Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह प्राचीन कठोर आग्नेय और कायांतरित चट्टानों से बना है/It is made of ancient hard igneous and metamorphic rocks
Explanation
Simple Explanation
प्रायद्वीपीय पठार पुराना चट्टानी और अपेक्षाकृत स्थिर भूभाग है। परीक्षा में इसे हिमालय से पुराना याद रखें। / The Peninsular Plateau is an old rocky and relatively stable landmass. For exams remember it as older than the Himalayas.
दशमलव को ध्यान से देखें: (46), फिर (46), फिर (46) आता है। / Look carefully at the decimal: (46), then (46), then (46) appears.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए आवर्ती समूह (46) है। / So the recurring block is (46).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: आवर्ती समूह पहचानना भिन्न में बदलने की पहली सीढ़ी है। / Exam tip: Identifying the recurring block is the first step in converting it to a fraction.
सार्व अंतर (11-5=6) है इसलिए (n=11+6=17)। पहले दो पदों से (d) निकालना आसान होता है। / The common difference is (11-5=6), so (n=11+6=17). It is easy to find (d) from the first two terms.
(d=35-27=8) है। लगातार पद दिए हों तो बाद वाले पद में से पहले वाला पद घटाएं। / (d=35-27=8). When consecutive terms are given, subtract the earlier term from the later term.
सार्व अंतर (25-18=7) है। लगातार पद दिए हों तो सीधे घटाव करें। / The common difference is (25-18=7). When consecutive terms are given, subtract directly.
सार्व अंतर (10-6=4) है इसलिए (n=10+4=14)। पहले दो पदों से (d) निकालना आसान होता है। / The common difference is (10-6=4), so (n=10+4=14). It is easy to find (d) from the first two terms.
सार्व अंतर (17-12=5) है। लगातार पद दिए हों तो बाद वाला पद घटा पहले वाला पद करें। / The common difference is (17-12=5). When consecutive terms are given, subtract the earlier term from the later term.
सार्व अंतर (41-32=9) है। लगातार पद दिए हों तो कोई सूत्र लंबा लगाने की जरूरत नहीं होती। / The common difference is (41-32=9). When consecutive terms are given, no long formula is needed.
सार्व अंतर (31-26=5) है। लगातार पद दिए हों तो सीधा अंतर निकालें। / The common difference is (31-26=5). When consecutive terms are given, directly find the difference.
संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x(x+2)=483) से (x=21) मिलता है इसलिए बड़ी संख्या (23) है। / The integers are (x) and (x+2). From (x(x+2)=483), (x=21), so the larger integer is (23).
संख्याएँ (x) और (x+2) मानें। (x(x+2)=360) से \(x^2+2x-360=0\) और (x=18) मिलता है। / Let the integers be (x) and (x+2). From (x(x+2)=360), \(x^2+2x-360=0\), so (x=18).
यदि बीच वाला पूर्णांक (x) है, तो पहले और तीसरे (x-1) तथा (x+1) होंगे। ((x-1)(x+1)=195) से (x=14)। / If the middle integer is (x), the first and third are (x-1) and (x+1). From ((x-1)(x+1)=195), (x=14).
यदि छोटा पूर्णांक (x) है, तो (x(x+1)=306)। (x=17) होने पर बड़ा पूर्णांक (18) है। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=306). When (x=17), the larger integer is (18).
यदि बीच वाला पूर्णांक (x) है, तो पहले और तीसरे (x-1) तथा (x+1) होंगे। ((x-1)(x+1)=143) से (x=12)। / If the middle integer is (x), the first and third are (x-1) and (x+1). From ((x-1)(x+1)=143), (x=12).
यदि छोटा पूर्णांक (x) है, तो (x(x+1)=156)। (x=12) मिलने पर बड़ा पूर्णांक (13) है। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=156). When (x=12), the larger integer is (13).
संख्याएँ (x) और (x+1) होंगी। (x(x+1)=380) से (x=19), इसलिए बड़ा पूर्णांक (20) है। / The numbers are (x) and (x+1). From (x(x+1)=380), (x=19), so the larger integer is (20).
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x(x+1)=306), जिससे (x=17) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=306), giving (x=17). Write consecutive integers as (x) and (x+1).
संख्याएँ (x) और (x+1) मानें, तब (x(x+1)=210) से (x=14) है। इसलिए बड़ा पूर्णांक (15) है। / Let the numbers be (x) and (x+1), then (x(x+1)=210) gives (x=14). So the larger integer is (15).
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x(x+1)=182), जिससे (x=13) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखना सही तरीका है। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=182), which gives (x=13). Writing consecutive integers as (x) and (x+1) is the correct method.
मान लें संख्याएँ (x) और (x+1) हैं, तब (x(x+1)=132) से (x=11) है। इसलिए बड़ा पूर्णांक (12) है। / Let the numbers be (x) and (x+1), then (x(x+1)=132) gives (x=11). So the larger integer is (12).
मान लें छोटा पूर्णांक (x) है, तब (x(x+1)=72) से (x=8) मिलता है। परीक्षा में लगातार संख्याओं को (x) और (x+1) लिखें। / Let the smaller integer be (x), then (x(x+1)=72) gives (x=8). In exams, write consecutive numbers as (x) and (x+1).
जड़ों का योग (2a+9) और गुणनफल ((a+4)(a+5)) है। ये (a+4) और (a+5) से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (2a+9) and the product is ((a+4)(a+5)). These match (a+4) and (a+5).
जड़ों का योग (2a+7) और गुणनफल ((a+3)(a+4)) है। ये (a+3) और (a+4) से मिलते हैं। / The sum of roots is (2a+7) and the product is ((a+3)(a+4)). These match (a+3) and (a+4).
गुणनफल (a-2+3a+2=(a+1)(a+2)) है और योग (2a+3) है। इसलिए जड़ें (a+1) और (a+2) हैं। / The product is (a-2+3a+2=(a+1)(a+2)) and the sum is (2a+3). Hence the roots are (a+1) and (a+2).
पूर्णांक (x) और (x+1) होंगे, इसलिए (x-2+(x+1)2=145)। सरल करने पर \(2x^2+2x-144=0\) मिलता है। / The integers are (x) and (x+1), so (x-2+(x+1)2=145). Simplifying gives \(2x^2+2x-144=0\).
पूर्णांक (x) और (x+1) होंगे, इसलिए (x-2+(x+1)2=85)। सरल करने पर \(2x^2+2x-84=0\) मिलता है। / The integers are (x) and (x+1), so (x-2+(x+1)2=85). Simplifying gives \(2x^2+2x-84=0\).
संख्याएँ (x) और (x+1) होंगी, इसलिए (x(x+1)=56)। इससे \(x^2+x-56=0\) मिलता है। / The numbers are (x) and (x+1), so (x(x+1)=56). This gives \(x^2+x-56=0\).
लगातार सम संख्या (x+2) होगी। इसलिए गुणनफल का समीकरण (x(x+2)=48) है। / The next consecutive even number is (x+2). So the product equation is (x(x+2)=48).
लगातार अगला पूर्णांक (x+1) होगा। गुणनफल (30) है इसलिए (x(x+1)=30) बनेगा। / The next consecutive integer is (x+1). Since the product is (30), the equation is (x(x+1)=30).
A. क्योंकि 5 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 का चक्र आता है/Because division by 5 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3, 4
Step 1
Concept
कोई भी पूर्णांक 5 से भाग देने पर (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), या (5q+4) रूप में होता है। / Any integer divided by 5 has one of the forms (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), or (5q+4).
Step 2
Why this answer is correct
पांच लगातार पूर्णांकों में ये पांचों शेषफल आ जाते हैं। / Five consecutive integers cover all five remainders.
Step 3
Exam Tip
जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 5 से विभाज्य होगी। / The number with remainder 0 is divisible by 5.
A. क्योंकि 4 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3 का चक्र आता है/Because division by 4 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3
Step 1
Concept
कोई भी पूर्णांक 4 से भाग देने पर (4q), (4q+1), (4q+2), या (4q+3) रूप में होता है। / Any integer divided by 4 is of the form (4q), (4q+1), (4q+2), or (4q+3).
Step 2
Why this answer is correct
चार लगातार पूर्णांकों में ये चारों शेषफल आ जाते हैं। / Four consecutive integers cover all these four remainders.
Step 3
Exam Tip
जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 4 से विभाज्य होगी। / The one with remainder 0 is divisible by 4.
A. क्योंकि उनमें एक 2 से और एक 3 से विभाज्य होता है/Because one of them is divisible by 2 and one is divisible by 3
Step 1
Concept
दो लगातार पूर्णांकों में एक सम होता है, इसलिए 2 का गुणनखंड मिलता है। / Among two consecutive integers, one is even, so a factor 2 is present.
Step 2
Why this answer is correct
तीन लगातार पूर्णांकों में एक 3 से विभाज्य होता है, इसलिए 3 का गुणनखंड मिलता है। / Among three consecutive integers, one is divisible by 3, so a factor 3 is present.
Step 3
Exam Tip
2 और 3 मिलकर 6 बनाते हैं, इसलिए गुणनफल 6 से विभाज्य है। / Since 2 and 3 together make 6, the product is divisible by 6.
A. क्योंकि 3 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2 में से एक होता है/Because division by 3 gives one of the remainders 0, 1, 2
Step 1
Concept
3 से भाग देने पर हर संख्या (3q), (3q+1), या (3q+2) रूप में होगी। / On division by 3, every integer is of the form (3q), (3q+1), or (3q+2).
Step 2
Why this answer is correct
तीन लगातार संख्याओं में ये तीनों शेषफल आते हैं, इसलिए एक संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित होगी। / Three consecutive integers cover these three remainders, so one is exactly divisible by 3.
Step 3
Exam Tip
लगातार संख्याओं में शेषफल चक्र का उपयोग करें। / Use the cycle of remainders for consecutive-number problems.
C. गंगा ब्रह्मपुत्र मैदानों द्वारा अलग दिखना/Appearing separated by Ganga Brahmaputra plains
Explanation
Simple Explanation
मेघालय पठार प्रायद्वीपीय पठार का पूर्वोत्तर विस्तार है पर मैदानों से अलग दिखाई देता है। परीक्षा में गारो खासी जयंतिया याद रखें। / Meghalaya Plateau is a northeastern extension of Peninsular Plateau but appears separated by plains. For exams remember Garo Khasi Jaintia.
निश्चित आवृत्ति वाला दशमलव आवर्ती दशमलव कहलाता है। / A decimal with a fixed repeating block is called a recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
हर आवर्ती दशमलव को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए वह परिमेय होता है। / Every recurring decimal can be written as a fraction, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
स्थायी दोहराव परिमेयता का मजबूत संकेत है। / A fixed repeat is a strong sign of rationality.
पहले और पांचवें पद के बीच (4) बराबर अंतराल हैं, इसलिए \(d=\frac{19-3}{4}=4\)। परीक्षा में दूर दिए गए पदों के बीच कुल अंतर को अंतरालों की संख्या से भाग दें। / There are (4) equal gaps between the first and fifth terms, so \(d=\frac{19-3}{4}=4\). In exams, divide the total difference between distant terms by the number of gaps.
मध्य पद \(m=\frac{14+50}{2}=32\) है और (d=18)। परीक्षा में तीन पदों में मध्य पद औसत होता है। / The middle term is \(m=\frac{14+50}{2}=32\), and (d=18). In exams, the middle term of three AP terms is the average.
अंतर (k+1,3k-3,3k-3) हैं और बराबरी से (k=2) मिलता है। परीक्षा में चार पदों में सभी लगातार अंतर जांचें। / The differences are (k+1,3k-3,3k-3), and equality gives (k=2). In exams, check all consecutive differences for four terms.
पद (p,p+d,p+2d,p+3d) रखने पर (p+s=q+r) मिलता है। परीक्षा में चार पदों के संबंध प्रतीकात्मक रूप से जांचें। / Writing the terms as (p,p+d,p+2d,p+3d) gives (p+s=q+r). In exams, verify four-term relations symbolically.
अंतर बराबर करने पर (x+5=3x-8), इसलिए \(x=\frac{13}{2}\) और \(d=\frac{23}{2}\)। परीक्षा में भिन्न उत्तर से घबराएं नहीं। / Equating differences gives (x+5=3x-8), so \(x=\frac{13}{2}\) and \(d=\frac{23}{2}\). In exams, do not reject a fractional answer too quickly.
मध्य पद सिरों का औसत है, इसलिए \(z=\frac{-17+23}{2}=3\) और (d=20)। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या जोड़ते समय चिन्ह सावधानी से रखें। / The middle term is the average of the extremes, so \(z=\frac{-17+23}{2}=3\) and (d=20). In exams, handle signs carefully when averaging negatives.
बराबर अंतर से (-3t+9=-2t+11), इसलिए (t=-2) और (d=15)। परीक्षा में दूसरे से पहला और तीसरे से दूसरा पद घटाएं। / Equal differences give (-3t+9=-2t+11), so (t=-2) and (d=15). In exams, subtract first from second and second from third.
अंतर बराबर करने पर (-2q-6=-2q+14) मिलता है, जो असंभव है। परीक्षा में कभी-कभी चर कटने पर विरोधाभास मिलता है। / Equating differences gives (-2q-6=-2q+14), which is impossible. In exams, cancellation of the variable can produce a contradiction.
मध्य पद \(y=\frac{-11+5}{2}=-3\) है और (d=8)। परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं के औसत में सावधानी रखें। / The middle term is \(y=\frac{-11+5}{2}=-3\), and (d=8). In exams, be careful while averaging negative numbers.
पद (a,a+d,a+2d,a+3d) मानने पर दोनों ओर (2a+3d) मिलता है। परीक्षा में प्रतीकात्मक पद रखकर संबंध जांचें। / Taking the terms as (a,a+d,a+2d,a+3d), both sides become (2a+3d). In exams, test relations by writing symbolic AP terms.
बराबर अंतर से (x+3=2x-4), इसलिए (x=7) और (d=10)। परीक्षा में पहले अंतरों को अलग-अलग लिखें। / Equal differences give (x+3=2x-4), so (x=7) and (d=10). In exams, write the two differences separately first.
समांतर श्रेणी में मध्य पद दो सिरों का औसत होता है, इसलिए (2b=a+c)। परीक्षा में तीन पदों के लिए यह सबसे तेज जांच है। / In an AP, the middle term is the average of the two extremes, so (2b=a+c). In exams, this is the fastest check for three terms.
बराबर अंतर से (5-m=3m-7), अतः (m=3) और (d=2)। परीक्षा में अज्ञात वाले पदों में चिन्हों पर विशेष ध्यान दें। / Equal differences give (5-m=3m-7), so (m=3) and (d=2). In exams, be careful with signs in terms containing variables.
मध्य पद सिरों का औसत होता है, इसलिए \(x=\frac{7+31}{2}=19\)। फिर (d=19-7=12)। / The middle term is the average of the extremes, so \(x=\frac{7+31}{2}=19\). Then (d=19-7=12).
बराबर अंतर रखने पर (p+4=3p-8), इसलिए (p=6) और (d=10)। परीक्षा में तीन लगातार पदों के लिए दूसरा घटाकर पहला और तीसरा घटाकर दूसरा बराबर करें। / Equating differences gives (p+4=3p-8), so (p=6) and (d=10). For three consecutive terms, set second minus first equal to third minus second.
(25-4=21) तीन बराबर अंतरालों में बंटेगा इसलिए दूसरा पद (11) और तीसरा (18) होना चाहिए। इससे (x=11) और (2x+1=18) साथ-साथ सत्य नहीं होते। / (25-4=21) is split into three equal gaps, so the second term should be (11) and the third (18). This makes (x=11) and (2x+1=18) impossible together.
(20-2=18) तीन अंतरालों में बंटता है, इसलिए दूसरा पद (8) और तीसरा (14) होना चाहिए। इससे (x=5) और \(x=\frac{13}{3}\) मिलते हैं, इसलिए कोई एक मान संभव नहीं है। / (20-2=18) is split into three gaps, so the second term should be (8) and the third (14). This gives (x=5) and \(x=\frac{13}{3}\), so no single value is possible.
कुल अंतर (20-2=18) तीन बराबर भागों में बंटेगा, इसलिए (d=6)। अतः (x=8), (y=14) और (x+y=22)। / The total difference (20-2=18) is split into three equal gaps, so (d=6). Hence (x=8), (y=14), and (x+y=22).
(25-19=6), इसलिए (u=19-6=13)। खाली पद निकालते समय समान अंतर को पीछे की ओर भी लगाएं। / (25-19=6), so (u=19-6=13). While finding a missing term, apply the same difference backward too.
तीन क्रमागत पदों में (2) गुना मध्य पद बाकी दो पदों के योग के बराबर होता है। इसलिए (2(x+8)=(2x+1)+(3x-4)) से (x=3)। / In three consecutive terms, twice the middle term equals the sum of the other two terms. So (2(x+8)=(2x+1)+(3x-4)) gives (x=3).
(25-4=21) तीन समान अंतरालों में बंटता है, इसलिए (d=7) और (x+1=11) से (x=10)। चार क्रमागत पदों में पहले और अंतिम पद से (d) निकालना तेज होता है। / (25-4=21) is split into three equal gaps, so (d=7), and (x+1=11) gives (x=10). In four consecutive terms, finding (d) from first and last terms is fast.
कुल अंतर (26-2=24) तीन समान भागों में बंटता है, इसलिए (d=8) और दूसरा पद (10) होना चाहिए; अतः (x=10), पर तीसरा (3x=30) होगा, इसलिए कोई समाधान नहीं। / The total difference (26-2=24) splits into three equal gaps, so (d=8) and the second term should be (10); hence (x=10), but the third (3x=30), so there is no solution.
(2) से (8) तक अंतर (6) है, इसलिए (s=2-6=-4)। पीछे की ओर चलते समय वही (d) घटाएं। / The difference from (2) to (8) is (6), so (s=2-6=-4). While moving backward, subtract the same (d).
कुल अंतर (29-5=24) तीन बराबर भागों में बंटता है, इसलिए (d=8), (x=13), (y=21)। दो खाली पदों में कुल अंतर को बराबर अंतरालों में बांटें। / The total difference (29-5=24) is split into three equal gaps, so (d=8), (x=13), and (y=21). For two missing terms, divide the total difference into equal gaps.
तीन क्रमागत पदों में मध्य पद का दुगुना बाकी दो पदों के योग के बराबर होता है, इसलिए (2(2x+5)=(3x-2)+(x+16)) से (x=2)। परीक्षा में मध्य पद नियम तेज तरीका है। / In three consecutive terms, twice the middle term equals the sum of the other two, so (2(2x+5)=(3x-2)+(x+16)) gives (x=2). The middle-term rule is a fast exam method.
(20,16,12,8) में हर बार (4) घटता है, इसलिए (d=-4). केवल घटते क्रम को देखकर नहीं, बराबर अंतर भी जांचें। / In (20,16,12,8), (4) is subtracted each time, so (d=-4). Do not just see decreasing order; check equal differences too.
(8) से (14) तक अंतर (6) है, इसलिए (s=8-6=2)। पीछे की ओर चलते समय भी वही (d) घटाएं। / The difference from (8) to (14) is (6), so (s=8-6=2). While moving backward, subtract the same (d).
कुल अंतर (14-2=12) तीन बराबर भागों में बंटेगा, इसलिए (d=4) और (x+1=6) नहीं बल्कि दूसरा पद (6) होना चाहिए, अतः (x=5)। कुल अंतर को समान भागों में बांटना उपयोगी है। / The total difference (14-2=12) is split into three equal gaps, so (d=4), and the second term should be (6), hence (x=5). Splitting the total difference into equal parts is useful.
तीन समान अंतर हैं, इसलिए \(d=\frac{24-3}{3}=7\), अतः (x=10) और (y=17)। दो खाली पद हों तो कुल अंतर को बराबर भागों में बांटें। / There are three equal gaps, so \(d=\frac{24-3}{3}=7\), hence (x=10) and (y=17). For two missing terms, split the total difference into equal gaps.
(16) से (22) का अंतर (6) है, इसलिए (y=16-6=10)। खाली पद निकालने में समान अंतर को आगे और पीछे दोनों तरफ लगाएं। / The difference from (16) to (22) is (6), so (y=16-6=10). Use the same difference both forward and backward for missing terms.
मध्य पद का दुगुना बाकी दोनों पदों के योग के बराबर होता है, इसलिए (2(x+4)=(2x-3)+(3x-1)) से (x=3)। तीन क्रमागत पदों में मध्य पद का नियम तेज होता है। / Twice the middle term equals the sum of the other two terms, so (2(x+4)=(2x-3)+(3x-1)) gives (x=3). For three consecutive terms, the middle-term rule is fast.
(5) से (20) तक तीन समान अंतर हैं इसलिए \(d=\frac{20-5}{3}=5\), अतः (x=10) और (y=15)। दो पदों के बीच समान अंतर बांटकर खाली पद निकालें। / There are three equal gaps from (5) to (20), so \(d=\frac{20-5}{3}=5\), hence (x=10) and (y=15). Find missing terms by splitting the total difference into equal gaps.
मध्य पद \(b=\frac{13+31}{2}=22\) है। तीन क्रमागत पदों में बीच वाला पद औसत होता है। / The middle term is \(b=\frac{13+31}{2}=22\). In three consecutive terms the middle term is the average.
मध्य पद \(m=\frac{8+20}{2}=14\) है। तीन क्रमागत पदों में बीच वाला पद औसत होता है। / The middle term is \(m=\frac{8+20}{2}=14\). In three consecutive terms the middle term is the average.
\(2,6,10,14,\ldots\) में अंतर (4,4,4) हैं। समान अंतर समांतर श्रेढ़ी की पहचान है। / In \(2,6,10,14,\ldots\), the differences are (4,4,4). Equal differences identify an arithmetic progression.
\(2,3,5,8,\ldots\) में अंतर (1,2,3) हैं। इसलिए लगातार अंतर बराबर नहीं हैं। / In \(2,3,5,8,\ldots\), the differences are (1,2,3). Hence the consecutive differences are not equal.
B. यह समांतर श्रेढ़ी नहीं है/It is not an arithmetic progression
Explanation
Simple Explanation
अंतर समान नहीं हैं इसलिए सार्व अंतर स्थिर नहीं है। अतः यह समांतर श्रेढ़ी नहीं है। / The differences are not equal, so the common difference is not constant. Hence it is not an arithmetic progression.
मध्य पद \(b=\frac{9+21}{2}=15\) है। तीन क्रमागत पदों में बीच वाला पद औसत होता है। / The middle term is \(b=\frac{9+21}{2}=15\). In three consecutive terms the middle term is the average.
बीच का पद (3) और (11) का औसत है इसलिए \(m=\frac{3+11}{2}=7\)। तीन क्रमागत पदों में मध्य पद औसत होता है। / The middle term is the average of (3) and (11), so \(m=\frac{3+11}{2}=7\). In three consecutive terms the middle term is the average.
(d=0) का अर्थ है कि लगातार पदों में कोई अंतर नहीं है। इसलिए सभी पद बराबर होंगे। / (d=0) means there is no difference between consecutive terms. Therefore, all terms will be equal.
\(2,4,7,11,\ldots\) में अंतर (2,3,4) हैं। अंकगणितीय श्रेणी पहचानने के लिए सभी अंतर समान होने चाहिए। / In \(2,4,7,11,\ldots\), the differences are (2,3,4). To identify an arithmetic progression all differences must be equal.
क्रमागत पदों का समान अंतर अंकगणितीय श्रेणी की मुख्य पहचान है। परीक्षा में पहले अंतर जांचें। / A constant difference between consecutive terms is the key sign of an arithmetic progression. In exams first check the differences.
\(11<\sqrt{131}<12\), इसलिए \(13<\sqrt{131}+2<14\)। पहले वर्गमूल की सीमा निकालें। / Since \(11<\sqrt{131}<12\), \(13<\sqrt{131}+2<14\). First find the bounds of the square root.
\( \sqrt{126}\approx11.22 \) और \( \sqrt{80}\approx8.94 \), इसलिए अंतर लगभग (2.28) है। पहले दोनों वर्गमूलों का अनुमान करें। / \( \sqrt{126}\approx11.22 \) and \( \sqrt{80}\approx8.94 \), so the difference is about (2.28). Estimate both square roots first.
\(9<\sqrt{89}<10\), इसलिए \(10<\sqrt{89}+1<11\)। पहले मूल की सीमा निकालें। / Since \(9<\sqrt{89}<10\), \(10<\sqrt{89}+1<11\). First find the root bounds.
\( \sqrt{91}\approx9.54 \) और \( \sqrt{55}\approx7.42 \), इसलिए अंतर लगभग (2.12) है। पहले दोनों मूलों का अनुमान करें। / \( \sqrt{91}\approx9.54 \) and \( \sqrt{55}\approx7.42 \), so the difference is about (2.12). Estimate both roots first.
\( \sqrt{6}\approx2.449 \) और \( \frac{1}{3}\approx0.333 \), इसलिए योग लगभग (2.782) है। मिश्रित मानों में पहले अनुमान लगाएँ। / \( \sqrt{6}\approx2.449 \) and \( \frac{1}{3}\approx0.333 \), so the sum is about (2.782). For mixed values, estimate first.
क्योंकि \(8<\sqrt{80}<9\), इसलिए \(-9<-\sqrt{80}<-8\)। ऋणात्मक मूलों में अंतराल सावधानी से लिखें। / Since \(8<\sqrt{80}<9\), \(-9<-\sqrt{80}<-8\). Write intervals carefully for negative roots.
क्योंकि (49<52<64), इसलिए \(7<\sqrt{52}<8\)। पहले निकटतम पूर्ण वर्गों को पहचानें। / Since (49<52<64), \(7<\sqrt{52}<8\). First identify the nearest perfect squares.
\(6<\sqrt{37}<7\) इसलिए \(7<\sqrt{37}+1<8\)। पहले वर्गमूल की सीमा निकालें। / Since \(6<\sqrt{37}<7\), \(7<\sqrt{37}+1<8\). First find the bounds of the square root.
