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In the contradiction proof for the irrationality of \(\sqrt{3}\), assume that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Why is the condition that \(p\) and \(q\) are coprime necessary?\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में मान लेते हैं कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने की शर्त क्यों आवश्यक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Because the eventual result that both \(p\) and \(q\) are divisible by 3 contradicts this conditionक्योंकि अंत में \(p\) और \(q\) दोनों का 3 से विभाज्य होना इस शर्त का विरोध करता है
From \(3q^2=p^2\), \(p\) must be divisible by 3. Putting \(p=3k\) then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: always assume the fraction is in lowest terms.\(3q^2=p^2\) से \(p\) 3 से विभाज्य होता है। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए भिन्न का सरलतम रूप जरूरी है।
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