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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Easy Level 19

एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य होगा। यह कथन किस निष्कर्ष की ओर ले जाता है?

A student says that if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, then when \(p\) is divisible by 3, \(q\) will also be divisible by 3. What conclusion does this statement lead to?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. यह मान्यता कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, गलत सिद्ध होती है।The assumption that \(p\) and \(q\) are coprime is contradicted.

Explanation

Simple Explanation

\(\sqrt{3}=p/q\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए 3, \(p\) को विभाजित करता है। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है। अतः दोनों में 3 उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास मिलते ही प्रारम्भिक परिमेय मान्यता असत्य लिखें। / Assuming \(\sqrt{3}=p/q\) gives \(p^2=3q^2\), so 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3. Thus they have a common factor 3, contradicting coprimality. Exam tip: after this contradiction, state that the rationality assumption is false.

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Correct Answer: A. यह मान्यता कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, गलत सिद्ध होती है। / The assumption that \(p\) and \(q\) are coprime is contradicted.. Explanation: \(\sqrt{3}=p/q\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए 3, \(p\) को विभाजित करता है। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है। अतः दोनों में 3 उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास मिलते ही प्रारम्भिक परिमेय मान्यता असत्य लिखें। / Assuming \(\sqrt{3}=p/q\) gives \(p^2=3q^2\), so 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3. Thus they have a common factor 3, contradicting coprimality. Exam tip: after this contradiction, state that the rationality assumption is false.