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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 18

मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) परस्पर सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास स्थापित करने के लिए कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है?

Suppose \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Which conclusion is needed to establish the contradiction in the proof of irrationality?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैंBoth \(p\) and \(q\) are divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

मान्यता से \(p^2=3q^2\) मिलता है। अतः 3, \(p^2\) और फिर \(p\) को विभाजित करता है; प्रतिस्थापन करने पर 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में भिन्न को न्यूनतम रूप में लेना न भूलें। / The assumption gives \(p^2=3q^2\). Thus 3 divides \(p^2\), so it divides \(p\); substituting back shows that 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Option B misses the second step. Exam tip: always assume the fraction is in lowest terms.

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मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) परस्पर सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास स्थापित करने के लिए कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है? / Suppose \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Which conclusion is needed to establish the contradiction in the proof of irrationality?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं / Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3. Explanation: मान्यता से \(p^2=3q^2\) मिलता है। अतः 3, \(p^2\) और फिर \(p\) को विभाजित करता है; प्रतिस्थापन करने पर 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में भिन्न को न्यूनतम रूप में लेना न भूलें। / The assumption gives \(p^2=3q^2\). Thus 3 divides \(p^2\), so it divides \(p\); substituting back shows that 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Option B misses the second step. Exam tip: always assume the fraction is in lowest terms.