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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Easy Level 20

एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(3q^2=p^2\) मिलता है। कौन-सा निष्कर्ष उसकी धारणा को गलत सिद्ध करता है?

A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. On squaring both sides, \(3q^2=p^2\) is obtained. Which conclusion proves the assumption wrong?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैंBoth \(p\) and \(q\) are divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(3q^2=p^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या से वर्ग की विभाज्यता पर ध्यान दें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: use prime divisibility of squares carefully.

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एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(3q^2=p^2\) मिलता है। कौन-सा निष्कर्ष उसकी धारणा को गलत सिद्ध करता है? / A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. On squaring both sides, \(3q^2=p^2\) is obtained. Which conclusion proves the assumption wrong?

Correct Answer: C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं / Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3. Explanation: \(3q^2=p^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या से वर्ग की विभाज्यता पर ध्यान दें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: use prime divisibility of squares carefully.