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While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\) by contradiction, if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest terms and \(p^2=3q^2\) is obtained, which conclusion is necessary to reach the contradiction?विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को निम्नतम रूप में माना जाए और \(p^2=3q^2\) मिले, तो विरोधाभास के लिए कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(p\) is divisible by 3, and consequently \(q\) is also divisible by 3\(p\) 3 से विभाज्य है और फलस्वरूप \(q\) भी 3 से विभाज्य है
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: use the prime-divisibility property carefully.\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो निम्नतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड के नियम का प्रयोग करें।
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