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चेहरे के भाव अशाब्दिक संकेत हैं जो शब्दों के भाव और उद्देश्य को स्पष्ट करते हैं। परीक्षा में स्वर और हावभाव को भी इसी श्रेणी में रखें। / Facial expressions are non-verbal cues that clarify emotion and intention. In exams include tone and gestures in this category.
C. वे भावनात्मक संदर्भ प्रदान करते हैं/They provide emotional context
Explanation
Simple Explanation
भाव और स्वर शब्दों के पीछे की भावना स्पष्ट कर सकते हैं। परीक्षा में मौखिक और गैर-मौखिक संकेत साथ देखें। / Expression and tone can clarify the emotion behind words. Examine verbal and non-verbal cues together in the exam.
वीडियो रुकना गैर-मौखिक संकेतों को देखने से रोकता है। परीक्षा में नेटवर्क समस्या को तकनीकी बाधा पहचानें। / A frozen video prevents the viewer from seeing non-verbal cues. Identify network problems as technical barriers in the exam.
चेहरे के भाव अशाब्दिक संचार का हिस्सा होते हैं। परीक्षा में हावभाव और आंखों के संपर्क को भी अशाब्दिक संकेत मानें। / Facial expressions are part of non-verbal communication. In exams gestures and eye contact are also non-verbal cues.
संदेश और चेहरे के भाव में समानता से अर्थ स्पष्ट होता है। परीक्षा में इसे अशाब्दिक संचार से जोड़ें। / Consistency between the message and facial expressions makes meaning clear. In exams connect it with non-verbal communication.
वीडियो बैठक में वक्ता की आवाज साफ थी लेकिन चित्र कुछ देर बाद दिखाई दे रहा था। इससे शब्द और चेहरे के भाव मेल नहीं खा रहे थे। यह मुख्यतः किस प्रकार की बाधा है?
ध्वनि और चित्र का विलंब तकनीकी समस्या है जो संदेश की संगति बिगाड़ता है। परीक्षा में नेटवर्क संबंधी रुकावट को तकनीकी बाधा पहचानें। / The delay between audio and video is a technical problem that disrupts message consistency. In exams, identify network-related disruption as a technical barrier.
A. वे भावनाओं को समझने में सहायता करते हैं/They help in understanding emotions
Explanation
Simple Explanation
चेहरे के भाव गैर-मौखिक संकेत देकर भावना स्पष्ट करते हैं। परीक्षा में facial expressions को non-verbal communication मानें। / Facial expressions clarify emotions through non-verbal cues. In exams, classify facial expressions as non-verbal communication.
चेहरे के भाव समझ और रुचि की प्रतिक्रिया दे सकते हैं। परीक्षा में प्रतिक्रिया के मौखिक और गैर-मौखिक रूप पहचानें। / Facial expressions can provide feedback about understanding and interest. Identify verbal and non-verbal forms of feedback in the exam.
विद्यार्थियों के चेहरे समझ या भ्रम की प्रतिपुष्टि दे सकते हैं। शिक्षक उसी अनुसार संदेश बदलता है। / Students' expressions may provide feedback about understanding or confusion. The teacher adjusts the message accordingly.
C. प्राप्तकर्ता भ्रमित हो सकता है/The receiver may become confused
Explanation
Simple Explanation
विरोधी मौखिक और गैर-मौखिक संकेत अर्थ को अस्पष्ट बनाते हैं। परीक्षा में शब्द और हावभाव की संगति जांचें। / Conflicting verbal and non-verbal cues make meaning unclear. In exams, check consistency between words and expressions.
C. आमने-सामने बातचीत में/In face-to-face conversation
Explanation
Simple Explanation
आमने-सामने बातचीत में चेहरे के भाव शब्दों के अर्थ को प्रभावित करते हैं। परीक्षा में अमौखिक संकेतों का महत्व समझें। / In face-to-face communication facial expressions influence the meaning of words. In exams understand the role of non-verbal cues.
चेहरे के भाव बिना शब्दों के प्रतिक्रिया देते हैं। परीक्षा में इन्हें गैर-मौखिक feedback मानें। / Facial expressions provide feedback without words. In exams, classify them as non-verbal feedback.
B. क्योंकि चेहरे के भाव भावनात्मक संदर्भ जोड़ते हैं/Because facial expressions add emotional context
Explanation
Simple Explanation
चेहरे के भाव शब्दों को व्यंग्य खुशी नाराजगी या संदेह का अलग संदर्भ दे सकते हैं। परीक्षा में भावनात्मक संदर्भ समझें। / Facial expressions can give words different contexts such as sarcasm happiness displeasure or doubt. Understand emotional context in the exam.
चेहरे के भाव बिना शब्दों के भावना व्यक्त करते हैं। परीक्षा में चेहरे के भावों को अशाब्दिक संकेत के रूप में पहचानें। / Facial expressions convey emotions without words. In the exam identify facial expressions as non-verbal cues.
चेहरे के भाव खुशी दुख और आश्चर्य जैसी भावनाएं बताते हैं। प्रश्न में चेहरे से जुड़ी भावना पहचानें। / Facial expressions show emotions such as happiness sadness and surprise. Identify the emotion linked with the face.
चेहरे के भाव प्रसन्नता और दुख जैसी भावनाएं दिखाते हैं। प्रश्न में चेहरे का उल्लेख हो तो भावनाओं पर ध्यान दें। / Facial expressions show emotions such as happiness and sadness. Focus on emotions when a question mentions the face.
एक विद्यार्थी औपचारिक भाषण में सही विचार प्रस्तुत करता है लेकिन बार-बार स्थानीय बोलचाल के ऐसे शब्द प्रयोग करता है जिन्हें अधिकांश श्रोता नहीं समझते। मुख्य समस्या क्या है?
A. भाषा श्रोताओं के लिए सुलभ नहीं है/The language is not accessible to the audience
Explanation
Simple Explanation
अपरिचित स्थानीय शब्द व्यापक श्रोताओं के लिए बाधा बन सकते हैं। ऐसी भाषा चुनें जिसे अधिकांश श्रोता समझ सकें। / Unfamiliar local expressions may become a barrier for a wider audience. Choose language most listeners can understand.
फोन पर अर्थ मुख्यतः शब्दों और आवाज के उतार-चढ़ाव से समझा जाता है। परीक्षा में माध्यम के अनुसार संचार तत्व चुनें। / On a phone call meaning is understood mainly through words and voice modulation. Choose communication elements according to the medium in the exam.
B. स्वर स्पष्टता और शब्द चयन पर/Tone clarity and word choice
Explanation
Simple Explanation
टेलीफोन पर अर्थ मुख्य रूप से शब्द और स्वर से समझ आता है। स्पष्ट आवाज और सटीक शब्द प्रयोग करें। / On a telephone meaning is mainly understood through words and tone. Use a clear voice and precise words.
B. अशाब्दिक संकेत संदर्भ और व्यक्ति के अनुसार बदल सकते हैं/Non-verbal cues can vary with context and individual
Explanation
Simple Explanation
एक ही भाव अलग परिस्थितियों में अलग अर्थ दे सकता है। परीक्षा में अशाब्दिक संकेतों को संदर्भ सहित समझें। / The same expression can have different meanings in different situations. Interpret non-verbal cues with context.
A. अशाब्दिक दृश्य संचार/Non-verbal visual communication
Explanation
Simple Explanation
चेहरे के भाव और हावभाव बिना आवाज के भी संदेश दे सकते हैं। परीक्षा में तकनीकी स्थिति के अनुसार उपलब्ध संचार पहचानें। / Facial expressions and gestures can communicate even without sound. Identify the available mode according to the situation.
C. अशाब्दिक संकेत सीमित हो जाते हैं/Non-verbal cues become limited
Explanation
Simple Explanation
फोन पर आवाज सुनाई देती है लेकिन चेहरे और मुद्रा जैसे संकेत नहीं दिखते। परीक्षा में माध्यम की सीमाएं पहचानें। / A phone call carries voice but does not show facial expressions or posture. Identify limitations of the medium.
वीडियो सम्मेलन में ध्वनि और दृश्य दोनों का उपयोग होता है। परीक्षा में इसे श्रव्य दृश्य संचार के रूप में पहचानें। / A video conference uses both sound and visuals. Identify it as audio-visual communication.
चेहरे के भाव बिना शब्दों के भावना बताते हैं इसलिए वे अशाब्दिक संचार हैं। परीक्षा में हावभाव और मुद्रा भी याद रखें। / Facial expressions communicate feelings without words so they are non-verbal communication. Remember gestures and posture too.
चेहरे के भाव बिना शब्दों के भावना व्यक्त करते हैं। परीक्षा में हावभाव और चेहरे के भाव को अशाब्दिक संचार में रखें। / Facial expressions convey feelings without words. Include gestures and facial expressions under non-verbal communication.
चेहरे के भाव बिना शब्दों के भावना बताते हैं इसलिए वे अशाब्दिक संचार हैं। परीक्षा में हाव भाव को भी इसी श्रेणी में रखें। / Facial expressions convey feelings without words so they are non-verbal communication. Gestures also belong to this category.
कॉमिक और एनीमेशन में बड़े चेहरे से भाव अधिक स्पष्ट होते हैं। परीक्षा में माध्यम के अनुसार अनुपात का उद्देश्य देखें। / A larger face makes expressions clearer in comics and animation. Examine the purpose of proportion according to the medium in exams.
A. वे आँखों, भौंहों और मुँह के सूक्ष्म भावों को स्पष्ट करती हैं/They clarify subtle expressions around the eyes, eyebrows, and mouth
Explanation
Simple Explanation
आँखों के पास की महीन रेखाएँ, भौंहों का झुकाव और मुँह के किनारों की छोटी रेखाएँ खुशी, दुख, क्रोध या चिंता जैसे भाव दिखाती हैं। इसलिए विकल्प A सही है। चेहरे की बाहरी आकृति और अनुपात अलग आधारभूत रेखाओं से बनाए जाते हैं; छोटी भावात्मक रेखाएँ उनका स्थान नहीं लेतीं। परीक्षा टिप: चेहरे के भाव पहचानते समय आँखों, भौंहों और मुँह के आसपास की रेखाओं को देखें। / Fine lines near the eyes, the tilt of the eyebrows, and short lines at the corners of the mouth can show emotions such as happiness, sadness, anger, or worry. Therefore, option A is correct. The outer contour and basic proportions of a face are drawn using different structural lines; small expressive lines do not replace them. Exam tip: to identify facial expression, observe the lines around the eyes, eyebrows, and mouth.
A. भौंहों, आँखों और मुँह की रेखाओं की दिशा बदलकर/By changing the direction of the lines of the eyebrows, eyes, and mouth
Explanation
Simple Explanation
भौंहों, आँखों और मुँह की रेखाओं की दिशा तथा वक्रता बदलने से चेहरे के भाव दिखते हैं। उदाहरण के लिए, ऊपर उठी भौंहें आश्चर्य और नीचे झुकी भौंहें उदासी या चिंता दिखा सकती हैं। कागज का आकार या ब्रश पर रंग की मात्रा चेहरे की अभिव्यक्ति को सीधे नहीं बदलती। परीक्षा टिप: भाव पहचानने के लिए पहले भौंहों और मुँह की रेखाओं को ध्यान से देखें। / The direction and curve of lines used for the eyebrows, eyes, and mouth create facial expressions. For example, raised eyebrows may show surprise, while lowered eyebrows may suggest sadness or worry. Paper size and the amount of colour on a brush do not directly change a facial expression. Exam tip: to identify an expression, observe the eyebrow and mouth lines first.
A. क्योंकि हर कलाकार का अनुभव, दृष्टिकोण और शैली अलग होती है/Because each artist has different experience, viewpoint, and style
Explanation
Simple Explanation
कलाकार की संवेदना और दृष्टि अभिव्यक्ति को अलग बनाती है। परीक्षा में विषय और प्रस्तुति को अलग समझें। / The artist's sensitivity and viewpoint make expression different. Exam tip: distinguish subject from presentation.
चेहरे के भाव, जैसे आँखों की स्थिति, भौंहों का उठना और होंठों की आकृति, चित्र में चरित्र की भावना या मनोदशा व्यक्त करते हैं। उदाहरण के लिए, मुस्कान खुशी और झुकी भौंहें चिंता दिखा सकती हैं। प्रकाश की दिशा चित्र में छाया बनाने में सहायक होती है, पर वह भावना का मुख्य संकेत नहीं है। परीक्षा टिप: भाव पहचानने के लिए पहले आँखों, भौंहों और मुँह को ध्यान से देखें। / Facial expressions, such as the position of the eyes, raised eyebrows, and the shape of the lips, communicate a character’s feeling or mood in an artwork. For example, a smile may show happiness, while lowered eyebrows may suggest worry. The direction of light helps create shadows, but it is not the main indicator of emotion. Exam tip: To identify an expression, observe the eyes, eyebrows, and mouth first.
A. वे पात्र की भावनाएँ और मनोदशा व्यक्त करते हैं/They convey a character’s emotions and mood
Explanation
Simple Explanation
चेहरे के भाव दर्शक को पात्र की खुशी, दुःख, भय, क्रोध या आश्चर्य जैसी भावनाएँ समझने में मदद करते हैं। इसलिए वे चित्र या कलाकृति की मनोदशा और संदेश को प्रभावी बनाते हैं। आकृति का आकार और अनुपात अलग कलात्मक तत्व हैं, वे चेहरे के भावों का मुख्य कार्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: चेहरे के भावों को हमेशा भावना और मनोदशा की अभिव्यक्ति से जोड़ें। / Facial expressions help the viewer understand a character’s emotions, such as joy, sadness, fear, anger, or surprise. They therefore make the mood and message of an artwork clearer and more effective. Size and proportion are separate artistic elements; they are not the main purpose of facial expressions. Exam tip: link facial expressions with the expression of emotion and mood.
चेहरे के भाव खुशी दुख या आश्चर्य दिखा सकते हैं। परीक्षा में चेहरे के भाव को अभिव्यक्ति का संकेत मानें। / Facial expressions can show joy sadness or surprise. Exam tip: treat facial expression as a sign of expression.
\(x^2+4x+4=(x+2)^2=(x+2)(x+2)\), इसलिए यह दो रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है। विकल्प B में विवर्तक \(b^2-4ac=16-20=-4\) है, अतः उसके वास्तविक रैखिक गुणनखंड नहीं हैं। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग त्रिपद पहचानें। / \(x^2+4x+4=(x+2)^2=(x+2)(x+2)\), so it is a product of two linear factors. For option B, the discriminant is \(b^2-4ac=16-20=-4\), so it has no real linear factors. Exam tip: spot perfect-square trinomials.
\(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\)। क्योंकि \((x+1)^2\geq 0\), इसलिए इस व्यंजक का न्यूनतम मान \(1\) है और यह प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए धनात्मक है। निकटतम विकल्प B, \((x-1)^2\), \(x=1\) पर \(0\) हो जाता है, इसलिए वह सदैव धनात्मक नहीं है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात व्यंजक का न्यूनतम मान जाँचें। / \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\). Since \((x+1)^2\geq 0\), its minimum value is \(1\), so the expression is strictly positive for every real \(x\). The closest distractor, option B, is \((x-1)^2\), which equals \(0\) at \(x=1\); hence it is not strictly positive. Exam tip: complete the square to find the minimum value of a quadratic.
\(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), इसलिए A पूर्ण वर्ग है। B का स्थिर पद \(25\) होना चाहिए था। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / \(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), so A is a perfect square. In B, the constant term would need to be \(25\). Exam tip: match the middle term with \(2ab\).
\(9p^2=(3p)^2\) और \(4q^2=(2q)^2\) हैं तथा मध्य पद \(2(3p)(2q)=12pq\) है। इसलिए A, \((3p+2q)^2\) है। B में मध्य पद 10pq है। परीक्षा टिप: \(a^2+2ab+b^2\) से मिलान करें। / Here \(9p^2=(3p)^2\) and \(4q^2=(2q)^2\), while the middle term is \(2(3p)(2q)=12pq\). Thus A is \((3p+2q)^2\). Option B has 10pq instead. Exam tip: compare with \(a^2+2ab+b^2\).
\(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\), इसलिए यह हर वास्तविक \(a\) के लिए पूर्ण वर्ग है। विकल्प B में मध्य पद \(2ax\) के बजाय \(ax\) है। परीक्षा टिप: \((x+a)^2\) में मध्य पद हमेशा \(2ax\) होता है। / \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\), so it is a perfect square for every real \(a\). In option B, the middle term is \(ax\), not \(2ax\). Exam tip: the middle term of \((x+a)^2\) is always \(2ax\).
\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) में \(a=4p\) और \(b=3q\) लेने पर मध्य पद \(-2(4p)(3q)=-24pq\) मिलता है। अतः A, \((4p-3q)^2\) है। परीक्षा में पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल जाँचें। / Using \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), take \(a=4p\) and \(b=3q\). The middle term is \(-2(4p)(3q)=-24pq\), so A is \((4p-3q)^2\). Exam tip: verify the middle term after checking the square terms.
द्विघात बहुपद में \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। विकल्प C में \(a^2+1>0\) हर वास्तविक \(a\) के लिए है। जबकि B में \(a=0\) लेने पर द्विघात पद समाप्त हो जाता है। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात का गुणांक जाँचें। / A quadratic polynomial must have a non-zero coefficient of \(x^2\). In option C, \(a^2+1>0\) for every real \(a\). In B, taking \(a=0\) removes the quadratic term. Exam tip: always check whether the leading coefficient can become zero.
\(x^2-5x+6\) के लिए ऐसे दो पूर्णांक चाहिए जिनका गुणनफल 6 और योग \(-5\) हो। वे \(-2\) और \(-3\) हैं, अतः \((x-2)(x-3)\) मिलता है। परीक्षा में गुणनफल और योग दोनों जाँचें। / For \(x^2-5x+6\), we need two integers whose product is 6 and whose sum is \(-5\). They are \(-2\) and \(-3\), so it is \((x-2)(x-3)\). Exam tip: check both product and sum.
\(x^2+10x+25\) में \(x^2\) और \(25=5^2\) हैं तथा मध्य पद \(2\times x\times5=10x\) है। इसलिए यह \((x+5)^2\) है। परीक्षा में मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / In \(x^2+10x+25\), the last term is \(5^2\) and the middle term is \(2\times x\times5=10x\). Hence it equals \((x+5)^2\). In exams, verify the middle term using \(2ab\).
\((2x-3)(x+4)\) में उच्चतम घात वाला पद \(2x\times x=2x^2\) है, इसलिए इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है। विकल्प B की घात 3 है। परीक्षा में भिन्न या मूल वाले पदों को बहुपद मानने से पहले जाँचें। / In \((2x-3)(x+4)\), the highest-degree term is \(2x\times x=2x^2\), so its degree is 2 and it is quadratic. Option B has degree 3. Exam tip: check for variables in denominators or radicals before calling an expression a polynomial.
\(9x^2+12x+4=(3x)^2+2(3x)(2)+2^2=(3x+2)^2\), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। विकल्प B में अंतिम पद \(2\) है, जबकि \(2^2=4\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / \(9x^2+12x+4=(3x)^2+2(3x)(2)+2^2=(3x+2)^2\), so it is a perfect square. In option B, the constant should be \(4\), not \(2\). Exam tip: match the middle term with \(2ab\).
\(p^2-16q^2=p^2-(4q)^2=(p-4q)(p+4q)\), इसलिए इसके गुणनखंड संयुग्म द्विपद हैं। C समान द्विपद का वर्ग है। परीक्षा में ऋण चिह्न से जुड़े दो पूर्ण वर्ग पहचानें। / \(p^2-16q^2=p^2-(4q)^2=(p-4q)(p+4q)\), so its factors are conjugate binomials. C is a repeated-binomial square. Exam tip: spot two squares separated by a minus sign.
\(2x^2+3x+5\) के लिए विवर्तक \(b^2-4ac=3^2-4(2)(5)=-31\) है। यह ऋणात्मक है, इसलिए इसके वास्तविक रैखिक गुणनखंड नहीं हैं। परीक्षा में पहले विवर्तक जाँचें। / For \(2x^2+3x+5\), the discriminant is \(b^2-4ac=3^2-4(2)(5)=-31\). Since it is negative, the expression has no real linear factors, hence no integer-coefficient factorisation. Exam tip: check the discriminant first.
\(x^2+4x+5=(x+2)^2+1\)। क्योंकि \((x+2)^2\geq0\), इसलिए इस व्यंजक का न्यूनतम मान 1 है और यह प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए धनात्मक रहता है। निकटतम विकल्प B में \(x=2\) रखने पर \(-1\) मिलता है, इसलिए वह सदैव धनात्मक नहीं है। परीक्षा टिप: द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखकर उसका न्यूनतम या अधिकतम मान जाँचें। / \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1\). Since \((x+2)^2\geq0\), its minimum value is 1, so it is positive for every real \(x\). In the closest distractor, option B, substituting \(x=2\) gives \(-1\), so it is not always positive. Exam tip: complete the square to find the minimum or maximum value of a quadratic.
\((x-3)(2x+1)\) में उच्चतम घात वाला गुणनफल \(x\times2x=2x^2\) है, इसलिए इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है। B और C घन घात के हैं, जबकि D में \(x^{-1}\) है। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात पहचानें। / In \((x-3)(2x+1)\), the highest-degree product is \(x\times2x=2x^2\), so its degree is 2 and it is quadratic. B and C have degree 3, while D contains \(x^{-1}\), so it is not a polynomial. Exam tip: check the highest power first.
द्विघात व्यंजक में \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। विकल्प A में \(a^2+1>0\) हर वास्तविक a के लिए है, इसलिए यह सदैव द्विघात है। B में \(a=0\) पर व्यंजक रैखिक हो जाएगा। परीक्षा टिप: पहले \(x^2\) का गुणांक जाँचें। / For an expression to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be zero. In A, \(a^2+1>0\) for every real a, so it is always quadratic. In B, taking \(a=0\) makes it linear. Exam tip: check the \(x^2\) coefficient first.
\(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), इसलिए इसके दोनों द्विपद समान हैं। \(x^2+6x+8\) के गुणनखंड \((x+2)(x+4)\) हैं, जो समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग में मध्य पद \(2ab\) होता है। / \(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), so it is the product of two identical binomials. \(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\), whose factors differ. Exam tip: in a perfect square, the middle term is \(2ab\).
\(9a^2-12ab+4b^2=(3a-2b)^2=(3a-2b)(3a-2b)\), इसलिए यह दो समान रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है। यहाँ \(9a^2=(3a)^2\), \(4b^2=(2b)^2\) तथा मध्य पद \(2\times3a\times(-2b)=-12ab\) है। विकल्प B में अंतिम पद ऋणात्मक है, जबकि समान रैखिक गुणनखंडों के वर्ग में अंतिम पद धनात्मक होता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग त्रिपद के लिए पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर मध्य पद को \(\pm2pq\) से जाँचें। / \(9a^2-12ab+4b^2=(3a-2b)^2=(3a-2b)(3a-2b)\), so it is the product of two identical linear factors. Here \(9a^2=(3a)^2\), \(4b^2=(2b)^2\), and the middle term is \(2\times3a\times(-2b)=-12ab\). In option B, the last term is negative, whereas the square of a linear binomial has a positive last square term. Exam tip: for a perfect-square trinomial, take the square roots of the first and last terms and verify the middle term using \(\pm2pq\).
वर्ग रूप \(a^2-2ab+b^2\) में होता है। यहाँ \(a=2x\), \(b=3y\) लेने पर मध्य पद \(-2ab=-12xy\) मिलता है, इसलिए A \((2x-3y)^2\) है। B में अंतिम पद \(9y^2\) होना चाहिए। परीक्षा में मध्य पद का गुणांक जाँचें। / A binomial square has the form \(a^2-2ab+b^2\). With \(a=2x\) and \(b=3y\), the middle term is \(-2ab=-12xy\), so A is \((2x-3y)^2\). In B, the last term should be \(9y^2\), not \(6y^2\). Exam tip: verify all three terms.
\(x^2-y^2\) वर्गों के अंतर का रूप है: \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\)। गुणा करने पर \(+xy\) और \(-xy\) कट जाते हैं। परीक्षा में समान वर्गों के बीच ऋण चिह्न देखें। / \(x^2-y^2\) is a difference of squares: \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\). On multiplication, \(+xy\) and \(-xy\) cancel. In exams, look for a minus sign between two square terms.
\(9a^2-24ab+16b^2=(3a-4b)^2\), क्योंकि \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\) में \(x=3a\) और \(y=4b\) रखने पर मध्य पद \(-2\times 3a\times 4b=-24ab\) मिलता है। विकल्प D में पहले और अंतिम पद तो \((3a)^2\) तथा \((4b)^2\) हैं, लेकिन उसका मध्य पद \(-16ab\) है; इसलिए वह पूर्ण वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर \(\pm2xy\) से मध्य पद अवश्य मिलाएँ। / \(9a^2-24ab+16b^2=(3a-4b)^2\), using \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\) with \(x=3a\) and \(y=4b\). The middle term is \(-2\times3a\times4b=-24ab\). In option D, the first and last terms are \((3a)^2\) and \((4b)^2\), but its middle term is \(-16ab\), so it is not a perfect square. Exam tip: take square roots of the first and last terms and check whether the middle term equals \(\pm2xy\).
\(9a^2=(3a)^2\) और \(16b^2=(4b)^2\) हैं। बीच का पद \(-24ab=-2(3a)(4b)\) है, इसलिए व्यंजक \((3a-4b)^2\) है। विकल्प B में अंतिम पद \(16b^2\) होना चाहिए। परीक्षा में पहले और अंतिम पद के वर्गमूल जाँचें। / Here, \(9a^2=(3a)^2\) and \(16b^2=(4b)^2\). The middle term is \(-24ab=-2(3a)(4b)\), so the expression equals \((3a-4b)^2\). In option B, the last term should be \(16b^2\). Exam tip: check the square roots of the first and last terms first.
\(x^2+\frac{3}{x}+2\) में \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) है। बहुपद में \(x\) की घात ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए यह द्विघात बहुपद नहीं है। \(\sqrt{2}\) जैसा गुणांक मान्य है। परीक्षा टिप: घातों को पहले जाँचें। / In \(x^2+\frac{3}{x}+2\), the term \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) has a negative power of \(x\). A polynomial cannot contain negative exponents, so it is not quadratic. An irrational coefficient such as \(\sqrt{2}\) is allowed. Exam tip: check powers first.
\(9x^2-4=(3x)^2-2^2\), इसलिए यह वर्गों का अंतर है और \((3x-2)(3x+2)\) बनेगा। A और D पूर्ण वर्ग त्रिपद हैं। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों के वर्ग पहचानें। / \(9x^2-4=(3x)^2-2^2\), so it is a difference of squares and factors as \((3x-2)(3x+2)\). A and D are perfect-square trinomials. Exam tip: first check whether both terms are squares.
विकल्प A में \(9x^2=(3x)^2\) तथा \(16y^2=(4y)^2\) हैं। इन वर्गों का आवश्यक मध्य पद \(-2(3x)(4y)=-24xy\) है। अतः \(9x^2-24xy+16y^2=(3x-4y)^2\), इसलिए यह द्विपद का पूर्ण वर्ग है। विकल्प B में अंतिम पद \(16y^2\) के स्थान पर \(12y^2\) है, इसलिए वह पूर्ण वर्ग नहीं बनता। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर जाँचें कि मध्य पद \(\pm2ab\) के बराबर है या नहीं। / In option A, \(9x^2=(3x)^2\) and \(16y^2=(4y)^2\). The required middle term for these squares is \(-2(3x)(4y)=-24xy\). Hence, \(9x^2-24xy+16y^2=(3x-4y)^2\), so it is the perfect square of a binomial. In option B, the last term is \(12y^2\), not \(16y^2\), so it cannot form this perfect square. Exam tip: take the square roots of the first and last terms, then check whether the middle term equals \(\pm2ab\).
\(4x^2-25y^2=(2x)^2-(5y)^2\) है। अतः \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) से यह \((2x+5y)(2x-5y)\) बनेगा। परीक्षा में पहले वर्गों का अंतर पहचानें। / \(4x^2-25y^2=(2x)^2-(5y)^2\). Using \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), it becomes \((2x+5y)(2x-5y)\). Options C and D are perfect squares; first check for a difference of squares.
विकल्प B को सरल करने पर \((x+3)(x-3)+9=x^2-9+9=x^2\) प्राप्त होता है। इसकी उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। विकल्प A और D क्रमशः 4 तथा 1 बन जाते हैं, जबकि विकल्प C, \(5x\) बनता है और रैखिक है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक की घात ज्ञात करने से पहले उसे पूरी तरह सरल करें। / On simplifying option B, \((x+3)(x-3)+9=x^2-9+9=x^2\). Its highest power is 2, so it is a quadratic expression. Options A and D simplify to 4 and 1 respectively, while option C simplifies to \(5x\), which is linear. Exam tip: simplify an expression completely before identifying its degree.
पहचान \((x+p)(x-p)=x^2-p^2\) में मध्य पद कट जाता है। इसलिए \(x^2-81=x^2-9^2=(x+9)(x-9)\) है। \(x^2+18x+81\) पूर्ण वर्ग है, संयुग्म द्विपदों का गुणनफल नहीं। परीक्षा टिप: विपरीत अचर पद हों तो \(x\) का मध्य पद शून्य होता है। / In \((x+p)(x-p)=x^2-p^2\), the middle terms cancel. Hence \(x^2-81=x^2-9^2=(x+9)(x-9)\). \(x^2+18x+81\) is a perfect square, not a product of conjugate binomials. Exam tip: opposite constants give a zero middle term.
पूर्ण वर्ग त्रिपद का रूप \(a^2\pm2ab+b^2\) होता है। यहाँ \(9p^2=(3p)^2\) और \(16q^2=(4q)^2\) हैं तथा \(-2(3p)(4q)=-24pq\) है। अतः \(9p^2-24pq+16q^2=(3p-4q)^2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में अंतिम पद \(16q^2\) के स्थान पर \(15q^2\) है, इसलिए वह पूर्ण वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर मध्य पद को \(\pm2ab\) से जाँचें। / A perfect-square trinomial has the form \(a^2\pm2ab+b^2\). Here, \(9p^2=(3p)^2\) and \(16q^2=(4q)^2\), while \(-2(3p)(4q)=-24pq\). Therefore, \(9p^2-24pq+16q^2=(3p-4q)^2\), so option A is correct. In option B, the last term is \(15q^2\) instead of \(16q^2\), so it is not a perfect square. Exam tip: take the square roots of the first and last terms, then check whether the middle term equals \(\pm2ab\).
\(9a^2=(3a)^2\) और \(16b^2=(4b)^2\) हैं। बीच का पद \(-2\times3a\times4b=-24ab\) है, इसलिए यह \((3a-4b)^2\) है। परीक्षा में मध्य पद का गुणांक अवश्य मिलाइए। / Here, \(9a^2=(3a)^2\) and \(16b^2=(4b)^2\). The middle term is \(-2\times3a\times4b=-24ab\), so the expression is \((3a-4b)^2\). Exam tip: always verify the middle coefficient.
विकल्प A में \((x+1)(x-1)+1=x^2-1+1=x^2\) मिलता है, जिसकी उच्चतम घात 2 है; अतः यह द्विघात है। विकल्प B में पद कटकर 1 बचता है। परीक्षा में सरलीकरण के बाद उच्चतम घात देखें। / In option A, \((x+1)(x-1)+1=x^2-1+1=x^2\), whose highest power is 2, so it is quadratic. In option B, all variable terms cancel and only 1 remains. Exam tip: check the highest power after simplifying.
\(4x^2-7x\) में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात है; इसका अचर पद 0 है। \(4x^2-7\) का अचर पद −7 है। परीक्षा टिप: अचर पद वह पद है जिसमें x नहीं होता। / In \(4x^2-7x\), the highest power of x is 2, so it is quadratic, and its constant term is 0. \(4x^2-7\) has constant term −7. Exam tip: the constant term contains no x.
पहचान \((m-n)(m+n)=m^2-n^2\) दो वर्गों का अंतर है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B और C क्रमशः \((m+n)^2\) तथा \((m-n)^2\) हैं। परीक्षा में वर्गों के बीच ऋण चिह्न पहचानें। / The identity \((m-n)(m+n)=m^2-n^2\) represents a difference of squares, so A is correct. Options B and C are \((m+n)^2\) and \((m-n)^2\). Exam tip: look for a minus sign between two squares.
विकल्प A में \(y\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। B घन व्यंजक और C रैखिक व्यंजक है; D में चर हर में है। परीक्षा टिप: चर की उच्चतम घात देखकर व्यंजक की कोटि पहचानें। / In option A, the highest power of \(y\) is 2, so it is quadratic. B is cubic and C is linear, while D has the variable in the denominator. Exam tip: identify an expression’s degree by checking the highest power of the variable.
\(x^2-4y^2=x^2-(2y)^2\) है, इसलिए यह \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) के रूप में गुणनखंडित होता है: \((x-2y)(x+2y)\)। A और C पूर्ण वर्ग हैं, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: दोनों पदों के वर्ग और बीच में ऋण चिह्न देखें। / \(x^2-4y^2=x^2-(2y)^2\), so it fits \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) and factorises as \((x-2y)(x+2y)\). A and C are perfect-square trinomials, not differences. Exam tip: check for two squares separated by a minus sign.
\(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), इसलिए इसके दोनों रैखिक गुणक समान हैं। \(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\) में गुणक अलग हैं। परीक्षा में मध्य पद को \(2ab\) से मिलाइए। / \(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), so both linear factors are identical. In contrast, \(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\) has different factors. Exam tip: compare the middle term with \(2ab\).
\(4a^2-12ab+9b^2=(2a-3b)^2\), इसलिए यह वास्तव में एक द्विपद का वर्ग है, न कि दो वर्गों का अंतर। प्रश्न में दिया कोई भी विकल्प \(A^2-B^2\) के रूप में नहीं है; अतः प्रश्न दोषपूर्ण है। परीक्षा टिप: अंतर-वर्ग में मध्य पद नहीं होता, जैसे \(u^2-v^2\)। / None of the options is a difference of squares. Option B equals \((2a-3b)^2\), which is a square of a binomial, not \(A^2-B^2\). Hence the item is defective. Exam tip: a basic difference of squares has no middle term, as in \(u^2-v^2\).
द्विघात व्यंजक में चर की उच्चतम घात 2 होती है और उसका गुणांक शून्य नहीं होता। विकल्प B, 2x-2 - 3x + 1 में x की उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। विकल्प A रैखिक है, जबकि विकल्प C घन व्यंजक है; विकल्प D अचर व्यंजक है। परीक्षा टिप: व्यंजक की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A quadratic expression has degree 2, meaning that the highest power of its variable is 2 with a non-zero coefficient. In option B, 2x-2 - 3x + 1, the highest power of x is 2, so it is quadratic. Option A is linear, option C is cubic, and option D is a constant expression. Exam tip: determine an expression’s degree by identifying the highest exponent of the variable.
\(x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)\), इसलिए इसके गुणक संयुग्मी हैं। विकल्प C और D पूर्ण वर्ग हैं, जबकि \(x^2+49\) अंतर-वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: \(a^2-b^2\) में मध्य पद नहीं होता। / \(x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)\), so its factors are conjugates. Options C and D are perfect squares, while \(x^2+49\) is not a difference of squares. Exam tip: \(a^2-b^2\) has no middle term.
पूर्ण वर्ग त्रिपद का रूप \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\) होता है। विकल्प A में \(36=6^2\) और मध्य पद \(12x=2\times 6\times x\) है। अतः \(x^2+12x+36=(x+6)^2\)। विकल्प D में स्थिर पद \(36\) है, पर \(6^2\) के लिए मध्य पद \(12x\) होना चाहिए, \(6x\) नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर पद का वर्गमूल लेकर उसके दोगुने को मध्य पद के गुणांक से मिलाइए। / A perfect-square trinomial has the form \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\). In option A, \(36=6^2\) and the middle term is \(12x=2\times 6\times x\). Therefore, \(x^2+12x+36=(x+6)^2\). Option D has the constant term \(36\), but a square ending in \(6^2\) must have middle term \(12x\), not \(6x\). Exam tip: take the square root of the constant term and compare twice that value with the coefficient of the middle term.
\(x^2+10x+25\) में \(x^2=x^2\), \(25=5^2\) तथा मध्य पद \(10x=2\times x\times5\) है। अतः यह पहचान \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) के अनुसार \((x+5)^2\) है। विकल्प B में मध्य पद तो \(10x\) है, लेकिन अंतिम पद \(25\) के स्थान पर \(20\) है, इसलिए वह पूर्ण वर्ग त्रिपद नहीं है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग जाँचने के लिए अंतिम पद के वर्गमूल का दोगुना लेकर उसे \(x\) के गुणांक से मिलाएँ। / In \(x^2+10x+25\), we have \(x^2=x^2\), \(25=5^2\), and the middle term \(10x=2\times x\times5\). Therefore, using \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), it becomes \((x+5)^2\). In option B, the middle term is \(10x\), but the constant term is \(20\) instead of \(25\), so it is not a perfect-square trinomial. Exam tip: for a perfect square, compare the middle coefficient with twice the square root of the constant term.
\(x^2-49=x^2-7^2\) दो वर्गों का अंतर है, इसलिए \((x+7)(x-7)\) होगा। विकल्प C और D पूर्ण-वर्ग त्रिपद हैं। परीक्षा टिप: बीच में \(x\) वाला पद न हो तो वर्गों का अंतर जाँचें। / \(x^2-49=x^2-7^2\) is a difference of two squares, so it factorises as \((x+7)(x-7)\). Options C and D are perfect-square trinomials. Exam tip: first check for a missing middle \(x\)-term.
\(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), इसलिए यह पूर्ण वर्ग त्रिपद है। विकल्प B में स्थिर पद \(9\) के बजाय \(8\) है। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / \(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), so it is a perfect-square trinomial. Option B has \(8\), not the required \(9\). Exam tip: match the middle term with \(2ab\).
\(x^2-49=x^2-7^2\) दो पूर्ण वर्गों का अंतर है, इसलिए इसका गुणनखंडन \((x-7)(x+7)\) होगा। \(x^2+49\) वर्गों का योग है। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों के पूर्ण वर्ग जाँचें। / \(x^2-49=x^2-7^2\) is a difference of two perfect squares, so it factorises as \((x-7)(x+7)\). \(x^2+49\) is a sum of squares. Exam tip: first check whether both terms are perfect squares.
\(x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)\), इसलिए यह वर्गों के अंतर के सूत्र पर आधारित है। \(x^2+49\) वर्गों का योग है। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों को पूर्ण वर्ग पहचानें। / \(x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)\), so it follows the difference-of-squares identity. \(x^2+49\) is a sum of squares, not this form. Exam tip: first check whether both terms are perfect squares.
संयुग्मी द्विपद \((p+q)\) और \((p-q)\) के गुणन में मध्य पद कट जाता है: \((p+q)(p-q)=p^2-q^2\)। विकल्प B किसी द्विपद का वर्ग है। परीक्षा टिप: विपरीत चिन्ह वाले समान द्विपद दिखें तो वर्गों का अंतर पहचानें। / The conjugate binomials \((p+q)\) and \((p-q)\) give \((p+q)(p-q)=p^2-q^2\), as the middle terms cancel. Option B is a binomial square. Exam tip: opposite signs with matching terms indicate a difference of squares.
\(9p^2-25q^2=(3p)^2-(5q)^2\), इसलिए यह दो वर्गों का अंतर है। इसका गुणनखंडन \((3p-5q)(3p+5q)\) है। विकल्प C \((3p-5q)^2\) है, जो पूर्ण वर्ग है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: दो वर्ग पदों के बीच ऋण चिह्न हो और मध्य पद न हो, तो \(a^2-b^2\) का रूप जाँचें। / \(9p^2-25q^2=(3p)^2-(5q)^2\), so it is a difference of two squares. Its factorisation is \((3p-5q)(3p+5q)\). Option C is \((3p-5q)^2\), which is a perfect square, not a difference of squares. Exam tip: when two squared terms have a minus sign and no middle term, check the form \(a^2-b^2\).
\(x^2-25=x^2-5^2\), इसलिए यह \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) के रूप में है और \((x-5)(x+5)\) बनेगा। \(x^2+6x+9\) पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में दोनों पदों के वर्ग और बीच में ऋण चिह्न देखें। / \(x^2-25=x^2-5^2\), so it matches \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) and factors as \((x-5)(x+5)\). \(x^2+6x+9\) is a perfect square instead. Exam tip: check for two squares separated by a minus sign.
\(x^2-49=x^2-7^2\), जो \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) के रूप में है। इसलिए इसके गुणनखंड \((x-7)(x+7)\) होंगे। \(x^2+49\) वर्गों का योग है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों के पूर्ण वर्ग पहचानें। / \(x^2-49=x^2-7^2\), so it matches \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) and factorises as \((x-7)(x+7)\). \(x^2+49\) is a sum of squares, not a difference. Exam tip: check whether both terms are perfect squares with a minus sign.
\(9p^2-16q^2=(3p)^2-(4q)^2\) है। अतः यह दो एकपदों के वर्गों का अंतर है और इसका गुणनखंडन \((3p+4q)(3p-4q)\) होगा। विकल्प C एक पूर्ण वर्ग त्रिपद \((3p-4q)^2\) है, वर्गों का अंतर नहीं। परीक्षा में जाँचें कि दोनों पद पूर्ण वर्ग हों और उनके बीच ऋण चिह्न हो। / \(9p^2-16q^2=(3p)^2-(4q)^2\). Hence, it is the difference of the squares of two monomials and factors as \((3p+4q)(3p-4q)\). Option C is a perfect-square trinomial, \((3p-4q)^2\), not a difference of squares. Exam tip: check for two perfect-square terms separated by a minus sign.
\(x^2-25=x^2-5^2\), इसलिए \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) से यह \((x-5)(x+5)\) बनता है। \(x^2+25\) वर्गों का योग है। परीक्षा टिप: घटाव का चिह्न पहचानें। / \(x^2-25=x^2-5^2\), so using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), it becomes \((x-5)(x+5)\). \(x^2+25\) is a sum of squares. Exam tip: look for a subtraction sign between perfect squares.
\(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), इसलिए यह पूर्ण वर्ग त्रिपद है। विकल्प B में अंतिम पद 20 है, जबकि \(5^2=25\) होना चाहिए। परीक्षा में मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / \(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), so it is a perfect-square trinomial. In option B, the constant should be \(5^2=25\), not 20. Exam tip: match the middle term with \(2ab\).
\(x^2-49=x^2-7^2\), इसलिए यह वर्गों का अंतर है और \((x-7)(x+7)\) बनता है। B तथा D पूर्ण वर्ग हैं, वर्गों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: बीच का पद न हो और घटाव हो तो वर्गों का अंतर जाँचें। / \(x^2-49=x^2-7^2\), so it is a difference of squares and factorises as \((x-7)(x+7)\). B and D are perfect squares, not differences of squares. Exam tip: look for two squares joined by a minus sign.
\(x^2-49=x^2-7^2\), जो दो वर्गों का अंतर है। इसलिए इसका गुणनखंडन \((x-7)(x+7)\) होगा। \(x^2+49\) वर्गों का योग है, अंतर नहीं। परीक्षा में दोनों पदों को पूर्ण वर्ग के रूप में पहचानें। / \(x^2-49=x^2-7^2\), so it is a difference of two squares and factorises as \((x-7)(x+7)\). \(x^2+49\) is a sum, not a difference, of squares. Exam tip: first rewrite constants such as \(49\) as \(7^2\).
\(x^2-49=x^2-7^2\) दो वर्गों का अंतर है। पहचान \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) से यह \((x-7)(x+7)\) बनता है। \(x^2+49\) में वर्गों का योग है। परीक्षा टिप: समान मध्य पद वाले विपरीत चिह्नों के द्विपद पहचानें। / \(x^2-49=x^2-7^2\) is a difference of squares. Using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), it becomes \((x-7)(x+7)\). \(x^2+49\) is a sum of squares. Exam tip: conjugate factors have the same terms but opposite signs.
\(x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7)\), इसलिए यह दो वर्गों का अंतर है। \(x^2+49\) में घटाव नहीं है। परीक्षा में \(a^2-b^2\) पहचान पहचानें। / \(x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7)\), so it is a difference of two squares. \(x^2+49\) has addition, not subtraction. Exam tip: look for \(a^2-b^2\).
\(4a^2-25b^2=(2a)^2-(5b)^2\), इसलिए यह वर्गों का अंतर है और \((2a-5b)(2a+5b)\) बनेगा। विकल्प A और C पूर्ण वर्ग हैं, अंतर नहीं। परीक्षा में पहले दोनों पदों के वर्ग पहचानें। / \(4a^2-25b^2=(2a)^2-(5b)^2\), so it is a difference of squares and factors as \((2a-5b)(2a+5b)\). Options A and C are perfect squares, not differences. Exam tip: check whether both terms are squares with a minus sign.
\(x^2-25=x^2-5^2\), इसलिए \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) से इसका गुणनखंड \((x-5)(x+5)\) है। \(x^2+25\) वर्गों का योग है। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों के पूर्ण वर्ग होने जाँचें। / \(x^2-25=x^2-5^2\), so using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), it factorises as \((x-5)(x+5)\). \(x^2+25\) is a sum of squares. Exam tip: first check whether both terms are perfect squares.
पहचान \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) होती है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, \((a+b)^2\) का रूप है। परीक्षा में मध्य पद का चिन्ह देखकर पहचान चुनें। / The identity \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) shows that option A is correct. Option B represents \((a+b)^2\). In exams, identify the sign of the middle term first.
\(x^2+10x+25\) में \(25=5^2\) और मध्य पद \(2\times x\times5=10x\) है। इसलिए यह \((x+5)^2\) बनता है। \(x^2+10x+24\) में स्थिर पद 25 नहीं है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के लिए मध्य पद जाँचें। / In \(x^2+10x+25\), \(25=5^2\) and the middle term is \(2\times x\times5=10x\). Hence it equals \((x+5)^2\). In \(x^2+10x+24\), the constant term is not 25. Exam tip: verify the middle term for a perfect square.
पूर्ण वर्ग त्रिपद का रूप \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) होता है। यहाँ \(4x^2=(2x)^2\) और \(9y^2=(3y)^2\) हैं तथा मध्य पद \(-2(2x)(3y)=-12xy\) है। अतः \(4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2\)। विकल्प B में अंतिम पद \(9y^2\) होना चाहिए, जबकि विकल्प C में मध्य पद \(-12xy\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर \(\pm2ab\) से मध्य पद मिलाएँ। / A perfect-square trinomial has the form \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\). Here, \(4x^2=(2x)^2\), \(9y^2=(3y)^2\), and the middle term is \(-2(2x)(3y)=-12xy\). Therefore, \(4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2\). In option B, the last term would need to be \(9y^2\); in option C, the middle term would need to be \(-12xy\). Exam tip: take the square roots of the first and last terms, then verify the middle term using \(\pm2ab\).
\(4p^2-25q^2=(2p)^2-(5q)^2\), इसलिए यह वर्गों का अंतर है और इसका गुणनखंड \((2p-5q)(2p+5q)\) होगा। विकल्प C और D पूर्ण वर्ग त्रिपद हैं। परीक्षा में पहले दोनों पदों के वर्ग पहचानें और बीच का चिह्न जाँचें। / \(4p^2-25q^2=(2p)^2-(5q)^2\), so it is a difference of squares and factorises as \((2p-5q)(2p+5q)\). Options C and D are perfect-square trinomials. Exam tip: identify square terms first, then check for a minus sign between them.
\(x^2+xy+y^2\) के लिए ऐसे पूर्णांक \(a,b\) चाहिए जिनमें \(a+b=1\) और \(ab=1\) हो; कोई पूर्णांक युग्म यह नहीं देता। A में वर्गों का अंतर लगता है। परीक्षा टिप: मध्य पद और स्थिर पद के गुणनफल की जाँच करें। / For \(x^2+xy+y^2\), integer values \(a,b\) would need \(a+b=1\) and \(ab=1\), but no integer pair satisfies both. Option A uses difference of squares. Exam tip: check the required sum and product of coefficients.
\(49a^2-16b^2=(7a)^2-(4b)^2\) है। अतः \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) से यह \((7a-4b)(7a+4b)\) बनेगा। विकल्प C पूर्ण वर्ग है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों के वर्ग पहचानें। / \(49a^2-16b^2=(7a)^2-(4b)^2\). Using \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\), it becomes \((7a-4b)(7a+4b)\). Option C is a perfect square, not a difference. Exam tip: first identify whether both terms are squares.
\(9a^2=(3a)^2\) और \(4b^2=(2b)^2\) हैं। पूर्ण वर्ग त्रिपद के लिए मध्य पद \(2\times 3a\times 2b=12ab\) होना चाहिए। अतः \(9a^2+12ab+4b^2=(3a+2b)^2=(3a+2b)(3a+2b)\)। विकल्प B में अंतिम पद \(4b^2\) नहीं है, जबकि C में मध्य पद \(12ab\) नहीं है। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर मध्य पद को \(2pq\) से जाँचें। / \(9a^2=(3a)^2\) and \(4b^2=(2b)^2\). For a perfect-square trinomial, the middle term must be \(2\times 3a\times 2b=12ab\). Hence, \(9a^2+12ab+4b^2=(3a+2b)^2=(3a+2b)(3a+2b)\). In option B, the last term is not \(4b^2\), while option C does not have the required middle term \(12ab\). Exam tip: take the square roots of the first and last terms, then check the middle term using \(2pq\).
\(x^3+8=x^3+2^3\), इसलिए यह दो घनों का योग है और सूत्र \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) लागू होता है। \(x^3-8\) घनों का अंतर है। परीक्षा में 8 को \(2^3\) पहचानें। / \(x^3+8=x^3+2^3\), so it is a sum of two cubes and \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) applies. \(x^3-8\) is a difference of cubes. Exam tip: recognise \(8=2^3\).
विकल्प A में \(b^2=(-12)^2=144\) और \(4ac=4\times9\times4=144\) हैं, इसलिए इसके दो समान रैखिक गुणनखंड हैं: \((3x-2)^2\)। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग के लिए \(b^2=4ac\) जाँचें। / For option A, \(b^2=(-12)^2=144\) and \(4ac=4\times9\times4=144\), so it has equal linear factors: \((3x-2)^2\). Option B fails this test. Exam tip: check \(b^2=4ac\) for a perfect-square trinomial.
