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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 18

मान लीजिए कि \(s=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) के परिमेय होने का दावा किया जाता है। चूँकि \((\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1\), इसलिए \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=1/s\) भी परिमेय होगा। निम्न में से कौन-सा समीकरण इस दावे से तुरंत विरोधाभास उत्पन्न करता है?

Suppose it is claimed that \(s=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is rational. Since \((\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1\), \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=1/s\) would also be rational. Which equation below immediately produces a contradiction from this claim?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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A. \(s+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}\)

Explanation

Simple Explanation

मान्यता से \(s\) और \(1/s=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) दोनों परिमेय हैं। विकल्प A का बायाँ पक्ष \(2\sqrt{3}\) है, इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा, जो विरोधाभास है। B में घटाने पर \(2\sqrt{2}\) मिलता है। परीक्षा टिप: संयुग्मों का गुणनफल पहले जाँचें। / Under the assumption, both \(s\) and \(1/s=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) are rational. Option A adds them to obtain \(2\sqrt{3}\), which would make \(\sqrt{3}\) rational—a contradiction. In B, subtraction gives \(2\sqrt{2}\), not \(2\sqrt{3}\). Exam tip: first check the product of conjugates.

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Correct Answer: A. \(s+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}\). Explanation: मान्यता से \(s\) और \(1/s=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) दोनों परिमेय हैं। विकल्प A का बायाँ पक्ष \(2\sqrt{3}\) है, इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा, जो विरोधाभास है। B में घटाने पर \(2\sqrt{2}\) मिलता है। परीक्षा टिप: संयुग्मों का गुणनफल पहले जाँचें। / Under the assumption, both \(s\) and \(1/s=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) are rational. Option A adds them to obtain \(2\sqrt{3}\), which would make \(\sqrt{3}\) rational—a contradiction. In B, subtraction gives \(2\sqrt{2}\), not \(2\sqrt{3}\). Exam tip: first check the product of conjugates.