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A. आलेख केवल x-अक्ष है/The graph is the x-axis itself
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद का अर्थ है कि सभी x के लिए \(p(x)=0\)। अतः आलेख उन सभी बिंदुओं का सेट है जिनका स्थानाङ्क \((x,0)\) है — यही x-अक्ष है। विकल्प C गलत है क्योंकि "x-अक्ष के ऊपर" होने का अर्थ \(y>0\) होगा, जो यहाँ सत्य नहीं है; विकल्प B और D भी गलत हैं क्योंकि y-अक्ष एक ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=0\) है और विकल्प D का तर्क सीधे विरुद्ध है (आलेख हर बिंदु पर x-अक्ष को छूता है)। परीक्षण सुझाव: शून्य बहुपद हमेशा स्थायी 0 देता है, इसका ग्राफ हमेशा x-अक्ष ही होगा। / The zero polynomial means \(p(x)=0\) for every real x, so its graph is the set of points \((x,0)\) — i.e. the x-axis. Option C is wrong because "above the x-axis" implies \(y>0\), which is not true here; option B is incorrect because the y-axis is the vertical line \(x=0\); option D contradicts the definition since the graph actually coincides with the x-axis. Exam tip: remember zero polynomial = constant 0, graph = x-axis.
C. यह \\(x\\)-अक्ष के समांतर है और इसे नहीं काटता/It is parallel to the x-axis and does not intersect it
Explanation
Simple Explanation
यदि \\(p(x)=5\\), तो बहुपद एक स्थिर (constant) है और उसका आलेख क्षैतिज रेखा \\(y=5\\) होता है। इस रेखा का y-मान कभी \\0\\ नहीं होगा, इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है और यह \\(x\\)-अक्ष को नहीं काटती। विकल्प A और B गलत हैं क्योंकि वे कम से कम एक ऐसा x मान मान लेते हैं जिसके लिए \\(p(x)=0\\ होना चाहिए, जो असंभव है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि उसका अर्थ होता कि हर x पर \\(p(x)=0\\, जो \\(p(x)=5\\) से विरोधाभास है। परीक्षा-टिप: कोई भी गैर-शून्य स्थिर बहुपद (degree 0) का वास्तविक शून्यक नहीं होता। / For \\(p(x)=5\\) the polynomial is a nonzero constant, so its graph is the horizontal line \\(y=5\\). Since y never equals \\0\\, the graph does not meet the x-axis and there are no real zeros. Options A and B would require at least one x with \\(p(x)=0\\, which is impossible here; option D wrongly asserts \\(p(x)=0\\ for every x. Exam tip: a nonzero constant polynomial has degree \\0\\ and no real roots (zeros).
यदि किसी बहुपद के ग्राफ़ पर निम्नलिखित मान दिए गए हों: \(p(-4)=0\), \(p(0)=3\), \(p(2)=0\), \(p(5)=0\)। इनमें से कितने दिए गए \(x\)-मान बहुपद के शून्यक (zeros) हैं?
शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) और \(p(5)=0\) हैं, इसलिए तीन शून्यक हैं। \(p(0)=3\) शून्य नहीं है। परीक्षात्मक टिप: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ वक्र x-अक्ष (यानी \(y=0\)) को काटता है। / A zero is an \(x\) such that \(p(x)=0\). Here \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) and \(p(5)=0\), so there are three zeros. \(p(0)=3\) is not a zero. Exam tip: on the graph, zeros are the x-values where the curve meets the x-axis (y=0).
घात (4) वाला बहुपद अधिकतम (4) वास्तविक शून्यक रख सकता है। टिप: वास्तविक शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं होती। / A degree (4) polynomial can have at most (4) real zeroes. Tip: the number of real zeroes cannot exceed the degree.
A. आलेख (-6,0) पर x-अक्ष को काटे/The graph cuts the x-axis at (-6, 0)
Explanation
Simple Explanation
किसी संख्या a का बहुपद में शून्यक होने का अर्थ है p(a)=0। यदि (-6) शून्यक है तो ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (-6,0) पर काटेगा क्योंकि उस x के लिए y का मान 0 होगा। विकल्प B का अर्थ है p(0) = -6 (x = 0 पर y = -6) — शून्य नहीं। विकल्प C में चिन्ह गलत है (+6), और विकल्प D में y = 6 है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक की पहचान के लिए हमेशा देखिए कि किस x पर y = 0 होता है। / A number a is a zero (root) of a polynomial if p(a)=0. If (-6) is a zero, the graph meets the x-axis at (-6, 0) because the y-value there is 0. Option B means p(0) = -6 (y ≠ 0 at x=0). Option C has the wrong sign (+6 instead of -6). Option D gives y = 6 at x = -6, so not a root. Exam tip: zeros correspond specifically to x-intercepts (points where y = 0).
शून्य बहुपद की परिभाषा ऐसी बहुपद के लिए है जिसका मान हर \(x\) पर \(0\) होता है। इसलिए हर वास्तविक संख्या उस बहुपद का शून्यक (root) होती है। गलत विकल्पों में से विशेषकर "कोई शून्यक नहीं" गलत है क्योंकि वह स्थिति सीधा विरोध करती है — शून्य बहुपद की मान हर जगह शून्य है। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद को 'identically zero' कहा जाता है और इसकी हर संख्या शून्यक होती है; इसे दूसरे बहुपदों के शून्य (isolated roots) से अलग समझें। / By definition the zero (identically zero) polynomial satisfies \(p(x)=0\) for every \(x\), so every number is a root (zero) of the polynomial. Distractors are wrong: for example "not a root" is false because the polynomial equals \(0\) at every \(x\). Exam tip: remember the zero polynomial is identically zero and therefore has infinitely many roots (every value of \(x\)); this is a special case when discussing degree and roots.
यदि बहुपद का रूप
\(p(x)=c\) जहाँ \(c\neq0\) हो, तो उसका ग्राफ क्षैतिज रेखा \(y=c\) होगा जो \(x\)-अक्ष को नहीं काटती; इसलिए किसी भी \(x\) पर \(p(x)\neq0\) होगा और शून्यक संख्या शून्य होगी। निकटवर्ती भ्रम: रैखिक बहुपद (degree 1) सामान्यतः एक शून्यक देता है क्योंकि उसकी रेखा \(x\)-अक्ष को एक बिंदु पर काटती, पर यहाँ रेखा क्षैतिज और \(c\neq0\) है। विशेष मामला: यदि \(c=0\) (यानी \(p(x)=0\), शून्य बहुपद) तो हर \(x\) पर शून्य होता है — अनंत शून्यक। परीक्षा टिप: पहले बहुपद की डिग्री और स्थिर पद \(c\) की जाँच करें। / If \(p(x)=c\) with \(c\neq0\), the graph is the horizontal line \(y=c\) which does not meet the x-axis, so \(p(x)\) is never zero and there are zero roots. Common confusion: a linear (degree 1) polynomial meets the x-axis once, but a nonzero constant is degree 0 and never crosses. Special case: if \(c=0\) (the zero polynomial \(p(x)=0\)), every x is a root (infinitely many roots). Exam tip: always check the degree and the constant term first.
किसी भी संख्या a के लिए वह शून्यक तभी होगी जब \(p(a)=0\)। यहाँ हम a=0 पर देखते हैं: दिया है \(p(0)=4\), जो कि शून्य नहीं है; इसलिए 0 शून्यक नहीं है। विकल्प C सामान्य शर्त सही बताता है (यदि स्थायी पद = \(p(0)\) शून्य हो तो 0 शून्यक होगा), पर दिया हुआ मान इसका उल्टा दर्शाता है। विकल्प D गलत है क्योंकि किसी भी डिग्री के बहुपद के लिए शून्यक की परिभाषा एक समान रहती है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी प्रत्याशित शून्यक a के लिए सीधे बहुपद में a रखकर \(p(a)\) की गणना करें — यदि परिणाम 0 आया तभी वह शून्यक है। / A number a is a root of a polynomial exactly when \(p(a)=0\). Here for a=0 we have \(p(0)=4\), which is not zero, so 0 is not a root. Option C describes the correct general condition (the constant term equals \(p(0)\) must be zero), but given \(p(0)=4\) that condition is not met. Option D is incorrect because root-criterion does not depend on the polynomial being linear. Exam tip: To test if x=a is a root, substitute a into \(p(x)\) and check whether the value equals 0.
\(p(6)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=6\) होगा तो फलन का मान \(y=p(6)\) शून्य होगा। इसलिए ग्राफ x-अक्ष (जहाँ \(y=0\)) को उस बिंदु पर काटेगा जहाँ \(x=6\), यानी \((6,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \((-6,0)\) इसलिए गलत है क्योंकि उसमें संकेत का परिवर्तन दिखता है — वहाँ तक पहुँचने के लिए हमें \(p(-6)=0\) दिया होना चाहिए, जो नहीं दिया है। परीक्षा सुझाव: किसी भी raíz के लिए यदि \(p(a)=0\) दिया हो तो तुरंत x-अक्ष पर काटाव \((a,0)\) लिखें। / \(p(6)=0\) means the function value is zero at \(x=6\), so the graph meets the x-axis (where \(y=0\)) at the point \((6,0)\). The closest distractor \((-6,0)\) is a sign error — nothing in the given information implies \(p(-6)=0\). Exam tip: whenever you are given \(p(a)=0\), the corresponding x-intercept is always \((a,0)\).
x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का निर्देशांक (x,y) में y = 0 होता है। यदि ग्राफ x-अक्ष को (0,0) पर काटता है तो उस बिंदु का x‑निर्देशांक 0 है, अर्थात् बहुपद का मान P(0)=0 होगा और 0 एक शून्यक है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे x = 1 या x = −1 को दर्शाते हैं — ऐसा कोई संकेत नहीं दिया गया। विकल्प D गलत है क्योंकि बिंदु (0,0) से x‑निर्देशांक स्पष्ट रूप से ज्ञात है। परीक्षा टिप: गुणनखण्ड या ग्राफ से शून्यक निकालते समय हमेशा क्रम (x,y) को सही ढंग से पढ़ें; x‑अक्ष पर y = 0 होता है। / A point on the x-axis has coordinates (x,y) with y = 0. If the graph meets the x-axis at (0,0), the x‑coordinate is 0, so the polynomial satisfies P(0)=0 and 0 is a root. Options B and C would mean x = 1 or x = −1 respectively, which are not indicated by the given point. Option D is incorrect because the x‑value is directly given by (0,0). Exam tip: remember coordinates are (x,y) and any x‑intercept has y = 0, so the x‑value at that point is a root of the polynomial.
\(4x^3-7x\) में (x=0) रखने पर (0) मिलता है और यह शून्य बहुपद नहीं है। (x=0) के लिए अचर पद (0) होना चाहिए। / Substituting (x=0) in \(4x^3-7x\) gives (0), and it is not the zero polynomial. For (x=0), the constant term must be (0).
शून्यक (2) और (5) होने पर बहुपद ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10) है। मोनिक बहुपद में \(x^2\) का गुणांक (1) होता है। / With zeroes (2) and (5), the polynomial is ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10). A monic polynomial has leading coefficient (1).
योग (10) और गुणनफल (25-2=23) है। इसलिए बहुपद \(x^2-10x+23\) होगा। / The sum is (10) and the product is (25-2=23). Therefore the polynomial is \(x^2-10x+23\).
रेखा (y=5) (x)-अक्ष के समानांतर है और उससे नहीं मिलती। इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / The line (y=5) is parallel to the (x)-axis and does not meet it. So it has no real zero.
A. डिग्री कम से कम (4) होगी/The degree is at least (4)
Explanation
Simple Explanation
चार अलग वास्तविक शून्यक के लिए डिग्री कम से कम चार चाहिए। शून्यकों की संख्या डिग्री से अधिक नहीं होती। / Four distinct real zeroes need degree at least four. The number of zeroes cannot exceed the degree.
A. यह (x)-अक्ष को नहीं काटता/It does not cut the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+4\) हमेशा धनात्मक है इसलिए (y=0) नहीं होता। ग्राफ से शून्यक तभी मानें जब अक्ष से मिलन हो। / \(x^2+4\) is always positive so (y=0) never occurs. Count a zero only when the graph meets the axis.
ऐसी रेखा कभी (x)-अक्ष से नहीं मिलती इसलिए कोई शून्यक नहीं होता। ग्राफ से पहले प्रतिच्छेद देखें। / Such a line never meets the (x)-axis so it has no zero. First check the intercept from the graph.
तीन अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (3) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For three distinct real zeroes, the degree must be at least (3). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
B. हर वास्तविक (x) शून्यक है/Every real (x) is a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद हर (x) पर (0) देता है। टिप: इसे सामान्य स्थिर बहुपद से अलग समझें। / The zero polynomial gives (0) for every (x). Tip: treat it differently from a usual constant polynomial.
यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल बिंदु (m,0) पर स्पर्श करता है और किसी अन्य स्थान पर अक्ष को नहीं काटता, तो उस बहुपद के अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या क्या होगी?
एक ही स्पर्श बिंदु होने का अर्थ है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य है और वह मूल बार-बार (even multiplicity) आता है, यानी बहुपद में
e.g.
ein factor के रूप में
\((x-m)^2\) मौजूद हो सकता है पर बाकी फैक्टरों का मान m पर शून्य नहीं होगा। इसलिए अलग वास्तविक शून्य केवल x = m ही है, यानी 1।
सूत्रीकरण: स्पर्श = मूल का सम-गुणांक (even multiplicity); काटना = विषम-गुणांक।
गलत विकल्प क्यों नहीं: "दो" तब होता जब x-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटे; "शून्य" गलत क्योंकि स्पर्श का मतलब p(m)=0 है; "अनंत" केवल तब संभव है जब बहुपद शून्य बहुपद हो (
\(p(x)\equiv 0\)
), जो यहाँ दिए हालात से मेल नहीं खाता क्योंकि तब ग्राफ हर बिंदु पर x-अक्ष के साथ मेल खाता।
परीक्षा-सुझाव: किसी स्पर्श बिंदु को देखकर तुरंत समझें कि वह मूल कम से कम द्विगुणित (multiplicity ≥ 2 और सम) होगा — इसलिए अलग शून्य की गिनती बदलती नहीं। / A single touching point means the polynomial is zero at x = m and that root has even multiplicity (it is a repeated root), e.g. a factor
\((x-m)^2\) in p(x), while no other factor vanishes at x = m. Hence there is only one distinct real zero, x = m.
Why other options are wrong: "Two" would require the graph to cross or meet the axis at two different x-values; "Zero" is wrong because touching implies p(m)=0; "Infinitely many" happens only if the polynomial is the zero polynomial (\(p(x)\equiv 0\)), which would make the graph coincide with the x-axis everywhere, not touch at a single point.
Exam tip: Touching = even multiplicity (root repeats); crossing = odd multiplicity. Use multiplicity to count distinct zeros, not total multiplicity.
पाँच अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (5) होनी चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For five distinct real zeroes the degree must be at least (5). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
B. बीच में कम से कम एक x-अक्ष पर प्रतिच्छेद होगा/There is at least one x-axis intersection between them
Explanation
Simple Explanation
सही कारण: \(p(-1)>0\) से \(x=-1\) पर बहुपद का मान धन है और \(p(4)<0\) से \(x=4\) पर मान ऋण है। किसी निरंतर फलन के लिए मान का चिन्ह बदलना मध्य मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार उस बीच कम से कम एक बिंदु \(c\in(-1,4)\) पर \(p(c)=0\) होना दर्शाता है। क्योंकि बहुपद का ग्राफ निरंतर होता है, इसलिए आवश्यकतः कम से कम एक x-अक्ष पर प्रतिच्छेद होगा। निकटतम विचलन क्यों गलत है: A गलत है क्योंकि दिए हुए मान शून्य नहीं हैं; C गलत है क्योंकि संकेत परिवर्तन के बावजूद कोई प्रतिच्छेद न होना असंभव है; D गलत है क्योंकि केवल y-अक्ष का कटान बताना प्रासंगिक नहीं है — यह x‑अक्ष पर शून्य के अस्तित्व को बदलता नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के प्रश्नों में संकेत बदलने पर तुरंत मध्य मान प्रमेय याद रखें और संंतिलित अंतराल चुनें। / Why correct: \(p(-1)>0\) means the polynomial's value at \(x=-1\) is positive and \(p(4)<0\) means it is negative at \(x=4\). For a continuous function, a sign change on an interval implies by the Intermediate Value Theorem that there exists at least one \(c\in(-1,4)\) with \(p(c)=0\). Thus the graph must cross the x-axis at least once between -1 and 4. Why other options fail: A is false because the given values are not zero; C is false because a sign change guarantees a root in the interval; D is irrelevant — cutting the y-axis does not prevent an x-axis intersection in the interval. Exam tip: For polynomials (continuous), a sign change over an interval is a quick indicator of at least one real root there (use the Intermediate Value Theorem).
किसी बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जहाँ उसका आलेख x-अक्ष से मिलता है। \( (2,0) \) और \( (5,0) \) पर मिलने का अर्थ है दो अलग x-मूल्य: 2 और 5। ध्यान दें कि "स्पर्श" होने पर उस स्थान पर बहुपद की शून्यक की गुणात्मक बहुलकता सम (even) हो सकती है और "काटने" पर बहुलकता विषम (odd) हो सकती है — पर यह गुणात्मक बहुलकता अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या बदलती नहीं है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक = 2। टिप: परीक्षा में केवल अलग x-मूल्यों को गिनें; गुणात्मक बहुलकता केवल आलेख का व्यवहार बताती है। / Distinct real zeros are the distinct x-values where the graph meets the x-axis. Here the graph meets at x=2 (touching) and x=5 (crossing), so there are two distinct zeros: 2 and 5. "Touching" usually indicates an even multiplicity and "crossing" an odd multiplicity, but multiplicity affects behavior, not the count of distinct zeros. Thus the answer is two. Exam tip: count distinct x-values where the graph meets the axis; multiplicity matters only for the shape at each root.
किसी बहुपद के आलेख में किस तरह से किसी बिंदु का अनुसंधान यह बताता है कि वह बिंदु शून्य (zero) है या नहीं? विशेष रूप से, (x)-अक्ष पर मिलना और (y)-अक्ष पर मिलना यह भिन्न क्यों होता है?
A. "(x)-अक्ष पर graph का y = 0 होता है इसलिए वहाँ \(p(x)=0\) मिलता है/On the (x)-axis y = 0 so there \(p(x)=0\) (zeros occur)"
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद के शून्यक (zeros) वे x-मूल्य हैं जिन पर बहुपद की मान y = 0 होती है। इसलिए जब आलेख \(x\)-अक्ष को काटता है, उस बिंदु पर \(y=0\) और इसलिए \(p(x)=0\) होता है — यही शून्यक मिलना है। दूसरी ओर \(y\)-अक्ष पर मिलने का अर्थ है कि \(x=0\) और उस बिंदु की ऊर्ध्वाधर मान \(y=p(0)\) होती है, जो ज़रूरी नहीं कि शून्य हो। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर हमेशा \(p(x)=0\) नहीं होता; केवल तब होगा जब \(p(0)=0\)। विकल्प C और D दोनों सामान्यीकृत गलत दावे हैं। परीक्षा टिप: शून्य ढूँढने के लिए \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें; y-इंटरसेप्ट जानने के लिए \(x=0\) पर \(p(0)\) मूल्य निकालें। / Zeros of a polynomial are x-values where the polynomial's value is y = 0. Thus an intersection with the (x)-axis means y = 0 at that x, so \(p(x)=0\) — that is a root. An intersection with the (y)-axis means x = 0 and the point is \(y=p(0)\), which need not be zero. Hence A is correct. Option B is the common mistake: the y-axis intersection is not automatically a root unless \(p(0)=0\). Options C and D are overgeneralizations and false. Exam tip: set \(y=0\) to find zeros (solve \(p(x)=0\)); set \(x=0\) to find the y-intercept (compute \(p(0)\)).
यदि \(x=7\) बहुपद \(p(x)\) का शून्यक है तो \(p(7)=0\) होगा। ग्राफ पर जहाँ क्रिया का मान (y) शून्य होता है वहीं x-अक्ष पर बिंदु आता है, अतः बिंदु \((7,0)\) अवश्य होगा। विकल्प (0,7) में x और y उलटे हैं, (7,7) में y शून्य नहीं है, और (-7,0) तब होगा जब \(x=-7\) शून्यक हो। टिप: किसी शून्यक \(r\) के लिए ग्राफ पर बिंदु \((r,0)\) ढूँढें। / If \(x=7\) is a zero of the polynomial \(p(x)\), then \(p(7)=0\). Points where the polynomial value is zero lie on the x-axis, so the graph must contain (7,0). (0,7) swaps coordinates, (7,7) has a nonzero y-value, and (-7,0) would correspond to \(x=-7\) being a root. Exam tip: for any root r, the graph meets the x-axis at (r,0).
x-अक्ष पर कटाव के लिए y-अर्थात् \(p(x)=0\) होना चाहिए। \(p(x)=(x-2)(x+5)\) में प्रत्येक कारक को शून्य रखें: \(x-2=0\) से \(x=2\) और \(x+5=0\) से \(x=-5\)। अतः x-अक्ष पर कटाव के बिंदु (2,0) और (-5,0) हैं। विकल्प B में संकेतों को उल्टा लिया गया है (सामान्य गलती), विकल्प C में x- और y-अक्ष की जगह बदल दी गयी है — वास्तव में \(p(0)= -10\) इसलिए y-अक्ष पर कटाव (0,-10) होगा, और विकल्प D अर्थहीन जोड़ी है। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटाव ज्ञात करने के लिए \(p(x)=0\) में प्रत्येक कारक को अलग से शून्य मानें; y-अक्ष के लिए x=0 लगाएँ। / x-axis intersections occur where \(p(x)=0\). For \(p(x)=(x-2)(x+5)\), set each factor to zero: \(x-2=0\) gives \(x=2\); \(x+5=0\) gives \(x=-5\). Hence the x-intercepts are (2,0) and (-5,0). Option B shows the signs reversed (common sign-error). Option C confuses x- and y-intercepts — in fact \(p(0)=-10\), so the y-intercept is (0,-10). Option D is an incorrect pair of points. Exam tip: To find x-intercepts set \(p(x)=0\); to find y-intercept put \(x=0\).
A. यह (x)-अक्ष के समांतर है और उसे नहीं काटता/It is parallel to the (x)-axis and does not cut it
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=5) कभी (0) नहीं होता इसलिए शून्यक नहीं है। टिप: अशून्य स्थिर बहुपद का शून्यक नहीं होता। / The value (p(x)=5) is never (0) so it has no zero. Tip: a non-zero constant polynomial has no zero.
y-अक्ष पर कटान बिंदु \((0,5)\) का मतलब है कि बहुपद का मान \(x=0\) पर \(p(0)=5\) है। शून्यक होने के लिए आवश्यक है कि \(p(0)=0\) हो। इसलिए \(x=0\) शून्यक नहीं है। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी भी बिंदु का y-अक्ष पर होना उसे शून्यक नहीं बनाता; शून्यक वह x-मूल्य है जहाँ y=0 होता है। विकल्प C सही की व्याख्या देता है पर A अधिक सटीक है क्योंकि यहां दिया गया विशिष्ट मान \(p(0)=5\) है। विकल्प D गलत है क्योंकि y-अक्ष कटान हमें सीधे \(p(0)\) देता है, अत: अतिरिक्त अभिव्यक्ति की आवश्यकता नहीं है। टिप: किसी भी ग्राफ़ पर y-अक्ष कटान \\((0,y_0)\\) देखें — वह तुरंत बताता है \(p(0)=y_0\)। / The y-intercept \((0,5)\) means the polynomial evaluates to \(p(0)=5\). A zero (root) requires \(p(0)=0\), so \(x=0\) is not a root. Option B is incorrect because being on the y-axis does not imply the function value is zero. Option C states the correct idea that zeros occur where the graph meets the x-axis (y=0), but A is the best answer here since the specific value \(p(0)=5\) is given. Option D is incorrect because the y-intercept already gives the required value \(p(0)\). Exam tip: the y-intercept \((0,y_0)\) always tells you \(p(0)=y_0\); roots are where \(y_0=0\).
बहुपद का शून्यक वह x मान है जिसके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(x)=x\) दिया है, अतः \(p(0)=0\)। इसलिए \(x=0\) इस बहुपद का शून्यक है। विकल्प B (1) गलत है क्योंकि \(p(1)=1\), जो शून्य नहीं है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा शून्यक खोजने के लिये \(p(x)=0\) लगाकर हल करें; ग्राफ़ के लिये शून्यक वह x-निर्देश है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। / A root (zero) is a value a for which \(p(a)=0\). With \(p(x)=x\), substituting \(x=0\) gives \(p(0)=0\), so \(x=0\) is the root. Option B (1) is incorrect because \(p(1)=1\), not zero. Exam tip: to find zeros set \(p(x)=0\) and solve; graphically zeros are x-values where the curve meets the x-axis (here the origin).
बिंदु (-8, 0) का अर्थ है कि जब x = -8 होगा तो y का मान 0 है। बहुपद का मान y ही होता है, इसलिए बहुपद x = -8 पर शून्य होगा (अर्थात् f(-8)=0)। विकल्प B (x = 8) सिर्फ साइन के विपरीत है और गलत है; विकल्प C (x = 0) केवल तब सही होता यदि बिंदु (0,0) दिया होता; विकल्प D कोई संबंधित कारण नहीं देता। परीक्षा टिप: किसी भी x-अक्ष पर स्थित बिंदु का x-कोऑर्डिनेट तुरंत उस बिंदु के लिए बहुपद का शून्य बताता है। / The point (-8, 0) means y = 0 when x = -8. Since the polynomial's value is y, the polynomial is zero at x = -8 (i.e. f(-8)=0). Option B (x = 8) has the wrong sign; option C (x = 0) would be correct only for the point (0,0); option D is unrelated. Exam tip: an x-intercept (y=0) gives the root directly as the x-coordinate shown.
A. क्योंकि (y) हमेशा (-3) रहता है/Because (y) always remains (-3)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=-3) का (y)-मान कभी (0) नहीं होता। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता और कोई शून्यक नहीं है। / For (p(x)=-3), the (y)-value is never (0). So the graph does not cut the (x)-axis and has no zero.
x-अक्ष पर कटान बिंदुओं के शून्यक उनके x-निर्देशांक होते हैं। दिए हुए बिंदु (-7,0), (0,0) और (4,0) के x-निर्देशांक क्रमशः -7, 0 और 4 हैं, इसलिए शून्यक (-7), (0) और (4) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह संकेत उल्टा कर देता है (–7 को 7 और 4 को –4 कर दिया गया है), जबकि संकेत महत्वपूर्ण होता है। विकल्प D में 0 को दो बार दिखाया गया है — यह तब सही हो सकता है जब शून्यक की बहुगुणकता 2 हो, पर यहाँ दिए बिंदु अलग-अलग हैं इसलिए ऐसा नहीं है। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर किसी भी इंटरसेप्ट का x-कोऑर्डिनेट सीधे शून्यक देता है; बिंदु के आदेश (x,0) में x ही शून्यक है। / The zeroes of a polynomial are the x-coordinates of its x-axis intercepts. From the points (-7,0), (0,0) and (4,0) the x-values are -7, 0 and 4, so the zeroes are (-7), (0) and (4). Option B is incorrect because it reverses signs (turning -7 into 7 and 4 into -4) — sign matters for zeros. Option D shows 0 twice, which would indicate multiplicity 2 at x=0, but the given intercepts are distinct so that is not the case. Exam tip: read the x-coordinate of an intercept (x,0) to get the corresponding zero directly; watch the sign carefully.
एक बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिस पर \(p(x)=0\) होता है. यहाँ दिया है कि \(p(-3)=0\), अतः \(-3\) पर बहुपद का मान शून्य है, यानी \(-3\) शून्यक (root) है. निकटतम भ्रामक विकल्प \(3\) गलत है क्योंकि केवल \(-3\) के लिए ही मूल्य शून्य होने का दावा किया गया है; \(3\) के लिए ऐसा होना आवश्यक नहीं है। परिक्षा-सुझाव: किसी दिए हुए मान के लिए \(p(मान)\) निकालकर चेक करें — यदि परिणाम शून्य हो तो वही शून्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x-value for which \(p(x)=0\). Since \(p(-3)=0\) is given, \(-3\) is a root of the polynomial. The closest distractor, 3, is incorrect because the condition is satisfied only at \(-3\) as stated; there is no information that \(p(3)=0\). Exam tip: To identify a root, substitute the candidate value into \(p(x)\) — if the result is zero, it is a root.
x-अक्ष के साथ जो बिंदु साझा किया गया है वह (6,0) है; यहाँ y = 0 और x का मान 6 है। बहुपद के वास्तविक शून्यक वे x‑मान होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य होता है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक 6 है। सबसे पास का भ्रामक विकल्प −6 है — यह गलत है क्योंकि दिया गया बिंदु x = −6 नहीं बल्कि x = 6 है। परीक्षा टिप: किसी भी बिंदु (a,0) को देखकर तुरंत लिखें कि a बहुपद का एक शून्यक है। / The given intersection point is (6,0); here y = 0 and the x‑coordinate is 6. Zeros of a polynomial are the x‑values where the graph meets the x‑axis (y = 0). Hence the distinct real zero is 6. The closest distractor −6 is incorrect because the x‑coordinate is positive 6, not −6; 0 is incorrect because that would mean the intersection is (0,0), which is not given; “कोई नहीं” (none) is wrong since an intersection at (6,0) is explicitly given. Exam tip: From any x‑intercept (a,0) immediately read off the root a — don’t confuse sign.
A. बहुपद का मान \(P(x)\)/Value of the polynomial \(P(x)\)
Explanation
Simple Explanation
यदि किसी बहुपद के लिए कोई मान \(x=a\) शून्यक है तो बहुपद का मान वहाँ पर \(P(a)=0\) होगा। इसलिए शून्यक पहचानने के लिए बहुपद का मान शून्य होना आवश्यक है। स्थिर पद (option D) कभी-कभी शून्य हो सकता है पर यह आवश्यक शर्त नहीं है — उदाहरण के लिए \(P(x)=x-1\) का स्थिर पद \(-1\) है पर शून्यक \(x=1\) है। चर के गुणांक या घातांक का शून्य होना शून्यक की परिभाषा नहीं बताता। परीक्षा-सुझाव: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ \(y=0\) अर्थात x-अक्ष से मिलान होता है; सीधे x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु खोजें। / For a number \(x=a\) to be a root of a polynomial we must have \(P(a)=0\). Thus the value of the polynomial at that x must be zero, so option A is correct. The constant term (option D) may be zero in some polynomials but it is not a necessary condition (e.g. \(P(x)=x-1\) has constant term \(-1\) yet root at \(x=1\)). Coefficients or exponents being zero do not by themselves indicate a root. Exam tip: on the graph, roots are the x-intercepts where \(y=0\); read off x-coordinates of those intercepts.
किसी बहुपद का शून्यक वह x-मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, यानी जहाँ ग्राफ x-अक्ष (y=0) को काटता है। बिंदु \((a,0)\) में x-निर्देशांक \(a\) है, अतः शून्यक \(a\) होगा। विकल्प \(0\) गलत है क्योंकि वह y-निर्देशांक है; \(-a\) और \(a^2\) भी उस बिंदु के x-निर्देशांक नहीं हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु में हमेशा y=0 होता है — इसलिए शून्यक सीधे x-कोऑर्डिनेट होता है। / The zero of a polynomial is the x-value where the polynomial equals zero, i.e., where the graph meets the x-axis (y=0). At the point \((a,0)\) the x-coordinate is \(a\), so the zero is \(a\). Option \(0\) is incorrect because that is the y-coordinate at the intersection; \(-a\) and \(a^2\) are not the x-coordinate of the given point. Exam tip: when a graph intersects the x-axis, read off the x-coordinate — that is the zero (root).
किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष पर तभी कटेगा जब उस बिंदु पर बहुपद का मान (y) शून्य हो। x=0 पर कटने का अर्थ है कि x में 0 डालने पर p(0)=0 होना चाहिए। विकल्प B में p(0)=5 है — y शून्य नहीं है इसलिए ग्राफ x-अक्ष पर नहीं कटेगा। विकल्प C में p(1)=0 है, पर वह x=1 पर कटता है, न कि x=0 पर। विकल्प D में p(-1)=1 है, जो न तो शून्य है और न ही x=0 का स्थान है। परीक्षा-सूत्र: किसी दिए x-वस्तु के लिए बहुपद में वह मान डालकर तुरंत जाँच करें कि मान शून्य है या नहीं। / A polynomial intersects the x-axis at a point only if its value (y) at that x is zero. To intersect at x = 0 we must have p(0) = 0. Option B gives p(0)=5 so the value is not zero and the graph does not meet the x-axis at x=0. Option C has a zero at x=1, so the intersection is at x=1, not x=0. Option D yields p(-1)=1, which is not zero. Exam tip: substitute the specified x into the polynomial — if the result is 0, the graph crosses the x-axis at that x-coordinate.
x-अक्ष पर काटने का बिंदु (-4,0) बताता है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान 0 है। इसका मतलब है कि \\(x=-4\\) पर बहुपद शून्य होगा, अर्थात् \\(-4\\) जड़ (root) है। विकल्प B (4) गलत है क्योंकि वह विपरीत संकेत वाला मान है; विकल्प C (0) और D (1) तभी सही होते यदि वे भी x-अक्ष पर कटाव बिंदु होते, जो दिए हुए नहीं हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष के कटाव बिंदु का x-निर्देशांक सीधे जड़ देता है — संदेह होने पर बहुपद में प्रतिस्थापित कर जाँच लें। / An x-intercept of (-4, 0) means the polynomial evaluates to 0 at x = -4, so x = -4 is a root. Option B (4) is incorrect because it has the opposite sign; options C (0) and D (1) would only be correct if those x-values were the intercepts, which they are not. Exam tip: the x-coordinate of an x-intercept gives the root directly; if unsure, substitute the value into the polynomial to verify.
x-अक्ष पर बिंदु का अर्थ है कि \(y=0\)। अत: \(2x-6=0\) से \(2x=6\) और \(x=3\)। इसलिए शून्यक 3 है। विकल्प (-3) उस समय होगा जब कोई गलत साइन या गलत भागफल लिया जाए; 6 और -6 y का मान हो सकते हैं (y-अवरोध -6 है), पर वे बहुपद का शून्यक नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी रेखा का शून्यक निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखकर x हल करें। / A point on the x-axis has \(y=0\). So set \(2x-6=0\), giving \(2x=6\) and \(x=3\). Hence the zero is 3. The option -3 arises from a sign or arithmetic mistake; 6 or -6 are values of y (the y-intercept is -6), not the x-intercept. Exam tip: to find the zero of a linear polynomial from its line, always put \(y=0\) and solve for x.
शून्यक (x)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (2) और (7) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph cuts the (x)-axis. So the zeroes are (2) and (7).
किसी मान को शून्यक तभी कहते हैं जब उस पर बहुपद का मान (0) हो। इसलिए (x=2) के लिए (p(2)=0) होना चाहिए। / A value is called a zero only when the polynomial value at that point is (0). So for (x=2), (p(2)=0) is required.
(x)-अक्ष से प्रत्येक अलग कटाव एक वास्तविक शून्यक देता है। दो कटाव होने पर दो वास्तविक शून्यक होंगे। / Each distinct intersection with the (x)-axis gives one real zero. With two intersections, there are two real zeroes.
शून्यक वह x का मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, अर्थात् \(p(x)=0\)। यहाँ \(x+2=0\) से \(x=-2\) प्राप्त होता है। इसलिए शून्यक \(-2\) है। निकटवर्ती भ्रमित करने वाला विकल्प 2 है, परंतु \(p(2)=2+2=4\) शून्य नहीं है। परीक्षा‑टिप: हमेशा शून्यक के लिए बहुपद में वह मान रखकर सत्यापित करें। / A zero (root) is the x-value where the polynomial equals zero, i.e. solve \(p(x)=0\). For \(x+2=0\) we get \(x=-2\), so the zero is \(-2\). The common wrong choice 2 is incorrect because \(p(2)=2+2=4\), not zero. Exam tip: substitute the candidate x into the polynomial to verify it yields 0.
(p(x)=5) का ग्राफ (x)-अक्ष के समानांतर रेखा है जो (x)-अक्ष को नहीं काटती। इसलिए इसका कोई शून्यक नहीं है। / The graph of (p(x)=5) is a line parallel to the (x)-axis and does not cut it. Hence it has no zero.
वास्तविक शून्यक तभी दिखते हैं जब ग्राफ (x)-अक्ष से मिले। यदि ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता, तो वास्तविक शून्यक नहीं होंगे। / Real zeroes appear only where the graph meets the (x)-axis. If it does not meet the (x)-axis, it has no real zero.
रैखिक बहुपद का ग्राफ एक रेखा होता है और सामान्यतः (x)-अक्ष को एक बार काटता है। इसलिए उसका एक शून्यक होता है। / The graph of a linear polynomial is a line and usually cuts the (x)-axis once. Therefore it has one zero.
शून्यक हमेशा (x)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (-2) और (4) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph meets the (x)-axis. So the zeroes are (-2) and (4).
शून्यक (-2,0,3) हैं, इसलिए बहुपद (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x) है। (x)-अक्ष काटने के बिंदु शून्यक बताते हैं। / The zeroes are (-2,0,3), so the polynomial is (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x). Intersections with the (x)-axis give zeroes.
((x-a)(x-b)(x-c)) फैलाने पर पहला रूप मिलता है। शून्यकों और गुणनखंडों का संबंध याद रखें। / Expanding ((x-a)(x-b)(x-c)) gives the first form. Remember the link between zeroes and factors.
सबसे बड़ी घात (3) है इसलिए बहुपद घन है। परीक्षा में हमेशा सबसे बड़े शून्येतर घातांक को देखें। / The highest power is (3), so the polynomial is cubic. In exams, always check the highest non-zero exponent.
स्थिर बहुपद में चर नहीं होता। (-7) शून्य से भिन्न स्थिर बहुपद है। / A constant polynomial has no variable. The number (-7) is a non-zero constant polynomial.
द्विघात बहुपद की घात (2) होती है। \(x^2-4x+1\) में सबसे बड़ी घात (2) है। / A quadratic polynomial has degree (2). In \(x^2-4x+1\), the highest power is (2).
दूसरा शून्यक \(5-\sqrt{21}\) होगा। योग (10) और गुणनफल (25-21=4) से बहुपद \(x^2-10x+4\) बनता है। / The other zero will be \(5-\sqrt{21}\). Sum (10) and product (25-21=4) give the polynomial \(x^2-10x+4\).
दूसरा शून्यक \(6+2\sqrt{5}\) होगा। योग (12) और गुणनफल (36-20=16), इसलिए बहुपद \(x^2-12x+16\) है। / The other zero is \(6+2\sqrt{5}\). The sum is (12) and product is (36-20=16), so the polynomial is \(x^2-12x+16\).
A. वास्तविक शून्यकों की संख्या प्रतिच्छेदों की संख्या के बराबर होती है/The number of real zeroes equals the number of intersection points
Explanation
Simple Explanation
ज्यामितीय अर्थ में हर (x)-अक्ष प्रतिच्छेद एक वास्तविक शून्यक देता है। द्विघात में वास्तविक शून्यक (0), (1), या (2) हो सकते हैं। / Geometrically each (x)-axis intersection gives one real zero. A quadratic may have (0), (1), or (2) real zeroes.
वास्तविक शून्यक के लिए ग्राफ का (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। कोई मिलन नहीं तो कोई वास्तविक शून्यक नहीं। / For a real zero the graph must meet the (x)-axis. No meeting means no real zero.
A. \(\frac{1}{2}\) शून्यक है/\(\frac{1}{2}\) is a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्यक भिन्न भी हो सकता है और छूना पर्याप्त है। जरूरी बात (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0) है। / A zero can be a fraction and touching is enough. The key point is (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0).
तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद तीन शून्यक देते हैं। संख्या के प्रकार से नहीं बल्कि प्रतिच्छेदों से गिनें। / Three distinct (x)-intercepts give three zeroes. Count by intersections not by the type of numbers.
A. (k(x-m)(x-n)), जहाँ \(k\neq0\)/(k(x-m)(x-n)), where \(k\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (m) और (n) के लिए गुणनखंड ((x-m)) और ((x-n)) होते हैं। गैर शून्य गुणक शून्यक नहीं बदलता। / For zeroes (m) and (n), the factors are ((x-m)) and ((x-n)). A non-zero multiplier does not change zeroes.
A. इससे शून्यक निश्चित नहीं होता/A zero cannot be determined from this alone
Explanation
Simple Explanation
(y)-प्रतिच्छेद (p(0)) बताता है न कि सभी शून्यक। शून्यक के लिए (x)-अक्ष से प्रतिच्छेद चाहिए। / The (y)-intercept tells (p(0)) not all zeroes. Zeroes need (x)-axis intersections.
A. दोनों वास्तविक शून्यक समान हैं/Both real zeroes are equal
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष (x)-अक्ष पर होने पर परवलय अक्ष को एक ही बिंदु पर छूता है। इसलिए शून्यक समान होते हैं। / When the vertex lies on the (x)-axis, the parabola touches the axis at one point. Hence the zeroes are equal.
शून्यक वही (x)-मान है जिस पर बहुपद का मान शून्य हो। परीक्षा में (p(a)=0) जांचें। / A zero is the (x)-value at which the polynomial value is zero. In exams check (p(a)=0).
शून्यक प्रतिच्छेद बिंदु का (x)-निर्देशांक होता है। (y=0) को शून्यक न लिखें। / A zero is the (x)-coordinate of the intercept point. Do not write (y=0) as the zero.
अलग-अलग शून्यक केवल (-1) और (2) हैं। छूने वाला शून्यक दोहराया हो सकता है पर अलग मान एक ही गिना जाता है। / The distinct zeroes are only (-1) and (2). A touching zero may be repeated but its distinct value is counted once.
A. बराबर शून्यक (4) और (4)/Equal zeroes (4) and (4)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात ग्राफ एक बिंदु पर छूता है तो दोनों शून्यक समान होते हैं। परीक्षा में इसे दोहराया शून्यक मानें। / When a quadratic graph touches at one point its two zeroes are equal. Treat it as a repeated zero in exams.
A. वह बिंदु भी शून्यक है/That point is also a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्यक के लिए (y=0) होना पर्याप्त है। छूना या काटना दोनों शून्यक देते हैं। / For a zero it is enough that (y=0). Touching or crossing both give zeroes.
ग्राफ जहाँ (x)-अक्ष को काटता है वही शून्यक होता है। परीक्षा में काटने वाले बिंदुओं की संख्या गिनें। / A zero occurs where the graph meets the (x)-axis. In exams count the (x)-intercepts.
आठ अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (8) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For eight distinct real zeroes, the degree must be at least (8). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
सात अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (7) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For seven distinct real zeroes, the degree must be at least (7). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
छह अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (6) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For six distinct real zeroes, the degree must be at least (6). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
चार अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (4) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
दिए गए बिंदु बतलाते हैं कि बहुपद के शून्यक \(0\) और \(a\) हैं। शून्यकों का गुणनफल सीधे उन दोनों का गुणन है: \(0\times a=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। नजदीकी विचलन जैसे \(a\) या \(a^2\) इस कारण गलत हैं कि वे शून्य को ध्यान में नहीं रखते — यदि शून्य शून्यकों में से एक है तो समूचे गुणनफल का मान शून्य ही रहेगा। परीक्षा टिप: यदि किसी बहुपद के शून्यकों में \(0\) शामिल है तो शून्यकों का गुणनफल हमेशा 0 ही होगा, गुणन में किसी भी अन्य मान का प्रभाव नहीं। / The x-intercepts show the zeros are 0 and \(a\). The product of the zeros is \(0\times a=0\). Hence 0 is correct. Closest distractors like \(a\) or \(a^2\) are wrong because they ignore the presence of the zero root — any product containing 0 equals 0. Exam tip: whenever 0 is one of the roots of a polynomial, the product of all roots is 0 regardless of the other roots or their multiplicities.
x-अक्ष पर जहाँ ग्राफ मिलता है, वही बहुपद के शून्यक (roots) होते हैं। यहाँ दिए बिंदुओं के अनुसार शून्यक x=4 (स्पर्श) और x=-2 (कटान) हैं। इसलिए उनका साधारण योग 4+(-2)=2 होता है। नोट: 'स्पर्श' का अर्थ उस शून्यक की गुणांकता (multiplicity) सम (even) हो सकती है; यदि आप गुणांकता के साथ योग कर रहे हों और x=4 द्विगुणक हो तो 4+4+(-2)=6 बनता, इसलिए विकल्प 6 उसी त्रुटि से आता है। परीक्षा टिप: बिना गुणांकता बताये सामान्यतः शून्यकों के मानों का सीधा योग लें और स्पर्श बिंदु को भी शून्यक मानें। / Points where the graph meets the x-axis are the polynomial's zeroes. Here the zeroes are x=4 (touches) and x=-2 (crosses), so their simple sum is 4+(-2)=2. Note: a "touch" usually means the root has even multiplicity; if you summed roots with multiplicity and x=4 were a double root you would get 4+4+(-2)=6, which is why option 6 is a plausible but incorrect interpretation. Exam tip: unless multiplicities are specified, add the x-coordinates of the intercepts (count touching points as roots).
((1,0)) दोहराया गया है, इसलिए अलग शून्यक (1) और (4) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / ((1,0)) is repeated, so the distinct zeroes are (1) and (4). Tip: count the same (x)-value once.
अलग शून्यक अलग (x)-अक्ष मिलने वाले बिंदुओं की संख्या से मिलते हैं। टिप: घात से अधिकतम संख्या मिलती है, वास्तविक गिनती ग्राफ से पढ़ें। / Distinct zeroes are counted from distinct meeting points with the (x)-axis. Tip: degree gives the maximum, but the actual count is read from the graph.
शून्यक पहले निर्देशांक (r), (s), (t) हैं। टिप: प्रतीकात्मक बिंदुओं में भी पहला निर्देशांक पढ़ें। / The zeroes are the first coordinates (r), (s), (t). Tip: read the first coordinate even in symbolic points.
A. दोनों वास्तविक शून्यक हैं — \(x=-3\) और \(x=2\)/Both x = -3 and x = 2 are real zeroes
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ x-अक्ष को किसी बिंदु पर काटता है या केवल छूता है तब उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य होता है, अर्थात् \(p(x)=0\)। "काटना" सामान्यतः उस शून्य का विषम गुणांक (multiplicity odd) दर्शाता है और "छूना" सम गुणांक (multiplicity even) दर्शाता है। उदाहरण: \(p(x)=(x+3)(x-2)^2\) में \(x=-3\) पर ग्राफ काटेगा और \(x=2\) पर छुएगा; दोनों ही वास्तविक शून्यक हैं। गलत विकल्पों का कारण: B और C में केवल एक शून्यक मानें गये हैं जबकि दोनों पर \(p(x)=0\) है; D पूरी तरह गलत है। परीक्षण युक्ति: किसी बिंदु पर ग्राफ का संकेत बदलना बताता है कि वह शून्यक काट रहा है (odd multiplicity), और संकेत नहीं बदलना बताता है कि वह छू रहा है (even multiplicity). / If a polynomial's graph crosses or touches the x-axis at a point, the polynomial evaluates to zero there, i.e. \(p(x)=0\). Crossing typically corresponds to an odd multiplicity of the root, touching corresponds to an even multiplicity. For example, \(p(x)=(x+3)(x-2)^2\) crosses at \(x=-3\) and touches at \(x=2\); both are real zeroes. Why others are wrong: B and C claim only one zero exists though both satisfy \(p(x)=0\); D is false. Exam tip: check whether the graph changes sign at the root — sign change means crossing (odd multiplicity), no sign change means touching (even multiplicity).
शून्यक (-4), (2), (9) हैं और गुणनफल (-72) है। टिप: केवल (x)-निर्देशांकों को गुणा करें। / The zeroes are (-4), (2), (9), and their product is (-72). Tip: multiply only the (x)-coordinates.
तीनों अलग (x)-मानों पर ग्राफ (x)-अक्ष से मिलता है। टिप: स्पर्श और कटान दोनों शून्यक देते हैं। / The graph meets the (x)-axis at three distinct (x)-values. Tip: both touching and crossing give zeroes.
A. दो अलग वास्तविक शून्यक हैं/There are two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
यदि ग्राफ (x)-अक्ष को दो अलग स्थानों पर काटता है तो उन दोनों काटनों के x‑मान बहुपद के दो अलग वास्तविक शून्यक दर्शाते हैं। दोहराए हुए शून्यक (multiplicity ≥ 2) पर ग्राफ सामान्यतः अक्ष को स्पर्श करता पर पार नहीं करता — इसलिए विकल्प B गलत है। विकल्प C और D व्यावहारिक रूप से असंगत हैं: कोई वास्तविक शून्यक न होने पर अक्ष पर कोई कटान नहीं होना चाहिए, और "हर बिंदु शून्यक" केवल शून्य बहुपद (identically zero) के लिए सत्य होता है। परीक्षात्मक टिप: अक्ष को काटना = समिक बहुलक का विषम गुणा‑घात (odd multiplicity) की संभावना; स्पर्श करना = समान्यतः सम गुणा‑घात (even multiplicity)। / When the graph crosses the (x)-axis at two different x-values, those x-values are two distinct real roots of the polynomial. A repeated root (multiplicity ≥ 2) typically causes the graph to touch the axis without crossing, so option B is incorrect. Options C and D are inconsistent with two crossings: no real root would give no crossings, and "every point is a zero" only holds for the identically zero polynomial. Exam tip: crossing the axis usually corresponds to a root of odd multiplicity, while touching without crossing corresponds to even multiplicity.
बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जिसके लिए y‑मान शून्य होता है, यानी जब \,f(x)=0\, या सामान्य रूप से \(y=0\)। बिंदु (5, 0) में y=0 है, इसलिए x=5 निश्चित रूप से शून्यक है। बिंदु (2, 3) में y=3 है इसलिए x=2 शून्यक नहीं है; विकल्प d (x=0) तब ही शून्यक होता अगर ग्राफ पर (0,0) मौजूद होता। परीक्षात्मक टिप: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले हमेशा उसकी y‑सहित दोनों निर्देशांकों को जाँचें — शून्यक के लिए y=0 आवश्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x‑value for which the y‑value is zero, i.e. \(f(x)=0\) or \(y=0\). The point (5, 0) has y=0, so x=5 is definitely a zero. The point (2, 3) has y=3, so x=2 is not a zero; x=0 would be a zero only if the graph contained (0, 0). Exam tip: always check the y‑coordinate — an x‑value is a root only when the corresponding y is zero.
बहुपद का शून्यक \(x=a\) होने का अर्थ है कि \(p(a)=0\)। ग्राफ़ पर इसका मतलब है कि बिंदु \((a,0)\) मौजूद है। इसलिए \(x=9\) शून्यक होने के लिए बिंदु \((9,0)\) होना आवश्यक और पर्याप्त है। गलत विकल्पों का संक्षेप में कारण: \((0,9)\) और \((9,9)\) में y ≠ 0 है, इसलिए वे शून्यक नहीं दर्शाते; \((-9,0)\) पर y = 0 जरूर है पर x = -9 है न कि 9। परिक्षा टिप: शून्यक की जाँच के लिए हमेशा y = 0 (x-अक्ष) देखें। / A zero \(x=a\) of a polynomial means \(p(a)=0\). On the graph this appears as the point \((a,0)\). Thus to show \(x=9\) is a zero the graph must contain \((9,0)\). Why other options fail: \((0,9)\) and \((9,9)\) have y ≠ 0 so they are not x-intercepts; \((-9,0)\) has y = 0 but x = -9, not 9. Exam tip: to test a claimed zero, check whether the point with that x-coordinate lies on the x-axis (y=0).
दोहराया शून्यक 5 को अलग (distinct) शून्यकों में केवल एक बार गिना जाता है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक 5 और -1 हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें शून्यक की आवृत्ति (multiplicity) सहित सभी दर्ज हैं, जबकि प्रश्न अलग मान पूछ रहा है। विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि वे दूसरे शून्यक को छोड़ देते हैं। परीक्षा टिप: 'distinct' या 'अलग' का अर्थ है हर अलग मान को एक बार लिखें। / A repeated root is counted only once when listing distinct zeros. So the distinct real zeros are 5 and -1. Option C is incorrect because it lists zeros with multiplicity; B and D are wrong because they omit the other root. Exam tip: when asked for distinct/unique values, list each value once regardless of multiplicity.
B. ग्राफ (0,0) से गुजरता है/The graph passes through (0,0)
Explanation
Simple Explanation
यदि बहुपद को हम p(x) मानें तो 0 वास्तविक शून्यक तभी होगा जब \(p(0)=0\)। ज्यामितीय अर्थ में यह तब होता है जब बहुपद का ग्राफ मूल बिंदु (0,0) से गुज़रता है। विकल्प C (ग्राफ (5,0) से गुजरना) केवल बताता है कि \(p(5)=0\) यानी 5 एक शून्यक है, परन्तु 0 नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद में x=0 रखकर तुरंत \(p(0)\) निकालें — अगर परिणाम 0 आए तो 0 शून्यक है। / If the polynomial is denoted by p(x), 0 is a real zero exactly when \(p(0)=0\). Geometrically this means the graph passes through the origin (0,0). Choice C (graph passing through (5,0)) indicates \(p(5)=0\), so 5 is a root but not 0. Exam tip: substitute x=0 into the polynomial; if \(p(0)=0\) then 0 is a root.
शून्यक (-9), (-1), (4) हैं और सबसे बड़ा (4) है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर वाला मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-9), (-1), (4) and the greatest is (4). Tip: the value to the right on the number line is greater.
बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जिन पर y का मान शून्य होता है। यहाँ दिए गए बिंदुओं में केवल (-4,0) और (2,0) पर y = 0 है, अतः वास्तविक शून्यक -4 और 2 हैं। विकल्प B भ्रमित करने वाला है क्योंकि (0,3) में x=0 है पर y=3 (शून्य नहीं) और (5,-1) में y=-1 है; इसलिए वे शून्यक नहीं हैं। परीक्षात्मक टिप: केवल उन बिंदुओं को चुनें जो x-अक्ष पर पड़े हों यानी जहाँ \\(y=0\\)। / Zeros of a polynomial are the x-values where the function value is zero. Among the given points only (-4,0) and (2,0) have y = 0, so the real zeros are -4 and 2. Option B is a common trap: (0,3) has x=0 but y=3 (not zero), and (5,-1) has y=-1, so neither gives a zero. Exam tip: pick points lying on the x-axis, i.e. where \(y=0\).
B. शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर हैं/The zeroes are equally distant from the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(-5) और (5) (y)-अक्ष से बराबर दूरी पर हैं। टिप: विपरीत शून्यक सममित स्थिति दिखाते हैं। / (-5) and (5) are equally distant from the (y)-axis. Tip: opposite zeroes show symmetric positions.
दोहराया (2) अलग शून्यक में एक बार गिना जाता है। टिप: अलग शून्यक में समान मान पुनः न लिखें। / The repeated (2) is counted once for distinct zeroes. Tip: do not rewrite the same value for distinct zeroes.
दिए गए बिंदुओं के अनुसार बहुपद के शून्यक \(a\) और \(-a\) हैं। इनका योग है \(a+(-a)=0\)। ध्यान रखें कि \(2a\) या \(-2a\) देख कर दूरी या द्विगुणित मान से भ्रम हो सकता है — पर शून्यकों का बीजीय (algebraic) योग है 0। परीक्षा टिप: यदि जड़ें ±a के रूप में सममित हों तो उनका योग हमेशा 0 होता है। / From the intercepts the roots are \(a\) and \(-a\). Their sum is \(a+(-a)=0\). Note that choices like \(2a\) or \(-2a\) confuse algebraic sum with total distance; the algebraic sum of opposite numbers is zero. Exam tip: symmetric roots of the form ±a always cancel and sum to 0.
जब \(p(a)=0\) होता है तो ग्राफ x-अक्ष को बिंदु \((a,0)\) पर छेदता है। यहाँ दिए गए शून्य हैं \(2,5,9\) — ये तीन भिन्न x‑मान हैं, अत: ग्राफ पर तीन भिन्न x-अक्ष छेदन बिंदु होंगे: \((2,0),(5,0),(9,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 'दो' गलत है क्योंकि तीन भिन्न जड़ों को दो में समेटा नहीं जा सकता। परीक्षण‑टिप: हमेशा जड़ों की भिन्नता (distinctness) जाँचें — आवर्ती (repeated) जड़ें एक ही बिंदु देती हैं और यदि बहुपद शून्य बहुपद (identically zero) हो तो अनन्त छेदन हो सकते हैं। / If \(p(a)=0\), the graph meets the x-axis at the point \((a,0)\). Given zeros 2, 5 and 9 are three distinct x-values, so the graph has three distinct x‑intercepts: \((2,0),(5,0),(9,0)\). The nearest distractor 'Two' is incorrect because three distinct roots produce three distinct intercepts. Exam tip: always check whether roots are distinct; repeated roots coincide at one intercept, and if the polynomial is identically zero the x-axis is the graph (infinitely many intersections).
संख्या रेखा पर दायीं ओर स्थित संख्या बड़ी मानी जाती है। -2, -9 की तुलना में दायीं ओर है, इसलिए -2 बड़ा है। विकल्प -9 इस बहुपद का दूसरा शून्यक है इसलिए गलत; विकल्प 0 और 9 दिए गए शून्यक नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या कम ऋणात्मक (अर्थात् absolute मान छोटा) होती है वह बड़ी होती है — सीधे संख्या रेखा पर सोचें। / On the number line a number to the right is greater. -2 lies to the right of -9, so -2 is greater. -9 is the other root and thus smaller; 0 and 9 are not the given zeroes. Exam tip: For negatives, the one with smaller absolute value (less negative) is larger—visualize on the number line.
