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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 18

\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के विरोधाभास-प्रमाण में, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) तथा \(p,q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं, तो \(3q^2=p^2\) से कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक रूप से निकलता है?

In the proof by contradiction that \(\sqrt{3}\) is irrational, if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers, which conclusion necessarily follows from \(3q^2=p^2\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) 3 से विभाज्य है\(p\) is divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(3q^2=p^2\) से \(p^2\), 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य से वर्ग की विभाज्यता पर ध्यान दें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(p\) must be divisible by 3. Putting \(p=3k\) then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisibility rule for squares.

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\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के विरोधाभास-प्रमाण में, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) तथा \(p,q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं, तो \(3q^2=p^2\) से कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक रूप से निकलता है? / In the proof by contradiction that \(\sqrt{3}\) is irrational, if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers, which conclusion necessarily follows from \(3q^2=p^2\)?

Correct Answer: A. \(p\) 3 से विभाज्य है / \(p\) is divisible by 3. Explanation: \(3q^2=p^2\) से \(p^2\), 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य से वर्ग की विभाज्यता पर ध्यान दें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(p\) must be divisible by 3. Putting \(p=3k\) then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisibility rule for squares.