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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Easy Level 20

यदि \(\sqrt{2}\) को \(\frac{p}{q}\) के रूप में माना जाए, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं, तो प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास उत्पन्न करता है?

If \(\sqrt{2}\) is assumed to be \(\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers, which conclusion creates the contradiction in the proof?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैंBoth \(p\) and \(q\) are even

Explanation

Simple Explanation

\(2q^2=p^2\) से \(p^2\) सम, अतः \(p\) सम होता है। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा साझा गुणनखंड 2 से पहचानें। / From \(2q^2=p^2\), \(p^2\), and hence \(p\), is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Exam tip: identify the common factor 2 to state the contradiction.

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यदि \(\sqrt{2}\) को \(\frac{p}{q}\) के रूप में माना जाए, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं, तो प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास उत्पन्न करता है? / If \(\sqrt{2}\) is assumed to be \(\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers, which conclusion creates the contradiction in the proof?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं / Both \(p\) and \(q\) are even. Explanation: \(2q^2=p^2\) से \(p^2\) सम, अतः \(p\) सम होता है। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा साझा गुणनखंड 2 से पहचानें। / From \(2q^2=p^2\), \(p^2\), and hence \(p\), is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Exam tip: identify the common factor 2 to state the contradiction.