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विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में माना जाए, तो \(p\) और \(q\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास उत्पन्न करता है?
\(3q^2=p^2\) से \(p^2\), और इसलिए \(p\), 3 से विभाज्य होता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग पर विभाज्यता से मूल संख्या की विभाज्यता पहचानें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\), hence \(p\), is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts lowest terms. Exam tip: use prime divisibility of a square carefully.
A. वह पूर्णांक 3 से विभाज्य है।/The integer is divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
किसी पूर्णांक को 3 से भाग देने पर शेष 0, 1 या 2 हो सकता है। शेष 1 या 2 होने पर उसका वर्ग 3 से भाग देने पर 1 शेष देता है; अतः वर्ग 3 से विभाज्य हो तो पूर्णांक भी 3 से विभाज्य है। परीक्षा-टिप:
वर्गों के संभावित शेषफल लिखकर यह गुण तुरंत जाँचें। / An integer leaves remainder 0, 1, or 2 on division by 3. The squares of remainders 1 and 2 both leave remainder 1, so a square divisible by 3 requires the integer itself to be divisible by 3. Exam tip: list possible square remainders modulo 3.
यदि ext{\(\sqrt{3}\)} को ext{\(p/q\)} के रूप में, जहाँ ext{\(p\)} और ext{\(q\)} सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, मानकर प्रमाण किया जाए, तो विरोधाभास किस तथ्य से उत्पन्न होता है?
A. ext{\(p\)} और ext{\(q\)} दोनों 3 से विभाज्य होते हैं/Both ext{\(p\)} and ext{\(q\)} are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
ext{\(p^2=3q^2\)} से ext{\(p^2\)} , अतः ext{\(p\)} , 3 से विभाज्य है। ext{\(p=3k\)} रखने पर ext{\(q^2=3k^2\)} मिलता है, इसलिए ext{\(q\)} भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या से वर्ग की विभाज्यता पर ध्यान दें। / From ext{\(p^2=3q^2\)} , ext{\(p^2\)} and hence ext{\(p\)} are divisible by 3. Put ext{\(p=3k\)} to get ext{\(q^2=3k^2\)} , so ext{\(q\)} is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square property.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हैं। \(m^2=2n^2\) से कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता का विरोधाभास सिद्ध करता है?
A. \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं/Both \(m\) and \(n\) are even
Explanation
Simple Explanation
\(m^2=2n^2\) से \(m^2\) सम है, इसलिए \(m=2k\)। रखने पर \(n^2=2k^2\) मिलता है, अतः \(n\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों पदों का सम होना ही विरोधाभास है। / Since \(m^2=2n^2\), \(m^2\) is even, so \(m=2k\). Substitution gives \(n^2=2k^2\), making \(n\) even too. This contradicts coprimality. Exam tip: establish that both numerator and denominator share 2.
एक विद्यार्थी दावा करता है कि \(\sqrt{12}\) परिमेय है, क्योंकि \(12\) पूर्ण वर्ग नहीं है। उसके दावे में त्रुटि पहचानने के लिए \(\sqrt{12}\) का सही सरल रूप कौन-सा है?
\(12=4\times3\), इसलिए \(\sqrt{12}=\sqrt{4}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)। चूँकि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है और 2 शून्येतर परिमेय है, अतः \(2\sqrt{3}\) भी अपरिमेय है। \(3\sqrt{2}\) का वर्ग 18 होता है। परीक्षा टिप: वर्गमूल में पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहले निकालें। / Since \(12=4\times3\), \(\sqrt{12}=\sqrt4\sqrt3=2\sqrt3\). As \(\sqrt3\) is irrational, multiplying it by non-zero rational 2 still gives an irrational number. \(3\sqrt2\) squares to 18, not 12. Exam tip: extract perfect-square factors first.
3 एक अभाज्य संख्या है।
b-2=3a-2 से 3,
b-2 को विभाजित करता है; अभाज्य भाजक गुण से 3,
b को भी विभाजित करेगा। इससे न्यूनतम रूप की धारणा पर विरोधाभास बनता है। परीक्षा में अभाज्य संख्या का यह गुण स्पष्ट लिखें। / Since 3 is prime,
b-2=3a-2 shows that 3 divides
b-2. By the prime divisor property, 3 must divide
b. This leads to a contradiction with the lowest-form assumption. In exams, state the prime-property step explicitly.
एक विद्यार्थी
\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर, जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं, \(p^2=3q^2\) प्राप्त करता है। वह सीधे लिखता है कि \(q\) 3 से विभाज्य है। उसके तर्क को सही बनाने के लिए कौन-सा कथन आवश्यक है?
A. यदि \(3\mid p^2\), तो \(3\mid p\); फिर \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) मिलता है।/If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\); substituting \(p=3k\) then gives \(3\mid q\).
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) है। अभाज्य 3 के गुण से \(3\mid p\); \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(3\mid q\) भी। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाला नियम पहले लिखें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, \(3\mid p\); put \(p=3k\) to obtain \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\) too. This contradicts coprimality. Exam tip: state the prime-divides-square rule first.
B. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge3) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge3) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) होने से वे सहभाज्य नहीं रह सकते। यही परिमेय मान्यता को गलत करता है। / If both have common factor (3), they cannot remain coprime. This makes the rational assumption false.
D. \(m^2=2n^2\) से सीधे (m=2n)/From \(m^2=2n^2\), directly (m=2n)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे (m=2n) नहीं मिलता। सही निष्कर्ष पहले केवल (m) का सम होना है। / The square relation does not directly give (m=2n). The correct conclusion first is only that (m) is even.
D. \(a^2=3b^2\) से सीधे (a=3b)/From \(a^2=3b^2\), directly (a=3b)
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=3b^2\) से सीधे (a=3b) नहीं निकाला जा सकता। पहले (a) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। / From \(a^2=3b^2\), (a=3b) cannot be directly concluded. First (a) is proved divisible by (3).
यदि
\\(\sqrt{3}\\) को
\(a/b\) के रूप में लिखा जाए, जहाँ
\(a\) और
\(b\) सह-अभाज्य पूर्णांक हों, तो अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास उत्पन्न करता है?
A. \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(a\) and \(b\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=3b^2\) से 3, \(a^2\) को विभाजित करता है, इसलिए 3, \(a\) को विभाजित करेगा। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\) मिलता है, अतः 3, \(b\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड के वर्ग वाले नियम का प्रयोग करें। / From \(a^2=3b^2\), 3 divides \(a^2\), so 3 divides \(a\). Put \(a=3k\); then \(b^2=3k^2\), so 3 also divides \(b\). This contradicts coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square rule carefully.
A. \(a^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बताता है/\(a^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (a) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(a^2\) में भी नहीं होगा। लेकिन \(a^2=3b^2\) \(a^2\) को (3) से विभाज्य बनाता है। / If (a) has no factor (3), then \(a^2\) also has none. But \(a^2=3b^2\) makes \(a^2\) divisible by (3).
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(m^2=2n^2\) \(\rightarrow\) (m) सम \(\rightarrow\) (n) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(m^2=2n^2\) \(\rightarrow\) (m) even \(\rightarrow\) (n) even \(\rightarrow\) contradiction
Explanation
Simple Explanation
यही प्रमाण की सही क्रमिक रचना है। अंत में दोनों सम मिलना सहभाज्य शर्त से टकराता है। / This is the correct stepwise structure of the proof. Finally both even conflicts with coprime condition.
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=3b^2\) \(\rightarrow\) \(a\) \(3\) से विभाज्य \(\rightarrow\) \(b\) \(3\) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(3\) से विभाज्यता की श्रृंखला चलती है। अंत में सहभाज्य मान्यता टूटती है। / The proof of \(\sqrt{3}\) follows a chain of divisibility by \(3\). Finally the coprime assumption breaks.
A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं रहेगा/The contradiction will not be clear when both become even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप की शर्त ही सहभाज्य होना बताती है। बिना इसके दोनों सम होना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा। / The lowest-form condition states coprimality. Without it, both even will not form a decisive contradiction.
A. परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है।/The sum of a rational number and an irrational number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(7+\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय संख्या 7 घटाने पर \(\sqrt{2}\) भी परिमेय मिलता। यह \(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: परिमेय ± अपरिमेय हमेशा अपरिमेय होता है। / If \(7+\sqrt{2}\) were rational, subtracting the rational number 7 would make \(\sqrt{2}\) rational. This contradicts the proven irrationality of \(\sqrt{2}\). Exam tip: rational ± irrational is always irrational.
A. \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं/Both \(m\) and \(n\) are even
Explanation
Simple Explanation
\(m=2k\) से स्पष्ट है कि \(m\) सम है। साथ ही, \(n^2=2k^2\) के अनुसार \(n^2\) सम है; किसी पूर्णांक का वर्ग सम होने पर वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए \(n\) भी सम है। अतः \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं। यह उस मान्यता के विरुद्ध है कि भिन्न \(m/n\) सरलतम रूप में थी। परीक्षा टिप: वर्ग सम होने से संख्या सम होने वाला तथ्य ऐसे अपरिमेयता-प्रमाणों में अवश्य लगाएँ। / From \(m=2k\), \(m\) is even. Also, \(n^2=2k^2\) shows that \(n^2\) is even; if the square of an integer is even, the integer itself must be even. Hence \(n\) is also even, so both \(m\) and \(n\) are even. This contradicts the assumption that the fraction \(m/n\) was in lowest terms. Exam tip: In irrationality proofs, remember that an even square implies an even integer.
A. \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं/\(p\) and \(q\) are coprime
Explanation
Simple Explanation
भिन्न को न्यूनतम रूप में लेने के लिए \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य माने जाते हैं। प्रमाण में \(p\) तथा \(q\) दोनों 3 से विभाज्य निकलते हैं, जो इसी शर्त का विरोध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हेतु ‘न्यूनतम रूप’ अवश्य लिखें। / The fraction is taken in lowest terms, so \(p\) and \(q\) must be coprime. The proof then shows that both are divisible by 3, contradicting this condition. Exam tip: explicitly state that the fraction is in lowest terms before starting the proof.
A. दावा सत्य है, क्योंकि 3 से विभाज्य न होने वाले पूर्णांक का वर्ग 3 से विभाज्य नहीं हो सकता।
Explanation
Simple Explanation
दावा सत्य है। किसी पूर्णांक को 3 से भाग देने पर शेष 0, 1 या 2 हो सकता है। शेष 1 या 2 होने पर वर्ग का शेष क्रमशः 1 या 4 अर्थात 1 होगा, 0 नहीं। इसलिए यदि वर्ग 3 से विभाज्य है, तो पूर्णांक भी 3 से विभाज्य होगा। परीक्षा टिप: शेषफल विधि से ऐसे कथन जल्दी जाँचें। / The claim is true. On division by 3, an integer leaves remainder 0, 1, or 2. Squaring remainders 1 and 2 gives remainders 1 and 4, i.e. 1 modulo 3, never 0. Hence a square divisible by 3 has a base divisible by 3. Exam tip: use remainders to test divisibility claims quickly.
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब मूल संख्या में आता है। यही विभाज्यता का आधार है। / A prime factor appears in a square only when it appears in the original number. This is the basis of divisibility.
A. निष्कर्ष सही है, पर कारण गलत है/The conclusion is correct, but the reason is false.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(r=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) परिमेय है। तब \(r^2=5+2\sqrt6\) से \(\sqrt6\) परिमेय होगा, जो असंभव है। अतः निष्कर्ष सही है। पर दो अपरिमेयों का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता; सामान्यीकरण से बचें। / Assume \(r=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is rational. Then \(r^2=5+2\sqrt6\), which would make \(\sqrt6\) rational, an impossibility. Thus the conclusion is correct. However, two irrational numbers need not always have an irrational sum; avoid this overgeneralisation.
A. पहले (a) (3) से विभाज्य सिद्ध करके (a=3r) रखना पड़ता है/First (a) must be proved divisible by (3) and (a=3r) must be used
Explanation
Simple Explanation
पहले \(a^2\) से (a) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (a=3r) रखकर (b) का निष्कर्ष आता है। / First (a) is proved divisible by (3) from \(a^2\). Then after putting (a=3r), the conclusion for (b) follows.
\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के विरोधाभास-प्रमाण में, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) तथा \(p,q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं, तो \(3q^2=p^2\) से कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक रूप से निकलता है?
\(3q^2=p^2\) से \(p^2\), 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य से वर्ग की विभाज्यता पर ध्यान दें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(p\) must be divisible by 3. Putting \(p=3k\) then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisibility rule for squares.
विरोधाभास विधि से
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय रिया ने दिखाया कि सरलतम रूप में लिखे गए भिन्न \(a/b\) में \(a\) और \(b\), दोनों 3 से विभाज्य हैं। यह निष्कर्ष असंभव क्यों है?
A. सरलतम रूप वाले भिन्न के अंश और हर में 3 जैसा कोई समान गुणनखंड नहीं हो सकता।/A fraction in lowest terms cannot have a common factor such as 3 in its numerator and denominator.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(a^2=3b^2\), तो 3, \(a^2\) को विभाजित करता है; अतः 3, \(a\) को भी विभाजित करेगा। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए 3, \(b\) को भी विभाजित करता है। यह \(a/b\) के सरलतम रूप में होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए समान गुणनखंड स्पष्ट लिखें। / From \(a^2=3b^2\), 3 divides \(a^2\), so 3 divides \(a\). Put \(a=3k\); then \(b^2=3k^2\), so 3 also divides \(b\). This contradicts \(a/b\) being in lowest terms. Exam tip: state the common factor clearly to complete the contradiction.
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को निम्नतम रूप में माना जाए और \(p^2=3q^2\) मिले, तो विरोधाभास के लिए कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है?
A. \(p\) 3 से विभाज्य है और फलस्वरूप \(q\) भी 3 से विभाज्य है/\(p\) is divisible by 3, and consequently \(q\) is also divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो निम्नतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड के नियम का प्रयोग करें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: use the prime-divisibility property carefully.
B. 3, \(p \) और \(q \) दोनों को विभाजित करता है/3 divides both \(p \) and \(q \)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2 \) से 3, \(p^2 \) को विभाजित करता है, इसलिए 3, \(p \) को विभाजित करेगा। \(p=3r \) रखने पर 3, \(q \) को भी विभाजित करता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के वर्ग-गुणनखंड नियम का उपयोग करें। / From \(p^2=3q^2 \), 3 divides \(p^2 \), so it divides \(p \). Put \(p=3r \); then 3 also divides \(q \), contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square property.
यदि
\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में मानने पर \(p^2=3q^2\) प्राप्त हो, तो कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास स्थापित करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या यदि वर्ग को विभाजित करे, तो वह संख्या को भी विभाजित करती है। / Since \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\), so 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
A. पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है/In a perfect square, every prime exponent is even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (2) की घात से विरोधाभास समझ आता है। / In a perfect square, prime exponents are even. The exponent of (2) explains the contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\).
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर \(3b^2\) में वह विषम हो सकती है/In a perfect square, exponent of (3) must be even, but in \(3b^2\) it can become odd
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। यही विचार \(\sqrt{3}\) के प्रमाण को मजबूत करता है। / In a perfect square, all prime exponents are even. This idea strengthens the proof of \(\sqrt{3}\).
A. \(\gcd(m,n)=1\) और \(\gcd(m,n)\ge 2\) दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते/\(\gcd(m,n)=1\) and \(\gcd(m,n)\ge 2\) cannot both be true
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य संख्याओं के लिए \(\gcd(m,n)=1\) होता है। लेकिन यदि \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं, तो 2 दोनों का उभयनिष्ठ भाजक है, इसलिए \(\gcd(m,n)\ge 2\) होगा। एक ही समय में महत्तम समापवर्तक 1 और कम-से-कम 2 नहीं हो सकता; यही विरोधाभास है और इससे प्रारम्भिक मान्यता गलत सिद्ध होती है। परीक्षा-युक्ति: सहभाज्यता और दोनों संख्याओं के सम होने को देखकर तुरंत 2 को उभयनिष्ठ भाजक जाँचें। / For coprime numbers, \(\gcd(m,n)=1\). However, if both \(m\) and \(n\) are even, then 2 is a common divisor, so \(\gcd(m,n)\ge 2\). The greatest common divisor cannot be 1 and at least 2 at the same time; this is the contradiction that disproves the initial assumption. Exam tip: whenever both numbers are even, immediately identify 2 as their common divisor.
A. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge3) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge3) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से वह कम से कम (3) होगा। / Being coprime means the highest common factor is (1). Both divisible by (3) makes it at least (3).
A. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(m,n)=1) विरोधाभास देता है/\(n\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(m,n)=1) gives the contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना भिन्न की परिभाषा के लिए है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से विरोधाभास बनाती है। / Non-zero denominator is for defining the fraction. The coprime condition creates contradiction with the final common factor.
A. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(a,b)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(a,b)=1) is the basis of the final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(b\neq0\) भिन्न के लिए आवश्यक है। (\gcd(a,b)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास बनाता है। / \(b\neq0\) is necessary for the fraction. (\gcd(a,b)=1) creates contradiction when both are divisible by (3).
रीमा कहती है, “यदि \(\sqrt{12}\) परिमेय होता, तो \(\sqrt{3}=\frac{\sqrt{12}}{2}\) भी परिमेय होता, जो \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरुद्ध है।” रीमा का निष्कर्ष क्या है?
A. \(\sqrt{12}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{12}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है। यदि \(\sqrt{12}\) परिमेय होता, तो उसे 2 से भाग देने पर \(\sqrt{3}\) भी परिमेय मिलता, जो असंभव है। अतः \(\sqrt{12}\) अपरिमेय है। परीक्षा में परिमेय संख्या से भाग देने का नियम याद रखें। / Since \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), a rational \(\sqrt{12}\) would make \(\sqrt{3}=\sqrt{12}/2\) rational. This contradicts the known irrationality of \(\sqrt{3}\). Hence \(\sqrt{12}\) is irrational. Exam tip: division by a non-zero rational preserves rationality.
A. दोनों सम निकलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा/The contradiction will not be clear when both become even
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) मानने पर \(m^2=2n^2\) मिलता है। इससे \(m\) सम और फिर \(n\) भी सम सिद्ध होता है। लेकिन विरोधाभास तभी मिलेगा जब पहले यह बताया जाए कि \(\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में है, अर्थात \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हैं। दोनों का सम होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। केवल दोनों सम होना अपने-आप में विरोधाभास नहीं है। परीक्षा टिप: अपरिमेयता के ऐसे प्रमाण में ‘सरलतम रूप’ या ‘सह-अभाज्य’ शर्त अवश्य लिखें। / Assuming \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) gives \(m^2=2n^2\). This shows that \(m\) is even, and then \(n\) is also even. However, this becomes a contradiction only if \(\frac{m}{n}\) was stated to be in lowest terms, meaning that \(m\) and \(n\) are coprime. Both being even contradicts coprimality; being even alone is not a contradiction. Exam tip: In such irrationality proofs, always state that the fraction is in lowest terms or that the numerator and denominator are coprime.
एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में \(p^2=3q^2\) प्राप्त किया। यह ज्ञात होने पर कि \(p\) 3 से विभाज्य है, निम्न में से कौन-सा अगला कदम प्रमाण को सही ढंग से आगे बढ़ाता है?
A. \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है; इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है।/On putting \(p=3k\), we get \(q^2=3k^2\); hence \(q\) is also divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
\(p=3k\) रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) मिलता है। इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है, जो विरोधाभास देता है। परीक्षा में प्रतिस्थापन के बाद वर्गों को सावधानी से सरल करें। / Substituting \(p=3k\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\). Thus, \(q\) is also divisible by 3, creating the contradiction. Do not jump directly from \(p=3k\) to a claim about \(q\).
मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) परस्पर सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास स्थापित करने के लिए कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
मान्यता से \(p^2=3q^2\) मिलता है। अतः 3, \(p^2\) और फिर \(p\) को विभाजित करता है; प्रतिस्थापन करने पर 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में भिन्न को न्यूनतम रूप में लेना न भूलें। / The assumption gives \(p^2=3q^2\). Thus 3 divides \(p^2\), so it divides \(p\); substituting back shows that 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Option B misses the second step. Exam tip: always assume the fraction is in lowest terms.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{2}\) का दशमलव विस्तार कभी समाप्त नहीं होता, इसलिए यह अपरिमेय है। निम्नलिखित में से कौन-सा तर्क इस निष्कर्ष को कठोरता से सिद्ध करता है?
C. \(\sqrt{2}=m/n को सरलतम रूप में मानकर यह दिखाना कि \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं / Assuming \(\sqrt{2}=m / n\) in lowest terms and showing that both \(m\) and \(n\) are even
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{2}=m/n\) सरलतम रूप में है। तब \(m^2=2n^2\), इसलिए \(m\) सम है; \(m=2k\) रखने पर \(n\) भी सम मिलता है। यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों पदों की समता अवश्य सिद्ध करें। / Assume \(\sqrt{2}=m/n\) in lowest terms. Then \(m^2=2n^2\), so \(m\) is even; putting \(m=2k\) shows that \(n\) is also even. This contradicts lowest terms. Exam tip: prove evenness for both numerator and denominator.
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), इसलिए \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। 2 से विभाज्यता \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में आती है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड नियम लिखें। / From \(p^2=3q^2\), \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). Put \(p=3k\); then \(3\mid q\), contradicting coprimality. The idea of both numbers being even belongs to the proof for \(\sqrt{2}\). Exam tip: state the prime-divisor rule clearly.
A. विरोधाभास के लिए (b) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (b) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (a) में (3) का गुणनखंड होना विरोधाभास नहीं है। (a) और (b) दोनों में (3) होना जरूरी है। / Only (a) having factor (3) is not a contradiction. Both (a) and (b) must have factor (3).
A. यदि \(3\mid k^2\), तो \(3\mid k\)।/If \(3\mid k^2\), then \(3\mid k\).
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{3}=a/b\), जहाँ \(a,b\) सहाभाज्य हैं। तब \(a^2=3b^2\), इसलिए \(3\mid a^2\) और 3 अभाज्य होने से \(3\mid a\)। विकल्प C में \(9\mid a\) कहना जरूरी नहीं है। परीक्षा टिप: \(p\mid k^2\Rightarrow p\mid k\) नियम याद रखें। / Let \(\sqrt{3}=a/b\) in lowest terms. Then \(a^2=3b^2\), so \(3\mid a^2\); since 3 is prime, \(3\mid a\). Option C is unnecessarily strong because \(9\mid a\) need not follow. Exam tip: remember that if prime \(p\mid k^2\), then \(p\mid k\).
A. आवर्ती अनंत दशमलव भी परिमेय होते हैं।/Repeating infinite decimals can be rational.
Explanation
Simple Explanation
केवल अनंत दशमलव होना अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता, क्योंकि \(0.\overline{3}=1/3\) अनंत होते हुए भी परिमेय है। \(\sqrt{2}\) के लिए अनावर्तीता या विरोधाभास-प्रमाण चाहिए। टिप: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / An infinite decimal alone does not prove irrationality: \(0.\overline{3}=1/3\) is infinite but rational. For \(\sqrt{2}\), establish non-repetition or use contradiction. Exam tip: every recurring decimal is rational.
A. मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं/Assume that \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), where \(m\) and \(n\) are coprime integers
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास-प्रमाण में पहले \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) को न्यूनतम रूप में मानते हैं। आगे \(m\) और \(n\) दोनों 3 से विभाज्य निकलते हैं, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: ‘न्यूनतम रूप’ अवश्य लिखें। / In a contradiction proof, first assume \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) in lowest terms. Later, both \(m\) and \(n\) become divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: always state that the fraction is in lowest terms.
(\gcd(a,b)=1) का अर्थ है कि दोनों में कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है। दोनों में (3) होना इसी से विरोधाभास है। / (\gcd(a,b)=1) means both have no common factor. Having (3) in both contradicts this.
A. \(7-\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(7-\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
यदि \(7-\sqrt{3}\) परिमेय होता, तो \(7-(7-\sqrt{3})=\sqrt{3}\) भी परिमेय होता, जो विरोधाभास है। जबकि \((\sqrt{3})^2=3\) परिमेय है। परीक्षा में परिमेय संख्या के साथ जोड़-घटाव का नियम याद रखें। / If \(7-\sqrt{3}\) were rational, then \(7-(7-\sqrt{3})=\sqrt{3}\) would also be rational, a contradiction. Also, \((\sqrt{3})^2=3\) is rational. In exams, use closure properties with rational numbers carefully.
A. तर्क अधूरा है; केवल अनंत दशमलव पर्याप्त नहीं है, उसका अनावर्ती होना या विरोधाभास द्वारा प्रमाण आवश्यक है।/The reasoning is incomplete; an infinite decimal alone is insufficient, and non-repetition or a proof by contradiction is needed.
Explanation
Simple Explanation
केवल अनंत दशमलव पर्याप्त नहीं है, क्योंकि \(1/3=0.333\ldots\) परिमेय है। \(\sqrt{2}\) के लिए अनावर्ती दशमलव या सह-अभाज्य भिन्न मानकर विरोधाभास चाहिए। परीक्षा में अनंत और अनावर्ती में अंतर रखें। / An infinite decimal alone is insufficient because \(1/3=0.333\ldots\) is rational. For \(\sqrt{2}\), establish non-repetition or derive a contradiction from a lowest-term fraction. Exam tip: distinguish infinite decimals from non-repeating decimals.
केवल (m) सम होना विरोधाभास नहीं देता। विरोधाभास के लिए (n) भी सम सिद्ध करना जरूरी है। / Only (m) being even gives no contradiction. To get contradiction, (n) must also be proved even.
केवल (a) का (3) से विभाज्य होना अंतिम विरोधाभास नहीं है। (b) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना होता है। / Only (a) being divisible by (3) is not the final contradiction. (b) must also be proved divisible by (3).
एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते हुए मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य हैं। \(a^2=3b^2\) मिलने पर वह कहता है कि \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं। इस निष्कर्ष को सही ठहराने के लिए कौन-सा तर्क आवश्यक है?
B. पहले \(3\mid a^2\) से \(a=3k\) लें, फिर प्रतिस्थापन से \(b^2=3k^2\) पाकर \(3\mid b\) सिद्ध करें।/First use \(3\mid a^2\) to write \(a=3k\), then substitute to get \(b^2=3k^2\) and prove \(3\mid b\).
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=3b^2\) से \(3\mid a^2\), अतः 3 अभाज्य होने के कारण \(3\mid a\)। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid b\)। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन का चरण अवश्य लिखें। / From \(a^2=3b^2\), \(3\mid a^2\), so prime-factor reasoning gives \(3\mid a\). Put \(a=3k\) to obtain \(b^2=3k^2\), hence \(3\mid b\), contradicting coprimality. Exam tip: always show the substitution step.
मान लीजिए कि \(s=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) के परिमेय होने का दावा किया जाता है। चूँकि \((\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1\), इसलिए \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=1/s\) भी परिमेय होगा। निम्न में से कौन-सा समीकरण इस दावे से तुरंत विरोधाभास उत्पन्न करता है?
मान्यता से \(s\) और \(1/s=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) दोनों परिमेय हैं। विकल्प A का बायाँ पक्ष \(2\sqrt{3}\) है, इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा, जो विरोधाभास है। B में घटाने पर \(2\sqrt{2}\) मिलता है। परीक्षा टिप: संयुग्मों का गुणनफल पहले जाँचें। / Under the assumption, both \(s\) and \(1/s=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) are rational. Option A adds them to obtain \(2\sqrt{3}\), which would make \(\sqrt{3}\) rational—a contradiction. In B, subtraction gives \(2\sqrt{2}\), not \(2\sqrt{3}\). Exam tip: first check the product of conjugates.
