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A student says that if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, then even if \(p\) is divisible by 3, \(q\) need not be divisible by 3. Why is the statement incorrect?एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर भी \(q\) के 3 से विभाज्य होने की आवश्यकता नहीं है। उसका कथन क्यों गलत है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Because \(p^2=3q^2\) shows that both \(p\), and then \(q\), are divisible by 3.क्योंकि \(p^2=3q^2\) से \(p\) और फिर \(q\), दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध होते हैं।
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: look for a common factor in both terms.\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों पदों में समान गुणनखंड खोजें।
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