanation
Simple Explanation
ऑपरेशन पेडेस्टल ने दिखाया कि भूमध्यसागर में रसद जीवन रेखा थी। परीक्षा में आपूर्ति अभियानों को भी महत्त्व दें। / Operation Pedestal showed that logistics were a lifeline in the Mediterranean. For exams give importance to supply operations too.
A. छोटी पर प्रभावी मित्र सेना भी खराब संगठित धुरी सेना को पीछे धकेल सकती थी/A smaller but effective Allied force could push back a poorly organized Axis force
Explanation
Simple Explanation
ऑपरेशन कंपास ने उत्तरी अफ्रीका में आरंभिक ब्रिटिश सफलता दिखाई। परीक्षा में अफ्रीकी अभियान के चरणों को क्रम से पढ़ें। / Operation Compass showed early British success in North Africa. For exams study stages of the African campaign in order.
A. उसने जर्मनी को पास द काले क्षेत्र पर हमला अपेक्षित कराने में भ्रमित किया/It misled Germany into expecting an attack at Pas de Calais
Explanation
Simple Explanation
फोर्टिट्यूड ने वास्तविक नॉरमैंडी उतराई छिपाने में मदद की। परीक्षा में छल योजना को युद्ध रणनीति का भाग मानें। / Fortitude helped conceal the real Normandy landing. For exams treat deception planning as part of war strategy.
A. इसने 1944 में पूर्वी मोर्चे पर जर्मन सेना को भारी नुकसान पहुंचाया/It caused massive losses to German forces on the Eastern Front in 1944
Explanation
Simple Explanation
बैग्रेशन ने पूर्वी मोर्चे पर सोवियत बढ़त को बहुत मजबूत किया। परीक्षा में इसे डी डे के समय पूर्वी दबाव से जोड़ें। / Bagration greatly strengthened the Soviet advance on the Eastern Front. For exams connect it with eastern pressure around the time of D-Day.
A. जर्मनी ईंधन संसाधनों पर नियंत्रण चाहता था/Germany wanted control over fuel resources
Explanation
Simple Explanation
काकेशस तेल जर्मन युद्ध अर्थव्यवस्था के लिए महत्वपूर्ण लक्ष्य था। परीक्षा में संसाधनों को सैन्य अभियानों से जोड़ें। / Caucasus oil was an important target for the German war economy. For exams connect resources with military campaigns.
A. क्योंकि विशाल सेना को समुद्र पार सैनिक सामान और आपूर्ति चाहिए थी/Because a huge army needed troops equipment and supplies across the sea
Explanation
Simple Explanation
नॉरमैंडी उतराई केवल लड़ाई नहीं बल्कि विशाल आपूर्ति अभियान भी थी। परीक्षा में रसद को आधुनिक युद्ध की रीढ़ मानें। / The Normandy landing was not only a battle but a huge supply operation. For exams treat logistics as the backbone of modern war.
D. क्योंकि जर्मनी ब्रिटेन पर वायु श्रेष्ठता हासिल नहीं कर सका/Because Germany could not gain air superiority over Britain
Explanation
Simple Explanation
ब्रिटेन की लड़ाई में जर्मनी को निर्णायक वायु श्रेष्ठता नहीं मिली। परीक्षा में समुद्री आक्रमण के लिए वायु नियंत्रण का महत्व समझें। / Germany did not gain decisive air superiority in the Battle of Britain. For exams understand the importance of air control for sea invasion.
A. लैंडिंग सैनिकों की रक्षा और आपूर्ति के लिए/To protect and supply landing troops
Explanation
Simple Explanation
नॉरमैंडी उतराई में समुद्र से सैनिक और सामान पहुंचाना जरूरी था। परीक्षा में संयुक्त सैन्य अभियान की भूमिका समझें। / In the Normandy landings soldiers and supplies had to arrive by sea. For exams understand the role of combined military operations.
A. इसने उत्तरी अफ्रीका में मित्र राष्ट्रों की स्थिति मजबूत की/It strengthened the Allied position in North Africa
Explanation
Simple Explanation
ऑपरेशन टॉर्च ने उत्तरी अफ्रीका में धुरी शक्तियों पर दबाव बढ़ाया। परीक्षा में इसे भूमध्यसागरीय अभियान से जोड़ें। / Operation Torch increased pressure on Axis forces in North Africa. For exams connect it with the Mediterranean campaign.
B. लंबे पूर्वी मोर्चे ने संसाधन और सेना पर भारी दबाव डाला/The long Eastern Front put huge pressure on resources and army
Explanation
Simple Explanation
सोवियत संघ पर हमला जर्मनी के लिए लंबा और महंगा युद्ध बन गया। परीक्षा में पूर्वी मोर्चे को निर्णायक समझें। / The invasion of the Soviet Union became a long and costly war for Germany. For exams understand the Eastern Front as decisive.
ऑपरेशन सी लायन ब्रिटेन पर जर्मनी के संभावित आक्रमण की योजना थी। परीक्षा में इसे ब्रिटेन की लड़ाई से जोड़ें। / Operation Sea Lion was Germany's planned invasion of Britain. For exams connect it with the Battle of Britain.
ऑपरेशन टॉर्च उत्तरी अफ्रीका में मित्र राष्ट्रों की उतराई थी। परीक्षा में इसे अफ्रीकी अभियान से जोड़ें। / Operation Torch was the Allied landing in North Africa. For exams connect it with the African campaign.
डी डे ऑपरेशन ओवरलॉर्ड का प्रमुख हिस्सा था। परीक्षा में इसे नॉरमैंडी उतराई से जोड़ें। / D-Day was a major part of Operation Overlord. For exams connect it with the Normandy landings.
D. जर्मनी द्वारा सोवियत संघ पर आक्रमण/German invasion of the Soviet Union
Explanation
Simple Explanation
ऑपरेशन बारबारोसा 1941 में सोवियत संघ पर जर्मन आक्रमण था। परीक्षा में इसे पूर्वी मोर्चे से जोड़ें। / Operation Barbarossa was the German invasion of the Soviet Union in 1941. For exams connect it with the Eastern Front.
ऑपरेशन ब्लू स्टार 1984 में हुआ था। परीक्षा में 1984 की प्रमुख राष्ट्रीय घटनाएं याद रखें। / Operation Blue Star took place in 1984. For exams remember major national events of 1984.
A. इसने निजाम की अलग रहने की नीति को समाप्त किया/It ended the Nizam's policy of remaining separate
Explanation
Simple Explanation
ऑपरेशन पोलो के बाद हैदराबाद भारत में शामिल हुआ। परीक्षा में रियासतों के उदाहरण याद रखें। / Hyderabad joined India after Operation Polo. Exam tip: remember examples of princely states.
A. यह हैदराबाद को भारत में मिलाने की कार्रवाई थी/It was the action to integrate Hyderabad into India
Explanation
Simple Explanation
निजाम की स्वतंत्र रहने की नीति के कारण कार्रवाई की गई। परीक्षा में हैदराबाद और ऑपरेशन पोलो साथ याद रखें। / Action was taken because of the Nizam's policy to remain independent. Exam tip: remember Hyderabad with Operation Polo.
\(9=3^2\), इसलिए सरलतम हर में (3) का गुणनखंड है। / \(9=3^2\), so the reduced denominator contains the prime factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। / If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त संख्याओं को पहले अभाज्य रूप में तोड़ें। / Break composite factors into primes first.
C. हर में (2) और (5) के अलावा कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होगा/The denominator has at least one prime factor other than (2) and (5)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या का असांत दशमलव आवर्ती होता है। / A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तब होता है जब सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड बचता है। इसलिए विकल्प (C) सही है। / This happens when the reduced denominator has at least one prime factor other than (2) and (5). So option (C) is correct.
Step 3
Exam Tip
(2) या (5) साथ में हो सकते हैं, पर कोई अन्य गुणनखंड भी होगा। / (2) or (5) may also be present, but some other prime must remain.
आवर्ती भाग (142857) में (6) अंक हैं। / The repeating block (142857) has (6) digits.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण आवर्ती दशमलव के लिए सरल करने से पहले हर में उतने ही (9) लिखे जाते हैं। इसलिए हर (999999) होगा। / For a purely recurring decimal, before reducing, the denominator has the same number of (9)'s. So it is (999999).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती अंकों की संख्या सीधे (9) की संख्या बताती है। / The number of repeating digits tells the number of (9)'s.
सरलतम हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है। / The reduced denominator has only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
दशमलव स्थानों की संख्या बड़ी घात के बराबर होती है। (r>s) होने पर बड़ी घात (r) है। / The number of decimal places equals the larger exponent. Since (r>s), the larger exponent is (r).
Step 3
Exam Tip
दशमलव स्थान के लिए हमेशा (\max(r,s)) याद रखें। / Remember (\max(r,s)) for decimal places.
मान लें \(x=0.12333\ldots\)। / Let \(x=0.12333\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
\(100x=12.333\ldots\) और \(1000x=123.333\ldots\)। घटाने पर (900x=111), इसलिए \(x=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}\)। / Then \(100x=12.333\ldots\) and \(1000x=123.333\ldots\). Subtracting gives (900x=111), so \(x=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}\).
Step 3
Exam Tip
सांत और आवर्ती भाग अलग-अलग देखकर गुणा करें। / Separate the non-repeating and repeating parts before multiplying.
A. ठीक (4) दशमलव स्थानों पर समाप्त होगा/It terminates exactly after (4) decimal places
Step 1
Concept
\(2^4\cdot 5^4=10^4\) है। / \(2^4\cdot 5^4=10^4\).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर \(10^4\) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। अंश (10) से विभाज्य नहीं होने की बात यह भरोसा देती है कि आगे और सरलता नहीं छिपी है। / A reduced denominator of \(10^4\) gives a decimal terminating after (4) places. The numerator condition assures no hidden further reduction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर \(10^k\) हो तो (k) दशमलव स्थान सोचें। / If the reduced denominator is \(10^k\), think of (k) decimal places.
C. सरलतम हर (625) है/The reduced denominator is (625)
Step 1
Concept
\(0.00048=\frac{48}{100000}\) है। / \(0.00048=\frac{48}{100000}\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), और \(625=5^4\) है। / Reducing gives \(\frac{48}{100000}=\frac{3}{625}\), and \(625=5^4\).
Step 3
Exam Tip
दशमलव अंकों की संख्या सीधे अंतिम हर नहीं बताती; पहले भिन्न को सरल करें। / The number of decimal digits does not always give the final denominator; reduce first.
(0.75) समाप्त दशमलव है और \(0.\overline{3}\), \(5.2\overline{4}\) आवर्ती हैं। / (0.75) is terminating, while \(0.\overline{3}\) and \(5.2\overline{4}\) are recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(2.10110111011110\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं दिखता। / \(2.10110111011110\ldots\) has no fixed repetition.
Step 3
Exam Tip
असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या नहीं दर्शाता। / A non-terminating non-recurring decimal does not represent a rational number.
B. असमाप्त आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(45=3^2\times5\) है। / \(45=3^2\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
हर में (3) भी है, इसलिए यह (2) और (5) तक सीमित नहीं है। / The denominator also has (3), so it is not made only of (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य रूप में हर में अन्य अभाज्य आने पर दशमलव असमाप्त आवर्ती होता है। / If any other prime remains in the reduced denominator, the decimal expansion is non-terminating recurring.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
आवर्ती दशमलव में अंकों का निश्चित समूह दोहरता है। / In a recurring decimal, a fixed block of digits repeats.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे दशमलव को भिन्न \(\frac{p}{q}\) में बदला जा सकता है, इसलिए वह परिमेय है। / Such a decimal can be converted into a fraction \(\frac{p}{q}\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
कारण-प्रकार प्रश्नों में कारण का संबंध कथन से जरूर जांचें। / In assertion-reason questions, check whether the reason supports the assertion.
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / The decimal expansion of a rational number is either terminating or non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(0.10100100010000\ldots\) में कोई स्थायी आवृत्ति नहीं है, इसलिए यह परिमेय नहीं है। / \(0.10100100010000\ldots\) has no fixed repeating block, so it is not rational.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानना जरूरी है। / Learn to distinguish recurring from non-recurring decimals.
A. इसमें समुद्र वायु भूमि और रसद का विशाल समन्वय था/It involved massive coordination of sea air land and logistics
Explanation
Simple Explanation
डी डे की सफलता संयुक्त योजना और आपूर्ति पर निर्भर थी। परीक्षा में नॉर्मंडी अभियान याद रखें। / D Day success depended on joint planning and supply. For exams remember the Normandy campaign.
6 जून 1944 की डी डे लैंडिंग ने पश्चिमी यूरोप में मित्र राष्ट्रों की प्रगति शुरू की। परीक्षा में नॉर्मंडी को याद रखें। / The D Day landing on 6 June 1944 began the Allied advance in Western Europe. For exams, remember Normandy.
हैदराबाद के एकीकरण से ऑपरेशन पोलो जुड़ा था। परीक्षा में पटेल को रियासतों के विलय से जोड़ें। / Operation Polo was linked with Hyderabad's integration. For exams connect Patel with the merger of princely states.
A. आंतरिक संघर्ष में हस्तक्षेप करते समय निष्पक्षता बनाए रखना कठिन हुआ/Maintaining impartiality became difficult while intervening in internal conflict
Explanation
Simple Explanation
कांगो संकट में आंतरिक राजनीति और बाहरी हित जुड़े थे। परीक्षा में इसे जटिल शांति स्थापना का उदाहरण मानें। / In the Congo crisis internal politics and external interests were connected. For exams treat it as an example of complex peacekeeping.
A. उपनिवेश मुक्ति शीत युद्ध और शांति स्थापना का एक साथ मिलना/Combination of decolonization Cold War and peacekeeping
Explanation
Simple Explanation
कांगो संकट में नए राष्ट्र की स्थिरता और महाशक्ति राजनीति दोनों शामिल थे। परीक्षा में इसे बहुआयामी केस स्टडी मानें। / The Congo Crisis involved both stability of a new nation and superpower politics. Exam tip: treat it as a multidimensional case study.
B. आंतरिक संघर्ष विदेशी हित और नई स्वतंत्रता की जटिलता/Complexity of internal conflict foreign interests and new independence
Explanation
Simple Explanation
कांगो संकट ने शांति स्थापना को जटिल राजनीतिक स्थितियों से जोड़ा। परीक्षा में इसे शीत युद्ध और डिकॉलोनाइजेशन दोनों से जोड़ें। / The Congo crisis linked peacekeeping with complex political situations. For exams connect it with both the Cold War and decolonization.
D. क्योंकि नई स्वतंत्रता आंतरिक संघर्ष और बाहरी हित साथ जुड़े थे/Because new independence internal conflict and external interests were connected
Explanation
Simple Explanation
कांगो संकट ने दिखाया कि शांति स्थापना सरल निगरानी से अधिक जटिल हो सकती है। परीक्षा में इसे डिकॉलोनाइजेशन और शीत युद्ध से जोड़ें। / The Congo Crisis showed peacekeeping can be more complex than simple observation. For exams link it with decolonization and the Cold War.
A. लंबी आपूर्ति रेखाएं और सोवियत प्रतिरोध/Long supply lines and Soviet resistance
Explanation
Simple Explanation
बारबारोसा में मौसम के साथ दूरी रसद और सोवियत क्षमता भी निर्णायक थीं। परीक्षा में एक कारण वाली व्याख्या से बचें। / In Barbarossa weather along with distance logistics and Soviet capacity were decisive. For exams avoid single-cause explanation.
A. लंबे संकरे मार्ग और पुलों पर निर्भरता/Dependence on a long narrow route and bridges
Explanation
Simple Explanation
योजना तेज थी लेकिन आपूर्ति और मार्ग बहुत नाजुक थे। परीक्षा में महत्वाकांक्षी योजनाओं की व्यावहारिक सीमा देखें। / The plan was bold but supply and route were fragile. For exams examine practical limits of ambitious plans.
A. उसने स्थानीय सहयोग और व्यवहारिक नीति की संभावनाएं कमजोर कीं/It weakened possibilities of local cooperation and practical policy
Explanation
Simple Explanation
नाजी नस्लवादी नीति ने कब्जे वाले क्षेत्रों में कठोरता और प्रतिरोध बढ़ाया। परीक्षा में विचारधारा को रणनीतिक परिणामों से जोड़ें। / Nazi racist policy increased brutality and resistance in occupied areas. For exams connect ideology with strategic outcomes.
B. नाजी लेबेन्सराउम विचार और सोवियत संघ पर सैन्य आक्रमण साथ जुड़े थे/Nazi Lebensraum ideology and military attack on the Soviet Union were linked
Explanation
Simple Explanation
बारबारोसा केवल सैन्य अभियान नहीं बल्कि नाजी विस्तारवादी विचार से भी जुड़ा था। परीक्षा में विचारधारा और अभियान को साथ समझें। / Barbarossa was not only a military campaign but also tied to Nazi expansionist ideology. For exams understand ideology and campaign together.
A. सोवियत गहराई संसाधन और लंबी आपूर्ति चुनौतियां बनी रहीं/Soviet depth resources and long supply challenges remained
Explanation
Simple Explanation
प्रारंभिक जीतें विशाल सोवियत क्षेत्र और संसाधनों को पूरी तरह समाप्त नहीं कर सकीं। परीक्षा में शुरुआती सफलता और अंतिम परिणाम अलग करें। / Initial victories could not fully destroy Soviet space and resources. For exams separate early success from final outcome.
A. सोवियत क्षेत्र की विशाल दूरी और आपूर्ति रेखाओं का फैलना/Vast Soviet distances and stretched supply lines
Explanation
Simple Explanation
लंबी दूरी ने ईंधन भोजन और हथियार पहुंचाना कठिन बना दिया। परीक्षा में भूगोल को सैन्य रणनीति से जोड़ें। / Long distances made fuel food and weapons supply difficult. For exams connect geography with military strategy.
A. दोनों उत्तरी अफ्रीका में धुरी शक्तियों पर दबाव बढ़ाते हैं/Both increased pressure on Axis powers in North Africa
Explanation
Simple Explanation
इन घटनाओं ने उत्तरी अफ्रीका में मित्र राष्ट्रों की स्थिति मजबूत की। परीक्षा में क्षेत्रीय अभियानों को क्रम से पढ़ें। / These events strengthened the Allied position in North Africa. For exams study regional campaigns in sequence.
A. उसने जर्मनी को लंबे पूर्वी मोर्चे और संसाधन संकट में फंसा दिया/It trapped Germany in a long Eastern Front and resource crisis
Explanation
Simple Explanation
सोवियत संघ पर हमला जर्मनी के लिए लंबा और थकाऊ युद्ध बना। परीक्षा में दो मोर्चों के संकट को समझें। / The attack on the Soviet Union became a long exhausting war for Germany. For exams understand the crisis of two fronts.
A. लंबी आपूर्ति रेखाएं और कठोर सर्दी ने जर्मनी को कमजोर किया/Long supply lines and harsh winter weakened Germany
Explanation
Simple Explanation
सोवियत क्षेत्र की विशालता और मौसम ने जर्मन आक्रमण को कठिन बनाया। परीक्षा में भूगोल को युद्ध रणनीति से जोड़ें। / The vast Soviet territory and weather made the German attack difficult. For exams connect geography with war strategy.
B. इससे जर्मनी पश्चिम में ब्रिटेन और पूर्व में सोवियत संघ से उलझ गया/Germany became tied against Britain in the west and the Soviet Union in the east
Explanation
Simple Explanation
सोवियत संघ पर हमला लंबा पूर्वी मोर्चा बन गया। परीक्षा में दो मोर्चों का युद्ध जर्मनी की कमजोरी समझें। / The attack on the Soviet Union created a long Eastern Front. For exams understand two-front war as a German weakness.
ऑपरेशन मार्केट गार्डन नीदरलैंड में मित्र राष्ट्रों की सैन्य योजना थी। परीक्षा में इसे द्वितीय विश्व युद्ध के पश्चिमी मोर्चे से जोड़ें। / Operation Market Garden was an Allied military plan in the Netherlands. For exams connect it with the Western Front of the Second World War.
A. नॉरमैंडी में मित्र राष्ट्रों का उतरना/Allied landing in Normandy
Explanation
Simple Explanation
डी डे 6 जून 1944 को नॉरमैंडी उतराई से जुड़ा था। परीक्षा में इसे यूरोप की मुक्ति से जोड़ें। / D-Day on 6 June 1944 was linked with the Normandy landings. For exams connect it with the liberation of Europe.
A. भारत संघ की क्षेत्रीय एकता सुनिश्चित करना/Ensuring the territorial unity of the Indian Union
Explanation
Simple Explanation
हैदराबाद का विलय रियासतों के एकीकरण की निर्णायक घटना थी। परीक्षा में इसे सरदार पटेल की एकीकरण नीति से जोड़ें। / Hyderabad's integration was a decisive event in princely state integration. Exam tip is to link it with Sardar Patel's integration policy.
\(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), इसलिए यह परिमेय संख्या है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं। / \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), so it is rational. Repeating decimals are always rational.
विकल्प (A) में (D=(-17)2-4(1)(72)=1) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) परिमेय असमान मूल देता है। / In option (A), (D=(-17)2-4(1)(72)=1). A positive perfect-square (D) gives rational distinct roots.
पहले समीकरण में (D=(-9)2-4(1)(20)=1) है। इसलिए मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न हैं। / In the first equation (D=(-9)2-4(1)(20)=1). Hence the roots are real, rational and distinct.
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें। / If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
धनात्मक पूर्णांक का परिमेय वर्गमूल तभी पूर्णांक होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The rational square root of a positive integer is an integer only when it is a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
(\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) है जो परिमेय है। परीक्षा में गुणन और जोड़ के नियम अलग रखें। / (\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) which is rational. In exams keep multiplication and addition rules separate.
