Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
परिमाप \(4\sqrt{7}\) होगा और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। शून्येतर परिमेय गुणक से अपरिमेयता बनी रहती है। / The perimeter is \(4\sqrt{7}\) and \(\sqrt{7}\) is irrational. A non-zero rational multiplier keeps irrationality.
B. असांत अनावर्ती दशमलव/Non-terminating non-repeating decimal
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव असांत और अनावर्ती होता है। परीक्षा में दोहराने वाले भाग को ध्यान से देखें। / An irrational number has a non-terminating and non-repeating decimal. In exams check the repeating part carefully.
भुजा \(\sqrt{11}\) होगी और (11) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। / The side will be \(\sqrt{11}\) and (11) is not a perfect square. So \(\sqrt{11}\) is irrational.
इसमें निश्चित दोहराव नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। अनावर्ती पैटर्न को आवर्ती मानने की गलती न करें। / It has no fixed repetition so it is irrational. Do not mistake a non-repeating pattern for a repeating one.
\(\sqrt{121}=11\) है इसलिए यह परिमेय है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। / \(\sqrt{121}=11\) so it is rational. The square root of a perfect square is an integer.
\(\sqrt{64}=8\) इसलिए यह परिमेय है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते। / \(\sqrt{64}=8\) so it is rational. Square roots of perfect squares are not irrational.
\(2x=2\sqrt{6}\) होगा जो अपरिमेय है। शून्येतर परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। / \(2x=2\sqrt{6}\), which is irrational. Multiplication by a non-zero rational keeps irrationality.
\(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\) होता है। दो अपरिमेयों का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\). The product of two irrationals can be rational.
क्योंकि (10<10.5<11), इसलिए \(\sqrt{10.5}\) दोनों के बीच है। वर्गमूल की तुलना अंदर की संख्याओं से करें। / Since (10<10.5<11), \(\sqrt{10.5}\) lies between them. Compare square roots using the numbers inside.
\(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\) है। पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें। / \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\). Take the perfect-square factor outside.
(a-2=\(\sqrt{5}\)2=5) है इसलिए यह परिमेय है। अपरिमेय का वर्ग कभी-कभी परिमेय होता है। / (a-2=\(\sqrt{5}\)2=5), so it is rational. The square of an irrational can sometimes be rational.
\(\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{9}=3\) है। सरलीकरण के बाद परिणाम परिमेय हो सकता है। / \(\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{9}=3\). After simplification the result can be rational.
\(\sqrt[3]{27}=3\) है इसलिए यह परिमेय है। पूर्ण घन का घनमूल परिमेय होता है। / \(\sqrt[3]{27}=3\) so it is rational. The cube root of a perfect cube is rational.
(5) पूर्ण घन नहीं है इसलिए \(\sqrt[3]{5}\) अपरिमेय है। घनमूल में पूर्ण घन देखना चाहिए। / (5) is not a perfect cube so \(\sqrt[3]{5}\) is irrational. In cube roots check perfect cubes.
\(\sqrt{5}\) का मान (1) और (3) के बीच है और यह अपरिमेय है। निकट पूर्ण वर्गों से अनुमान लगाएं। / \(\sqrt{5}\) lies between (1) and (3) and is irrational. Estimate using nearby perfect squares.
परिमेय (6) में से अपरिमेय \(\sqrt{2}\) घटाने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता। / Subtracting irrational \(\sqrt{2}\) from rational (6) gives an irrational number. The irrational part does not disappear.
समान मूलों को जोड़ने पर \(2\sqrt{7}\) मिलता है। यह अपरिमेय है क्योंकि \(\sqrt{7}\) बचता है। / Adding like radicals gives \(2\sqrt{7}\). It is irrational because \(\sqrt{7}\) remains.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), इसलिए योग \(7\sqrt{3}\) है। पहले दोनों मूल सरल करें। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), so the sum is \(7\sqrt{3}\). Simplify both radicals first.
\(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), इसलिए अंतर \(\sqrt{5}\) है। समान मूलों को घटाएं। / \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), so the difference is \(\sqrt{5}\). Subtract like radicals.
\(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) होता है। हर में मूल हो तो सरलीकरण ध्यान से करें। / \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\). Simplify carefully when the denominator has a radical.
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) को \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) से गुणा करने पर \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) मिलता है। इसे हर का परिमेयकरण कहते हैं। / Multiplying \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) by \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) gives \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). This is called rationalising the denominator.
\(0.454545\ldots\) आवर्ती दशमलव है इसलिए परिमेय है। आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। / \(0.454545\ldots\) is repeating so it is rational. A repeating decimal can be converted into a fraction.
\(\pi\) अपरिमेय है और (2) परिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। \(\pi\) को (22/7) के बराबर न मानें। / \(\pi\) is irrational and (2) is rational, so the sum is irrational. Do not treat \(\pi\) as equal to (22/7).
A. यह \(\pi\) का निकट मान है/It is an approximation of \(\pi\)
Explanation
Simple Explanation
(22/7) परिमेय है और \(\pi\) का निकट मान है। निकट मान को वास्तविक बराबरी न समझें। / (22/7) is rational and an approximation of \(\pi\). Do not treat an approximation as exact equality.
यह दशमलव असांत और अनावर्ती है इसलिए अपरिमेय है। निश्चित दोहराने वाला ब्लॉक नहीं है। / This decimal is non-terminating and non-repeating so it is irrational. There is no fixed repeating block.
\(\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\) है इसलिए यह परिमेय है। अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग हैं। / \(\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\), so it is rational. Both numerator and denominator are perfect squares.
\(\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}\) है और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। भिन्न में भी पूर्ण वर्ग जाँचें। / \(\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}\) and \(\sqrt{7}\) is irrational. Check perfect squares even in fractions.
\(10\sqrt{2}\div5=2\sqrt{2}\) है जो अपरिमेय है। संख्यात्मक गुणांक को अलग सरल करें। / \(10\sqrt{2}\div5=2\sqrt{2}\), which is irrational. Simplify the numerical coefficient separately.
\(\sqrt{11}\) अपरिमेय है और (-3) शून्येतर परिमेय गुणक है। इसलिए परिणाम अपरिमेय है। / \(\sqrt{11}\) is irrational and (-3) is a non-zero rational multiplier. So the result is irrational.
विपरीत संख्या जोड़ने पर (0) देती है, इसलिए \(-\sqrt{13}\) सही है। यह भी अपरिमेय है। / The additive inverse gives (0) when added, so \(-\sqrt{13}\) is correct. It is also irrational.
व्युत्क्रम वह है जिसका गुणनफल (1) देता है। \(\sqrt{13}\times\frac{1}{\sqrt{13}}=1\) होता है। / The reciprocal is the number whose product gives (1). \(\sqrt{13}\times\frac{1}{\sqrt{13}}=1\).
\(\sqrt{2}\) के पद कट जाते हैं और मान (1) है। कभी-कभी अपरिमेय पद हटकर परिमेय परिणाम दे सकते हैं। / The \(\sqrt{2}\) terms cancel and the value is (1). Sometimes irrational terms can cancel to give a rational result.
यह ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) है, इसलिए मान (6-4=2) है। संयुग्मी रूप परिणाम को परिमेय बना सकता है। / This is ((a+b)(a-b)=a-2-b-2), so the value is (6-4=2). Conjugates can make the result rational.
(\(\sqrt{5}+1\)2=5+2\sqrt{5}+1=6+2\sqrt{5}) है। मध्य पद भूलना नहीं चाहिए। / (\(\sqrt{5}+1\)2=5+2\sqrt{5}+1=6+2\sqrt{5}). Do not forget the middle term.
क्योंकि (2<3), इसलिए \(\sqrt{2}<\sqrt{3}\)। धनात्मक संख्याओं के वर्गमूल में अंदर की संख्या की तुलना करें। / Since (2<3), \(\sqrt{2}<\sqrt{3}\). For positive square roots compare the numbers inside.
क्योंकि (16<17<25), इसलिए \(4<\sqrt{17}<5\)। निकट पूर्ण वर्गों से सीमा तय करें। / Since (16<17<25), \(4<\sqrt{17}<5\). Use nearby perfect squares to decide bounds.
A. समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ (1) और (1) हों/Right triangle with legs (1) and (1)
Explanation
Simple Explanation
समकोण त्रिभुज में कर्ण \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) होता है। पाइथागोरस प्रमेय से निर्माण समझें। / In a right triangle, the hypotenuse is \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). Understand construction using Pythagoras theorem.
C. परिमेय और अपरिमेय दोनों/Both rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याएँ दिखाई जाती हैं जिनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं। अपरिमेयों का निर्माण ज्यामिति से किया जा सकता है। / The number line represents real numbers, including both rational and irrational numbers. Irrationals can be constructed geometrically.
क्षेत्रफल (\(\sqrt{3}\)2=3) है। अपरिमेय भुजा का क्षेत्रफल परिमेय हो सकता है। / The area is (\(\sqrt{3}\)2=3). A square with irrational side can have rational area.
धनात्मक संख्या \(\sqrt{19}\) है क्योंकि (\(\sqrt{19}\)2=19)। (19) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / The positive number is \(\sqrt{19}\) because (\(\sqrt{19}\)2=19). Since (19) is not a perfect square, it is irrational.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है इसलिए इसका दशमलव असांत और अनावर्ती होता है। दशमलव के कुछ अंक देखकर निष्कर्ष न लगाएं। / \(\sqrt{2}\) is irrational so its decimal is non-terminating and non-repeating. Do not conclude from only a few decimal digits.
D. हर वास्तविक संख्या परिमेय होती है/Every real number is rational
Explanation
Simple Explanation
हर वास्तविक संख्या परिमेय नहीं होती क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ भी वास्तविक हैं। संख्या तंत्र में दोनों प्रकार शामिल हैं। / Every real number is not rational because irrational numbers are also real. The number system includes both types.
B. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\)/\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं क्योंकि (2) और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। प्रत्येक संख्या को अलग जाँचें। / \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\) are both irrational because (2) and (5) are not perfect squares. Check each number separately.
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) और \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), इसलिए योग \(5\sqrt{7}\) है। समान मूलों को जोड़ें। / \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) and \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), so the sum is \(5\sqrt{7}\). Add like radicals.
\(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(4\sqrt{2}\) है। पहले समान मूलों को सरल करें। / \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the difference is \(4\sqrt{2}\). Simplify like radicals first.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) है, इसलिए \(\frac{\sqrt{27}}{3}=\sqrt{3}\) होता है। परिणाम अभी भी अपरिमेय है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), so \(\frac{\sqrt{27}}{3}=\sqrt{3}\). The result is still irrational.
धनात्मक संख्या \(\sqrt{37}\) है क्योंकि (\(\sqrt{37}\)2=37)। (37) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / The positive number is \(\sqrt{37}\) because (\(\sqrt{37}\)2=37). Since (37) is not a perfect square, it is irrational.
इस दशमलव में निश्चित दोहराने वाला खंड नहीं है। इसलिए यह असांत अनावर्ती दशमलव और अपरिमेय संख्या है। / This decimal has no fixed repeating block. So it is a non-terminating non-repeating decimal and an irrational number.
\(\sqrt{96}=\sqrt{16\times6}=4\sqrt{6}\) है। \(\sqrt{6}\) बचने से यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{96}=\sqrt{16\times6}=4\sqrt{6}\). Since \(\sqrt{6}\) remains, it is irrational.
\(\sqrt{44}=2\sqrt{11}\) और \(\sqrt{99}=3\sqrt{11}\), इसलिए योग \(5\sqrt{11}\) है। समान मूलों को जोड़ने से पहले सरल करें। / \(\sqrt{44}=2\sqrt{11}\) and \(\sqrt{99}=3\sqrt{11}\), so the sum is \(5\sqrt{11}\). Simplify before adding like radicals.
