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3 एक अभाज्य संख्या है। यदि \(3\mid p^2\), तो अभाज्य गुणनखंड के नियम से \(3\mid p\) होगा। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य संख्या वाला नियम याद रखें। / Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). On writing \(p=3k\), the proof further shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: use this prime-factor property carefully.
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानते हैं। बाद में यह मान्यता गलत सिद्ध होती है। / In contradiction method \(\sqrt{3}\) is first assumed rational. Later this assumption is shown false.
B. \(m\) और \(n\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(m\) and \(n\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(3n^2=m^2\) से \(m^2\), और इसलिए \(m\), 3 से विभाज्य होता है। \(m=3k\) रखने पर \(n\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में ‘सह-अभाज्य’ शब्द अवश्य जाँचें। / From \(3n^2=m^2\), \(m^2\), and hence \(m\), is divisible by 3. Putting \(m=3k\) shows that \(n\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: identify the common factor causing the contradiction.
A. मान लेते हैं कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं; फिर विरोधाभास प्राप्त करते हैं कि दोनों सम हैं।
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में \(\sqrt{2}=p/q\) को न्यूनतम रूप में मानते हैं। वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है, जिससे \(p\) और फिर \(q\) दोनों सम निकलते हैं। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: न्यूनतम रूप वाली शर्त अवश्य लिखें। / In proof by contradiction, assume \(\sqrt{2}=p/q\) in lowest terms. Squaring gives \(p^2=2q^2\), so \(p\), and then \(q\), must both be even. This contradicts coprimality. Exam tip: always state that the fraction is in lowest terms.
एक विद्यार्थी ने
dfrac{p}{q}
को सबसे सरल रूप में मानकर
p-2=3q-2
प्राप्त किया, जहाँ
p
और
q
सह-अभाज्य हैं। कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता में विरोधाभास सिद्ध करता है?
A. 3, p और q दोनों को विभाजित करता है/3 divides both p and q
Explanation
Simple Explanation
p-2=3q-2
से
p-2
3 से विभाज्य है, इसलिए
p
भी 3 से विभाज्य होगा।
p=3k
रखने पर
q-2=3k-2
मिलता है, अतः
q
भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग के अभाज्य गुणनखंडों पर ध्यान दें। / From
p-2=3q-2
,
p-2
is divisible by 3, so
p
is divisible by 3. Put
p=3k
; then
q-2=3k-2
, so
q
is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: use prime divisibility of squares.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय है, क्योंकि \(1.414\) को \(\frac{1414}{1000}\) के रूप में लिखा जा सकता है। उसके तर्क में मुख्य त्रुटि क्या है?
A. \(1.414\), \(\sqrt{2}\) का केवल सन्निकट दशमलव मान है/\(1.414\) is only an approximate decimal value of \(\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(1.414\) एक समाप्त दशमलव है, इसलिए वह परिमेय है; पर यह \(\sqrt{2}\) के बराबर नहीं है। जाँचें: \(1.414^2=1.999396\ne2\)। अतः यह केवल सन्निकट मान है। परीक्षा में ‘लगभग’ और ‘बराबर’ में अंतर रखें। / \(1.414\) is a terminating decimal and hence rational, but it is not exactly equal to \(\sqrt{2}\). Check: \(1.414^2=1.999396\ne2\). Thus it is only an approximation. In exams, distinguish “approximately equal” from “equal.”
संबंध \(a^2=2b^2\) में \(a^2\), \(2\) और पूर्णांक \(b^2\) का गुणनफल है। इसलिए \(a^2\) 2 से विभाज्य है, अर्थात यह सम है। \(a^2\) का अभाज्य या शून्य होना इस संबंध से आवश्यक रूप से सिद्ध नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी संख्या को \(2\times\text{पूर्णांक}\) के रूप में लिख सकें, तो वह सम होती है। / In \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is 2 multiplied by the integer \(b^2\). Hence \(a^2\) is divisible by 2, so it is even. The relation does not necessarily show that \(a^2\) is prime or zero. Exam tip: A number expressible as \(2\times\text{an integer}\) is even.
A. परिमेय संख्या सिद्ध करने के लिए अंश और हर दोनों पूर्णांक होने चाहिए; यहाँ \(\sqrt{12}\) पूर्णांक नहीं है/To establish rationality, both the numerator and denominator must be integers; here \(\sqrt{12}\) is not an integer.
Explanation
Simple Explanation
समानता सही है, क्योंकि \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)। परिमेय संख्या के लिए \(a/b\) में \(a,b\) पूर्णांक होने चाहिए; यहाँ हर अपरिमेय है। परीक्षा में हर की प्रकृति जाँचें। / The equality is correct because \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}\). However, a rational number must be expressed as \(a/b\) with integers \(a,b\); the denominator here is irrational. Check the denominator in such claims.
किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है। यह \(\sqrt{2}\) के प्रमाण का मुख्य तथ्य है। / If the square of an integer is even then the integer is also even. This is the key fact in the proof of \(\sqrt{2}\).
अभाज्य गुणनखंड (3) यदि वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। यही \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में लगता है। / If prime factor (3) divides the square then it also divides the number. This is used in the proof of \(\sqrt{3}\).
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, इसलिए 3, \(p\) को भी विभाजित करेगा; फिर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड के वर्ग वाले नियम का उपयोग करें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\), so 3 divides \(p\); substituting back shows that 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: use the prime-factor property of a square carefully.
1 इकाई भुजा वाले एक वर्ग की विकर्ण की लंबाई \(\sqrt{2}\) इकाई है। एक विद्यार्थी इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखना चाहता है। कौन-सा निष्कर्ष सही है?
A. यह संभव नहीं है, क्योंकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।/This is not possible because \(\sqrt{2}\) is irrational.
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से \(d^2=1^2+1^2=2\), इसलिए \(d=\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{2}\) को पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता। दोनों सम होने पर भिन्न सरल नहीं रहती। परीक्षा टिप: विकर्ण के लिए पहले \(d^2\) लिखें। / By Pythagoras’ theorem, \(d^2=1^2+1^2=2\), so \(d=\sqrt{2}\). It cannot be written as a ratio of integers. If both terms are even, the fraction is not in lowest form. Exam tip: write \(d^2\) first for a square’s diagonal.
\(a=2k\) को \(a^2=2b^2\) में रखने पर \((2k)^2=2b^2\), अर्थात \(4k^2=2b^2\) मिलता है। दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर \(b^2=2k^2\) प्राप्त होता है। \(b^2=3k^2\) में 3 अनावश्यक रूप से आ जाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद पहले वर्ग का विस्तार करें, फिर समान गुणनखंड से सरल करें। / Substituting \(a=2k\) into \(a^2=2b^2\) gives \((2k)^2=2b^2\), or \(4k^2=2b^2\). Dividing both sides by 2 gives \(b^2=2k^2\). The relation \(b^2=3k^2\) introduces an unjustified factor of 3, so it is incorrect. Exam tip: after substitution, expand the square first and then cancel common factors carefully.
दिए गए संबंध \(p=3r\) को \(p^2=3q^2\) में रखने पर \((3r)^2=3q^2\), अर्थात \(9r^2=3q^2\) मिलता है। दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर \(q^2=3r^2\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। \(q^2=2r^2\) में 2 का कोई आधार नहीं है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद वर्ग करते समय \((3r)^2=9r^2\) अवश्य लिखें। / Substitute \(p=3r\) into \(p^2=3q^2\). This gives \((3r)^2=3q^2\), or \(9r^2=3q^2\). Dividing both sides by 3 gives \(q^2=3r^2\). Hence, option B is correct. There is no basis for \(q^2=2r^2\). Exam tip: while substituting, remember that \((3r)^2=9r^2\).
क्योंकि \(b^2=2k^2\) में दायाँ पक्ष 2 का गुणज है, इसलिए \(b^2\) सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम तभी होता है जब वह पूर्णांक स्वयं सम हो; अतः (b) सम है। (b) के विषम होने पर उसका वर्ग भी विषम होता, इसलिए विकल्प A गलत है। परीक्षा टिप: अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में यह निष्कर्ष दिखाता है कि दोनों संख्याओं का एक सामान्य गुणनखंड 2 है। / Since the right-hand side of \(b^2=2k^2\) is a multiple of 2, \(b^2\) is even. The square of an integer is even only when the integer itself is even; hence (b) is even. If (b) were odd, its square would also be odd, so option A is incorrect. Exam tip: in a contradiction proof of irrationality, this step helps show that both integers have the common factor 2.
दिया है कि q² = 3r², इसलिए q², 3 से विभाज्य है। क्योंकि 3 एक अभाज्य संख्या है, यदि 3 किसी संख्या के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस संख्या को भी विभाजित करती है। अतः q, 3 से विभाज्य है। केवल q² के 3 से विभाज्य होने से q के सम होने या शून्य होने का निष्कर्ष नहीं निकलता। परीक्षा टिप: अभाज्य p के लिए p | a² होने पर p | a लिखें। / Given q² = 3r², q² is divisible by 3. Since 3 is prime, if 3 divides the square of an integer, it must also divide the integer itself. Therefore, q is divisible by 3. Divisibility of q² by 3 does not imply that q is even or zero. Exam tip: For a prime p, use p | a² ⇒ p | a.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सहभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) प्राप्त करने के बाद कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता का विरोधाभास सिद्ध करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए अभाज्य गुणनखंड नियम से \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सहभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में यह प्रतिस्थापन अवश्य दिखाएँ। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3; since 3 is prime, \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\) to obtain that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: show this substitution clearly.
यदि \(\sqrt{2}\) को \(\frac{p}{q}\) के रूप में माना जाए, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं, तो प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास उत्पन्न करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं/Both \(p\) and \(q\) are even
Explanation
Simple Explanation
\(2q^2=p^2\) से \(p^2\) सम, अतः \(p\) सम होता है। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा साझा गुणनखंड 2 से पहचानें। / From \(2q^2=p^2\), \(p^2\), and hence \(p\), is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Exam tip: identify the common factor 2 to state the contradiction.
A. क्योंकि उससे असंभव स्थिति मिलती है/Because it leads to an impossible situation
Explanation
Simple Explanation
जब मान्यता से विरोधाभास मिलता है तो वह मान्यता गलत होती है। इसी से अपरिमेयता सिद्ध होती है। / When an assumption leads to contradiction, that assumption is false. This proves irrationality.
B. केवल पूर्ण वर्ग वाले पूर्णांकों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं; \(3\) पूर्ण वर्ग नहीं है।/Only perfect-square integers have integer square roots; \(3\) is not a perfect square.
Explanation
Simple Explanation
पूर्णांक होना पर्याप्त नहीं है; केवल पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। मानें \(\sqrt{3}=p/q\); तब \(p^2=3q^2\), जिससे \(p\) और फिर \(q\) 3 से विभाज्य होंगे—विरोधाभास। परीक्षा में पूर्ण वर्ग और अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / Being an integer is not enough; only perfect squares have integer square roots. If \(\sqrt{3}=p/q\), then \(p^2=3q^2\), so both \(p\) and \(q\) become divisible by 3, a contradiction. Exam tip: check perfect squares and prime factors.
B. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3) then (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) वर्ग को विभाजित करे तो वह संख्या को भी विभाजित करता है। यही प्रमाण में मुख्य कदम है। / If prime (3) divides the square, it divides the number too. This is the main step in the proof.
B. \(26^2=676\), जबकि \(3\times15^2=675\)/\(26^2=676\), whereas \(3\times15^2=675\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(\sqrt{3}=\frac{26}{15}\) होता, तो वर्ग करने पर \(26^2=3\times15^2\) मिलता। पर \(676\ne675\), इसलिए दावा गलत है। परीक्षा टिप: भिन्न वाले मूल के दावे को वर्ग करके जाँचें। / If \(\sqrt{3}=\frac{26}{15}\), squaring both sides would give \(26^2=3\times15^2\). But \(676\ne675\), so the claim is false. Exam tip: verify a claimed square root fraction by squaring it.
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है/\(\sqrt{3}\) is not rational
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या वह संख्या होती है जिसे \(p/q\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ \(p,q\) पूर्णांक हों और \(q\ne0\)। इसलिए \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध होने का सीधा निष्कर्ष है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। यह न तो पूर्णांक है, न शून्य और न ही ऋणात्मक; वास्तव में \(\sqrt{3}>0\)। परीक्षा टिप: “अपरिमेय” का अर्थ हमेशा “परिमेय नहीं” याद रखें। / An irrational number cannot be written in the form \(p/q\), where \(p\) and \(q\) are integers and \(q\ne0\). Hence, proving that \(\sqrt{3}\) is irrational directly means that \(\sqrt{3}\) is not rational. It is neither an integer nor zero nor negative; in fact, \(\sqrt{3}>0\). Exam tip: remember that “irrational” means “not rational.”
एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर भी \(q\) के 3 से विभाज्य होने की आवश्यकता नहीं है। उसका कथन क्यों गलत है?
A. क्योंकि \(p^2=3q^2\) से \(p\) और फिर \(q\), दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध होते हैं।/Because \(p^2=3q^2\) shows that both \(p\), and then \(q\), are divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों पदों में समान गुणनखंड खोजें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: look for a common factor in both terms.
B. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानना/Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)
Explanation
Simple Explanation
पहले \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जाता है। फिर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) बनता है। / First \(\sqrt{3}\) is assumed rational and written as \(\frac{p}{q}\). Then squaring gives \(p^2=3q^2\).
A. यदि \(a^2\) 3 से विभाज्य है, तो \(a\) भी 3 से विभाज्य है।
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{3}=a/b\), जहाँ \(a,b\) पूर्णांक हैं। तब \(a^2=3b^2\), इसलिए \(a^2\) 3 से विभाज्य है और इससे \(a\) भी 3 से विभाज्य होता है। आगे \(b\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: अभाज्य \(p\) के लिए \(p\mid a^2\Rightarrow p\mid a\) याद रखें। / Assume \(\sqrt{3}=a/b\) for integers \(a,b\). Then \(a^2=3b^2\), so \(3\mid a^2\), which implies \(3\mid a\). Substitution then gives \(3\mid b\), creating the contradiction. Exam tip: remember that for a prime \(p\), \(p\mid a^2\Rightarrow p\mid a\).
B. दोनों का सामान्य गुणनखंड केवल (1) है/Their only common factor is (1)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता। दोनों का (3) से विभाज्य निकलना इसी से टकराता है। / Coprime numbers have no common factor except (1). Both becoming divisible by (3) clashes with this.
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों सम का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both even
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में पहले परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके दोनों सम का विरोधाभास मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), it is first assumed rational. Then squaring gives the contradiction of both even.
B. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों (3) से विभाज्य का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में पहले परिमेय मानते हैं। फिर (3) से विभाज्यता का विरोधाभास मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), it is first assumed rational. Then a divisibility by (3) contradiction is obtained.
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में मान लेते हैं कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने की शर्त क्यों आवश्यक है?
A. क्योंकि अंत में \(p\) और \(q\) दोनों का 3 से विभाज्य होना इस शर्त का विरोध करता है/Because the eventual result that both \(p\) and \(q\) are divisible by 3 contradicts this condition
Explanation
Simple Explanation
\(3q^2=p^2\) से \(p\) 3 से विभाज्य होता है। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए भिन्न का सरलतम रूप जरूरी है। / From \(3q^2=p^2\), \(p\) must be divisible by 3. Putting \(p=3k\) then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: always assume the fraction is in lowest terms.
A. अनंत अनावर्ती दशमलव प्रसार वाली संख्या अपरिमेय होती है।
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार या तो समाप्त होते हैं या अनंत आवर्ती होते हैं। जैसे \(\frac{1}{3}=0.333\ldots\) आवर्ती है, जबकि \(\sqrt{2}=1.414\ldots\) अनंत अनावर्ती होने से अपरिमेय है। परीक्षा में ‘अनावर्ती’ शब्द पर विशेष ध्यान दें। / A rational number has either a terminating or a non-terminating recurring decimal expansion. For example, \(\frac{1}{3}=0.333\ldots\) repeats, whereas \(\sqrt{2}=1.414\ldots\) is non-repeating and irrational. Exam tip: look carefully for the word “recurring.”
C. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध हुआ/\(\sqrt{2}\) is proved irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से विरोधाभास आता है। इसलिए सही निष्कर्ष \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / The rational assumption leads to contradiction. So the correct conclusion is that \(\sqrt{2}\) is irrational.
एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=2q^2\) से केवल \(p\) सम है, \(q\) के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। विद्यार्थी की त्रुटि क्या है?
B. \(p\) सम होने पर \(p=2k\) रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी सम है।
Explanation
Simple Explanation
\(p\) सम होने पर \(p=2k\) लिखें। तब \(4k^2=2q^2\), अर्थात \(q^2=2k^2\); इसलिए \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में सम वर्ग से सम संख्या निष्कर्षित करें। / Write \(p=2k\) because \(p\) is even. Then \(4k^2=2q^2\), so \(q^2=2k^2\) and \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Exam tip: an even square has an even base.
पूर्णांक के लिए वर्ग की समता संख्या की समता से जुड़ी होती है। वर्ग सम न हो तो संख्या सम नहीं होगी। / For integers, evenness of the square is linked with evenness of the number. If the square is not even, the number is not even.
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग में तभी आता है जब संख्या में (3) हो। यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का आधार है। / Prime factor (3) appears in the square only when it appears in the number. This supports the proof of \(\sqrt{3}\).
A. यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में हो, तो \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध होते हैं।
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में \(\sqrt{3}=p/q\) को सरलतम रूप में मानते हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\), और फिर \(q\), 3 से विभाज्य निकलते हैं; यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों का एक ही अभाज्य से विभाज्य होना विरोधाभास दर्शाता है। / In proof by contradiction, assume \(\sqrt{3}=p/q\) in lowest terms. From \(p^2=3q^2\), first \(p\), then \(q\), is divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: common divisibility by the same prime signals the contradiction.
A. 1.732, \(\sqrt{3}\) का केवल सन्निकट मान है; यह उसका सटीक मान नहीं है।/1.732 is only an approximation of \(\sqrt{3}\), not its exact value.
Explanation
Simple Explanation
1.732, \(\sqrt{3}\) का सटीक मान नहीं, केवल निकटतम दशमलव मान है। जाँचें: \(1.732^2=2.999824\), जो 3 नहीं है। \(\sqrt{3}\) का दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है। परीक्षा में सन्निकट मान को वास्तविक मान न मानें। / 1.732 is not the exact value of \(\sqrt{3}\); it is only an approximation. Check: \(1.732^2=2.999824\), not 3. The decimal expansion of \(\sqrt{3}\) is non-terminating and non-repeating. In exams, do not treat an approximate value as an exact value.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(3q^2=p^2\) मिलता है। कौन-सा निष्कर्ष उसकी धारणा को गलत सिद्ध करता है?
C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(3q^2=p^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या से वर्ग की विभाज्यता पर ध्यान दें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: use prime divisibility of squares carefully.
A. यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है।
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। तब \(p^2=2q^2\), इसलिए \(p^2\) सम है और \(p\) भी सम होगा। इससे \(q\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग से सम संख्या निष्कर्षित करना याद रखें। / Assume \(\sqrt{2}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Then \(p^2=2q^2\), so \(p^2\) is even and hence \(p\) is even. This also makes \(q\) even, contradicting coprimality. Exam tip: remember that an even square implies an even integer.
एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं तथा \(q\ne0\), तो \(p^2=3q^2\) से केवल \(p\) 3 से विभाज्य सिद्ध होता है। इस तर्क में अगला सही निष्कर्ष क्या है?
A. \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है।
Explanation
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\(p\) के 3 से विभाज्य होने पर \(p=3k\) लिखें। तब \(p^2=3q^2\) में रखने से \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह \(p/q\) के सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग में किसी अभाज्य गुणनखंड की जाँच करें। / Since 3 divides \(p\), write \(p=3k\). Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\); hence 3 also divides \(q\). This contradicts lowest form. Exam tip: track prime factors after squaring.
B. ताकि सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास दिख सके/So contradiction with coprime assumption can be shown
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। दोनों का (3) से विभाज्य होना इसी से विरोधाभास देता है। / In lowest form (p) and (q) are coprime. Both being divisible by (3) contradicts this.
B. 1.73 केवल एक परिमेय सन्निकटन है; \(\sqrt{3}\) का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/1.73 is only a rational approximation; the decimal expansion of \(\sqrt{3}\) is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
1.73, \(\sqrt{3}\) का केवल दो दशमलव स्थानों तक सन्निकट मान है, स्वयं \(\sqrt{3}\) नहीं। \(\sqrt{3}\approx1.732\ldots\) अनंत और अनावर्ती है, इसलिए अपरिमेय है। परीक्षा में सन्निकटन और वास्तविक संख्या में अंतर रखें। / 1.73 is only \(\sqrt{3}\) rounded to two decimal places, not its exact value. Since \(\sqrt{3}\approx1.732\ldots\) is non-terminating and non-repeating, it is irrational. Exam tip: never infer rationality from a rounded decimal.
\(1^2<2<2^2\), इसलिए 2 पूर्ण वर्ग नहीं है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। इसके विपरीत, \(\sqrt{4}=2\) परिमेय है। परीक्षा टिप: पहले जाँचें कि मूल के भीतर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। / Since \(1^2<2<2^2\), 2 is not a perfect square, so \(\sqrt{2}\) is irrational. In contrast, \(\sqrt{4}=2\) is rational. Exam tip: first check whether the radicand is a perfect square.
परिमेय मानकर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। इसी से सहभाज्य शर्त मिलती है। / After assuming rationality, the number is written in lowest fraction form. This gives the coprime condition.
एक विद्यार्थी लिखता है: “3 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।” \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने वाले प्रश्न में इस कथन का सबसे उपयुक्त मूल्यांकन क्या है?
A. निष्कर्ष सही है, पर कथन पूर्ण प्रमाण नहीं है; विरोधाभास द्वारा उचित तर्क देना आवश्यक है।
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) वास्तव में अपरिमेय है, लेकिन केवल 3 के पूर्ण वर्ग न होने का कथन औपचारिक प्रमाण नहीं है। मानें \(\sqrt{3}=p/q\); तब \(p^2=3q^2\) से \(p\) और फिर \(q\) 3 से विभाज्य होंगे, जो विरोधाभास है। परीक्षा में सह-अभाज्य मानना न भूलें। / \(\sqrt{3}\) is indeed irrational, but merely saying that 3 is not a perfect square is not a complete formal proof. Assume \(\sqrt{3}=p/q\); then \(p^2=3q^2\), so both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, a contradiction. Exam tip: state that \(p,q\) are coprime.
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में था/\(\frac{a}{b}\) was in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम हों तो भिन्न सरलतम रूप में नहीं रह सकती। इसलिए पहला निष्कर्ष नहीं लेना चाहिए। / If both are even, the fraction cannot be in lowest form. So the first conclusion should not be taken.
जो संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात \(\frac{p}{q}\) में, \(q\neq0\) के साथ, लिखी जा सके वह परिमेय होती है। \(p,q\) का सह-अभाज्य होना सरलतम रूप दिखाता है; हर परिमेय संख्या पूर्ण या प्राकृतिक नहीं होती। परीक्षा टिप: हर में शून्य कभी नहीं हो सकता। / A number expressible as \(\frac{p}{q}\), with integers \(p,q\) and \(q\neq0\), is rational. Coprime \(p,q\) indicate lowest terms; not every rational number is whole or natural. Exam tip: the denominator can never be zero.
A. यह दिखाना कि इन्हें सरलतम परिमेय भिन्न में नहीं लिखा जा सकता/To show they cannot be written as lowest rational fractions
Explanation
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अपरिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता। दोनों प्रमाण यही बात सिद्ध करते हैं। / An irrational number cannot be written as a ratio of two integers. Both proofs establish this fact.
\(a^2=2b^2\) में दायाँ पक्ष \(2\) का गुणज है, इसलिए \(a^2\) सम है। इसके बाद यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि \(a\) भी सम है। \(b\) के विषम होने का निष्कर्ष इस चरण पर नहीं निकाला जा सकता। परीक्षा टिप: समीकरण के दोनों पक्षों की सम-विषमता देखकर प्रमाण के अगले चरण को पहचानें। / In \(a^2=2b^2\), the right-hand side is a multiple of \(2\), so \(a^2\) is even. The next step is to conclude that \(a\) is also even. We cannot conclude at this stage that \(b\) is odd. Exam tip: In such proofs, first compare the parity of both sides of the equation.
विरोधाभास विधि से
\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने का प्रमाण देते समय मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=2q^2\) से \(p\) के सम होने के बाद विरोधाभास पाने के लिए कौन-सा निष्कर्ष स्थापित करना आवश्यक है?
\(p\) सम होने पर \(p=2k\) रखें। तब \(4k^2=2q^2\), अर्थात \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। दोनों में 2 समान गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में ‘सम वर्ग’ नियम याद रखें। / If \(p=2k\), then \(4k^2=2q^2\), so \(q^2=2k^2\) and \(q\) is even too. Thus both numerator and denominator have factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: use the fact that an even square has an even root.
