Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
तीन अलग (x)-मान तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु देते हैं। टिप: अलग शून्यक अलग कटान बिंदु बनाते हैं। / Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: distinct zeroes make distinct intersection points.
(6x-4y=20) को (2) से भाग देने पर (3x-2y=10) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक अलग समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing (6x-4y=20) by (2) gives (3x-2y=10). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
(4x-6y=18) को (2) से भाग देने पर (2x-3y=9) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक अलग समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing (4x-6y=18) by (2) gives (2x-3y=9). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
अलग शून्यक अलग (x)-अक्ष मिलने वाले बिंदुओं की संख्या से मिलते हैं। टिप: घात से अधिकतम संख्या मिलती है, वास्तविक गिनती ग्राफ से पढ़ें। / Distinct zeroes are counted from distinct meeting points with the (x)-axis. Tip: degree gives the maximum, but the actual count is read from the graph.
(2x+6y=30) को (2) से भाग देने पर (x+3y=15) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर अलग रेखाएँ देते हैं। / Dividing (2x+6y=30) by (2) gives (x+3y=15). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
(2x+4y=18) को (2) से भाग देने पर (x+2y=9) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक अलग समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing (2x+4y=18) by (2) gives (x+2y=9). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
समांतर होने के लिए \(\frac{k}{3}=\frac{-2}{-6}\), इसलिए (k=1)। नियतांकों का अनुपात अलग है, इसलिए रेखाएँ अलग समांतर हैं। / For parallel lines, \(\frac{k}{3}=\frac{-2}{-6}\), so (k=1). The constants ratio is different, so the lines are distinct parallel lines.
समांतर होने के लिए \(\frac{k}{2}=\frac{3}{6}\), इसलिए (k=1)। नियतांकों का अनुपात अलग है, इसलिए रेखाएँ अलग समांतर हैं। / For parallel lines, \(\frac{k}{2}=\frac{3}{6}\), so (k=1). The constants ratio is different, so the lines are distinct parallel lines.
B. जब संरचना, अनुपात और मुख्य दिशा तय हो जाए/When structure, proportion, and main direction are decided
Explanation
Simple Explanation
अंतिम रेखा से पहले हल्की योजना जरूरी है। परीक्षा में अंतिम रेखा सोचकर लगाएं। / Light planning is needed before final line. Exam tip: apply final line thoughtfully.
D. तिरछी, तीक्ष्ण और टूटती रेखाएं/Diagonal, sharp, and broken lines
Explanation
Simple Explanation
तीक्ष्ण और तिरछी रेखाएं संघर्ष का भाव बढ़ाती हैं। परीक्षा में भाव के अनुसार रेखा गुण चुनें। / Sharp and diagonal lines increase the mood of conflict. Exam tip: choose line quality according to emotion.
D. क्योंकि बिना भाव या संरचना के साफ रेखा निर्जीव हो सकती है/Because a clean line without feeling or structure can be lifeless
Explanation
Simple Explanation
रेखा का उद्देश्य और अभिव्यक्ति भी महत्वपूर्ण हैं। परीक्षा में केवल सफाई को कला कौशल न मानें। / Purpose and expression of line are also important. Exam tip: do not treat neatness alone as art skill.
B. दोनों का दृश्य भार अलग तरीके से संतुलित हो सकता है/Their visual weights can balance in different ways
Explanation
Simple Explanation
दृश्य भार केवल लंबाई नहीं, मोटाई और स्थिति से भी बनता है। परीक्षा में कई गुण साथ देखें। / Visual weight comes not only from length but also thickness and placement. Exam tip: consider multiple qualities together.
A. अलंकरण सजाता है, संरचनात्मक रेखा ढांचा बताती है/Decorative line beautifies, structural line shows framework
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
C. वह व्यवस्था और दृष्टि दिशा से महसूस होती है/It is felt through arrangement and gaze direction
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
A. वास्तु योजना में सटीक किनारा दिखाते समय/While showing accurate edges in architectural plan
Explanation
Simple Explanation
वास्तु योजना में सटीक और सीधी रेखा जरूरी होती है। परीक्षा में उद्देश्य के अनुसार उपकरण चुनें। / Architectural plans need accurate and straight lines. In exams choose tools according to purpose.
A. जब दर्शक की नजर को बिना खींची रेखा से दिशा देनी हो/When the viewer's gaze must be guided without a drawn line
Explanation
Simple Explanation
निहित रेखा बिना सीधे खींचे आंख को दिशा देती है। परीक्षा में नजर और वस्तुओं की व्यवस्था को उदाहरण मानें। / An implied line guides the eye without being directly drawn. In exams use gaze and object arrangement as examples.
A. अदृश्य मार्ग या अनुमानित सीमा दिखाते समय/While showing invisible path or estimated boundary
Explanation
Simple Explanation
बिंदीदार रेखा अनुमान या संकेत के लिए उपयुक्त होती है। परीक्षा में इसका उपयोग पूरी सीमा से अलग समझें। / Dotted line is suitable for estimation or indication. In exams understand its use differently from full boundary.
रेखा का प्रकार विषय और भाव के अनुसार चुना जाता है। परीक्षा में रेखा को अभिव्यक्ति का साधन मानें। / The type of line is selected according to subject and mood. In exams treat line as a means of expression.
A. फूल की पंखुड़ी दिखाने में/Showing a flower petal
Explanation
Simple Explanation
फूल की पंखुड़ी में कोमल वक्रता होती है। परीक्षा में प्राकृतिक वस्तुओं में वक्र रेखा पहचानें। / A flower petal has soft curvature. In exams identify curved lines in natural objects.
अंतिम रेखा रूप को अधिक स्पष्ट करती है। परीक्षा में final line को clarity से जोड़ें। / Final line makes form clearer. Exam tip: connect final line with clarity.
दबाव बदलने से रेखा हल्की या गहरी होती है। परीक्षा में pressure control याद रखें। / Changing pressure makes line light or dark. Exam tip: remember pressure control.
सीधी रेखा एक दिशा में बिना मोड़ चलती है। परीक्षा में straight line को simple direction से पहचानें। / A straight line moves in one direction without bending. Exam tip: identify straight line by simple direction.
गुणांक का अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए संपाती होने के लिए (k=90) चाहिए। (k=88) पर रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{2}\), so coincidence needs (k=90). For (k=88), the lines are distinct and parallel.
समांतर के लिए \(\frac{3}{9}=\frac{a}{12}\), इसलिए (a=4)। चूंकि \(\frac{15}{47}\neq\frac{1}{3}\), वे संपाती नहीं होंगी। / For parallel lines, \(\frac{3}{9}=\frac{a}{12}\), so (a=4). Since \(\frac{15}{47}\neq\frac{1}{3}\), they will not be coincident.
गुणांक का अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए संपाती होने के लिए (k=42) चाहिए। (k=40) पर रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{2}\), so coincidence needs (k=42). For (k=40), the lines are distinct and parallel.
समांतर के लिए \(\frac{4}{8}=\frac{a}{10}\), इसलिए (a=5)। चूंकि \(\frac{16}{35}\neq\frac{1}{2}\), वे संपाती नहीं होंगी। / For parallel lines, \(\frac{4}{8}=\frac{a}{10}\), so (a=5). Since \(\frac{16}{35}\neq\frac{1}{2}\), they will not be coincident.
गुणांक का अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए संपाती होने के लिए (k=24) चाहिए। (k=20) पर रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{2}\), so coincidence needs (k=24). For (k=20), the lines are distinct and parallel.
समांतर के लिए \(\frac{2}{6}=\frac{a}{9}\), इसलिए (a=3)। चूंकि \(\frac{10}{31}\neq\frac{1}{3}\), रेखाएं संपाती नहीं होंगी। / For parallel lines, \(\frac{2}{6}=\frac{a}{9}\), so (a=3). Since \(\frac{10}{31}\neq\frac{1}{3}\), the lines are not coincident.
गुणांक अनुपात \(\frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) है; संपाती होने के लिए (k=14) चाहिए। (k=7) होने पर रेखाएं समांतर अलग-अलग होंगी। / The coefficient ratio is \(\frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\); for coincidence, (k=14) is needed. With (k=7), the lines are parallel and distinct.
(x-3-9x=x(x-3)(x+3)), इसलिए शून्यक (-3,0,3) हैं। अतः भिन्न वास्तविक शून्यक (3) हैं। / (x-3-9x=x(x-3)(x+3)), so the zeroes are (-3,0,3). Hence there are (3) distinct real zeroes.
यहाँ (D=4p-2-4\(p^2-11p\)=44p) है। दो असमान वास्तविक मानों के लिए (D>0), इसलिए (p>0)। / Here (D=4p-2-4\(p^2-11p\)=44p). For two distinct real values (D>0), so (p>0).
A. \(\theta<0\) या \(\theta>3\)/\(\theta<0\) or \(\theta>3\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\theta-2-12\theta=4\theta\(\theta-3\)) है। (D>0) से \(\theta<0\) या \(\theta>3\)। / Here (D=4\theta-2-12\theta=4\theta\(\theta-3\)). From (D>0), \(\theta<0\) or \(\theta>3\).
यहाँ (D=(t+7)2-28t=(t-7)2) है। दो असमान मूलों के लिए (D>0), इसलिए \(t\neq7\)। / Here (D=(t+7)2-28t=(t-7)2). For two distinct roots (D>0), so \(t\neq7\).
यहाँ (D=4p-2-4\(p^2-7p\)=28p) है। दो असमान वास्तविक मानों के लिए (D>0), इसलिए (p>0)। / Here (D=4p-2-4\(p^2-7p\)=28p). For two distinct real values (D>0), so (p>0).
यहाँ (D=(r+5)2-20r=(r-5)2) है। दो असमान मूलों के लिए (D>0), इसलिए \(r\neq5\)। / Here (D=(r+5)2-20r=(r-5)2). For two distinct roots (D>0), so \(r\neq5\).
यहाँ (D=4p-2-4\(p^2-5p\)=20p) है। दो असमान वास्तविक मानों के लिए (D>0), इसलिए (p>0)। / Here (D=4p-2-4\(p^2-5p\)=20p). For two distinct real values (D>0), so (p>0).
A. \(\lambda<0\) या \(\lambda>1\)/\(\lambda<0\) or \(\lambda>1\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\lambda-2-4\lambda=4\lambda\(\lambda-1\)) है। असमान वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए \(\lambda<0\) या \(\lambda>1\)। / Here (D=4\lambda-2-4\lambda=4\lambda\(\lambda-1\)). For distinct real roots (D>0), so \(\lambda<0\) or \(\lambda>1\).
यहाँ (D=4(a+b)2-4(a-b)2=16ab) है। असमान वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (ab>0)। / Here (D=4(a+b)2-4(a-b)2=16ab). For distinct real roots (D>0), so (ab>0).
यहाँ (D=(m+3)2-12m=(m-3)2) है। दो असमान मूलों के लिए (D>0), इसलिए \(m\neq3\)। / Here (D=(m+3)2-12m=(m-3)2). For two distinct roots (D>0), so \(m\neq3\).
वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए (D>0) चाहिए। \(a^2+a-2>0\) से (a<-2) या (a>1) मिलता है। / For real and distinct roots, (D>0) is needed. From \(a^2+a-2>0\), we get (a<-2) or (a>1).
विकल्प (A) में (D=(-11)2-4(1)(18)=49) है। (D>0) होने पर दो असमान वास्तविक मूल मिलते हैं। / In option (A), (D=(-11)2-4(1)(18)=49). When (D>0), two distinct real roots exist.
पहले समीकरण में (D=100-92=8>0) है और (8) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न हैं। / In the first equation, (D=100-92=8>0), and (8) is not a perfect square. So the roots are real, irrational and distinct.
(D=4\(\alpha+2\)2-4\alpha-2=16\(\alpha+1\)) है। (D>0) से \(\alpha>-1\) मिलता है। / (D=4\(\alpha+2\)2-4\alpha-2=16\(\alpha+1\)). From (D>0), \(\alpha>-1\).
A. \(k^2<9\) और \(k\neq0\)/\(k^2<9\) and \(k\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(D=36-4k^2\) है। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए (D>0) और \(k\neq0\), अतः \(k^2<9\)। / Here \(D=36-4k^2\). For real and distinct roots (D>0) and \(k\neq0\), hence \(k^2<9\).
यहाँ (D=4(k+1)2-4k-2=4(2k+1)) है। भिन्न वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए \(k>-\frac{1}{2}\)। / Here (D=4(k+1)2-4k-2=4(2k+1)). For distinct real roots (D>0), so \(k>-\frac{1}{2}\).
यहाँ (D=4(k+1)2-4k-2=4(2k+1)) है। असमान वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए \(k>-\frac{1}{2}\)। / Here (D=4(k+1)2-4k-2=4(2k+1)). For distinct real roots (D>0), so \(k>-\frac{1}{2}\).
वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए (D>0) होता है। इसलिए \(p^2-24>0\), अर्थात \(p^2>24\)। / For real and distinct roots (D>0). So \(p^2-24>0\), that is \(p^2>24\).
वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए (D>0) होता है इसलिए \(p^2-16>0\)। अतः \(p^2>16\) सही है। / For real and distinct roots (D>0), so \(p^2-16>0\). Therefore \(p^2>16\) is correct.
(D=32-4(2)\lambda=9-8\lambda) है। (D>0) से \(\lambda<\frac{9}{8}\) मिलता है। / (D=32-4(2)\lambda=9-8\lambda). From (D>0), we get \(\lambda<\frac{9}{8}\).
असमान वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए ((-2)2-4n>0) से (n<1)। असमान के लिए कड़ाई वाली असमता लगती है। / For distinct real roots (D>0), so ((-2)2-4n>0) gives (n<1). Use a strict inequality for distinct roots.
(D=0) पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए अलग-अलग वास्तविक मूलों की संख्या (1) है। ध्यान रखें मूल दो बार दोहरता है। / At (D=0), both roots are equal, so the number of distinct real roots is (1). Remember the root is repeated.
पहले समीकरण में (D=(-7)2-4(1)(10)=9>0) है। इसलिए उसके मूल वास्तविक और असमान हैं। / For the first equation, (D=(-7)2-4(1)(10)=9>0). Hence its roots are real and distinct.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (256-4n>0) और (n<64) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (256-4n>0) and (n<64). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (196-4n>0) और (n<49) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (196-4n>0) and (n<49). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (144-4n>0) और (n<36) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (144-4n>0) and (n<36). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (100-4n>0) और (n<25) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (100-4n>0) and (n<25). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (64-4n>0) और (n<16) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (64-4n>0) and (n<16). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (16-4n>0) और (n<4) है। परीक्षा में (D>0) को distinct roots से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (16-4n>0) and (n<4). In exams, connect (D>0) with distinct roots.
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-12) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(144-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<36\)। / For both roots to be negative, the sum (-12) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(144-4\lambda>0\), so \(0<\lambda<36\).
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-10) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(100-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<25\)। / For both roots to be negative, the sum (-10) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(100-4\lambda>0\), hence \(0<\lambda<25\).
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-2) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(4-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<1\)। / For both roots to be negative, the sum (-2) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(4-4\lambda>0\), hence \(0<\lambda<1\).
वास्तविक और भिन्न जड़ों के लिए (D>0) चाहिए। यहाँ (D=4(2k+1)), इसलिए \(k>-\frac{1}{2}\)। / For real and distinct roots, (D>0) is needed. Here (D=4(2k+1)), so \(k>-\frac{1}{2}\).
गुणनखंडों से शून्यक (-1), (2), और (4) हैं। तीन अलग शून्यक तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद देते हैं। / The factors give zeroes (-1), (2), and (4). Three distinct zeroes give three distinct (x)-intercepts.
A. दो भिन्न वास्तविक शून्यक/Two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
दो अलग कटान दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। ग्राफ में अलग (x)-प्रतिच्छेद अलग शून्यक होते हैं। / Two separate intersections give two distinct real zeroes. Different (x)-intercepts mean different zeroes.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((-14,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-14,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
A. दो बिंदु, (x=-5) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-5)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-5) और (14) हैं तथा ((x+5)2) के कारण (-5) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (11) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-5) and (14), and ((x+5)2) causes touching at (-5). Tip: the outside (11) does not change the zeroes.
आठ अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (8) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For eight distinct real zeroes, the degree must be at least (8). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
दोहराए बिंदु समान (x)-मान देते हैं, इसलिए अलग शून्यक (-11) और (4) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / Repeated points give the same (x)-values, so the distinct zeroes are (-11) and (4). Tip: count the same (x)-value once.
(x-c=0) से (c) और (x+d=0) से (-d) मिलता है। टिप: अलग शून्यकों में दोहराव न गिनें। / From (x-c=0) we get (c), and from (x+d=0) we get (-d). Tip: do not count repetition among distinct zeroes.
दो अलग शून्यक (-2) और (5) हैं तथा दोनों की घात सम है। टिप: सम घात वाले शून्यक पर ग्राफ सामान्यतः स्पर्श करता है। / There are two distinct zeroes (-2) and (5), and both have even powers. Tip: at an even-power zero the graph usually touches.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((12,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((12,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
A. दो बिंदु, (x=-4) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-4)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-4) और (12) हैं तथा ((x+4)2) के कारण (-4) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (9) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-4) and (12), and ((x+4)2) causes touching at (-4). Tip: the outside (9) does not change the zeroes.
सात अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (7) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For seven distinct real zeroes, the degree must be at least (7). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
दोहराए बिंदु समान (x)-मान देते हैं, इसलिए अलग शून्यक (-7) और (2) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / Repeated points give the same (x)-values, so the distinct zeroes are (-7) and (2). Tip: count the same (x)-value once.
(x+a=0) से (-a) और (x-b=0) से (b) मिलता है। टिप: अलग शून्यकों में दोहराव न गिनें। / From (x+a=0) we get (-a), and from (x-b=0) we get (b). Tip: do not count repetition among distinct zeroes.
दो अलग शून्यक (1) और (-4) हैं तथा दोनों की घात सम है। टिप: सम घात वाले शून्यक पर ग्राफ सामान्यतः स्पर्श करता है। / There are two distinct zeroes (1) and (-4), and both have even powers. Tip: at an even-power zero the graph usually touches.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय ((-5,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-5,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
A. दो बिंदु, (x=-3) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-3)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-3) और (10) हैं तथा ((x+3)2) के कारण (-3) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (7) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-3) and (10), and ((x+3)2) causes touching at (-3). Tip: the outside (7) does not change the zeroes.
छह अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (6) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For six distinct real zeroes, the degree must be at least (6). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
((-5,0)) दोहराया गया है इसलिए अलग शून्यक (-5) और (4) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / ((-5,0)) is repeated, so the distinct zeroes are (-5) and (4). Tip: count the same (x)-value once.
शून्यक (4) और (-7) हैं पर (-7) दोहराया गया है। टिप: अलग शून्यक में दोहराव को एक बार गिनें। / The zeroes are (4) and (-7), but (-7) is repeated. Tip: count repetition once for distinct zeroes.
(x-3-25x=x(x-5)(x+5)) है इसलिए तीन अलग शून्यक हैं। टिप: पहले सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-25x=x(x-5)(x+5)), so there are three distinct zeroes. Tip: first take out the common factor.
