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While proving that \(\sqrt{2}\) is irrational by contradiction, assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. After obtaining \(p^2=2q^2\) and showing that \(p\) is even, which conclusion must be established to get a contradiction?विरोधाभास विधि से
\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने का प्रमाण देते समय मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=2q^2\) से \(p\) के सम होने के बाद विरोधाभास पाने के लिए कौन-सा निष्कर्ष स्थापित करना आवश्यक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(q\) is also even\(q\) भी सम है
If \(p=2k\), then \(4k^2=2q^2\), so \(q^2=2k^2\) and \(q\) is even too. Thus both numerator and denominator have factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: use the fact that an even square has an even root.\(p\) सम होने पर \(p=2k\) रखें। तब \(4k^2=2q^2\), अर्थात \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। दोनों में 2 समान गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में ‘सम वर्ग’ नियम याद रखें।
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