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B. वैज्ञानिक आरेख में सूचना स्पष्टता, कलात्मक रेखाचित्र में भाव और रूप भी महत्वपूर्ण होते हैं/Scientific diagram values information clarity, artistic drawing also values emotion and form
Explanation
Simple Explanation
रेखा का उद्देश्य संदर्भ के अनुसार बदलता है। परीक्षा में उपयोग के आधार पर रेखा की भूमिका समझें। / Purpose of line changes with context. Exam tip: understand role of line according to use.
A. नम मानसूनी पवनों का पहाड़ी ढाल से टकराकर ऊपर उठना/Moist monsoon winds rising after striking hill slopes
Explanation
Simple Explanation
मेघालय की पहाड़ियां नम पवनों को ऊपर उठाकर भारी वर्षा कराती हैं। परीक्षा में ओरोग्राफिक वर्षा शब्द याद रखें। / Meghalaya hills force moist winds upward and cause heavy rainfall. For exams remember the term orographic rainfall.
A. मौसमी जलभराव फिर वाष्पीकरण फिर नमक जमाव/Seasonal waterlogging then evaporation then salt deposition
Explanation
Simple Explanation
रण में मौसमी जल सूखने पर नमक सतह पर रह जाता है। परीक्षा में कच्छ रण को लवणीय मैदान याद रखें। / When seasonal water dries in the Rann salt remains on the surface. For exams remember Rann of Kachchh as a saline plain.
A. इसमें बाढ़ के साथ नया जलोढ़ पदार्थ जमा होता रहता है/Fresh alluvium keeps depositing with floods
Explanation
Simple Explanation
खादर नदी की नई बाढ़ पट्टी है। परीक्षा में इसे अधिक उपजाऊ जलोढ़ क्षेत्र मानें। / Khadar is the new flood belt of rivers. For exams treat it as a more fertile alluvial area.
C. होमिनिन जीवाश्म और मानव विकास/Hominin fossils and human evolution
Explanation
Simple Explanation
संगिरान इंडोनेशिया में प्रारंभिक मानव जीवाश्मों के लिए महत्वपूर्ण है। परीक्षा में जावा मानव संदर्भ याद रखें। / Sangiran in Indonesia is important for early human fossils. For exams remember Java Man context.
C. विशाल गुफा तंत्र और उष्णकटिबंधीय कार्स्ट/Huge cave system and tropical karst
Explanation
Simple Explanation
गुनुंग मुलु मलेशिया में कार्स्ट गुफाओं और जैव विविधता के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में गुफा तंत्र याद रखें। / Gunung Mulu in Malaysia is famous for karst caves and biodiversity. For exams remember cave systems.
A. मानव उत्पत्ति और पुराजीव विज्ञान/Human origins and paleontology
Explanation
Simple Explanation
ओमो घाटी मानव विकास और जीवाश्म अध्ययन में महत्वपूर्ण स्थल है। परीक्षा में इथियोपिया याद रखें। / Omo Valley is an important site in human evolution and fossil study. For exams remember Ethiopia.
A. मानव विकास जीवाश्म और झील पारिस्थितिकी/Human evolution fossils and lake ecology
Explanation
Simple Explanation
लेक तुर्काना क्षेत्र मानव विकास और जीवाश्म अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण है। परीक्षा में केन्या और पुराजीव विज्ञान याद रखें। / Lake Turkana region is important for human evolution and fossil studies. For exams remember Kenya and paleontology.
A. इसने पृथ्वी के आकार और मापन में योगदान दिया/It contributed to measuring the shape of Earth
Explanation
Simple Explanation
यह भूगणित और पृथ्वी मापन के इतिहास का अंतरराष्ट्रीय उदाहरण है। परीक्षा में वैज्ञानिक सहयोग याद रखें। / It is an international example of the history of geodesy and Earth measurement. For exams remember scientific cooperation.
A. नए ज्वालामुखीय द्वीप पर जीवन के उपनिवेशन का अध्ययन संभव है/It allows study of life colonization on a new volcanic island
Explanation
Simple Explanation
सर्टसी पर नए द्वीप में पारिस्थितिक विकास को देखा जा सकता है। परीक्षा में आइसलैंड और ज्वालामुखी याद रखें। / On Surtsey ecological development on a new island can be observed. For exams remember Iceland and volcano.
A. प्राकृतिक चयन और विकासवाद/Natural selection and evolution
Explanation
Simple Explanation
गैलापागोस की विशिष्ट प्रजातियां विकासवाद के अध्ययन में महत्वपूर्ण हैं। परीक्षा में डार्विन संदर्भ याद रखें। / The unique species of Galapagos are important in the study of evolution. For exams remember the Darwin context.
A. हान्सियाटिक व्यापार और कोपरनिकस का नगर/Hanseatic trade and city of Copernicus
Explanation
Simple Explanation
टोरून मध्यकालीन व्यापारिक नगर और कोपरनिकस से जुड़ा है। परीक्षा में पोलैंड और खगोल विज्ञान संदर्भ याद रखें। / Torun is linked with medieval trade and Copernicus. For exams remember Poland and the astronomy context.
A. ईओसीन काल के जीवाश्म और जीव विकास अध्ययन/Eocene fossils and study of life evolution
Explanation
Simple Explanation
मेसल पिट अच्छी तरह संरक्षित जीवाश्मों के कारण वैज्ञानिक रूप से महत्वपूर्ण है। परीक्षा में जीवाश्म रिकॉर्ड याद रखें। / Messel Pit is scientifically important because of well preserved fossils. For exams remember fossil record.
D. डायनासोर जीवाश्म और पुराजीव विज्ञान/Dinosaur fossils and paleontology
Explanation
Simple Explanation
यह कनाडा में डायनासोर जीवाश्मों के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में पुराजीव विज्ञान याद रखें। / It is famous for dinosaur fossils in Canada. For exams remember paleontology.
A. विकासवाद और प्राकृतिक चयन/Evolution and natural selection
Explanation
Simple Explanation
गैलापागोस विशिष्ट प्रजातियों और प्राकृतिक चयन के अध्ययन से जुड़ा है। परीक्षा में डार्विन संदर्भ याद रखें। / Galapagos is linked with the study of unique species and natural selection. For exams remember the Darwin context.
A. पृथ्वी के आकार और माप को समझना/Understanding the shape and measurement of Earth
Explanation
Simple Explanation
यह चाप भूगणित और पृथ्वी मापन के इतिहास से जुड़ा है। परीक्षा में वैज्ञानिक धरोहर याद रखें। / This arc is linked with the history of geodesy and Earth measurement. For exams remember scientific heritage.
D. नए ज्वालामुखीय द्वीप पर पारिस्थितिक विकास के अध्ययन के कारण/Because of studying ecological development on a new volcanic island
Explanation
Simple Explanation
सर्टसी आइसलैंड का ज्वालामुखीय द्वीप है और प्राकृतिक उपनिवेशन के अध्ययन में महत्वपूर्ण है। परीक्षा में वैज्ञानिक अध्ययन याद रखें। / Surtsey is a volcanic island of Iceland and important for studying natural colonization. For exams remember scientific study.
A. भूगर्भीय परतें और अपरदन/Geological layers and erosion
Explanation
Simple Explanation
ग्रांड कैन्यन पृथ्वी के भूगर्भीय इतिहास को समझने में मदद करता है। परीक्षा में चट्टानी परतें याद रखें। / The Grand Canyon helps understand Earth's geological history. For exams remember rock layers.
A. प्राकृतिक चयन और विकासवाद/Natural selection and evolution
Explanation
Simple Explanation
गैलापागोस द्वीप समूह विशिष्ट प्रजातियों और विकासवाद से जुड़े हैं। परीक्षा में डार्विन संदर्भ याद रखें। / The Galapagos Islands are linked with unique species and evolution. For exams remember the Darwin context.
A. भूगर्भीय परतों और अपरदन प्रक्रिया का उत्कृष्ट प्रदर्शन/Outstanding display of geological layers and erosion process
Explanation
Simple Explanation
ग्रांड कैन्यन पृथ्वी के भूगर्भीय इतिहास को समझने में महत्वपूर्ण है। परीक्षा में अपरदन और भूस्तर याद रखें। / The Grand Canyon is important for understanding Earth's geological history. For exams remember erosion and rock layers.
A. क्योंकि यह संसाधन नियंत्रण को तटस्थ तकनीकी सुधार की तरह दिखा सकती थी/Because it could present resource control as neutral technical improvement
Explanation
Simple Explanation
वैज्ञानिक भाषा के पीछे राजस्व और नियंत्रण हो सकते थे। परीक्षा में वन नीति और स्थानीय आजीविका जोड़ें। / Revenue and control could exist behind scientific language. For exams connect forest policy and local livelihood.
A. इसने अंतरिक्ष दौड़ में अमेरिकी तकनीकी और वैचारिक प्रतिष्ठा बढ़ाई/It raised American technological and ideological prestige in the Space Race
Explanation
Simple Explanation
अपोलो ग्यारह शीत युद्ध में प्रतिष्ठा की प्रतियोगिता का हिस्सा था। परीक्षा में इसे अंतरिक्ष दौड़ से जोड़ें। / Apollo 11 was part of the Cold War competition for prestige. For exams connect it with the Space Race.
वैज्ञानिक क्रांति ने प्रकृति को समझने के नए वैज्ञानिक तरीके दिए। परीक्षा में इसे गैलीलियो न्यूटन और आधुनिक विज्ञान से जोड़ें। / The Scientific Revolution gave new scientific ways to understand nature. For exams connect it with Galileo Newton and modern science.
A. ये रेडियोधर्मिता शोध से जुड़े तत्व हैं/They are elements linked with radioactivity research
Explanation
Simple Explanation
क्यूरी ने रेडियोधर्मिता के अध्ययन में अग्रणी कार्य किया। परीक्षा में तत्वों और शोध क्षेत्र को साथ याद रखें। / Curie did pioneering work in the study of radioactivity. Exam tip: remember the elements and research field together.
A. गति और गुरुत्व के गणितीय नियमों को व्यवस्थित करना/Systematizing mathematical laws of motion and gravity
Explanation
Simple Explanation
प्रिंसिपिया ने प्रकृति को गणितीय नियमों से समझाने की दिशा मजबूत की। परीक्षा में न्यूटन को गुरुत्व और गति से जोड़ें। / Principia strengthened explaining nature through mathematical laws. Exam tip: connect Newton with gravity and motion.
A. गैलीलियो ने निरीक्षण प्रयोग को मजबूत किया और न्यूटन ने गति गुरुत्व के नियम दिए/Galileo strengthened observation experiment and Newton gave laws of motion gravity
Explanation
Simple Explanation
गैलीलियो ने वैज्ञानिक पद्धति और न्यूटन ने गणितीय नियमों को आगे बढ़ाया। परीक्षा में वैज्ञानिक क्रांति को चरणबद्ध पढ़ें। / Galileo advanced scientific method and Newton advanced mathematical laws. Exam tip: study the Scientific Revolution in sequence.
A. दोनों ने निरीक्षण गणित और प्राकृतिक नियमों की समझ को मजबूत किया/Both strengthened observation mathematics and understanding of natural laws
Explanation
Simple Explanation
गैलीलियो ने निरीक्षण और न्यूटन ने गति और गुरुत्व के नियमों को मजबूत किया। परीक्षा में वैज्ञानिक पद्धति पर ध्यान दें। / Galileo strengthened observation and Newton strengthened laws of motion and gravity. Exam tip: focus on scientific method.
A. आधुनिक भौतिकी की नई समझ/New understanding of modern physics
Explanation
Simple Explanation
आइंस्टीन ने आधुनिक भौतिकी में समय स्थान और ऊर्जा की समझ बदली। परीक्षा में उन्हें सापेक्षता से याद रखें। / Einstein changed the understanding of time space and energy in modern physics. Exam tip: remember him with relativity.
मैरी क्यूरी रेडियोधर्मिता पर शोध के लिए प्रसिद्ध हैं। परीक्षा में उन्हें नोबेल पुरस्कार और विज्ञान से जोड़ें। / Marie Curie is famous for research on radioactivity. Exam tip: connect her with the Nobel Prize and science.
आइज़ैक न्यूटन गुरुत्वाकर्षण और गति के नियमों के लिए प्रसिद्ध हैं। परीक्षा में उन्हें वैज्ञानिक क्रांति से जोड़ें। / Isaac Newton is famous for gravity and laws of motion. Exam tip: connect him with the Scientific Revolution.
गैलीलियो खगोल विज्ञान और वैज्ञानिक निरीक्षण के लिए प्रसिद्ध हैं। परीक्षा में उन्हें दूरबीन और ग्रहों के अध्ययन से जोड़ें। / Galileo is famous for astronomy and scientific observation. Exam tip: connect him with the telescope and study of planets.
A. नवाचार और आविष्कारों को प्रोत्साहन/Encouragement of innovation and inventions
Explanation
Simple Explanation
आविष्कारों को संरक्षण और उपयोगी ज्ञान की संस्कृति ने तकनीकी सुधार बढ़ाए। परीक्षा में संस्थाओं की भूमिका भी याद रखें। / Protection for inventions and a culture of useful knowledge increased technical improvement. For exams remember the role of institutions too.
B. तर्क प्रमाण और पुराने अधिकार को प्रश्न करने की प्रवृत्ति/Reason evidence and tendency to question old authority
Explanation
Simple Explanation
वैज्ञानिक सोच ने अधिकारों और शासन पर आलोचनात्मक दृष्टि को भी बल दिया। परीक्षा में विचारों की कड़ी समझें। / Scientific thinking also strengthened critical views on rights and government. For exams understand the chain of ideas.
A. वैज्ञानिक तर्क ने ज्ञानोदय की तर्कवादी सोच को मजबूत किया/Scientific reasoning strengthened Enlightenment rational thought
Explanation
Simple Explanation
वैज्ञानिक खोजों ने तर्क और प्रमाण की संस्कृति को बल दिया। परीक्षा में विचारों की श्रृंखला समझें। / Scientific discoveries strengthened a culture of reason and evidence. For exams understand the chain of ideas.
A. ज्ञान को निरीक्षण और परीक्षण से परखने पर जोर दिया गया/Emphasis was placed on testing knowledge through observation and experiment
Explanation
Simple Explanation
प्रयोग ने आधुनिक वैज्ञानिक विधि को मजबूत किया। परीक्षा में निरीक्षण प्रयोग और तर्क को साथ याद रखें। / Experiment strengthened the modern scientific method. For exams remember observation experiment and reason together.
गैलीलियो वैज्ञानिक क्रांति के प्रमुख वैज्ञानिकों में गिने जाते हैं। परीक्षा में उन्हें दूरबीन और खगोल अध्ययन से जोड़ें। / Galileo is counted among major scientists of the Scientific Revolution. For exams connect him with the telescope and astronomy.
C. विज्ञान और तर्कपूर्ण खोज/Science and rational inquiry
Explanation
Simple Explanation
वैज्ञानिक क्रांति ने प्रकृति को तर्क और प्रयोग से समझने पर जोर दिया। परीक्षा में इसे आधुनिक विज्ञान की शुरुआत से जोड़ें। / The Scientific Revolution emphasized understanding nature through reason and experiment. For exams connect it with the rise of modern science.
मैनहैटन परियोजना ने बड़े पैमाने पर विज्ञान और सैन्य लक्ष्य को जोड़ा। परीक्षा में विज्ञान को युद्ध नीति से जोड़ें। / The Manhattan Project linked large-scale science with military aims. For exams connect science with war policy.
A. क्योंकि परमाणु हथियार विकास रणनीतिक और सुरक्षा दृष्टि से संवेदनशील था/Because atomic weapon development was strategically and security sensitive
Explanation
Simple Explanation
परियोजना युद्धकालीन वैज्ञानिक और सैन्य गोपनीयता का उदाहरण थी। परीक्षा में विज्ञान तकनीक और राज्य नीति को साथ पढ़ें। / The project was an example of wartime scientific and military secrecy. For exams study science technology and state policy together.
B. जलवायु अर्थव्यवस्था संघर्ष और पर्यावरण जैसे कई प्रमाणों को साथ देखना/Considering multiple evidences like climate economy conflict and environment together
Explanation
Simple Explanation
सभ्यताओं का पतन सामान्यतः बहु कारणीय होता है। परीक्षा में प्रमाण आधारित और संतुलित उत्तर चुनें। / The decline of civilizations is usually multi-causal. For exams choose evidence-based and balanced answers.
माया कैलेंडर खगोल निरीक्षण और गणना से जुड़ा था। परीक्षा में माया को खगोल ज्ञान से याद रखें। / Maya calendars were linked with astronomical observation and calculation. Remember the Maya with astronomy in exams.
फुसफुसाती गैलरी ध्वनि प्रतिध्वनि के कारण प्रसिद्ध है। परीक्षा में गोल गुम्बज को बीजापुर और आदिलशाही स्थापत्य से जोड़ें। / The whispering gallery is famous due to acoustic echo. In exams connect Gol Gumbaz with Bijapur and Adil Shahi architecture.
सवाई जय सिंह द्वितीय ने जयपुर और जंतर मंतर से अपनी खगोलीय रुचि दिखाई। परीक्षा में उन्हें राजपूत शासक और खगोल प्रेमी मानें। / Sawai Jai Singh II showed his astronomical interest through Jaipur and Jantar Mantar. In exams remember him as a Rajput ruler and astronomy patron.
A. प्रकृति के सूक्ष्म अवलोकन और विवरण पर जोर था/There was emphasis on close observation and description of nature
Explanation
Simple Explanation
जहांगीर प्राकृतिक चित्रों और कला संरक्षण के लिए प्रसिद्ध था। उसे अवलोकन और सौंदर्यबोध से जोड़ें। / Jahangir was famous for naturalistic paintings and artistic patronage. Link him with observation and aesthetic sense.
A. खगोलीय घटना की प्राकृतिक व्याख्या/Natural explanation of astronomical phenomena
Explanation
Simple Explanation
आर्यभट ने ग्रहणों को गणितीय और खगोलीय आधार पर समझाया। परीक्षा में विज्ञान को तर्क आधारित परंपरा से जोड़ें। / Aryabhata explained eclipses on mathematical and astronomical grounds. For exams, connect science with rational tradition.
A. शून्य और गणितीय नियमों की व्याख्या/Explanation of zero and mathematical rules
Explanation
Simple Explanation
ब्रह्मगुप्त ने गणित में शून्य से जुड़े नियमों पर महत्वपूर्ण कार्य किया। परीक्षा में उन्हें भारतीय गणित परंपरा से जोड़ें। / Brahmagupta did important work on rules related to zero in mathematics. For exams, connect him with the Indian mathematical tradition.
A. खगोल विज्ञान में तर्क आधारित व्याख्या/Reason based explanation in astronomy
Explanation
Simple Explanation
आर्यभट ने खगोल घटनाओं को गणितीय ढंग से समझाया। परीक्षा में प्राचीन विज्ञान को केवल मान्यता नहीं बल्कि गणना से जोड़ें। / Aryabhata explained astronomical events mathematically. For exams, connect ancient science not only with belief but with calculation.
\(S_{24}=1476\) और \(S_{25}=1600\) है इसलिए पहली बार (n=25) पर योग (1500) से अधिक होगा। परीक्षा में सीमा वाले प्रश्नों में पास के पूर्णांक जांचें। / \(S_{24}=1476\) and \(S_{25}=1600\), so the sum first exceeds (1500) at (n=25). Exam tip: check nearby integers in boundary questions.
\(S_{42}=9975\) और \(S_{43}=10449\), इसलिए पहली बार (43) पदों पर योग (10000) से अधिक है। पिछले योग की जाँच जरूर करें। / \(S_{42}=9975\) and \(S_{43}=10449\), so the sum first exceeds (10000) at (43) terms. Always check the previous sum.
\(S_{33}=4983\) और \(S_{34}=5287\), इसलिए पहली बार (34) पदों पर योग (5000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{33}=4983\) and \(S_{34}=5287\), so the sum first exceeds (5000) at (34) terms. In such questions, also check the previous sum.
\(S_{25}=2800\) और \(S_{26}=3029\), इसलिए पहली बार (26) पदों पर योग (3000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{25}=2800\) and \(S_{26}=3029\), so the sum first exceeds (3000) at (26) terms. In such questions, also check the previous sum.
\(S_{17}=986\) और \(S_{18}=1107\), इसलिए पहली बार (18) पदों पर योग (1000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{17}=986\) and \(S_{18}=1107\), so the sum first exceeds (1000) at (18) terms. In such questions, also check the previous sum.
(D=0) और असंगत सहायक सारणिक समांतर अलग रेखाओं का संकेत देते हैं। इसलिए कोई हल नहीं होता। / (D=0) with a non-zero auxiliary determinant indicates distinct parallel lines. Hence there is no solution.
एक सीधी रेखा खींचने के लिए (2) सही बिंदु पर्याप्त होते हैं। तीसरा बिंदु केवल जाँच के लिए लिया जा सकता है। / Two correct points are sufficient to draw a straight line. A third point may be used only for checking.
एक सीधी रेखा को खींचने के लिए (2) सही बिंदु पर्याप्त होते हैं। तीसरा बिंदु जाँच के लिए लिया जा सकता है। / Two correct points are sufficient to draw one straight line. A third point may be taken for checking.
एक सीधी रेखा खींचने के लिए कम से कम (2) बिंदु पर्याप्त होते हैं। परीक्षा में तीसरा बिंदु जाँच के लिए लिया जा सकता है। / At least (2) points are enough to draw a straight line. In exams, a third point may be used for checking.
सबसे छोटा मान (1.005) है इसलिए यह सबसे बाईं ओर होगा। दशमलव में शून्य को सही स्थान पर पढ़ें। / The smallest value is (1.005), so it is farthest left. Read zeros in decimals carefully.
शून्यक (-2,0,3) हैं, इसलिए बहुपद (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x) है। (x)-अक्ष काटने के बिंदु शून्यक बताते हैं। / The zeroes are (-2,0,3), so the polynomial is (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x). Intersections with the (x)-axis give zeroes.
समान आधार (10) की घातें (2-5+4=1) हैं, इसलिए \(r=10^{1}=10\)। परीक्षा में गुणा में घातों को जोड़ें। / For the same base (10), the exponent is (2-5+4=1), so \(r=10^{1}=10\). In exams, add exponents during multiplication.
\(N=\dfrac{0.45}{10^{-3}}=0.45\times 10^3=450\)। परीक्षा में \(10^{-3}\) से भाग देना \(10^3\) से गुणा करने जैसा है। / \(N=\dfrac{0.45}{10^{-3}}=0.45\times 10^3=450\). In exams, dividing by \(10^{-3}\) is like multiplying by \(10^3\).
क्योंकि \(0.0001=10^{-4}\), इसलिए (\(10^{-4}\)^{\frac{3}{2}}=10^{-6})। परीक्षा में दशमलव को (10) की घात में बदलें। / Since \(0.0001=10^{-4}\), (\(10^{-4}\)^{\frac{3}{2}}=10^{-6}). In exams, convert decimals into powers of (10).
क्योंकि \(0.00032=3.2\times 10^{-4}\), इसलिए \(\dfrac{3.2\times 10^{-4}}{10^{-5}}=3.2\times 10^1=32\)। परीक्षा में decimal को scientific notation में बदलना मदद करता है। / Since \(0.00032=3.2\times 10^{-4}\), \(\dfrac{3.2\times 10^{-4}}{10^{-5}}=3.2\times 10^1=32\). In exams, converting decimals to scientific notation helps.
\(5^k\) हर के \(5^8\) से कटेगा। / \(5^k\) cancels with \(5^8\) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(2^3\cdot 5^{8-k}\) बनेगा। ठीक (3) स्थानों के लिए \(8-k\leq 3\) चाहिए, इसलिए न्यूनतम (k=5)। / The denominator becomes \(2^3\cdot 5^{8-k}\). For exactly (3) places, \(8-k\leq 3\), so the least (k) is (5).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान में असमानता को सही दिशा में हल करें। / For a least value, solve the inequality carefully.
\(18=2\times3^2\) है, और समाप्त दशमलव के लिए हर से \(3^2\) हटना चाहिए। / \(18=2\times3^2\), and \(3^2\) must be removed from the denominator for a terminating decimal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{5}{18}\times9=\frac{45}{18}=\frac{5}{2}\), जिसका हर (2) है। / \(\frac{5}{18}\times9=\frac{45}{18}=\frac{5}{2}\), whose denominator is (2).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: हर में जितनी (3) की घात बची हो, उसे हटाने के लिए उतनी ही मदद चाहिए। / Exam tip: Remove the full remaining power of the unwanted prime factor.
\(18=2\times3^2\) है, इसलिए हर में \(3^2\) बाधा है। / \(18=2\times3^2\), so \(3^2\) in the denominator is the obstacle.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{5}{18}\times3=\frac{15}{18}=\frac{5}{6}\) अभी भी समाप्त नहीं है, इसलिए (3) पर्याप्त नहीं है। / Multiplying by (3) gives \(\frac{15}{18}=\frac{5}{6}\), which still does not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सही न्यूनतम गुणक (9) होना चाहिए, इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई उपयुक्त विकल्प नहीं है। / Exam tip: The correct least multiplier should be (9), so none of the given options is suitable.
\(24=2^3\times3\) है, इसलिए हर में (3) बाधा बन रहा है। / \(24=2^3\times3\), so factor (3) in the denominator is the obstacle.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{7}{24}\times3=\frac{21}{24}=\frac{7}{8}\), जिसका हर \(2^3\) है। / \(\frac{7}{24}\times3=\frac{21}{24}=\frac{7}{8}\), whose denominator is \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में हर के अनचाहे गुणनखंड को सरल होकर हटाने की सोच रखें। / Exam tip: In such questions, think of cancelling unwanted denominator factors after multiplication.
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) ठीक है, \(3^3\) को \(3^4\) और (5) को \(5^2\) बनाने के लिए \(3 \times 5=15\) चाहिए। / \(2^4\) is fine, while \(3^3\) needs one (3) and (5) needs one (5), so the multiplier is (15).
Step 3
Exam Tip
केवल विषम घातों वाले अभाज्यों को एक बार और गुणा करें। / Multiply only by primes with odd exponents.
पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। / In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) को \(2^6\) बनाने के लिए (2) और \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए (3) चाहिए। इसलिए गुणक \(2 \times 3=6\) है। / \(2^5\) needs one (2) to become \(2^6\), and \(3^2\) needs one (3) to become \(3^3\). So the multiplier is \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
हर घात को अगली (3) की गुणज तक पहुंचाएं। / Raise each exponent to the next multiple of (3).
पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। / In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) को \(2^6\) बनाने के लिए \(2^2\) और \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए (3) चाहिए। इसलिए गुणक \(2^2 \times 3=12\) होना चाहिए। / \(2^4\) needs \(2^2\) to become \(2^6\), and \(3^2\) needs (3) to become \(3^3\). The least multiplier is (12).
Step 3
Exam Tip
दिए विकल्पों में (12) नहीं है, इसलिए यदि विकल्पों को सही मानना हो तो प्रश्न त्रुटिपूर्ण होगा। / Since (12) is not in the options, the listed choices contain an error.
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^3\) को \(2^4\) और (3) को \(3^2\) बनाने के लिए \(2 \times 3=6\) से गुणा करना होगा। / To make \(2^3\) into \(2^4\) and (3) into \(3^2\), multiply by \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग के लिए विषम घातों को एक-एक बढ़ाकर सम करें। / For a square, increase odd exponents by one to make them even.
पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। / In a perfect cube, each prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2\) को \(2^3\) और \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए \(2 \times 3=6\) से गुणा करना होगा। / To make \(2^2\) into \(2^3\) and \(3^2\) into \(3^3\), multiply by \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण घन में घातें (3,6,9) जैसी होनी चाहिए। / For a cube, exponents should be like (3,6,9).
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। / In a perfect square, all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) में घात विषम है, इसलिए एक (2) और गुणा करने पर \(2^6\) हो जाएगा; \(7^2\) पहले से ठीक है। / \(2^5\) has an odd exponent, so multiplying by (2) makes it \(2^6\); \(7^2\) is already even.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग के लिए केवल विषम घातों को ठीक करें। / For squares, fix only the odd exponents.
पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। / In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^6\) ठीक है क्योंकि (6), (3) की गुणज है; \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए एक (3) और चाहिए। / \(2^6\) is fine, but \(3^2\) needs one more (3) to become \(3^3\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण घन के लिए घातों को (3,6,9) जैसे गुणज बनाएं। / For cubes, make exponents multiples of (3).
भाग देने के बाद बची घातें (3) की गुणज होनी चाहिए। / After division, remaining exponents must be multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2\) को हटाना होगा, \(3^4\) से (3) हटाकर \(3^3\) रहेगा, और \(5^5\) से \(5^2\) हटाकर \(5^3\) रहेगा। / Remove \(2^2\), remove (3) from \(3^4\), and remove \(5^2\) from \(5^5\).
Step 3
Exam Tip
नीचे की नजदीकी (3) की गुणज तक घात घटाएं। / Reduce each exponent to the nearest lower multiple of (3).
पूर्ण वर्ग में हर घात सम चाहिए। / A perfect square needs every exponent even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^3\) और \(5^1\) की घात विषम है, इसलिए (2) और (5) से गुणा करने पर \(2^4\times3^2\times5^2\) बनेगा। / \(2^3\) and \(5^1\) have odd powers, so multiply by \(2\times5\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाली अभाज्य संख्या को फिर से गुणा न करें। / Do not multiply the prime whose exponent is already even.
संख्या \(143\times23+r\) होगी। / The number is \(143\times23+r\).
Step 2
Why this answer is correct
सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 होगा, इसलिए संख्या \(143\times23=3289\) है। / For the least value, the remainder is 0, so the number is \(143\times23=3289\).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान वाले प्रश्न में शेषफल शून्य लेना सबसे साफ तरीका है। / In least-value questions, taking the remainder as zero is the clearest method.
संख्या \(118\times19+r\) होगी। / The number is \(118\times19+r\).
Step 2
Why this answer is correct
सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 लें, इसलिए संख्या \(118\times19=2242\) है। / For the least value, take remainder 0, so the number is \(118\times19=2242\).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान के प्रश्न में शेषफल शून्य रखना सबसे सीधा तरीका है। / For least value questions, using remainder zero is the most direct method.
संख्या \(91\times28+r\) होगी। / The number is \(91\times28+r\).
Step 2
Why this answer is correct
सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 होगा, इसलिए संख्या \(91\times28=2548\) है। / For the least value, the remainder is 0, so the number is \(91\times28=2548\).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान वाले प्रश्न में शेषफल शून्य लेने से उत्तर तुरंत मिलता है। / In minimum value questions, taking remainder zero gives the answer quickly.
A. क्योंकि 5 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 का चक्र आता है/Because division by 5 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3, 4
Step 1
Concept
कोई भी पूर्णांक 5 से भाग देने पर (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), या (5q+4) रूप में होता है। / Any integer divided by 5 has one of the forms (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), or (5q+4).
Step 2
Why this answer is correct
पांच लगातार पूर्णांकों में ये पांचों शेषफल आ जाते हैं। / Five consecutive integers cover all five remainders.
Step 3
Exam Tip
जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 5 से विभाज्य होगी। / The number with remainder 0 is divisible by 5.
A. क्योंकि 4 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3 का चक्र आता है/Because division by 4 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3
Step 1
Concept
कोई भी पूर्णांक 4 से भाग देने पर (4q), (4q+1), (4q+2), या (4q+3) रूप में होता है। / Any integer divided by 4 is of the form (4q), (4q+1), (4q+2), or (4q+3).
Step 2
Why this answer is correct
चार लगातार पूर्णांकों में ये चारों शेषफल आ जाते हैं। / Four consecutive integers cover all these four remainders.
Step 3
Exam Tip
जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 4 से विभाज्य होगी। / The one with remainder 0 is divisible by 4.
A. प्रजनन जाति की निरंतरता रखता है और विविधता अनुकूलन में सहायता कर सकती है/Reproduction maintains species continuity and variation can help adaptation
Step 1
Concept
प्रजनन से नए जीव बनते हैं। / Reproduction produces new organisms.
Step 2
Why this answer is correct
आनुवंशिक सूचना संतान तक पहुंचती है। / Genetic information passes to offspring.
Step 3
Exam Tip
विविधता विशेषकर लैंगिक प्रजनन में बनती है और बदलते वातावरण में उपयोगी हो सकती है। / Variation especially in sexual reproduction can be useful in changing environments.
A. प्रजनन जाति की निरंतरता रखता है और आनुवंशिक विविधता अनुकूलन में सहायक हो सकती है/Reproduction maintains continuity of species and genetic variation can help adaptation
Step 1
Concept
प्रजनन से नए जीव बनते हैं। / Reproduction produces new organisms.
Step 2
Why this answer is correct
आनुवंशिक सूचना संतान तक जाती है। / Genetic information passes to offspring.
Step 3
Exam Tip
विविधता विशेषकर लैंगिक प्रजनन में बनती है और बदलते वातावरण में उपयोगी हो सकती है। / Variation especially in sexual reproduction can be useful in changing environments.
