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A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। फिर इसी मान्यता से विरोधाभास निकाला जाता है। / In contradiction method we first assume \(\sqrt{2}\) is rational. Then a contradiction is obtained from this assumption.
परिमेय संख्या को न्यूनतम रूप में \(\frac{p}{q}\) लिखा जाता है। इसलिए (p) और (q) सहभाज्य माने जाते हैं। / A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\). So (p) and (q) are assumed coprime.
मान लें \(\sqrt{3}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) और फिर \(3\mid q\) मिलता है, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग न होने वाली पूर्ण संख्या का वर्गमूल अपरिमेय होता है। / Assume \(\sqrt{3}=p/q\) in lowest terms. Since \(3\mid p^2\), we get \(3\mid p\), and then \(3\mid q\), which is a contradiction. Exam tip: the square root of a non-perfect-square integer is irrational.
क्योंकि \(p^2\) में (2) का गुणनखंड है इसलिए \(p^2\) सम है। समता पहचानना इस प्रमाण का मुख्य चरण है। / Since \(p^2\) has factor (2), \(p^2\) is even. Recognising evenness is a key step in this proof.
यदि किसी संख्या का वर्ग सम है तो वह संख्या भी सम होती है। यही तथ्य \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में उपयोग होता है। / If the square of a number is even then the number is also even. This fact is used in the proof for \(\sqrt{2}\).
एक विद्यार्थी कैलकुलेटर पर \(\sqrt{3}\) का मान 1.732 देखकर कहता है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय है, क्योंकि दशमलव समाप्त हो गया है। उसकी त्रुटि को कौन-सा कथन सही ढंग से बताता है?
C. 1.732 केवल सन्निकट मान है; \(\sqrt{3}\) का दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है।/1.732 is only an approximation; the decimal expansion of \(\sqrt{3}\) is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
कैलकुलेटर सीमित अंकों तक गोल किया हुआ मान दिखाता है। \(1.732^2=2.999824\), जो 3 नहीं है। इसलिए 1.732 सन्निकटन है। परीक्षा टिप: परिमेयता जाँचने में सटीक रूप देखें। / A calculator rounds values to limited digits. Since \(1.732^2=2.999824\ne3\), 1.732 is not exact. It is only an approximation. Exam tip: use exact forms, not calculator displays, to judge rationality.
दिया है \(p=2r\)। इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \((2r)^2=2q^2\), अर्थात \(4r^2=2q^2\) मिलता है। दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर \(q^2=2r^2\) प्राप्त होता है। \(q^2=4r^2\) पाने के लिए गलत तरीके से भाग देना पड़ेगा। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद वर्ग वाले पदों में \((2r)^2=4r^2\) अवश्य लिखें। / Given \(p=2r\), substitute it into \(p^2=2q^2\): \((2r)^2=2q^2\), so \(4r^2=2q^2\). Dividing both sides by 2 gives \(q^2=2r^2\). The result \(q^2=4r^2\) would come from incorrect division. Exam tip: after substitution, remember that \((2r)^2=4r^2\).
समीकरण \(q^2=2r^2\) में दायाँ पक्ष 2 से गुणित है, इसलिए \(q^2\) सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम तभी होता है जब वह पूर्णांक स्वयं सम हो; अतः (q) सम है। (q) का अभाज्य, ऋणात्मक या शून्य होना इस समीकरण से आवश्यक रूप से सिद्ध नहीं होता। परीक्षा टिप: याद रखें—वर्ग सम ⇒ संख्या सम। / In \(q^2=2r^2\), the right-hand side is a multiple of 2, so \(q^2\) is even. The square of an integer is even only when the integer itself is even; hence, (q) is even. Being prime, negative, or zero does not necessarily follow from this equation. Exam tip: Remember: an even square implies an even integer.
A. (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं/Both (p) and (q) become even
Explanation
Simple Explanation
शुरू में (p) और (q) सहभाज्य माने गए थे। दोनों का सम निकलना इसी मान्यता से विरोधाभास है। / At the start (p) and (q) were assumed coprime. Both becoming even contradicts that assumption.
इस प्रमाण में पहले उल्टा मानकर अंत में विरोधाभास दिखाते हैं। इसलिए यह विरोधाभास विधि है। / In this proof the opposite is assumed first and a contradiction is shown at the end. So it is contradiction method.
A. यदि कोई अभाज्य संख्या किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस पूर्णांक को भी विभाजित करती है।/If a prime number divides the square of an integer, it also divides that integer.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) है। 3 अभाज्य होने से \(3\mid p\) मिलता है; आगे \(q\) भी 3 से विभाज्य होता है, जो सहभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य विभाज्यता गुण याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, it divides \(p\); then it also divides \(q\), contradicting coprimality. Exam tip: remember the prime-divisor property.
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में, यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) माना जाए और \(p,q\) सहभाज्य हों, तो कौन-सा निष्कर्ष प्रारम्भिक मान्यता का विरोधाभास उत्पन्न करता है?
\(2q^2=p^2\) से \(p^2\) सम, अतः \(p\) सम होता है। \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम मिलता है। इसलिए दोनों में 2 समान गुणनखंड है, जो सहभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: ‘दोनों सम’ ही विरोधाभास है। / From \(2q^2=p^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q\) also becomes even. Thus both share factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: identify the common factor as the contradiction.
A. \(a^2\) 3 से विभाज्य है/\(a^2\) is divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
दिया है \(a^2=3b^2\)। चूँकि \(3b^2\), 3 का गुणज है, इसलिए इसके बराबर \(a^2\) भी 3 से विभाज्य होगा। इससे यह नहीं निकलता कि \(a^2\) अनिवार्य रूप से 2 से विभाज्य है। परीक्षा टिप: किसी संख्या को \(3\times\) किसी पूर्णांक के रूप में लिख सकें, तो वह संख्या 3 से विभाज्य होती है। / Given \(a^2=3b^2\). Since \(3b^2\) is a multiple of 3, the equal quantity \(a^2\) must also be divisible by 3. The equation does not imply that \(a^2\) must be divisible by 2. Exam tip: if a number can be written as \(3\times\) an integer, it is divisible by 3.
यदि किसी संख्या का वर्ग (3) से विभाज्य है तो वह संख्या भी (3) से विभाज्य होती है। यह अभाज्य गुणनखंड का उपयोग है। / If the square of a number is divisible by (3), the number is also divisible by (3). This uses prime factor property.
A. परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या आवर्ती होता है; \(\sqrt{2}\) असांत और अनावर्ती है।/A rational number has a terminating or repeating decimal expansion; \(\sqrt{2}\) is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
1.414 केवल \(\sqrt{2}\) का सन्निकट मान है, प्रमाण नहीं। इसका प्रसार \(1.414213...\) असांत और अनावर्ती है, इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में सन्निकटन को वास्तविक दशमलव प्रसार न मानें। / 1.414 is only an approximation of \(\sqrt{2}\), not proof of rationality. Its expansion \(1.414213...\) is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Exam tip: do not confuse an approximation with the actual decimal expansion.
\(a=3k\) को \(a^2=3b^2\) में रखने पर \((3k)^2=3b^2\), अर्थात \(9k^2=3b^2\) मिलता है। दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर \(b^2=3k^2\) प्राप्त होता है। \(b^2=9k^2\) इसलिए गलत है क्योंकि 3 से भाग देने के बाद बाएँ पक्ष में \(3k^2\) बचता है, \(9k^2\) नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए मान का वर्ग लेकर समीकरण में प्रतिस्थापित करें, फिर समान गुणनखंड से भाग दें। / Substitute \(a=3k\) into \(a^2=3b^2\): \((3k)^2=3b^2\), so \(9k^2=3b^2\). Dividing both sides by 3 gives \(b^2=3k^2\). The option \(b^2=9k^2\) is incorrect because after division, the left side becomes \(3k^2\), not \(9k^2\). Exam tip: square the substituted value first, then simplify by dividing out common factors.
समीकरण \(b^2=3k^2\) से स्पष्ट है कि \(b^2\), 3 से विभाज्य है। क्योंकि 3 एक अभाज्य संख्या है, यदि 3 किसी संख्या के वर्ग को विभाजित करता है, तो वह उस संख्या को भी विभाजित करता है। अतः \(b\), 3 से विभाज्य है। \(b\) का 2 से विभाज्य होना इस समीकरण से सिद्ध नहीं होता। परीक्षा टिप: अभाज्य \(p\) के लिए \(p\mid n^2\Rightarrow p\mid n\) नियम याद रखें। / The equation \(b^2=3k^2\) shows that \(b^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, if it divides the square of an integer, it must also divide the integer itself. Therefore, \(b\) is divisible by 3. Divisibility of \(b\) by 2 does not follow from this equation. Exam tip: Remember that for a prime \(p\), \(p\mid n^2\Rightarrow p\mid n\).
मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) पूर्णांक हैं। विरोधाभास विधि से \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय सिद्ध करने के लिए आरंभ में \(m\) और \(n\) के बारे में कौन-सी शर्त आवश्यक है?
A. \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हों/\(m\) and \(n\) are coprime
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{m}{n}\) को न्यूनतम रूप में लेने पर \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य होते हैं। \(m^2=2n^2\) से \(m\) सम और फिर \(n\) भी सम मिलता है, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: भिन्न को हमेशा न्यूनतम रूप में लें। / Taking \(\frac{m}{n}\) in lowest terms makes \(m\) and \(n\) coprime. From \(m^2=2n^2\), \(m\) is even and then \(n\) is even, giving a contradiction. Exam tip: begin with a reduced fraction.
A. उन्हें पहले परिमेय मानते हैं/They are first assumed rational
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों में विरोधाभास विधि इस्तेमाल होती है। इसलिए पहले परिमेय मानकर आगे चलते हैं। / Both proofs use contradiction method. So they are first assumed rational and then examined.
A. यदि \(4\sqrt{3}\) परिमेय हो, तो 4 से भाग देने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय होगी, जो असंभव है।/If \(4\sqrt{3}\) were rational, dividing it by 4 would make \(\sqrt{3}\) rational, which is impossible.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(4\sqrt{3}\) परिमेय है। 4 एक शून्येतर परिमेय संख्या है, अतः \((4\sqrt{3})/4=\sqrt{3}\) भी परिमेय होती, जो असत्य है। परीक्षा में याद रखें: शून्येतर परिमेय से भाग देने पर परिमेयता बनी रहती है। / Assume \(4\sqrt{3}\) is rational. Since 4 is a non-zero rational number, \((4\sqrt{3})/4=\sqrt{3}\) would also be rational, contradicting the fact that \(\sqrt{3}\) is irrational. Exam tip: division by a non-zero rational preserves rationality.
A. क्योंकि भिन्न को न्यूनतम रूप में लिखा जाता है/Because the fraction is written in lowest form
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जा सकता है। इसलिए (a) और (b) सहभाज्य माने जाते हैं। / A rational number can be written in lowest fractional form. So (a) and (b) are assumed coprime.
सम संख्या का वर्ग भी सम होता है। \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह विचार उल्टी दिशा में भी प्रयोग होता है। / The square of an even number is also even. In the proof of \(\sqrt{2}\), this idea is also used in reverse direction.
A. वह (3) से विभाज्य होगा/It will be divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
यदि संख्या में (3) का गुणनखंड है तो उसके वर्ग में भी (3) का गुणनखंड होगा। यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में उपयोगी है। / If a number has factor (3), its square also has factor (3). This is useful in the proof of \(\sqrt{3}\).
A. यदि \(n^2\) सम है तो (n) सम है/If \(n^2\) is even then (n) is even
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम निकाला जाता है। यह मुख्य तर्क है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (p) is concluded even from \(p^2\) being even. This is the main argument.
A. यदि \(n^2\) (3) से विभाज्य है तो (n) (3) से विभाज्य है/If \(n^2\) is divisible by (3) then (n) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(a^2\) से (a) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लिया जाता है। यही मुख्य तथ्य है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility of (a) by (3) is concluded from \(a^2\). This is the key fact.
A. यदि \(3\mid p^2\), तो \(3\mid p\)/If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\)
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{3}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सहाभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), इसलिए 3 अभाज्य होने के कारण \(3\mid p\)। फिर \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो विरोधाभास है। \(9\mid p\) आवश्यक नहीं है। / Let \(\sqrt{3}=p/q\) in lowest terms. From \(p^2=3q^2\), \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\), since 3 is prime. Substituting \(p=3k\) also gives \(3\mid q\), a contradiction. Exam tip: always state that \(p,q\) are coprime.
A. यदि \(5\sqrt{3}\) परिमेय होता, तो उसे 5 से भाग देने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय होता, जो विरोधाभास है।/If \(5\sqrt{3}\) were rational, dividing it by 5 would make \(\sqrt{3}\) rational, which is a contradiction.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(5\sqrt{3}\) परिमेय है। 5 शून्येतर परिमेय संख्या है, इसलिए 5 से भाग देने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। 5 का अभाज्य होना कारण नहीं है। परीक्षा में शून्येतर परिमेय से भाग का तर्क लिखें। / Assume that \(5\sqrt{3}\) is rational. Since 5 is a non-zero rational number, dividing by 5 would make \(\sqrt{3}\) rational, a contradiction. The fact that 5 is prime is irrelevant. Exam tip: use division by a non-zero rational number.
A. यदि \(5+\sqrt{3}\) परिमेय होता, तो उसमें से 5 घटाने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय होता; यह असंभव है।/If \(5+\sqrt{3}\) were rational, subtracting 5 would make \(\sqrt{3}\) rational; this is impossible.
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्याएँ घटाने पर भी परिमेय रहती हैं। यदि \(5+\sqrt{3}\) परिमेय मानें, तो \(\sqrt{3}=(5+\sqrt{3})-5\) परिमेय होगा, जो गलत है। परीक्षा में परिमेय संख्याओं का बंदता गुण याद रखें। / Rational numbers remain rational under subtraction. If \(5+\sqrt{3}\) were rational, then \(\sqrt{3}=(5+\sqrt{3})-5\) would be rational, a contradiction. Exam tip: use closure properties to test such expressions.
C. असमाप्य दशमलव आवर्ती होने पर परिमेय हो सकता है; अपरिमेयता के लिए अनावर्ती दशमलव या विरोधाभास द्वारा प्रमाण चाहिए।
Explanation
Simple Explanation
केवल असमाप्य होना पर्याप्त नहीं है: \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\) परिमेय है। \(\sqrt{2}\) का दशमलव अनावर्ती है, या मानक प्रमाण में न्यूनतम रूप वाली भिन्न मानकर विरोधाभास मिलता है। परीक्षा टिप: असमाप्य और अनावर्ती में अंतर याद रखें। / Being non-terminating alone is not enough: \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\) is rational. The decimal expansion of \(\sqrt{2}\) is non-repeating, or a lowest-form fraction assumption gives a contradiction. Exam tip: distinguish non-terminating from non-terminating non-repeating decimals.
A. प्रारंभिक मान्यता को गलत दिखाना/To show the initial assumption is false
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में मान्यता से असंभव स्थिति बनती है। इससे शुरुआती मान्यता गलत सिद्ध होती है। / In contradiction method the assumption leads to an impossible situation. This proves the initial assumption false.
A. कैलकुलेटर केवल सन्निकट दशमलव मान दिखाता है; 1.732, \(\sqrt{3}\) का सटीक मान नहीं है।/A calculator shows only an approximate decimal value; 1.732 is not the exact value of \(\sqrt{3}\).
Explanation
Simple Explanation
कैलकुलेटर सीमित अंकों तक सन्निकट मान देता है, इसलिए 1.732 को \(\sqrt{3}\) का सटीक मान नहीं मान सकते। प्रमाण में \(\sqrt{3}=a/b\) मानकर विरोधाभास दिखाते हैं। परीक्षा में अनुमानित दशमलव से परिमेयता सिद्ध न करें। / A calculator gives a rounded approximation, so 1.732 is not the exact value of \(\sqrt{3}\). For proof, assume \(\sqrt{3}=a/b\) in lowest terms and derive a contradiction. Exam tip: never use a displayed decimal as proof of rationality.
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। यह विरोधाभास है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational makes both (a) and (b) divisible by (3). This is a contradiction.
A. It contradicts the claim that \(\frac{a}{b}\) is in lowest terms; therefore, \(\sqrt{3}\) is irrational.
Explanation
Simple Explanation
यदि 3, \(a\) और \(b\) दोनों को विभाजित करता है, तो \(\frac{a}{b}\) सबसे सरल रूप में नहीं है। यह प्रारम्भिक मान्यता के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। परीक्षा में ‘सह-अभाज्य’ होने का विरोधाभास पहचानें। / If 3 divides both \(a\) and \(b\), then \(\frac{a}{b}\) is not in lowest terms. This contradicts the original assumption, so \(\sqrt{3}\) is irrational. Exam tip: look for a common factor in numerator and denominator.
A. यह \(a^2\) को (3) से विभाज्य दिखाता है/It shows \(a^2\) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दाएँ पक्ष में (3) है इसलिए \(a^2\) (3) से विभाज्य है। आगे इससे (a) भी (3) से विभाज्य मिलता है। / The right side has (3), so \(a^2\) is divisible by (3). Then (a) is also divisible by (3).
A. उनका कोई सामान्य गुणनखंड (1) के अलावा नहीं है/They have no common factor except (1)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। यही प्रमाण में विरोधाभास दिखाने के लिए जरूरी है। / In lowest form the numerator and denominator are coprime. This is needed to show contradiction in the proof.
A. यदि \(2+\sqrt{3}\) परिमेय हो, तो उसमें से परिमेय संख्या \(2\) घटाने पर \(\sqrt{3}\) भी परिमेय होगा, जो विरोधाभास है।/If \(2+\sqrt{3}\) were rational, subtracting the rational number \(2\) would make \(\sqrt{3}\) rational, which is a contradiction.
Explanation
Simple Explanation
\(2\) परिमेय है। यदि \(2+\sqrt{3}\) भी परिमेय मानें, तो \((2+\sqrt{3})-2=\sqrt{3}\) परिमेय निकलता है, जबकि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। अतः मूल संख्या अपरिमेय है। परीक्षा टिप: परिमेय में से परिमेय घटाने पर परिमेय ही मिलता है। / The number \(2\) is rational. If \(2+\sqrt{3}\) were rational, then \((2+\sqrt{3})-2=\sqrt{3}\) would be rational, contradicting the irrationality of \(\sqrt{3}\). Hence the original number is irrational. Exam tip: rational minus rational is rational.
A. \(\frac{1414}{1000}\), \(\sqrt{2}\) का केवल सन्निकट मान है; इसका वर्ग ठीक \(2\) नहीं है।/\(\frac{1414}{1000}\) is only an approximation of \(\sqrt{2}\); its square is not exactly \(2\).
Explanation
Simple Explanation
\(1.414\) केवल \(\sqrt{2}\) का सन्निकट मान है, बराबर नहीं। जाँचें: \((1.414)^2=1.999396\), जो \(2\) नहीं है। परीक्षा में सन्निकट और सटीक मान में अंतर अवश्य देखें। / \(1.414\) is only an approximation, not the exact value of \(\sqrt{2}\). Check: \((1.414)^2=1.999396\), not \(2\). In exams, always distinguish an approximate decimal from an exact value.
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानना उसे परिमेय मानना है। / A rational number can be written as a ratio of two integers. So assuming \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) means assuming it rational.
किसी परिमेय संख्या को \(\frac{a}{b}\) रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए यह परिमेय मान्यता है। / A rational number can be written in the form \(\frac{a}{b}\). So this is a rational assumption.
सही निष्कर्ष है कि 3, a को विभाजित करता है। a को 3 से भाग देने पर शेष 0, 1 या 2 हो सकता है; इनके वर्गों के शेष क्रमशः 0, 1, 1 होते हैं। अतः \(a^2\) का 3 से विभाज्य होना केवल शेष 0 में संभव है। परीक्षा में अभाज्य संख्या के इस गुण का प्रयोग करें। / The correct conclusion is that 3 divides a. On dividing a by 3, the possible remainders are 0, 1, and 2; their squares leave remainders 0, 1, and 1. Thus \(a^2\) is divisible by 3 only when a is divisible by 3. In exams, use this prime-divisibility fact carefully.
A. m must be even; this makes n even too, contradicting that m/n is in lowest terms
Explanation
Simple Explanation
समीकरण
से m² सम है, इसलिए m भी सम होगा। m=2k रखने पर 4k²=2n², अतः n²=2k² और n भी सम है। दोनों में 2 सामान्य गुणनखंड होना न्यूनतम रूप का विरोध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग से सम संख्या निष्कर्षित करें। / From
, m² is even, so m is even. Put m=2k: 4k²=2n², hence n²=2k² and n is also even. This contradicts m/n being in lowest terms. Exam tip: use the fact that an even square has an even root.
एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य होगा। यह कथन किस निष्कर्ष की ओर ले जाता है?
A. यह मान्यता कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, गलत सिद्ध होती है।/The assumption that \(p\) and \(q\) are coprime is contradicted.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}=p/q\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए 3, \(p\) को विभाजित करता है। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है। अतः दोनों में 3 उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास मिलते ही प्रारम्भिक परिमेय मान्यता असत्य लिखें। / Assuming \(\sqrt{3}=p/q\) gives \(p^2=3q^2\), so 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3. Thus they have a common factor 3, contradicting coprimality. Exam tip: after this contradiction, state that the rationality assumption is false.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, क्योंकि इसे \(p/q\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ \(p,q\) पूर्णांक हों और \(q\ne0\)। इसका दशमलव प्रसार अनंत तथा अनावर्ती होता है। परीक्षा में वर्गमूल तभी परिमेय होता है जब संख्या पूर्ण वर्ग हो। / \(\sqrt{2}\) is irrational because it cannot be written as \(p/q\), where \(p,q\) are integers and \(q\ne0\). Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating. Exam tip: a square root is rational only when the number is a perfect square.
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction
Explanation
Simple Explanation
सही प्रमाण में पहले परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके समता से विरोधाभास दिखाते हैं। / In the correct proof first rationality is assumed. Then squaring and evenness lead to contradiction.
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर (3) से विभाज्यता फिर विरोधाभास/Assume rational then square then divisibility by (3) then contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में वर्ग के बाद (3) से विभाज्यता का उपयोग होता है। अंत में सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility by (3) is used after squaring. Finally the coprime assumption is contradicted.
A. क्योंकि परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है/Because a rational number is written as a ratio of two integers
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या का सामान्य रूप \(\frac{p}{q}\) होता है जहाँ (p) और (q) पूर्णांक होते हैं। यही प्रमाण की शुरुआत है। / The general form of a rational number is \(\frac{p}{q}\) where (p) and (q) are integers. This starts the proof.
A. क्योंकि भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता/Because the denominator of a fraction cannot be zero
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{a}{b}\) में हर शून्य हो तो भिन्न परिभाषित नहीं रहती। इसलिए \(b\neq0\) जरूरी है। / If the denominator in \(\frac{a}{b}\) is zero, the fraction is not defined. So \(b\neq0\) is necessary.
\(\sqrt{3}+5\) अपरिमेय है। यदि यह परिमेय होता, तो इसमें से परिमेय 5 घटाने पर \(\sqrt{3}\) भी परिमेय हो जाता, जो गलत है। अन्य विकल्पों के मान क्रमशः 3, 1 और 5 हैं। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{3}+5\) is irrational. If it were rational, subtracting the rational number 5 would make \(\sqrt{3}\) rational, which is impossible. The other expressions equal 3, 1, and 5. Exam tip: a rational number plus an irrational number is always irrational.
A. (3) से विभाज्यता का निष्कर्ष/Conclusion of divisibility by (3)
Explanation
Simple Explanation
पहले (a) (3) से विभाज्य मिलता है और फिर (b) भी (3) से विभाज्य मिलता है। इससे विरोधाभास बनता है। / First (a) is found divisible by (3), and then (b) is also found divisible by (3). This creates the contradiction.
A. दोनों में सहभाज्य भिन्न की मान्यता से विरोधाभास मिलता है/Both get contradiction from coprime fraction assumption
Explanation
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दोनों प्रमाण परिमेय मान्यता और सहभाज्य भिन्न से शुरू होते हैं। अंत में सामान्य गुणनखंड मिलकर विरोधाभास देता है। / Both proofs start with rational assumption and a coprime fraction. Finally a common factor gives contradiction.
