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परिमाप \(4\sqrt{7}\) होगा और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। शून्येतर परिमेय गुणक से अपरिमेयता बनी रहती है। / The perimeter is \(4\sqrt{7}\) and \(\sqrt{7}\) is irrational. A non-zero rational multiplier keeps irrationality.
B. असांत अनावर्ती दशमलव/Non-terminating non-repeating decimal
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव असांत और अनावर्ती होता है। परीक्षा में दोहराने वाले भाग को ध्यान से देखें। / An irrational number has a non-terminating and non-repeating decimal. In exams check the repeating part carefully.
वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा² होता है। इसलिए भुजा = \(\sqrt{11}\) इकाई होगी। 11 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{11}\) को किसी दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता और यह अपरिमेय संख्या है। अतः सही विकल्प D है। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी पूर्णांक का वर्गमूल पूर्ण वर्ग से प्राप्त न हो, तो वह सामान्यतः अपरिमेय होता है। / The area of a square is given by side², so its side is \(\sqrt{11}\) units. Since 11 is not a perfect square, \(\sqrt{11}\) cannot be expressed as a ratio of two integers and is therefore irrational. Hence, option D is correct. Exam tip: The square root of a positive integer that is not a perfect square is irrational.
इसमें निश्चित दोहराव नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। अनावर्ती पैटर्न को आवर्ती मानने की गलती न करें। / It has no fixed repetition so it is irrational. Do not mistake a non-repeating pattern for a repeating one.
B. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
इस दशमलव में 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, … बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। अतः यह अपरिमेय है। परीक्षा में असांत-अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / Here, the number of zeros between successive 1s increases as 1, 2, 3, …, so no fixed repeating block is possible. Hence it is irrational. Exam tip: a non-terminating, non-repeating decimal is irrational.
\(64\) एक पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{64}=8\), जो एक परिमेय संख्या है। इसलिए \(\sqrt{64}\) अपरिमेय नहीं है। दूसरी ओर, 31, 40 और 72 पूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए उनके वर्गमूल अपरिमेय हैं। परीक्षा-टिप: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल हमेशा परिमेय होता है। / \(64\) is a perfect square, and \(\sqrt{64}=8\), which is a rational number. Therefore, \(\sqrt{64}\) is not irrational. In contrast, 31, 40, and 72 are not perfect squares, so their square roots are irrational. Exam tip: The square root of a perfect square is always rational.
\(2x=2\sqrt{6}\) होगा जो अपरिमेय है। शून्येतर परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। / \(2x=2\sqrt{6}\), which is irrational. Multiplication by a non-zero rational keeps irrationality.
क्योंकि \(0.333...=1/3\), इसका दशमलव प्रसार अनंत लेकिन आवर्ती है; अतः यह परिमेय है। \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अनावर्ती अपरिमेय हैं। परीक्षा-टिप: आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है। / Since \(0.333...=1/3\), it is non-terminating yet repeating, so it is rational. In contrast, \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are non-repeating. Exam tip: recurring decimals are rational.
क्योंकि (10<10.5<11), इसलिए \(\sqrt{10.5}\) दोनों के बीच है। वर्गमूल की तुलना अंदर की संख्याओं से करें। / Since (10<10.5<11), \(\sqrt{10.5}\) lies between them. Compare square roots using the numbers inside.
\(0.272727\ldots\) आवर्ती है और \(27/99=3/11\) लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय है। परीक्षा टिप: प्रत्येक असांत आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / \(0.272727\ldots=27/99=3/11\), so it is rational despite being non-terminating. Exam tip: every non-terminating recurring decimal is rational.
A. \(\sqrt{49}=7\), इसलिए यह परिमेय है/\(\sqrt{49}=7\), so it is rational
Explanation
Simple Explanation
49 पूर्ण वर्ग है, क्योंकि \(7 \times 7=49\)। इसलिए \(\sqrt{49}=7\), जो पूर्णांक होने से परिमेय है; हर वर्गमूल अपरिमेय नहीं होता। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग जाँचें। / 49 is a perfect square because \(7 \times 7=49\). Hence, \(\sqrt{49}=7\), an integer and therefore rational; not every square root is irrational. Exam tip: check for perfect squares first.
कथन सत्य है, क्योंकि अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार न तो समाप्त होता है और न ही किसी निश्चित क्रम में दोहराता है। परीक्षा में याद रखें: समाप्त या आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है। / The statement is true because an irrational number has a decimal expansion that neither terminates nor repeats in a fixed pattern. Exam tip: every terminating or recurring decimal represents a rational number.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(0.101001000100001\ldots\) परिमेय संख्या है क्योंकि इसमें केवल 0 और 1 अंक आते हैं। विद्यार्थी की त्रुटि को सही ढंग से कौन समझाता है?
A. 1 के बाद शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है; अतः संख्या अपरिमेय है।/The number of zeros after 1 keeps increasing, so the decimal expansion is non-terminating and non-repeating; hence it is irrational.
Explanation
Simple Explanation
1 के बाद शून्यों के समूह 1, 2, 3, 4, … होते जाते हैं, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता। यह अनंत, अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा में आवर्ती खंड निश्चित है या नहीं, यह जाँचें। / The groups of zeros after 1 have lengths 1, 2, 3, 4, …, so no fixed block repeats. The decimal is non-terminating and non-repeating, hence irrational. In exams, check whether a fixed repeating block exists.
A. यह 2 और 3 के बीच है तथा अपरिमेय है/It lies between 2 and 3 and is irrational
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(2^2=4<5<9=3^2\), इसलिए \(2<\sqrt{5}<3\)। 5 पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। \(2.5\) केवल इसका सन्निकट मान है। परीक्षा टिप: पहले निकटतम पूर्ण वर्गों की जाँच करें। / Since \(2^2=4<5<9=3^2\), we get \(2<\sqrt{5}<3\). As 5 is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) is irrational. The value 2.5 is only an approximation. Exam tip: compare with nearby perfect squares first.
\(\sqrt{5}\) का मान (1) और (3) के बीच है और यह अपरिमेय है। निकट पूर्ण वर्गों से अनुमान लगाएं। / \(\sqrt{5}\) lies between (1) and (3) and is irrational. Estimate using nearby perfect squares.
परिमेय (6) में से अपरिमेय \(\sqrt{2}\) घटाने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता। / Subtracting irrational \(\sqrt{2}\) from rational (6) gives an irrational number. The irrational part does not disappear.
दोनों पद समान मूल वाले हैं, इसलिए उनके गुणांकों को जोड़ा जाता है: \(\sqrt{7}+\sqrt{7}=(1+1)\sqrt{7}=2\sqrt{7}\)। \(\sqrt{14}\) सही नहीं है, क्योंकि जोड़ के समय मूलांकों को सीधे नहीं जोड़ा जाता। परीक्षा में समान मूल वाले पदों को समान चर वाले बीजीय पदों की तरह जोड़ें। / Both terms contain the same radical, so their coefficients are added: \(\sqrt{7}+\sqrt{7}=(1+1)\sqrt{7}=2\sqrt{7}\). \(\sqrt{14}\) is incorrect because radicands are not added directly when like radicals are combined. In an exam, treat radicals with the same radicand like like algebraic terms.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), इसलिए योग \(7\sqrt{3}\) है। पहले दोनों मूल सरल करें। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), so the sum is \(7\sqrt{3}\). Simplify both radicals first.
\(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), इसलिए अंतर \(\sqrt{5}\) है। समान मूलों को घटाएं। / \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), so the difference is \(\sqrt{5}\). Subtract like radicals.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
0.101001000100001… में 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए कोई दशमलव खंड बार-बार नहीं दोहराता। इसका प्रसार अनंत और अनावर्ती है, अतः संख्या अपरिमेय है। परीक्षा में आवर्ती पैटर्न अवश्य जाँचें। / In 0.101001000100001…, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no decimal block repeats. Its expansion is non-terminating and non-repeating, hence irrational. Exam tip: check for a repeating block, not merely the digits used.
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) को \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) से गुणा करने पर \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) मिलता है। इसे हर का परिमेयकरण कहते हैं। / Multiplying \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) by \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) gives \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). This is called rationalising the denominator.
\(0.454545\ldots\) आवर्ती दशमलव है इसलिए परिमेय है। आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। / \(0.454545\ldots\) is repeating so it is rational. A repeating decimal can be converted into a fraction.
\(\pi\) अपरिमेय है और (2) परिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। \(\pi\) को (22/7) के बराबर न मानें। / \(\pi\) is irrational and (2) is rational, so the sum is irrational. Do not treat \(\pi\) as equal to (22/7).
A. यह π का निकट मान है/It is an approximation of π
Explanation
Simple Explanation
\(22/7\) दो पूर्णांकों का अनुपात है और इसका हर शून्य नहीं है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। इसका मान π के बहुत निकट है, लेकिन π के बिल्कुल बराबर नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B गलत है क्योंकि \(22/7\) परिमेय है, और विकल्प D गलत है क्योंकि \(22/7 = 3\frac{1}{7}\) पूर्णांक नहीं है। परीक्षा-टिप: किसी भिन्न को पूर्णांक मानने से पहले जाँचें कि वह बिना शेष के विभाजित होती है या नहीं। / \(22/7\) is the ratio of two integers with a non-zero denominator, so it is a rational number. Its value is very close to π, but it is not exactly equal to π. Therefore, option A is correct; option B is wrong because \(22/7\) is rational, and option D is wrong because \(22/7 = 3\frac{1}{7}\), which is not an integer. Exam tip: Before calling a fraction an integer, check whether its numerator is exactly divisible by its denominator.
यह दशमलव असांत और अनावर्ती है इसलिए अपरिमेय है। निश्चित दोहराने वाला ब्लॉक नहीं है। / This decimal is non-terminating and non-repeating so it is irrational. There is no fixed repeating block.
\(\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\) है इसलिए यह परिमेय है। अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग हैं। / \(\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\), so it is rational. Both numerator and denominator are perfect squares.
\(\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}\) है और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। भिन्न में भी पूर्ण वर्ग जाँचें। / \(\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}\) and \(\sqrt{7}\) is irrational. Check perfect squares even in fractions.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।
Explanation
Simple Explanation
हर 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, ... बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड बार-बार नहीं दोहराता। इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है, अतः संख्या अपरिमेय है। परीक्षा टिप: केवल अंकों को नहीं, दशमलव की आवृत्ति को जाँचें। / The number of zeros between successive 1s is 1, 2, 3, 4, ... , so no fixed block of digits repeats. Its decimal expansion is non-terminating and non-recurring; therefore, it is irrational. Exam tip: check repetition in the decimal, not merely the digits used.
11 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। किसी अपरिमेय संख्या को शून्येतर परिमेय संख्या \((-3)\) से गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय ही रहता है। इसलिए \(-3\sqrt{11}\) अपरिमेय संख्या है। यह प्राकृतिक या शून्य संख्या भी नहीं हो सकती, क्योंकि यह ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: किसी गैर-पूर्ण वर्ग का वर्गमूल अपरिमेय होता है। / Since 11 is not a perfect square, \(\sqrt{11}\) is irrational. Multiplying an irrational number by the non-zero rational number \(-3\) gives an irrational result. Therefore, \(-3\sqrt{11}\) is irrational. It cannot be a natural number or zero because it is negative. Exam tip: The square root of a non-perfect square is irrational.
A. अनंत और अनावर्ती/Non-terminating and non-repeating
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार समाप्त नहीं होता और कोई अंक-समूह नियमित रूप से नहीं दोहराता। अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। परीक्षा में आवर्ती चिह्न देखकर परिमेय चुनें। / An irrational number has a decimal expansion that never ends and does not repeat a fixed block of digits. A non-terminating repeating decimal is rational. Exam tip: a repeating pattern indicates a rational number.
व्युत्क्रम वह है जिसका गुणनफल (1) देता है। \(\sqrt{13}\times\frac{1}{\sqrt{13}}=1\) होता है। / The reciprocal is the number whose product gives (1). \(\sqrt{13}\times\frac{1}{\sqrt{13}}=1\).
\(\sqrt{2}\) के पद कट जाते हैं और मान (1) है। कभी-कभी अपरिमेय पद हटकर परिमेय परिणाम दे सकते हैं। / The \(\sqrt{2}\) terms cancel and the value is (1). Sometimes irrational terms can cancel to give a rational result.
यह ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) है, इसलिए मान (6-4=2) है। संयुग्मी रूप परिणाम को परिमेय बना सकता है। / This is ((a+b)(a-b)=a-2-b-2), so the value is (6-4=2). Conjugates can make the result rational.
B. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
दशमलव में 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, … बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा में बढ़ते अंतराल पहचानें। / The zero blocks between 1s have lengths 1, 2, 3, 4, …, so no fixed period exists. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: check whether a fixed block repeats.
क्योंकि (2<3), इसलिए \(\sqrt{2}<\sqrt{3}\)। धनात्मक संख्याओं के वर्गमूल में अंदर की संख्या की तुलना करें। / Since (2<3), \(\sqrt{2}<\sqrt{3}\). For positive square roots compare the numbers inside.
A. असमाप्य और अनावर्ती/Non-terminating and non-repeating
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असमाप्य और अनावर्ती होता है; जैसे \(\sqrt{2}\)। विकल्प C में आवर्ती दशमलव है, जो परिमेय होता है। परीक्षा टिप: दोहराव दिखे तो संख्या परिमेय मानें। / An irrational number has a non-terminating, non-repeating decimal expansion, such as \(\sqrt{2}\). Option C is repeating, so it is rational. Exam tip: a repeating decimal always represents a rational number.
A. समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ (1) और (1) हों/Right triangle with legs (1) and (1)
Explanation
Simple Explanation
समकोण त्रिभुज में कर्ण \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) होता है। पाइथागोरस प्रमेय से निर्माण समझें। / In a right triangle, the hypotenuse is \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). Understand construction using Pythagoras theorem.
C. परिमेय और अपरिमेय दोनों/Both rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याएँ दिखाई जाती हैं जिनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं। अपरिमेयों का निर्माण ज्यामिति से किया जा सकता है। / The number line represents real numbers, including both rational and irrational numbers. Irrationals can be constructed geometrically.
A. यह परिमेय है, क्योंकि \(0.333...=\frac{1}{3}\) और इसका दशमलव आवर्ती है।/It is rational because \(0.333...=\frac{1}{3}\) and its decimal expansion is recurring.
Explanation
Simple Explanation
\(0.333...\) एक आवर्ती दशमलव है और \(0.333...=\frac{1}{3}\), इसलिए यह परिमेय है। केवल दशमलव का अनंत होना अपरिमेयता नहीं बताता; परीक्षा में आवर्ती पैटर्न जाँचें। / \(0.333...\) is a recurring decimal and \(0.333...=\frac{1}{3}\), so it is rational. An infinite decimal is not always irrational; in exams, check whether the digits repeat.
धनात्मक संख्या \(\sqrt{19}\) है क्योंकि (\(\sqrt{19}\)2=19)। (19) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / The positive number is \(\sqrt{19}\) because (\(\sqrt{19}\)2=19). Since (19) is not a perfect square, it is irrational.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है इसलिए इसका दशमलव असांत और अनावर्ती होता है। दशमलव के कुछ अंक देखकर निष्कर्ष न लगाएं। / \(\sqrt{2}\) is irrational so its decimal is non-terminating and non-repeating. Do not conclude from only a few decimal digits.
D. हर वास्तविक संख्या परिमेय होती है/Every real number is rational
Explanation
Simple Explanation
हर वास्तविक संख्या परिमेय नहीं होती क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ भी वास्तविक हैं। संख्या तंत्र में दोनों प्रकार शामिल हैं। / Every real number is not rational because irrational numbers are also real. The number system includes both types.
B. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\)/\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं क्योंकि (2) और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। प्रत्येक संख्या को अलग जाँचें। / \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\) are both irrational because (2) and (5) are not perfect squares. Check each number separately.
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) और \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), इसलिए योग \(5\sqrt{7}\) है। समान मूलों को जोड़ें। / \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) and \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), so the sum is \(5\sqrt{7}\). Add like radicals.
\(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(4\sqrt{2}\) है। पहले समान मूलों को सरल करें। / \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the difference is \(4\sqrt{2}\). Simplify like radicals first.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) है, इसलिए \(\frac{\sqrt{27}}{3}=\sqrt{3}\) होता है। परिणाम अभी भी अपरिमेय है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), so \(\frac{\sqrt{27}}{3}=\sqrt{3}\). The result is still irrational.
धनात्मक संख्या \(\sqrt{37}\) है क्योंकि (\(\sqrt{37}\)2=37)। (37) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / The positive number is \(\sqrt{37}\) because (\(\sqrt{37}\)2=37). Since (37) is not a perfect square, it is irrational.
इस दशमलव में निश्चित दोहराने वाला खंड नहीं है। इसलिए यह असांत अनावर्ती दशमलव और अपरिमेय संख्या है। / This decimal has no fixed repeating block. So it is a non-terminating non-repeating decimal and an irrational number.
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(0\) है, जो परिमेय है। इसलिए कथन गलत है। \(3\sqrt{2}\) अभी भी अपरिमेय है। परीक्षा टिप: ‘हमेशा’ वाले कथन को एक प्रतिउदाहरण से जाँचें। / Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but their sum is \(0\), which is rational. Hence the claim is false. In contrast, \(3\sqrt{2}\) remains irrational. Exam tip: test an “always” statement using one counterexample.
\(\sqrt{44}=2\sqrt{11}\) और \(\sqrt{99}=3\sqrt{11}\), इसलिए योग \(5\sqrt{11}\) है। समान मूलों को जोड़ने से पहले सरल करें। / \(\sqrt{44}=2\sqrt{11}\) and \(\sqrt{99}=3\sqrt{11}\), so the sum is \(5\sqrt{11}\). Simplify before adding like radicals.
