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A student says that if \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, then from \(p^2=2q^2\) only \(p\) is even and nothing can be said about \(q\). What is the student's error?एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=2q^2\) से केवल \(p\) सम है, \(q\) के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। विद्यार्थी की त्रुटि क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(p\) सम होने पर \(p=2k\) रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी सम है।\(p\) सम होने पर \(p=2k\) रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी सम है।
Write \(p=2k\) because \(p\) is even. Then \(4k^2=2q^2\), so \(q^2=2k^2\) and \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Exam tip: an even square has an even base.\(p\) सम होने पर \(p=2k\) लिखें। तब \(4k^2=2q^2\), अर्थात \(q^2=2k^2\); इसलिए \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में सम वर्ग से सम संख्या निष्कर्षित करें।
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